数学：24平面向量的数量积⑴苏教版必修四课件2

苏教版必修4高中数学2.4《向量的数量积(一)》ppt课件1

记为a⊥b.
A
B
OB
B
b Oa A
知识点1：向量“数量积”的概念一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
典型例题
已知 | a | 6，| b | 4，a与b夹角为60，求：（1）（a 2b）（ a - 3b）（2）| a 2b |
注（1）两向量的数量积是一个数量，意（2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能
省.
探究点4 运算率
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
课堂练习
例：已知a 1, b 2 (1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
-72
2 37
典型例题
证明 :
2
2
(a b) (a b) a b
(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角形当？a ·b＜0时， cos <0，为钝角三角形当a · b=0时，为直角三角形
探究点2
投影的概念
B b
ab | a || b | cos
O
a B1 A
| b | cos 叫做向量b在向量a的方向上的投影，即有向线段OB1的数量
数量积 a ·b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos 的乘积.

苏教版2017高中数学(必修四)第2章2.4向量的数量积(二) PPT课件

第2章
平面向量
[解析 ]
(1)因为 2a＋b＝ (3，1)，所以与它同向的单位向量
3 10 10 的坐标是 ( ， )． 10 10 (2)b－3a＝ (－ 2， 1)，所以 (b－3a)· a＝－ 2， |b－3a|＝ 5，（ b－ 3a） · a －2 所以 b－ 3a 与 a 夹角的余弦值为＝＝－ |b－ 3a||a| 5 2 5 . 5
x2＋y2
____________．
第2章
平面向量
3．两点间距离公式设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
（x2－x1）2＋（y2－y1）2 → |AB|＝_______________________________．
4．向量的夹角公式设 a＝ (x1，y1)，b＝ (x2，y2)，且 a≠0，b≠0，a 与 b 夹角为 θ， x1x2＋ y1y2 a· b 则 cos θ＝＝ 2 2 . 2 2 |a||b| x1＋ y1· x2＋ y2
第2章
平面向量
2．4 向量的数量积(二)
第2章
平面向量
学习导航
1.了解平面向量数量积的坐标表示．学习 2．理解平面向量数量积的坐标运算．(重点) 目标 3．掌握利用平面向量的数量积求向量的夹角、平行、垂直等问题．(重点、难点)
平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不学法同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时, 指导平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
a a 2 2 解析：由于单位向量 a0＝，且 |a|＝ x ＋ y ，所以 a0＝ |a| |a| ＝ 1 x ＋y

高中数学必修四[苏教版]2.4《向量的数量积》ppt课件

例10：设A(0，0)，B(2，3)，C(1，k)，若 △ABC是直角三角形，求k的值.
例11：已知 a (2, 1)，b (,1)，若向量
a 与 b 的夹角为锐角，求的取值范围. 若向量 a 与 b 的夹角为钝角，求的范围. 若向量 a 与 b 垂直，求的范围.
例12：设O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)，
向量 a 和 b 的夹角.
当 0 时，a 与 b 同向，a b | a || b | ；当 180 时，a 与 b 反向，a b | a || b | ；当 90 时，称 a 与 b 垂直，记作 a b ，
此时 a b 0 .
向量的数量积运算律
ab ba
(a) b a (b) (a b) a b
例6：已知 | a | 5 ，| b | 4 ，且 a 与 b 的夹角 60 ，若 ka b a 2b，求实数 k 的值.
例7：已知 a、b 都是非零向量，且向量 a 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b垂直，求 a a (x1, y1)，b (x2, y2) 那么
(a b) c a c b c 思考： (a b) c a (b c) 是否正确？错误
例1：已知向量 a 与 b 的夹角为，| a | 2 ，
| b | 3 ，分别在下列条件下求 a b ：
(1) 60
(2) 135
(3) a b
(4) a b
例2：已知 | a | 6 3 ，| b | 1 ，a b 9 ，求 a 与 b 的夹角.
3 求：(1) | a b | ；(2) | 3a b | .
例5：已知 | a | 3 ，| b | 3，| c | 2 3 ，
且 a b c 0 ，求 a b b c c a .

高中数学 2.4向量的数量积课件苏教版必修4

c 而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c 表示一个与
栏目
链
c 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一接
定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
第十四页，共28页。
知识点3 向量(xiàngliàng)的模
设 a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
链接
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；
当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a|·|b|；
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2，a·a 也可记作 a2.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
第十一页，共28页。
2．数量积的运算律．
已知 a，b，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，
栏目
链
所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．
接
第十页，共28页。
知识点2 数量(shùliàng)积的性质及运算律 1．数量积的重要性质．
设 a 与 b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是 a 与 e 的夹角．
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
栏
目
答案：120°
栏目
◎规律总结：本题涉及向量的加法、向量的模、向量垂直的等链
接
价条件、向量的夹角和向量的数量积等基础知识．法一是通常方法；法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答案．无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用．
第二十一页，共28页。
变式

(教师用书)高中数学 2.4 向量的数量积配套课件2 苏教版必修4

3 x＝ 2 ，解得 y＝1 2
3 x＝－ 2 ，或 y＝－1. 2
3 1 3 1 所以 b＝( ， )或 b＝(－，－ )． 2 2 2 2 → → 法二设向量 b＝(x，y)，依题意，OA· OB＝0， → → |OA|＝|OB|，则(a－b)· (a＋b)＝0， |a－b|＝|a＋b|，
●教学流程设计
演示结束
1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹课标解读角．(重点) 2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系． 3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识．(难点)
平面向量数量积的坐标表示
【问题导思】 i，j 分别是 x 轴、y 轴上的单位向量，a＝x1i＋y1j，b＝ x2i＋y2j，如何求 a· b?
已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a· b，(a－b)· (2a＋3b)．
【解】
法一
∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，
∴a· b＝(1,2)· (3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)· (2a＋3b)＝2a2＋a· b－3b2＝2|a|2＋a· b－3|b|2＝2(12 ＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
∴a· b＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a－(a· b)· b＝(2,4)－6(－1,2) ＝(2,4)－(－6,12) ＝(2＋6,4－12)＝(8，－8)， ∴|c|＝ 82＋－82＝8 2.
1．进行数量积运算时，要正确使用公式 a· b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a· a. (a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a· b＋|b|2. 2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．

高中数学必修四[苏教版]2.4《向量的数量积》ppt课件2

l1
:
x
2
y
0和l2:
:
x
3y
0,
求直线
l1和l
的夹角。
2
归纳整理，整体认识：
1．平面向量数量积的坐标公式；向量垂直的坐标表示的条件，复习向量平行的坐标表示的条件；
2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式和夹角公式．
(1)设a,bc是任意的非零向量，且相互不共线，有下列命题：（1）（a b)c (c a)b 0
高中数学必修4
复习回顾：
(1) 平面向量的坐标表示？（2）平面向量的坐标运算？（3）向量平行的坐标表示？
创设情景，揭示课题：
提出问题：向量的数量积能否用坐标表示？
学生活动：
提出问题：设
j
a(
是y
x1, y1), b (x2 , y2 ) ，设 i 轴上的单位向量，试用
是
x轴上的单位向量，
i ，j 表示 a 和 b ．
a x1i y1 j,b x2i y2 j
2
2
a
b
(x1i
y1
j)(x2
i
y2
j)
又 i i 1，j
j
x1x2
i
1 ，i
j
x1
y2
i
j
j i 0
y1x2
j
i
y1 y2
j
从而得向量数量积的坐标表示公式： a b x1x2 y1 y2
建构数学：
例题讲解：
例2 在△ABC中，设 AB (2,3) ，AC (1, k) ，且△ABC是直角三角形，
求k的值.
变式：已知 A(1, 2), B(2,3),C(2,5) ，求证 ABC 是直角三角形．

高中新课程数学(苏教版必修四)2.4平面向量的数量积2

(2) | a | 10, | b | 15, 45， a b 75 2 (3) | a | 8, | b | 2, 135， a b 8 2
例题：
a 8, b 7, C 60，求 BC CA 在△ABC中，
解：
| Hale Waihona Puke C | 8 | CA | 7
经验证，数量积满足如下运算率
(1)a b b a
(2)( a) b (a b) ( a) b (3)(a b) c a c b c
常用公式
(1)(a b ) a 2a b b
2
2
2
(2)( a b) ( a b) a b
A
7
B
60
120

120
8
C
BC CA | BC | | CA | cos120 1 8 7 ( ) 28 2
练习 cos90 0,cos0 1
a b ab 0
a | a |
2 2
练习
a | a |
(1) | a | 2，
2
2
例题
已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60，求 a b， a , b ,
2 2
(a 2b) (a 3b),
(a b)2 , | a b |
解:a b | a || b | cos 12
a | a | 36
2 2
b | b |2 16
2.4 平面向量的数量积
学法指导
1.多动脑筋 2.数形结合 3.总结基本题型 4.限时训练

向量的数量积

高中数学第2章平面向量 2.4 第1课时向量的数量积课件苏教必修4苏教高二必修4数学课件

12/12/2021
1 2 3 45
第三十一页，共三十九页。
解析答案
2.设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝__1_.
解析(jiě xī) ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
12/12/2021
12345
第三十二页，共三十九页。
解析答案
3.若a⊥b，c与a及与b的夹角(jiā jiǎo)均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－ c)2＝1_1___.
解析(jiě xī) (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c ＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.
答案(dáàn) 由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零. 当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.
12/12/2021
第十三页，共三十九页。
答案
梳理(shūlǐ)
(1)数量积性质
①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
θ，称为向量a与b的夹角.
(2)范围： 0°≤θ≤180°. (3)当θ＝ 0°时，a与b同向；当θ＝ 18时0°，a与b反向. (4)当θ＝ 90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
12/12/2021
第八页，共三十九页。
知识点三平面向量数量积的几何(jǐ hé)意义
思考 1 (sīkǎo)

高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积课件苏教版必修4

第2章平面向量
1．数量积的定义．已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则把数量|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积，记作 a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为 0． 2．向量的数量积的几何意义． (1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ． ②向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos θ．
一、数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角是 θ，则 a·b ＝|a||b|cos θ(0≤θ≤π)．
其中|a|cos θ(|b|cos θ)叫作向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影．
说明：(1)当 a≠0 时，由 a·b＝0 不能推出 b 一定是零向量．这是因为任一与 a 垂直的非零向量 b，都有 a·b＝0.
A．－32a2
B．－34a2
C.34a2
D.32a2
(2)如图所示，△ABC＝ 2，所以|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 答案：(1)D (2)4
(2)已知实数 a，b，c(b≠0)，则 ab＝bc⇒a＝c.但对向量的数量积，该推理不正确，即 a·b＝b·c 不能推出 a＝c.由右图很容易看出，虽然 a·b＝b·c，但 a≠c.
题型 1 向量数量积的运算
[典例 1] (1)(2015·山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为
a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D＝( )

苏教版高中数学必修4课件 2.4向量的数量积课件2

时栏
a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉. |a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，
目
|b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影．
开
关 2．向量数量积的性质
设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量．
(1)a·e＝e·a＝ |a|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b⇒a·b＝ 0 且 a·b＝0 ⇒a⊥b；
本
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2
课
时＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0.
栏
目 (2)|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
开关
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19
∴|3a－4b|＝4 19.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4（二）
例 3 已知|a|＝3，|b|＝4，且 a 与 b 不共线，k 为何值时，向
课时
当 a＝0，b⊥c 时，a·b＝b·c＝0，但不能得出 a＝c，故②不正确；
栏目
向量(a·b)c 与 c 共线，a(b·c)与 a 共线，故③不正确；
开关
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
小结向量的数量积 a·b 与实数 a、b 的乘积 a·b 有联系，同
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4（二）
当 a＋b 与向量 c 夹角为锐角时，
如图(2)所示，
向量 a＋b 在向量 c 方向上的投影为|a＋b|·
本
cos〈a＋b，c〉＝ OC1 ；
课时
向量 a 在向量 c 方向上的投影为

高中新课程数学(苏教版必修四)《2.4.1.1 向量的数量积》课件

名师点睛 1．平面向量的数量积 (1)两个向量的数量积 a· b 是两个向量之间的一种规定的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号与两向量夹角的余弦值的符号相同． (2)两个向量 a，b 的数量积 a· b 与代数中两个数 a，b 的乘积 ab(或 a· b)不同，但又类似，书写时一定要严格区分．a· b 中的“· ” 不能省略，也不能写成“×”形式．
题型一
向量数量积的运算
【例 1】 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60° ，求(2a＋3b)· (3a－2b)； (2)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝5，AC＝4， →· →. 求AB BC
[思路探索] 运用向量数量积的定义及运算律展开求解．
解
(1)(2a ＋ 3b)· (3a － 2b) ＝ 6a2 － 4a· b ＋ 9a· b － 6b2 ＝ 6×42 ＋
【核心扫描】 1．平面向量的数量积及其运算律．(重点) 2．向量数量积的应用．(难点)
自学导引 1．向量的夹角
→ ＝ a ， OB → ＝ b ，则∠ AOB ＝已知两个非零向量 a ， b ，作 OA θ(0≤θ≤π)叫做 a 与 b 的夹角．当 θ＝0 时，a 与 b同向；当 θ ＝ π π 反向时，a 与 b ．如果 a 与 b 的夹角是2，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
→ → 性质：(1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ，但由向量夹角的 → → 定义可知OA与OB的夹角不是 θ，而是 π－θ . (2)向量夹角是针对非零向量定义的． (3)两个非零平面向量夹角范围是 [0，π] ．
2．平面向量数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|· cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|· cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 试一试：由向量数量积的定义，判断两向量夹角与数量积的关系．

苏教版高中数学必修4§2.4 向量的数量积(二).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§2.4 向量的数量积(二) 课时目标1．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________.即两个向量的数量积等于它们________________________．2．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________.3．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________________＝________________________.4．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________.一、填空题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝________.2．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝______.3．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.5．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．6．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值为________．7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.8．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.9．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．二、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是________．14．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．§2.4 向量的数量积(二)知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 对应坐标的乘积的和2．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)23.a·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 224．x 1x 2＋y 1y 2＝0作业设计1．2解析由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0，∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3.∴|a |＝1＋n 2＝2.2．1 解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.3．(－4,8)解析由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．4．2 3解析 a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.5.655解析设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55，故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 或直接根据a·b |b |计算a 在b 方向上的投影． 6.1665解析 ∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16.又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665. 7.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)． 8．5解析 ∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5.9．－17解析由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17. 10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析由题意cos α＝a·b |a||b |＝－2λ－15·λ2＋1， ∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0， ∴⎩⎨⎧ －2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10，∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45. 13.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)解析已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 14．－2解析建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.。

苏教版必修4-2.4.1-向量的数量积-课件(18张)

（4） a ∥ b .
性质：
若 a b ，则 a b 0
若 a ， b 同向，则 a b | a || b | ；
若 a ， b 反向，则 a b | a || b | .
数学
例2
典型例题
必修四第2章平面向量
判断下列语句的对错，并简要说明理由。
① 0a 0 ； ×
数学
必修四第2章平面向量
数学
必修四第2章平面向量
数学
情境引入
必修四第2章平面向量
初中:一个物体在拉力F的作用下产生了位移s，
且
，那么力F所做的功是多少？
数学
情境引入
必修四第2章平面向量
初中:一个物体在拉力F的作用下产生了位移s，
且
，那么力F所做的功是多少？
F
S
数学
情境引入
必修四第2章平面向量
一个物体向前前进s，那么地球引力G所做的功
已知两个非零向量 a与 b，我们把数量
| a || b | cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，
记作 a b ，即
a b | a || b | cos
，
其中是 a与 b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
1.“
”是数量积运算符号，不能省略也不能用“ ”代替；
②0a 0 ； ×
③ a b |a||b | ； √
④ a b =０，则 a 与 b 至少有一个为 0 ； ×
⑤若 a 0 ， a b a c，
则b c ； ×

