高中数学本册综合测试(提升)(解析版)

本册综合测试（提升）
人教A 版2019选择性必修第三册
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（2021·山东无棣·高二期中）已知随机变量()8,B p ξ~，且()2E ξ=，则()2D ξ=（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．24
【答案】B
【解析】随机变量ξ～B （8，p ），且E （ξ）＝2， ∴E （ξ）＝8p ＝2，解得p ＝
21
84
=， ∴D （ξ）＝8×14×（1﹣1
4）＝32
，
∴D （2ξ）＝4D （ξ）＝4×3
2
＝6． 故选：B ．
2．（2021·广西·富川瑶族自治县高级中学 ）下列说法正确的是（ ） A ．线性回归方程y bx a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 B ．概率为0的事件一定不可能发生
C ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6∶5∶4，则应从高二年级中抽取20名学生
D ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是互斥而不对立的事件 【答案】C
【解析】对于A ：线性回归方程y bx a =+对应的直线不一定经过其样本数据点中的一个点，但是一定经过中心对称点(),x y ，故A 错误；
对于B ：概率为0的事件不一定是不可能事件，但是，不可能事件的概率一定是0，故B 错误；
对于C ：某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6∶5∶4，即6,5,4x x x
则：1560x =，解得4x =，应从高二年级中抽，5420⨯=名学生，故C 正确；
对于D ：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”即一红一黑，或两黑；与“至少有一个红球”即一黑一红或两红是即不互斥又不对立的事件，故D 错误． 故选：C ．
3．（2021·广东顺德德胜学校高二期中）用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（ ）种不同的涂色方案．
A ．180
B ．360
C ．64
D ．25
【答案】A
【解析】第一步涂A ，有5种涂法， 第二步涂B ，和A 不同色，有4种涂法， 第三步涂C ，和AB 不同色，有3种涂法， 第四步涂D ，和BC 不同色，有3种涂法，
由分步乘法技术原理可知，一共有5433180⨯⨯⨯=种涂色方案， 故选：A.
4．（2021·江苏省外国语学校高二期中）在12n
x ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式
系数最大，则展开式中5x 的系数为（ ） A ．7- B ．35
8
-
C ．
358
D ．7
【答案】D
【解析】因为在12n
x ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，
所以15,82
n
n +==
所以8
12x ⎫⎪⎭的展开式的通项
8
82
18
811,0,1,2,,822r
r
r
r r
r r T C x C x r +-+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令
852
r
+=，得2r
所以展开式中5
x 的系数为2
28
1128=724C ⎛⎫
-=⨯ ⎪⎝⎭
故选：D
5．（2021·江苏东海·高二期中）()()()3
4
9
111x x x +++⋅⋅⋅++展开式中3x 的系数是（ ） A ．80 B ．84
C ．120
D ．210
【答案】D
【解析】()()()349
111x x x +++⋅⋅⋅++的展开式中3x 的系数为
3333333433333343456784456789910210C C C C C C C C C C C C C C C ++++++++=++++==．
故选：D ．
6．（2021·河北大名·高二期中）已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法正确的是（ ） A ．甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.52 B ．乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为0.60 C ．甲地为雨天时，乙地不为雨天的概率为0.32 D ．乙地不为雨天时，甲地也不为雨天的概率为0.60 【答案】B
【解析】设一年中甲地下雨记为事件A ，乙地下雨记为事件B ，则两地同时下雨记为事件AB . 由题意可得：()()()()()
0.25,0.20,0.12,0.75,0.80P A P B P AB P A P B =====. 如图示：
()()()
0.250.120.13,0.200.120.08,10.130.120.080.67P AB P BA P AB =-==-==---=对
于A ：()()()0.12
|0.480.25
P AB P B A P A =
==，故A 错误； 对于B ：()()()0.12
|0.600.20P AB P A B P B =
==，故B 正确； 对于C ：()
()()
0.13|0.5225
P AB
P B A P A =
==，故C 错误；
对于D ：(
)()()
0.67|0.8375
0.80
P AB
P A B P B ===，故D 错误； 故选：B
7．（2021·江苏省邗江中学高二期中）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中． （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=；
（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =．则（ ）
A ．1212,()()p p E E ξξ><
B ．1212,()()p p E E ξξ<>
C ．1212,()()p p E E ξξ>>
D ．1212,()()p p
E E ξξ<<
【答案】A
【解析】放入一个球后：()1417P ξ==，()1327P ξ==，则()14310
12777
E ξ=⨯+⨯=；
放入两个球后：()24
227C 21C 7P ξ===，()1134227C C 42C 7P ξ===，()2
3227C 13C 7
P ξ===，则
()224113
1237777
E ξ=⨯+⨯+⨯=；
所以()()12E E ξξ<.
放入一个球为红球且从甲盒中取1个球是红球的概率为：33
177⨯=；
放入一个球为蓝球且从甲盒中取1个球是红球的概率为：412
727
⨯=；
所以1325777
p =
+=； 放入2个球为两蓝且从甲盒中取1个球是红球的概率为：()21212
137321
P ξ=⨯=⨯=；
放入2个球为一红一蓝且从甲盒中取1个球是红球的概率为：()22428237321
P ξ=⨯
=⨯=； 放入2个球为两红且从甲盒中取1个球是红球的概率为：()211
31177
P ξ=⨯=⨯=；
所以228113
2121721
p =
++=. 所以12p p >.
综上可知12p p >，()()12E E ξξ<. 故选：A.
8．（2021·浙江·学军中学高二期中）设20
29
210
01290121010
10
(12)(1)
(1)x b b x b x b x a a x a x a x x x ++++
+=+++++
++，则9a =（ ）
A ．0
B ．104
C ．10104⋅
D ．10904⋅
【答案】A
【解析】解：由题意得，2021010
01210(12)()(1)
x a a x a x a x x +=+++⋅⋅⋅++290129()b b x b x b x ++++⋅⋅⋅+，
左边19x 的系数为1919
202C ⨯，右边19x 的系数为91010a a +，
所以1919
20910210C a a ⨯=+，
左边20x 的系数为2020
202C ⨯，右边20x 的系数为10a ， 所以2020
20102C a ⨯=，
所以90a =， 故选：A
二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分） 9．（2021·福建省泉州第一中学高二期末）下列说法中，正确的命题是（）
A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1
B ．(23)2()3E X E X +=+，(23)2()D X D X +=
C ．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
D ．已知随机变ξ服从正态分布()2
1,N δ，(3)0.6P ξ<=，则(13)0.1P ξ<<=
【答案】ACD
【解析】解：对于A 选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，正确；
对于B 选项，(23)2()3E X E X +=+，(23)4()D X D X +=，故B 选项错误； 对于C 选项，残差平方和越小的模型拟效果越好，故C 选项正确； 对于D 选项，因为随机变ξ服从正态分布()2
1,N δ，
所以(1)0.5P ξ>=，又因为(3)0.6P ξ<=，所以(13)0.1P ξ<<=，故D 选项正确. 故选：ACD
10．（2021·福建省泉州第一中学高二期末）对任意实数x ，有
9290129(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+
+-.则下列结论成立的是（
）
A ．902a =-
B ．2324a =
C ．9
1294a a a ++⋯+= D ．9012392a a a a a -+-+
-=-
【答案】BD
【解析】A.令1x =，得01a =，故A 错误；
B. ()9
92
90129(32)311(1)(1)(1)x x a a x a x a x ⎡⎤-=-+=+-+-+
+-⎣⎦，
所以含()2
1x -项的系数22
293324a C =⋅=，故B 正确；
C.令2x =，则90129...4a a a a ++++=，所以9
12941a a a ++⋯+-=，故C 错误； D.令0x =，则9
01239...2a a a a a -+-+-=-，故D 正确.
故选：BD
11．（2021·广东阳江·高二期末）设某车间的A 类零件的质量m (单位：kg )服从正态分布()210,N σ，且()10.10.2P m >=.（ ）
A ．若从A 类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10kg 的概率为0.25
B ．若从A 类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9kg 的概率为0.4
C ．若从A 类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg ∼10.1kg 的个数的期望为60
D ．若从A 类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg ∼10.1kg 的个数的方差为24 【答案】ACD
【解析】对于A ，A 类零件中大于10kg 的概率为()100.5P m >=， 所以2个零件质量都大于10kg 的概率为0.50.50.25⨯=，A 正确； 对于B ，A 类零件中小于9.9kg 的概率为()()9.910.10.2P m P m <=>=，
所以3个零件的质量恰有1个小于9.9kg 的概率为()2
1
3
0.210.20.384C ⨯⨯-=，B 错误； 对于C ，A 类零件中质量在9.9kg ~10.1kg 的概率为()1210.10.6P m ->=，零件质量在9.9kg ∼10.1kg 的个数(100,0.6)B ξ
，
所以零件质量在9.9kg ~10.1kg 个数期望为1000.660⨯=，C 正确；
对于D ，由选项C 的信息知，零件质量在9.9kg ~10.1kg 个数的方差为1000.6(10.6)24⨯⨯-=，D 正确； 故选：ACD
12．（2021·江苏镇江·高二期末）一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋内随机抽取卡片，每次抽取一张，随机变量ξ表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的有（ ）
A ．若口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽到红色卡片且第二次抽到黄色卡片的概率为1
4
B ．口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中有放回地抽取6次卡片，则随机变量
26,3B ξ
⎛⎫
⎪⎝⎭
，且8(21)3D ξ-=
C ．若随机变量(6,,)H M N ξ~，且()4E ξ=，则口袋内黄色卡片的张数是红色卡片张数的2倍
D ．随机变量(3,)B p ξ，()22,N ησ-，若(1)0.784P ξ≥=，(24)P p η<<=，则(0)0.1P η<=
【答案】ACD
【解析】对于A ，131
344
P =⨯=，正确；
对于B ，1216
(21)4()46333
D D ξξ-==⨯⨯⨯=，错误；
对于C ，有6()4M
E N ξ=
=，则23
M N =，所以黄卡是红卡数量的2倍，正确；
对于D ，有3(1)10.7840.216p -=-=，得0.4p =，所以12(0)0.12
p
P η-<==，正确； 故选：ACD ．
三、填空题（每题5分，4题共20分）
13．（2021·安徽·定远县育才学校 ）5
11x x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为___________.
【答案】51
【解析】5
11x x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭展开式的通项公式为
555215
555511r
m
r
r m r m
r m r m
r r
r T C x C C
x
C C x
x x -----+--⎛
⎫⎛⎫=⋅+=⋅⋅=⋅⋅ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
.当0,5m r ==时，常数项为1；当1,3m r ==时，得常数项为31
5220C C ⋅=，当2,1m r ==时，得常数项为125430C C ⋅=，所以
展开式中的常数项为1203051++=. 故答案为：51.
14．（2021·福建龙岩·高二期末）若100
2100012100(21)
x a a x a x a x +=++++，则
()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.
【答案】5
【解析】在已知等式中，取1x =得1000121003a a a a ++++=，
取1x =-得0121001a a a a -+-+=， 两式相减得100135992()31a a a a +++=-，
即()100135992334a a a a +++
+-=-，
因为()50
100503494814-=-=+-
0501495010
505050505088884r
r C C C C C -=⋅+⋅+
+⋅+
+⋅+-
0501
49501
5050505088883r
r C C C C -=⋅+⋅+
+⋅+
+⋅-
05014950150505050888885,r r C C C C r N -=⋅+⋅+
+⋅+
+⋅-+∈ 因为050149
501
5050505088888r r C C C C -⋅+⋅++⋅+
+⋅-能被8整除，
所以050149
501
50505050888885r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅-+被8整除的余数为5，
即()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为5，
故答案为：5.
15．（2021·陕西安康 ）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”
为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，则不同的排课方式有__________种． 【答案】1440
【解析】先从剩余5种乐器中任选3种全排列，再将“土”“匏”捆绑与“竹”插入全排的4个空中，
∴共有322
542·
·1440A A A =种． 故答案为：1440
16．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校 ）有下列四个命题： ①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；
②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ③若数据1x ，2x ，
，n x 的平均数为1，则12x ，22x ，
，2n x 的平均数为2；
④对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握越大；
其中真命题的个数为___________. 【答案】3
【解析】根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以①为真命题；由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，所以②为真命题；若数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则122,2,,2n x x x ⋅⋅⋅的平均数也扩大原来的2倍，即平均数为2，所以③为真命题；对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，应该k 越大，判断x 与y 有关系的把握越大，所以④为假命题. 故答案为：3.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（2021·吉林·梅河口市第五中学 ）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
【答案】（1）14%；（2）有99%的把握；（3）答案见解析.
【解析】（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为
70
14%500
=； （2）2
2
500(4027030160)9.96720030070430
K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关； (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，
因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.
18．（2021·山东莱西·高二期末）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品格概率依次为0.6、0.5、0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】（1）0.38；（2）分布列见解析；数学期望值为：0.9. 【解析】（1）第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：
()()()()()()0.510.610.410.50.610.410.510.60.40.38p =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=.
（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为： 10.50.60.3p =⨯=，20.60.50.3p =⨯=，30.40.750.3p =⨯=.
所以1230.3p p p ===,
故随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，且(3,0.3)B ξ.
故()()3
34310.310000P ξ==-=
；()()21
3441C 0.310.310100
P ξ=⋅-==； ()()2
23189C 0.310.321000P ξ=⋅-=
=；()3
270.033100
P ξ===. 所以随机变量ξ的分布列为
故随机变量ξ的数学期望()34344118927
01230.91000100010001000
E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯=. （或者利用二项分布的期望值公式直接得到: ()30.30.9E ξ=⨯=)
19．（2021·河南 ）某开发商拟开发新建一批商业用的门面房，开发商对有意在该地段购买门面房的购房人进行随机调查得到每套门面房的销售单价x （单位：百万元）和销售量y （单位：套）之间的一组数据，如下表所示：
（2）从反馈的信息看购房人对该门面房的心理价位在[]9,11（单位：百万元/套）内，已知该门面房的成本是a 百万元/套()311a ≤<，试探究每套门面房销售单价定为多少时，开发商才能获得最大的利润？（注：利润=销售收入-成本）
附：线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+的系数公式()()
()
i
i
1
2
i
1
ˆn
i n
i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 【答案】（1）ˆ 1.625.8y x =-+；（2）见解析.
【解析】（1）()199.51010.511105x =⨯++++=，()1
111110989.85
y =⨯++++=，
()()()
()()()()
5
i
i
1
5
2
i
1
1 1.20.5 1.200.50.81 1.8ˆ 1.610.2500.251
i i x x y y b x x ==---⨯+-⨯++⨯-+⨯-===-++++-∑∑，
()ˆˆ9.8 1.61025.8a
y bx =-=--⨯=， ∴y 关于x 的回归直线方程为ˆ 1.625.8y
x =-+. （2）由已知得利润()()()2
1.625.8 1.625.8 1.625.8L x a x x a x a =--+=-++-，[]9,11x ∈，
该二次函数图象的对称轴方程为129162
a
x =+. 因为3a ≥，
所以1299162
a
+≥. 当
12911162
a
+≥，即587511a ≤<．时，函数L 在区间[]9,11上单调递增， 所以当11x =时，L 取得最大值； 当
12911162a +<，即35875a ≤<．时，函数L 在区间1299,162a ⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
在129,11162a ⎡⎤
+⎢
⎥⎣⎦
号上单调递减，所以当129162a x =+时，L 取得最大值； 综上所述，当35875
a ≤<．时，该门面房每套销售单价定为129162a ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭百万元时，开发商能获得最大利润；
当5875
11a ≤<．时，该门面房每套销售单价定为11百万元时，开发商能获得最大利润. 20．（2021·福建省泉州第一中学高二期末）某学校组织的“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，规定每位参赛选手共需回答3道问题.现有两种方案供参赛选手任意选择.方案一：只选A 类问题：方案二：第一次A 类问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选A 类问题，回答错误则下一次选B 类问题.A 类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.
已知小明能正确回答A 类问题的概率为1
3，能正确回答B 类问题的概率为23
，且能正确回答
问题的概率与回答次序无关.
（1）求小明采用方案一答题，得分不低于100分的概率： （2）试问：小明选择何种方案参加比赛更加合理？并说明理由. 【答案】（1）
7
27
；（2）小明选择方案二参加比赛更加合理，理由见解析. 【解析】（1）小明采用方案一答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题， 所以其概率为2
3
23
121733327
P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
（2）小明选择方案二参加比赛更加合理.理由如下： 若采用方案一，则其得分X 的可能为取值为0,50,100,150，
()3280327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213211245033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪
⎝⎭，()2
23126210033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，()3
11150327
P X ⎛⎫
===
⎪⎝⎭. 所以X 的概率分布列为
所以X 的数学期望为()42120020050
501001505099279
E X ++=⨯+⨯+⨯
==； 若采用方案二，则其得分Y 的可能为取值为0,30,50,80,100,150， 所以()2112033327P Y ==⨯⨯=，()222212124
30333333279
P Y ==⨯⨯+⨯⨯=
=，()12125033327P Y ==⨯⨯=，()12222188033333327P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()1122
10033327P Y ==⨯⨯=，
()1111
15033327
P Y ==⨯⨯=.
