湖南省大学生物理竞赛试卷及答案

湖南省第4届大学生物理竞赛试卷
2０11年5月14日 时间：１50分钟 满分１20分
一、 选择题 （每题3分,共１8分)
１.设某种气体的分子速率分布函数为)(v f ，则速率在1v ~2v 内的分子的平均速率为（ )。

(A) ⎰21
)(v v v d v vf ； (B ） ⎰2
1
)(v v v d v f v ；
(C ） ⎰
⎰2
1
2
1
)()(v v v v v d v f v
d v vf ; (D) ⎰
⎰∞
)()(2
1
v d v f v
d v f v v 。

２. 如图所示带负电的粒子束垂直地射入两磁铁之间的水平磁场,则( )。

（A ） 粒子向N 极移动； (B ） 粒子向S 极移动; (C ） 粒子向下偏转; (D) 粒子向上偏转。

3.如图所示,一个带电量为 q 的点电荷位于立方体的 A 角上,则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于（ )。

A 、 06εq ；
B 、012εq
; C 、
024εq ； D 、0
48εq。

4. 如图a 所示， 一光学平板玻璃 Ａ 与待测元件 Ｂ 之间形成空气劈尖，用波长 nm 500=λ 的单色光垂直照射，看到的反射光的干涉条纹如图b 所示,有些条纹弯曲部分的顶点恰好于其右边条纹的直线部分的切线相切,则工件的上表面缺陷是 ( ) 。

（A ） 不平处为凸起纹，最大高度为nm 500; （B ） 不平处为凸起纹,最大高度为nm 250；
A
q
c
b d
a
（C ） 不平处为凹槽,最大高度为nm 500； （D ） 不平处为凹槽,最大高度为nm 250。

5. 在图示三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射,在反射光中看到干涉条纹,则在接触点Ｐ处形成的圆斑为( ) 。

（A) 全明; (Ｂ) 全暗; （C) 右半部明，左半部暗; (D) 右半部暗,左半部明。

6. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a
x
a
x 23cos
1)(πψ⋅=
)(a x a ≤≤-
那么粒子在6/5a x =处出现的几率密度为（ ）。

(Ａ) )2/(1a ； (Ｂ） a /1 ； (C) a 2/1 ； (D)
a /1 。

二、填空题(每题3分，共2１分)
1. 一匀质细杆长为l ，质量为m ,杆两端用线吊起,保持水平,现有一条线突然断开,则断开瞬间另一条线的张力为 。

2． 图示两条曲线分别表示氦、氧两种气体在相同温度T 时分子按速率的分布,其中曲线 1 表示 _ _气分子的速率分布曲线,曲线 2 表示 ＿＿ _ 气分子的速率分布曲线。

3． 一氧气瓶的容积为V ,充入氧气的压强为1P ,用了一段时间后压强降为2P ,则瓶中剩下的氧气的内能与未用前氧气的内能之比为 。

v
f(v)
1
2
I a
l V
A B
4. 长直导线中通有电流I，长L的金属棒AB以速度V平行于长直导线作匀速运动。

棒近导线一端与导线的距离为a,则金属棒中的感应电动势
i
ε的大小
为,
i
ε的方向为。

5．电荷线密度为
1
λ的无限长均匀带电直
线，其旁垂直放置电荷线密度为
2
λ的有限
长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内，则
AB所受静电作用力的大小F
＝。

6.三个偏振片
1
P、2P与3P堆叠在一起,1P与3P的偏振化方向相互垂直，2P与1P的偏振化方向间的夹角为
30，强度为0I的自然光垂直入射于偏振片1P，并依次透过偏
振片
1
P、2P与3P,若不考虑偏振片的吸收和反射，则通过三个偏振片后的光强为。

7.如果一个光子的能量和一个德布罗意波长为λ的电子的总能量相等，设电子静
止质量为
e
m，则光子的波长为。

三、简答题（共14分）
1. 红外线是否适宜于用来观察康普顿效应，为什么? （红外线波长的数量级为
5 10
A，电子静止质量31
10
11
.9-
⨯
=
e
mｋg,普朗克常量s
J
10
63
.634⋅
⨯
=-
h) (本题5分)
2. 假定在实验室中测得静止在实验室中的+μ子(不稳定的粒子）的寿命为
6
10
2.2-
⨯s，而当它相对于实验室运动时实验室中测得它的寿命为5
10
63
.1-
⨯ｓ.试问：这两个测量结果符合相对论的什么结论? +μ子相对于实验室的速度是真空中光速c的多少倍?(本题5分)
３. 为什么窗玻璃在日光照射下我们观察不到干涉条纹？（本题4分）
四、计算题
(1至５小题每题1０分，第6小题７分,共5７分）
1． 在高处自由下落一个物体,质量为m ,空气阻力为2kv -，落地时速度为m v ,问物体从多高处落下？
2. 一半径为R ,质量为m 的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。

设盘与桌面间的摩擦系数为μ,令圆盘最初以角速度0ω绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它将经过多少时间才停止转动?
3． 在半径为R 的圆柱形区域中有沿轴向的均匀磁场,
磁感应强度满足kt
e B B -=0 ，有一根长度也是R 的金属杆放在圆
柱内,其两端与柱面的壁相接,并处在与磁感线垂直的方向上,试求出：
(1）在柱形区域内,涡旋电场强度E ; (2)在金属杆上,感应电动势ε。

4. 轴在同一水平面上的两个相同的圆柱体， 两轴相距
L 2，它们以相同的角速度ω相向转动。

一质量为 m 的木
板搁在两圆柱体上 , 木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为μ。

问木板偏离对称位置后将如何运动？周期为多少?
5. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E
垂直于地面向下，
大小约为C /N 100;在离地面km .51高的地方，E
也是垂直于地面向下的,大小约为
C /N 25。

(1) 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；
（２） 假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生,求地面上的电荷面密度。

(已知:212120m N C 10858---⋅⋅⨯=.ε）
6. 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱运动时,其德布罗意波在阱内形成驻波,试
ω
ω
L
2
利用这一关系导出粒子在阱中的能量计算式。

(本题７分) 五、证明题（1０分)
定体摩尔热容量V C 为常量的某理想气体,经历如图所示的pV 平面上的两个循环过程1111A C B A 和2222A C B A ,相应的效率分别为1η和2η，试证1η与2η相等。

湖南省第3届大学生物理竞赛试
卷
1
2
2.（本题１5分）是给出5种测量温度的方法,并简述每种方法的实验原理。

2010年湖南大学物理竞赛卷答案一、填空题(每题4分共40分) １. h1v ／(h１h2)
2. mgl μ21 参考解: M =⎰M d ＝()mgl r r l gm l μμ2
1
d /0=⎰
3． (１) AM ， (2) AM 、BM ４. 半径为R 的无限长均匀带电圆柱面 ５. ωλB R 3
π 在图面中向上 6．
)
2/cos(/d d π+==t A NbB t x NbB ωω或
t NBbA ωωsin =
7. t E R d /d 2
0πε
8． ２91 Ｈz 或30９ Ｈｚ
9. }]/)1([cos{φω+++=u x t A y (SI) １0. 平行或接近平行
二、计算题（每题１0分共80分）
1. 解：分别取m 1和链条ｍ为研究对象，坐标如图． 设链条在桌边悬挂部分为x ， a m T g m 11=-, ma l xgm T =-/，
解出)/1(2
1l x g a -= 2分
当链条刚刚全部滑到桌面时ｘ ＝ 0,a ==g 2
1 4．9 ｍ/s 2
１分
x
t x x t a d d d d d d d d v
v
v v -=⋅==
1分 x l x g x a d )/1(2
1d d --=-=v v 2分
两边积分 ⎰⎰--=0
02
d )1(d 2l x l x
g v v v 2分
22
222)4/3(/2
1gl l gl gl =-=v
==232
1gl v 1.21 m/ｓ 2分
（也可用机械能守恒解v ）
2． 解：(1） 选细棒、泥团为系统．泥团击中后其转动惯量为 ()()2
24/33
1l m Ml J +=
2分 在泥团与细棒碰撞过程中对轴O 的角动量守恒
()ωαJ l m =⋅cos 4/30v 2分 ∴ ()()l m M m ml Ml l m 2716cos 36169314/3cos 02
20+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅=
α
αωv v 2分 (２) 选泥团、细棒和地球为系统，在摆起过程中,机械能守恒.
()()()θθωcos 14/3cos 12
1
212-+-=mgl Mgl J 2分
()mgl Mgl ml Ml 4
321)169
31(21cos 12
22++=-ωθ
∴ ()()⎥
⎦⎤⎢⎣⎡++-=-g m M l m M 724827161cos 21ωθ()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-=-gl m M m M m 271632cos 541cos 22
021αv ２分 ３． 解：(1) 系统开始处于标准状态a ,活塞从Ⅰ→Ⅲ为绝热压缩过程,终态为ｂ; 活塞从Ⅲ→Ⅱ为等压膨
胀过程，终态为c ;活塞从Ⅱ→Ⅰ为绝热膨胀过程,终态为d ；除去绝热材料
系统恢复至原态a ,该过程为等体过程。

