江西省安福中学2012-2013学年高一下学期第一次月考数学(理)试题

高一数学命题组
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．数列⋯--,9
24
,715,58,1的一个通项公式是（ ）
A ．1
2)1(3++-=n n
n a n
n
B ．1
2)
3()1(++-=n n n a n n
C ．1
21
)1()1(2--+-=n n a n n
D ．1
2)
2()1(++-=n n n a n
n
2．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )
A.20
B.21
C.22
D.61
3．已知等比数列的公比是2，且前四项和为1，那么前八项之和为 （ ）
(A)15 (B)17 (C)19 (D)21
4．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3
B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30°
C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100°
D ．b ＝c ＝1，B ＝45°
5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．1
2-n B ．1
)
2
3
(-n C ．1
)
3
2(-n D ．
1
2
1-n
6．已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，那么角C 的大小为( )
A ．π4
B ． 3π4
C ．3π
D ．32π
7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S 10＞0，并且S 11=0，若S n ≤S k 对n ∈N + 恒成立，，则正整
数k 构成的集合为（ ） A ．{5} B ．{6} C ．{5，6} D ．{7} 8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．
若则32b =-，1012b =，
则
8a =
（ ）
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
9．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( ) A.1507min B.157 h C ．21.5 min D ．2.15 h 10.对于每个自然数n 。

抛物线y=(n 2+n)x 2-(2n+1)x+1与x 轴交于A n ,B n 两点，n n B A 表示这两点间的距离，那么||......||||201320132211B A B A B A +++值（ ）
A ．20122013
B ．2013
2012
C ．
20132014 D ．2014
2013
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为
12、在△ABC 中，若tan A ＝1
3，C ＝150°，BC ＝1，则|AB |＝________. 13.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1。

若a 1=1，且对任意的
都有
a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=_________________。

15．已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面
积为_______________
三解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数
列，其最后一个数为函数2
214y x x =--的最大值，求这四个数.
17．（本题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。

若a－c cos B
b－c cos A
＝
sin A
sin B
，
试判断△ABC的形状．
18．（本题满分12分）在ABC
中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。

角A，B，C成等差数列。

(Ⅰ)求cos B的值；
(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sin sin
A C的值。

高一第一次月考数学答案（理科）
11、
14、11 15、
19、【解析】由tan A ＋B 2＋tan C 2＝4得cot C 2＋tan C 2＝4，化简得1
sin C 2cos C
2＝4，
所以sin C ＝12，又C ∈(0，π)，即C ＝π6或C ＝5π
6.由sin B sin C ＝2(cos )2A 得
sin B sin C ＝12[1＋cos(B ＋C )]，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，A ＝π－(B ＋C )＝2π
3.
由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
得
b ＝
c ＝a sin B
sin A ＝23×123
2＝2.
20、由S n =22n n +，得当n=1时，113a S ==；
当n ≥2时，1n n n a S S -=-=22
22(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦，n ∈N ﹡.
由a n =4log 2b n ＋3，得21n b n =-，n ∈N ﹡.
（2）由（1）知1
(4
1)2n n n a b n -=-⋅，n ∈N ﹡所以()2
1
372112 (412)
n n T n -=+⨯+⨯++-⋅，
()2323272112...412n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅， ()212412[34(22...2)]n n n n T T n --=-⋅-++++
(45)25n n =-+
(45)25n n T n =-+，n ∈N ﹡.
21．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，
由题意得1111
333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,
3.a d =-⎧⎨=⎩
所以由等差数列通项公式可得
23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.
故35n a n =-+，或37n a n =-. （Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；
当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,
|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩
记数列{||}n a 的前n 项和为n S .
当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=；
当3n ≥时，
234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-
2(2)[2(37)]311510222
n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.
综上，24,
1,31110, 1.22
n n S n n n =⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩。