2018北京怀柔高三二模数学文试卷及答案 精品

Q2017年怀柔区高三年级调研考试数 学（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，则=A C UA ．{0,1}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则 OP OQ +=A ．OHB ．OG主视图俯视图C ．EOD ．FO7．设x>1，S=min ｛log x 2，log 2（4x 3）｝，则S 的最大值为A ．3B ．4C ． 5D ．68．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为 A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数xx f )21(1)(-=的定义域是 . 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = 厘米．12. 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ．13. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为M ，若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是 ．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.s i n 2s i n ,3,5A C b a === （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．-中，底面ABCD是正如图，在四棱锥S ABCD Array方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()x g x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是“T 数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”； （Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2009项的和．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．．9．),0[∞ 10．2011≤i 11．11 12．(]1,2 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.s i n 2s i n ,3,5A C b a === （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．解：（Ⅰ）根据正弦定理，sin sin c a C A =,所以sin 2sin Cc a a A===分（Ⅱ）根据余弦定理，得222cos 2c b a A bc +-==于是sin A ==从而4sin 22sin cos 5A A A == 223cos 2cos sin 5A A A =-=………12分所以4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=-------------------13分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ． 证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE（Ⅱ）证明：由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^因为AC SO O = ，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =.------------------------------------------------------------------------------2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.----------------------3分40.1040m p M ===.---------------------------------------------------------------------4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯------6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人--------8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人， 设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，-------------10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种，------------------------------------------12分 所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93）--------------------------------------13分 18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=， 所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． 即1a =．----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)x g x e ax x ax x =-+-，又0xe >，所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤，………………7分这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x++≤=++对(0,2]x ∈恒成立．-------------9分令236()3x h x x x+=+（(0,2]x ∈），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++，---------------------------10分所以()h x 在区间0,2]（上是减函数， 所以()h x 的最小值为6(2)5h =．----------------------------------------------------12分 所以65a ≤．即实数a 的取值范围为6(,]5-∞．-----------------------------------13分 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．解：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ===-=得 3,2==b a故C 的方程为13422=+y x .-----------------------------------------------------------4分 解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+b a ②由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x .----------------------.4分 （Ⅱ）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ， 从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交.------------------------------------------------------------------------8 分 直线l 被圆O 所截的弦长为22211212nm d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m-----------------------------------------------------------------------------------------10 分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m 3362≤≤∴L .------------------------------------------------------------------------------14 分 20．（本题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “T 数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”； （Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2009项的和．解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“T 数列”， 对应的实常数分别为1,2．---------------2分 因为32n n b =⋅，则有12n n b b += *n N ∈故数列{}n b 是“T 数列”， 对应的实常数分别为2,0．---------------4分 （Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”， 则存在实常数,p q ， 使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立， 且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“T 数列”．对应的实常数分别为,2p q ．-------------------------------------8分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有22332a a t +=⋅，44532a a t +=⋅ ，20062006200732a a t +=⋅， 20082008200932a a t +=⋅故数列{}n a 前2009项的和2009S =1a +()23a a ++()45a a +++()20062007a a ++()20082009a a +()24200620082010232323232224t t t t t =+⋅+⋅++⋅+⋅=+- ---------------13分。