该循环过程在p -V 图上对应的曲线如图所示。

图３分
（2） 由题意可知 p ａ=1.0１3×105 Pa ,
V a =3×１0－3m 3, T a = 273Ｋ，
V b ＝1×10-3m 3， Ｖc ＝２×１0-3ｍ3
. ab 为绝热过程，据绝热过程方程 )5/7(,11==--γγγb b a a V T V T ，得
K 424)(
1
==-a b
a b T V V T γ 1分 b ｃ为等压过程,据等压过程方程 T ｂ ／ Ｖb = T ｃ / V c
得
848==
b
b
c c V T V T K 1分 c ｄ为绝热过程，据绝热过程方程 )(,11a
d d d c c V V V T V T ==--γγ,得
K 721)(1
==-c d
c d T V V T γ 1分
(3) 在本题循环过程中ab 和ｃｄ为绝热过程，不与外界交换热量; ｂｃ为等压膨胀过程，吸收热量为 Ｑbc =νC ｐ(Ｔc －Ｔｂ）
式中R C p 2
7
=
.又据理想气体状态方程有p ａV a = νＲT ａ
，可得
J 1065.1)(273⨯=-⋅=b c a
a a bc T T T V
p Q 2分
da 为等体降温过程，放出热量为
)(a d V da T T C Q -=νJ 1024.1)(252⨯=-⋅=
a d a
a a T T T V p 2分 ４. 解:(1) 设两球壳上分别带电荷＋Q 和-Q ,则其间电位移的大小为 D =Q / （4r 2
) 两层介质中的场强大小分别为
E 1 ＝ Ｑ / （40 r 1ｒ2
） １分
E 2 = Q / (40 ｒ2r 2
) １分 在两层介质中场强最大处在各自内表面处，即
E 1M ＝ Q ／ （４
ｒ1
21R )， E 2M = Q / (４
r ２
R 2)
两者比较可得 (
)
(
)
2
12
2
112
2212///R R R R E E r r M M ==εε
已知R 2<2Ｒ1，可得E 1Ｍ＜E 2Ｍ，可见外层介质先击穿. 3分
(2) 当外层介质中最大场强达击穿电场强度E Ｍ时,球壳上有最大电荷．
Q M = 40ｒ2Ｒ2
E M 2分
此时，两球壳间电压(即最高电压)为 ⎰⎰
⋅+⋅=
21
d d 2112R R R
R r E r E U
⎰
⎰π+π=
2
122
0210d 4d 4R R
r M R
R r M r
r
Q r r Q εεεε V
p O
a
d
c b V b V c V a
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+-=2221
112R R R R R R RE r r M r εεε 3分 ５． 解:当线框的一部分进入磁场后，线框内产生动生电动势和感应电流Ｉ.因为有自感且线框电阻忽略,所
以线框内感应电流Ｉ的微分方程是:
v a B t I
L
0d d = ① 2分 线框的运动方程为： I v
a B t m 0d d -= ② 2分
联立方程得: 0d d 2
2
2=+v v ωt 1分 其中 mL
a
B 0=ω 1分
∴ t c t c ωωcos sin 21+=v １分
当 t = ０时，v = ｖ0 ∴ c 2 = v 0 且因t = 0时,I ＝0 ∴ c 1 =０
