四川省南充高级中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案

数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分)
一、选择题:本大题共16个小题,每小题4分,共64分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1. 已知函数21i
z i
=+,则z 的共轭复数z 是（ ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．i
D ．i -
2. 设集合{}{}2
2,0,2,4,|230A B x x x =-=--<,则A B =（
)
A ．{}0
B ．{}2
C ．{}0,2
D ．{}0,2,4
3。

下列函数是奇函数的是( )
A ．()f x x =-
B ．()22x
x f x -=+
C ．()()()lg 1lg 1f x x x =+--
D ．()3
1f x x =-
4。

函数()()2
ln 2f x x
=+的图象大致是(
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5. 设0a >，将
2
3
2
a
a
表示成分数指数幂， 其结果是（ )
A ．12
a B ．32
a C ．56
a D ．76
a
6。

函数()32
x
f x x =+的零点所在区间为( ）
A ．()0,1
B ．()1,0-
C ．()1,2
D ．()2,1-- 7. 2231
111dx x x
x ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭⎰
（ ）
A ．7ln 28+
B ．7ln 22
- C ．5ln 28
-
D ．17ln 28
-
8。

设()2
11111...123S n n n n n n
=+
+++++++,则（ )
A ．()S n 共有n 项, 当2n =时， ()11223S =+
B ．()S n 共有1n +项， 当2n =时, ()1112234S =++
C ．()S n 共有2
n
n -项,
当2n =时， ()1112234S =++
D ．()S n 共有2
1n
n -+项,
当2n =时， ()1112234
S =++
9。

一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有( )种不同的坐法 A ．7200 B ．3600 C ．2400
D ．1200
10。

若函数()()2
ln 0f x x x x =>的极值点是α，函数()()2ln 0g x x x x =>的极值
点是β,则有 ( )
A ．αβ<
B ．αβ>
C ．αβ=
D ．α与β的大小不确定 11。

已知函数()4
3123,2
f x x
x m x R =-+∈，若()90f x +≥恒成立， 则实数m 的
取值范围是( )
A ．32m ≥
B ．32
m > C ．32
m ≤
D ．32
m <
12。

如图， 阴影部分的面积是( )
A ．23
B ．23-
C ．323
D ．353
13. 用数学归纳法证明不等式“
()11113 (212224)
n n n n +++>>++" 时的过程中,
由n k =到1n k =+时, 不等式的左边（ ) A ．增加了一项()1
21k +
B ．增加了两项()
11
2121k k +
++ C ．增加了一项()
1
21k +,又减少了一项11k +
D ．增加了两项
()
11
2121k k +
++,又减少了一项11k + 14. 对于函数()3
23f x x
x =-,给出下列四个命题:①()f x 是增函数，
无极值；②()f x 是减函数,有极值；
③()f x 在区间(],0-∞及[)2,+∞上是增函数；④()f x 有极大值为0，极小值
4-；其中正确命题的个数为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
15。

如图是函数()3
2f x x
bx cx d =+++的大致图象， 则2
21
2x
x +=（ ）
A ．23
B ．43
C ．83
D ．123
16。

当[]2,1x ∈-时， 不等式3
2430ax x x -++≥恒成立， 则实数a 的取值范
围是（ ）
A ．[]5,3--
B ．96,8⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦
C ．[]6,2--
D ．[]4,3--
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(每题4分,满分16分，将答案填在答题纸上) 17。

计算()()45658
889420!A
A A A +÷-⨯=
．
18。

若复数()()2
222z a a a a i =-+--为纯虚数,
则实数a 的值等
于 ． 19。

函数()3
31f x x x =-+在闭区间[]3,0-上的最大值是
最小值
为 ．
20。

若函数()2
41
x
f x x =
+在区中(),21m m +上是单调递增函数, 则实数m 的
取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
21。

（本小题满分10分)求值：22
3
2log lg 2lg5278-+
⎛⎫
⎪⎝⎭
22。

(本小题满分12分)设()3
221f x x
ax bx =+++的导数为()'f x ，
若函数()'y f x =
的图象关于直线12
x =-对称，
且()'10f =。

（1）实数,a b 的值; (2）求函数()f x 的极值.
23。

(本小题满分12分）对于函数()()2
21
x
f x a a R =-
∈+。

（1）判断函数()f x 的单调性， 并用定义证明；
(2)是否存在实数a ,使函数()f x 的奇函数?若有, 求出实数a 的值, 并证明你的结论；若没有,说明理由。

24。

(本小题满分12分)设0t ≠,点(),0P t 是函数()3
f x x ax =+与()2
g x bx c =+的
图象的一个公共点， 两函数的图象在点P 处有相同的切线.
（1)用t 表示,,a b c ；
(2）若函数()()y f x g x =-在()1,3上单调递减, 求t 的取值范围。

25. （本小题满分12分）如图， 设铁路AB 长为80,BC AB ⊥，且10BC =，为将货物从A 运往C ,现在AB 上的距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4. （1)将总运费y 表示为x 的函数； （2）如何选点M 才使总运费最小?
26。