所以Y 的概率分布列为
所以Y 的数学期望为()30508010015053.7272727272727
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=≈， 因为()()E Y E X >，所以小明选择方案二参加比赛更加合理.
21．（2021·湖北·华中师大一附中高二期末）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B 类解答”．为评估此类解答导致的失分情况，某市考试院做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答”的题目，扫描后由近千名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示：
评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．（假设本次考试阅卷老师对满
分为12分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响；考生最终所得到的实际分数按照上述规则所得分数计入，不做四舍五入处理）．
（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B 类解答”，求甲同学此题最终所得到的实际分数X 的分布列及数学期望()E X ；
（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“B 类解答”． ①记乙同学6个题得分为()12345i x x x x x x <<<<的题目个数为i a ，5
16i i a ==∑，计算事件
“233a a +=”的概率．
②同学丙的前四题均为满分，第5题为“B 类解答”，第6题得6分．以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B 类解答”的认识． 【答案】（1）分布列见解析；期望为
321
32；（2）①516
；②答案见解析． 【解析】（1）根据题意，随机变量X 的取值为9，9.5，10，10.5，11． 设一评、二评、仲裁所打的分数分别是x ，y ，z ，
(9)(9,9)(9,11,9)(11,9,9)P X P x y P x y z P x y z ====+===+===111113
24444432
=
⋅+⋅⋅⋅=， 11111
(9.5)(9,10)(10,9)42424
P X P x y P x y ====+===⋅+⋅=，
()()()()()
1
1010,10,10.510,1111,104
P X P x y P X P x y P x y =========+==111115
(11,9,10)(9,2444441611,10)P x y z P x y z +====⋅+=⋅⋅⋅=+==，
(11)(11,11)(9,11,11)(11,9,11)
P X P x y P x y z P x y z ====+===+===11111324444432
=⋅+⋅⋅⋅=， 故X 的分布列为
()99.51010.5113244163232
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）①方法一
事件“233a a +=”可分为20a =，33a =；21a =，32a =；22a =，31a =；23a =，30a =四种情况，其概率为
()()()()232323230,31,22,13,0P a a P a a P a a P a a ==+==+==+==
33333333
3211236
646561111111154242424216
C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
方法二
记“9.5X =或10X =”为事件A ，6次实验中，事件A 发生的次数1~6,2Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，“233a a +=”
相当于事件A 恰好发生3次，故概率为：()33
3236
11532216
P a a C ⎛⎫⎛⎫
+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
②由题意可知：乙同学得分的均值为3211926
6()63232
E X =⋅=，丙同学得分的均值为：3212049
41263232
⨯+
+=． 显然，丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避免“B 类解答”的出现．
22．（2021·江苏连云港·高二期末）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为1
2，且每次投篮的结果相互独立． （1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X 的分布列与期望；
（2）若参与者连续玩()
*
2n n ∈N 局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大
奖．现有n k =和1n k =+两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．
【答案】（1）分布列见解析，3
2
；（2）甲选择1n k =+时，获奖的概率更大，理由见解析.
【解析】（1）由题意知1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()303110C 28
P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2
1
31131228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
()2231132C 228P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3
3311328
P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，
所以X 的分布列为
()322
E X =⨯
=． （2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为311882+=，得1分的概率为131
882
+=，
若选择n k =，此时要能获得大奖，则需2k 次游戏的总得分大于4k ， 设2k 局游戏中，得3分的局数为m ，则()324m k m k +->，即m k >．
易知1~2,2m B k ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
故此时获大奖的概率 ()1
1
2
2
2122122211111C C
C 22222k k k k k
k k k k
k
k
P P m k +-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=⨯⨯+⨯⨯+
+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
()21
222221C
C
C 2k
k k k k
k
k
++⎛⎫
=++
+⨯ ⎪⎝⎭
()2012222211C C C C 2
2k
k k k k k
k
⎛⎫
=+++-⨯ ⎪⎝⎭
()22211222k
k k k C ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭
221122
k k k C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
同理可以求出当1n k =+，获大奖的概率为1
22
222C 1122k k k P +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭
因为()()()()()()()()()
()2222112222222!C 4!!41214C 2122!C C 22212121!1!k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++==
==>++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
所以1222
222
22k k k k k k C C +++>，则12P P <
答：甲选择1n k =+时，获奖的概率更大。