∴ t ωcos 0v v = 1分 线框沿ｘ方向移动的距离为: t x ωω
sin 0
v =
2分
如用能量方法解,则对应于① ②两式评分如下:
22202
12121LI m m +=v v 2分 把上式两边对时间求导,得 0d d d d =+t I LI t m v ∵ v a B t I
L 0d d = 2分 代入上式得 0d d 0=+a IB t
m v
１分 ６. 解：设入射波的表达式为 )22cos(1φλ
ν+π-π=x
t A y １分
则反射波的表达式为 ])8
7
2(22cos[2φλλν+-⨯π
-
π=x t A y )2
3
22cos(φλν+π-π+π=x t A 3分
驻波的表达式为 21y y y +=)4
3
2cos()432cos(2φνλ+π-ππ-π=t x A 1分
在t = 0时，ｘ = 0处，有y = ０和 （ d y ／ d t ) ＜ 0,故得: 0)4/3cos(
)4/3cos(2=π-π-φA 0)4/3sin()4/3cos(22<π-π-⋅π-φνA
由上两式求得 = /4 ２分
B 点（λ2
1
=
x ）的振动方程为 )π4
1π43π2cos()π4321π2cos(2+--=t A y B νλλ
)2
1
2cos(2π-π=t A νt A νπ=2sin 2 3分
B
7. 解：(1) 斜入射时的光栅方程
λθk i d d =-sin sin ， k = ０,±1,±2，… ３分 规定i 从光栅Ｇ的法线n －n 起,逆时针方向为正；从光栅G 的法线n －n 起，逆时针方向为正. (2) 对应于i ＝ 3０°,设 = 9０°,
k = ｋm ａx1，则有
λ1max 30sin 90sin k d d =︒-︒
)30sin 90)(sin /(1max ︒-︒=d d k λ＝ 2.10
取整 k max1 =
2． 2分 （3) 对应于i = 30°,设 = -90°， k ＝ ｋｍax2, 则有 λ2max 30sin )90sin(k d d =︒-︒-
]30sin )90)[sin(/(2max ︒-︒-=d d k λ = - ６．30
取整 k ｍａx １ ＝ -６. 2分 （4） 但因 d / a = ３,所以,第-６,-３,… 级谱线缺级. 2分 (５) 综上所述，能看到以下各级光谱线：
-5,-4，-2，－１,０,1，2，共７条光谱线. １分
８. 解：设粒子A 的速度为A v ，粒子B 的速度为B v
,合成粒子的运动速度为V .由动量守恒得
2
20220220/1/1/1c
V V
M c m c m B B A A -=-+-
v v v v ２分 因1v v v ==B A ,且B A v v
-=,所以 0=V ． ２分
即合成粒子是静止的.由能量守恒得
202
2202
220/1/1c M c c m c c m =-+
-v v 3分
解出 2
2
00/12c
m M v -=
3分
湖南省第一届大学生物理竞赛试题
20０8年4月２6日 时间：１50分钟 满分120分
一、填空题（每空３分,共3６分）
１.一质点作直线运动,加速度为t A a ωωsin 2
=,已知0=t 时，质点的初始状态为00=x ,A v ω-=0，
则该质点的运动方程为 。

