数学同步优化指导(湘教选修12)练习：5.2.2 间接证明：反证法 活页作业9 Word含解析

活页作业(九) 间接证明：反证法
1．对反证法的理解，下列说法错误的是( )
A ．命题条件不变，先假定结论错误，再推出矛盾
B ．要证“若p 则q ”，只需假设q 的否定为真，再推出矛盾
C ．要证“若p 则q ”，只需证“若q 的否定正确则p 的否定正确”
D ．要证一个命题为真，只需证其否命题为假
解析 选项A ，B ，C 均正确，用反证法证明命题时，是证明其否定为假，而D 为证其否命题为假，故错误．
答案：D
2．用反证法证明命题：“若a ，b ，c 为不全相等的实数，且a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c 至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是( )
A ．a ，b ，c 都大于0
B ．a ，b ，c 都是非负数
C ．a ，b ，c 至多两个负数
D ．a ，b ，c 至多一个负数
解析 “a ，b ，c 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c 都是非负数”．由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a ，b ，c 都是非负数”．
答案：B
3．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是( )
A ．四个内角都大于90°
B ．四个内角中有一个大于90°
C ．四个内角都小于90°
D ．四个内角中有一个小于90°
解析 用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”，即“凸四边形的四个内角都小于90°”．
答案：C
4．设a ，b ，c 为正数，p ＝a ＋1b ，q ＝b ＋1c ，r ＝c ＋1a
，则下列说法正确的是( ) A ．p ，q ，r 都不大于2
B ．p ，q ，r 都不小于2
C ．p ，q ，r 至少有一个不小于2
D ．p ，q ，r 至少有一个不大于2
解析 (反证法)假设p ，q ，r 三个数均小于2，
即p ＜2，q ＜2，r ＜2.
则p ＋q ＋r ＜6. ①
又p ＋q ＋r ＝a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝
⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b
＋2c ·1c
＝6. 即p ＋q ＋r ≥6 ②，
∴①②矛盾，假设不成立．
∴p ，q ，r 三个数至少有一个不小于2.
答案：C
5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.
上述步骤的正确顺序为________.
解析 由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案：③①②
6．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为________________. 解析 由结论为：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”，可得反设的内容是假设a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数．
答案：a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数
7．如图，在正方体ABCD _A 1B 1C 1D 1中，点M 是A 1D 1的中点，点N 是CD 的中点，用反证法证明直线BM 与直线A 1N 是两条异面直线．
证明：假设直线BM 与A 1N 共面．
则A 1D 1⊂平面A 1BND 1，
且平面A 1BND 1∩平面ABCD ＝BN .
由正方体特征知A 1D 1∥平面ABCD ，故A 1D 1∥BN .
又A 1D 1∥BC ，所以BN ∥BC ．
这与BN ∩BC ＝B 矛盾，故假设不成立．
所以直线BM 与直线A 1N 是两条异面直线．
8．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .
(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
证明：(1)∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .
∵函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴f (a )≥f (－b )．
同理可得f (b )≥f (－a )．
两式相加，得f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．
(2)逆命题：
若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.
用反证法证明：
假设a ＋b ＜0，
那么⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＜0⇒a ＜－b ⇒f (a )＜f (－b )，a ＋b ＜0⇒b ＜－a ⇒f (b )＜f (－a ). 所以f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．
这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾．
故a ＋b ≥0.逆命题得证．
1．要证明不等式3＋7＜25，可选择的方法有( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．反证法
D ．以上三种方法均可
解析 用分析法证明如下：要证明3＋7＜25，
需证(3＋7)2＜ (25)2，即证10＋221＜20， 即证21＜5，即证21＜25，显然成立．
故原结论成立．
综合法：∵(3＋7)2－(25)2＝10＋221－20＝2(21－5)＜0，∴3＋7＜2 5. 反证法：假设3＋7≥25，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．
从以上证法中，可知三种方法均可．
答案：D
2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且当f (k )≥2k (k ≥2，k ∈N ＋)时，总有f (k －1)≥2k －1成立，则下列命题中为真命题的是( )
A ．若f (1)≥2，则f (n )≥2n
B ．若f (4)＜16，则f (n )＜2n
C ．若f (4)≥16，则当n ≥4时，f (n )≥2n
D ．若f (1)＜2，则f (n )＜2n
解析 假设f (n )＜2n 不成立，则f (n )≥2n .根据递推条件得f (n －1)≥2n －
1，…f (2)≥22，f (1)≥2成立，与f (1)＜2，矛盾．故假设不成立．
故若f (1)＜2，则f (n )＜2n 成立，即D 是真命题．
答案：D
3．编号分别为1至6的六名歌手参加歌唱比赛，组委会只设一名特等奖，观众甲、乙、丙、丁四人对特等奖获得者进行预测，甲：不是1号就是2号；乙：不可能是3号；丙：不可能是4,5,6号；丁：是4,5,6号中的一个．若四人中只有一人预测正确，则获特等奖的是________.
解析 丙对，获特等奖的是3号．
原因如下：
因为只有一个人猜对，而丙和丁互相否定，所以丙和丁中有一人猜对．
假设丁对，则推出乙也对，与题设矛盾，所以丁猜错了，因此猜对者一定是丙．于是乙猜错了，获特等奖的是3号．
答案：3号
4．已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0中有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于____________.
解析 (1)若①正确，则②③不正确．由③不正确得c ＝0，由①正确得a ＝1，所以b ＝
2.与②不正确矛盾，故①不正确．(2)若②正确，则①③不正确．由①不正确得a ＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(3)若③正确，则①②不正确．由①不正确得a ＝2，由②不正确及③正确得b ＝0，c ＝1.此时100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.
答案：201
5．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d ≠0.
(1)若a 1＝1，且数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n a n 是等差数列，求数列{a n }的通项公式． (2)证明：1，3，2不可能是等差数列{a n }中的三项．
(1)解 ∵数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n a n 是等差数列， ∴2×S 2a 2＝S 1a 1＋S 3a 3
.
∴2(2＋d )1＋d ＝1＋3＋3d 1＋2d
.化简得d 2－d ＝0. ∵d ≠0，∴d ＝1.
∴a n ＝1＋(n －1)＝n .
(2)证明：假设1，3，2分别为等差数列{a n }中第m ，n ，r 项，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a 1＋(m －1)d ，3＝a 1＋(n －1`)d ，
2＝a 1＋(r －1)d .
解得3－1＝n －m r －m
. ∵m ，n ，r 为正整数， ∴上式左端为无理数，右端为有理数．
故等式不能成立．因此，假设不成立．
∴1，3，2不可能为等差数列{a n }中的三项．
6．对于直线l ：y ＝kx ＋1，是否存在实数k ，使直线l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A ，B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
解 不存在．理由如下：
假设存在实数k ，使得点A ，B 关于直线y ＝ax 对称．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ ka ＝－1，①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2，②y 1＋y 22＝a ·x 1＋x 22.③
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0.④ 由②③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2.⑤
由④得x 1＋x 2＝2k 3－k 2
. 代入⑤整理得ak ＝3，与①矛盾．故不存在实数k ，使得点A ，B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称．。