（本小题满分12分已知函数()()2
43,52f x x
x a g x mx m =-++=+-。

(1）若()y f x =在[]1,1-上存在零点， 求实数a 的取值范围；
（2)当0a =时， 若对任意的[]1
1,4x ∈,总存在[]2
1,4x ∈使()()1
2
f x
g x =成立, 求
实数m 的取值范围。

四川省南充高级中学2015—2016学年高二下学期期末考试
数学（理）试题参考答案
一、选择题
1—5. ACCDC 6-10.BADAB 11-15。

A CDBC 16. C 二、填空题
17。

4 18。

0 19。

3 、17- 20。

10m -<≤ 三、解答题 21。

解：6
131442log lg 52lg101122399⎛⎫⎛⎫
+
=⨯-+⨯=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（2)由(1)知()()()()3
2223121,'6612612f x x
x x f x x x x x =+-+=+-=-+。

令()'0f x =,
得1x =或2x =-，当(),2x ∈-∞-时，()()'0,f x f x > 在(),2-∞-上是增函数， 当
()2,1x ∈-时,()()'0,f x f x <
在()2,1-上是减函数, 当()1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x > 在
()1,,+∞上是增函数，
从而()f x 在2x =-处取到极大值()221f -=， 在1x =处取到极小值()16f =-。

23。

解：（1)函数()f x 在R 为增函数，证明如下，任取1
2,x
x <则2122x x >，
则有()()()()
12
1
2122202121x x x x f x f x --=>++，即()()12f x f x >，所以,函数()f x 在R 为增函数.
（2）由()0
2
0021
f a =-
=+，得()()221211,1,212121x x x x x a f x f x --=∴=-=-=+++()1221
1221
x x x
x f x --==-=-++，经验证，当1a =时,()f x 为奇函数。

24。

(1) 解:因为函数()(),f x g x 的图象都过点()(),0,0t f t ∴=,即3
0,0t at t +=≠，
所以()2
0a t
g x =-=,即20,bt c c ab +=∴=,又因为
()(),f x g x 在点(),0t 处有相同的
切线， 所以()()''f t g t =.而()()2
2'3,'2,32f x x a g x bx t a bt =+=∴+=。

将2a t =-代入上
式得b t =。

因此3
c ab t =-.故2
3,,a t
b t
c t =-==-。

（2）()()()()3
22322,'323y f x g x x
tx t x t y x tx t x t x t =-=--+=--=+-。

当()()'30y x t x t =+-<时， 函数()()y f x g x =-单调递减. 由'0y <，若0t >,则
3t x t -<<；若0t <,则3
t
t x <<-。

由题意, 函数()()y f x g x =-在()1,3-上单调递
减， 则()1,3,3t t ⎛⎫-⊂- ⎪⎝⎭
或()1,3,3t t ⎛
⎫-⊂- ⎪
⎝
⎭。

所以3t ≥或33
t -≥。

即9t ≤-或3t ≥。

∴t 的取值范围(][),93,-∞-+∞。

25.解：（1）依题中，铁路AB 长为80,BC AB ⊥,且10BC =,将货物从A 运往C ，现在AB 上的距点B 为x 的点M 处修一公路至C ,且单位距离的铁路运费为2，公路运费为4.∴铁路AM 上的运费为()280x -，公路MC 上的运费为
A 到C 的总运费为(()280080y x x =-+≤≤。

（2）)
'2080y x =-≤≤，令'0y =,解得x =或x =舍). 当0
x ≤≤时，'0y ≤ 80x ≤≤时，'0y ≥ ；故当x =,y 取得最小
值, 即当在距离点B
M 处修筑公路至C 时总运费最省。

26。

（1） 解：因为函数()2
43f x x
x a =-++的对称轴是2x =，所以()f x 在
区间[]1,1-上是减函数， 因为函数在区间[]1,1-上存在零点， 则必有：
()()10
10
f f ≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩即080a a ≤⎧⎨
+≥⎩，解得80a -≤≤，故所求实数a 的取值范围[]8,0-。

(2）若对任意的[]1
1,4x ∈,总存在[]2
1,4x ∈使()()1
2
f x
g x =成立， 只需函数
()y f x =的值域为函数()y g x =的值域为子集。

()[]243,1,4f x x x x =-+∈ 的值域
为[]1,3-，下求()52g x mx m =+-的值域. ① 当0m =时, ()52g x mx m =+-为常数, 不符合题意舍去;②当0m >时，()g x 的值域为[]5,52m m -+，要使
[][]1,35,52m m -⊆-+，需51
523m m -≤-⎧⎨+≥⎩
,解得6m ≥。

③当0m <时,()g x 的值域为
[]52,5m m +-,要使[][]1,352,5m m -⊆+-，需521
53
m m +≤-⎧⎨
-≥⎩,解得3m ≤-。

综上， m 的取值范围(][),36,-∞-+∞.。