2．用波长为4００-76０n ｍ的白光垂直照射衍射光栅，其衍射光谱的第2级和第3级重叠,则第2级光谱被重叠部分的波长范围为 。

3．一远洋货轮在北冰洋中夜航，发出波长为589.3ｎm 的脉冲激光束，并用激光探测仪接收前方障碍物的反射光束。

若货轮航线的正前方有一漂浮的冰山，该冰山在洋面上的最大高度为10ｍ，最大宽度为５0ｍ。

设探测仪镜头的直径为 1.0c ｍ,当探测仪恰能显示冰山浮出洋面上的大致轮廓时,货轮距冰山的距离为 ｍ。

4.如图,A 、B 为两相干波源，相距4m,波长为1m,一探测仪由A 点出发沿x 轴移动,第一次探测到强度极大值时移动的距离为 m 。

θ G L 2 C
n
i d sin θ
d sin i
屏
第k 级谱线
光栅 透镜
5．将温度为1T 的1ｍol 2H 和温度为2T 的１mol He 相混合,在混合过程中与外界不发生任何能量交换,
若这两种气体均可视为理想气体,则达到平衡后混合气体的温度为 。

6.设高温热源的绝对温度是低温热源的n 倍，则在一个卡诺循环中,气体将把从高温热源吸收热量的 倍放给低温热源。

7．中空球形静电高压金属电极球面半径为R ，电势为U ，其表面有一面积为S ∆的极小锈孔,则球心处电场强度的大小为 。

8．为测定音叉C 的频率，另选取两个频率已知而且和音叉C 频率相近的音叉A 和B ,音叉A 的频率为40０Ｈｚ，B 的频率为397 H ｚ。

若使A 和C 同时振动，则每秒听到声音加强2次;再使B 和C 同时振动,每秒可听到声音加强1次,由此可知音叉C 的振动频率为 H ｚ。

９．在实验室中观察一高速运动粒子，测得其速度为0.８c ，飞行３m 后衰变，则该粒子的固有寿命为 s 。

１０．在宽度为a 的一维无限深势阱中运动的粒子，当量子数∞→n 时,距势阱左壁4
a
宽度内发现粒子的概率为 。

11.厚度为2d 的无限大导体平板，沿与板平行的方向均匀通以电流,电流密度为j ，则板内距对称面为x 处磁感应强度的大小为 。

１２．实验测得太阳垂直射到地球表面的平均能流密度为3
104.1⨯J ·m -2·s -1,已知太阳到地球的平均距离为11
105.1⨯m ，则每秒钟太阳因辐射而损失的质量为 kg 。

二、证明题（每空5分，共１0分)
1.证明：对于一个作圆周运动的微观粒子,π
θ4h
L ≥
∆∆(其中L 为角动量，θ为角位置）。

２．证明:在同一V P -图上,一定量理想气体的一条绝热线与一条等温线不能相交于两点。

三、实验题(每空5分，共10分)
注:要求简略地说明实验原理，列出实验仪器并阐明实验方法和步骤
１.试设计一个实验,测量太阳的表面温度
2．试设计一个实验，确定半导体的类型及载流子浓度 四、论述题(每空５分,共10分)
1.现代宇宙学的研究表明：任何行星形成之初，原始大气中都应有相当数量的2H 和He ,但是现在地球大气中的主要成分却是2N 和2O ,几乎没有2H 和He ,试解释其原因（大气平均温度290°K)。

2．在严寒的冬日，行驶的列车车窗玻璃上凝结一层薄冰膜。

（１)乘客发现原本白色的车窗呈现绿色，这是什么原因？ (画出简图说明），并估算此膜的最小厚度；
（2）行驶一段距离后，玻璃又呈现黄色，则冰膜的厚度如何变化，并估算其厚度的最小变化值。

（绿光波长500n ｍ，黄光波长5９0nm,冰的折射率1.３3，玻璃的折射率1.５。

） 五、计算题(共５４分。

其中１、2、3题每题8分；４、5、6题每题１０分)
1．两根平行放置的直导线长为L ，相距为d ,设两导线均通以强度为I 的电流,求相互作用力的大小。

２.一圆柱形电容器,外导体的内半径为０．04m,内导体的半径可自由选择，中间充满击穿场强为7
102⨯Ｖ
/m 的介质,问该电容器能承受的最大电压为多少？
3．均匀细棒OA ，长为L ，质量为m ，其一端固定,可绕O 点在竖直面内无摩擦地转动。

开始时使棒处于水平位置，先释放A 端，当棒转到竖直位置时，松开O 点，任棒自由下落，选取如图所示的坐标系。

(1)写出O 点松开后棒的质心C 的运动轨迹；
（2）当棒从竖直位置下落高度h 时，它绕质心转了多少圈。

4．一长方形木块底面积为S ,高为h ,密度为ρ,将其放于密度为ρ'的水中。

(1)求平衡时木块露出水面的高度； （2)求振动周期;
（３）将木块压入水中刚好没顶后放手,写出振动方程。

5．一半径为R 的长直圆筒,表面均匀带电,电荷面密度为σ,在外力矩作用下,从静止开始以匀角加速度β绕轴转动。

（1）求圆筒内部任一时刻磁感应强度的大小;
(2)求位于距轴线
2
R
处电子的加速度的大小。

6.如图，一内壁光滑的绝热圆筒,A 端用导热壁封闭，B 端用
绝热壁封闭，筒内由一不漏气的绝热活塞隔开。

开始时，活塞位于圆筒中央,由活塞分隔开的两部分气体1和2完全相同，每部分气体的摩尔数为n ，温度为0T ，体积为0V ,气体的定体摩尔热容
v c 、比热容比γ均可视为常量。

现在从A 端的导热壁徐徐加热,
活塞缓慢右移,直至气体２的体积减半。

求此过程中:
（1）气体1吸收的热量;
（2)气体1的体积1V 和压强1P 的关系; （3)整个系统熵的改变量。