重庆万州区第二中学高三数学文下学期期末试题含解析

重庆万州区第二中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 将四名大学生全部分配到、、三个单位，则单位恰好分得名大学生的概率是（A）；（B）；（C）；（D）
参考答案：
B
略
2. 已知三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为
（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【分析】取AC中点O，连结DO，EO，则EO∥AB，从而∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB与DE所成角的余弦值．
【解答】解：取AC中点O，连结DO，EO，
∵三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，
∴EO∥AB，∴∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），
设三棱锥A﹣BCD的各棱长为2，
则DE=DO==，OE=1，
∴cos∠DEO===．∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为．
故选：B．
3. 用反证法证明命题：“如果，那么”时，假设的内容应是（）
A． B． C． D．且参考答案：
C
4. “”是”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
5. 若直线y=x+m与圆x2+y2+4x+2=0有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是( ) A．（2﹣，2）B．（﹣4，0）C．（﹣2﹣，﹣2+）D．（0，4）
参考答案：
D
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可确定实数m的取值范围．
【解答】解：圆x2+y2+4x+2=0化为（x+2）2+y2=2，圆的圆心坐标（﹣2，0），半径为
∵直线y=x+m与圆（x+2）2+y2=2有两个不同的公共点，
∴d=＜
∴m2﹣4m＜0
∴0＜m＜4
故选D．
【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，属于中档题．
6. 下列各式错误的是（）
A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0..50.6
C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4
参考答案：
C
【考点】不等式比较大小．
【专题】计算题．
【分析】利用对数函数和指数函数的增减性进行选择．
【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；
B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；
C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；
D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；
故选C．
【点评】此题考查对数函数和指数函数的性质及其应用，是一道基础题．
7. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A．若则B．若则
C．若则D．若,则
参考答案：
D
8. 已知i是虚数单位，m.n,则“m=n=1”是“”的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：
A
略9. 若复数为纯虚数，则实数m=( )
A．2 B．﹣2 C．D．
参考答案：
C
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式，利用复数是纯虚数求解m即可．
解答：解：复数==，
复数为纯虚数，可得2m﹣1=0，
解得m=．
故选：C．
点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
10. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线
（的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数的值是w。

w-
w*k&s%5￥u
A． B． C． D．高考资源网
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在
中，角
，
，
的对边分别为，，，若
，
，
，则
__________．
参考答案：
或
由余弦定理可得
， 将
，
，
，代入得
，解得
或
．
12. C （选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与
x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为
．点P 在曲线C 上，则点P 到直线的距离的最小值为
．
参考答案：
13.
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶
D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m ．
参考答案：
100
【考点】解三角形的实际应用． 【专题】计算题；解三角形．
【分析】设此山高h （m ），在△BCD 中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在△ABC 中利用正弦定理求得h ．
【解答】解：设此山高h （m ），则BC=h ，
在△ABC 中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600． 根据正弦定理得=
，
解得h=100
（m ）
故答案为：100
．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解． 14. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的值是___ .
参考答案：
8
15. 球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为
和2，则该球的体积为 ；
参考答案：
16. 如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
由三视图可得，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为，因此。

故选C。

17. 在正项数列{a n}中，，其前n项和S n满足，若数列
，则数列{b n}的前2020项和为______．
参考答案：
【分析】
由递推关系得通项公式，进而求得，裂项相消求和即可
【详解】,得，则
，因为，则，又，即，故为等差数列，∴
=，则数列的前项和为故答案为
【点睛】本题考查数列递推关系求通项，等差数列的通项及求和公式，考查裂项相消求和，熟记基本公式是关键，是基础题
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (12分) 已知函数．
(1)若,求以为切点的曲线的切线方程；
(2)若函数恒成立，确定实数K的取值范围．
参考答案：
略
19. 已知函数，，
（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m
的
取值范围．
参考答案：
（1）
（2）
【分析】
（1）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．
（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．
【详解】（1）由题意，函数，，
令t=x2，则t∈[1，3]，则，
要使得函数f（x）有两个零点，即函数y=h（t）与y=a有两个交点，
因为，当t∈（1，2）时，＜0；当t∈（2，3）时，＞0，
所以函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，
从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，
由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，
所以函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．
（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，
当m=0时，，显然成立；
当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，所以，记，
由对任意的，总存在，使成立，可得，
所以且，解得，
当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，所以，
所以且，截得，
综上，所求实数m的取值范围为．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数取得函数的最值或值域，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
20. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．
（1）求证：AM⊥SD；
（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出SM⊥BC，SM⊥AM，由勾股定理得AM⊥DM，从而AM⊥平面DMS，由此能证明
AM⊥SD．
（2）以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥S﹣ABCD的体积．
【解答】证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，
∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，
∴SM⊥平面ABCD，
∵AM?平面ABCD，∴SM⊥AM，
∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，
∴AM2=BM2==，AD=2，
∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，
∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，
∵SD?平面DMS，∴AM⊥SD．
解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，
MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），
=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），
=（0，t，0），
设平面ABS的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，﹣，0），
设平面MAS的法向量=（a，b，c），
则，取a=1，得=（1，0，1），
设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，
∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，
∴sinθ=，cosθ==，
∴cosθ===，解得t=，
∵SM⊥平面ABCD，SM=，
∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣ABCD===．
21. 已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设T n=S n﹣（n∈N*），求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．
参考答案：
【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．
【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为的等比数列{a n}不是递减数列，求出q值，可得答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，
∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）
即4a5=a3，
故q2==
又∵数列{a n}不是递减数列，且等比数列的首项为
∴q=﹣
∴数列{a n}的通项公式a n=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1?（Ⅱ）由（Ⅰ）得
S n=1﹣（﹣）n=
当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1=故0＜≤=﹣=
当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以1＞S n≥S2=故0＞≥=﹣=
综上，对于n∈N*，总有≤≤
故数列{T n}的最大项的值为，最小项的值为
22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原
点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：（其中t为常数）.
（1）若曲线N与曲线M有两个不同的公共点，求t的取值范围；
（2）当时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离.
参考答案：
（1）由已知：，；：.
联立方程有两个解，可得.
（2）当时，直线：，设上的点为，，则
，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.。