⑥对任意向量 a , b , c 都有 (a b )c a(b c ) ； ×

高中数学 2.4 向量的数量积配套课件1 苏教版必修4

作业
学
课围是__0_°__≤_θ_≤_1_8_0_°____，当 θ＝0°时，a 与 b_同__向___；当 θ＝180° 教
堂互
时，a 与 b_反__向__；当 θ＝90°时，称向量 a 与 b_垂__直__，记作_a_⊥__b__.
动
师备课
探
资
究
源
菜单
SJ·数学必修4
教
易
学教
向量的数量积的运算律
教师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
SJ·数学必修4
教
易
学教
2．过程与方法
错易
法分
经历平面向量数量积的形成过程，体会用数量积及其运
误辨
析
析
教算处理简单的物理问题、代数问题、几何问题的数学思想．当
学
堂
方案
3．情感、态度与价值观
双基
设
达
计
通过本节的学习，培养学生对事物的洞察能力和创新能标
课力．
课时作业
教师备课资源
教学教法分析
教学方案设计
课前自主导学
课堂互动探究
菜单
SJ·数学必修4
易错易误辨析
当堂双基达标
课时作业
教师备课资源
教学教法分析
教学方案设计
课前自主导学
课堂互动探究
3．关于向量的数量积运算的教学教学时，建议教师从学生熟悉的数量积的定义出发，类比实数的运算由学生自主推导出数量积的三种运算律：交换律、分配律、结合律；然后提出问题“向量数量积的有关性质”，让学生自主发现并给出证明．然后给出典例示范．最后教师点评并强调在实数乘法中适用的运算律和运算方法，有些是不能照搬到向量的数量积运算中的．整个教学过程培养学生的类比、归纳、探索能力，提高学生的数学素养．

高中数学苏教版必修四同步课件：第2章 2.4 向量的数量积 2.4 第1课时

(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线． (3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ a2 ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (4)cos θ＝|aa|·|bb|，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角，也可利用夹角取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围．
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
解析答案
返回
达标检测
1 234 5
1.下面给出的关系式中正确的个数是__3___． ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
b2＝(2e2－3e1)2＝4e22－12e1·e2＋9e21＝7，
∴|a|＝|b|＝
7，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
－72 7×
7＝－12.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，且b⊥c，则t＝__2__. 解析由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理，得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝12，所以t＝2.
解析 ①②③正确，④错误，⑤错误， (a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2 θ＝a2·b2不一定成立，当且仅当θ＝0或π时成立．
解析答案
1234 5
2.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为 _2__3_．解析 ∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a－4b|＝2 3.

苏教版高中数学必修四课件数量积(2)

cos a b
x1x2 y１y2
ab
x12 y12 x22 y２2
2. a x, y , a x2 y2 .
作业课本81页 6,8,9.
cos a b
x1x2 y１y2
ab
x12 y12 x22 y２2
所以有 a b x1x2 y1y2 0.
数学应用
例1 已知 a 2,1, b 3,2,
求 (3a b) (a 2b)
例2 已知 a 2,1, b 3,1,
求 a 与 b 的夹角θ
例3 在三角形ABC中,设 AB 2,3, AC 1, k ,
且三角形ABC是直角三角形,求k的值.
练习
课本80页 1,2,3,4,5
小结 1.设 a x1, y1, b x2, y2 ,的夹角为θ.
则有 a b x1x2 y1y2.
2.平面向量的坐标表示
OP xi y j x，y
ji j 1, i j j i 0
数学理论
设 i , j 分别是x轴和y轴上的单位向量,则
i i 1, j j 1, i j j i 0
因为 a x1 i y1 j , b x2 i y2 j , 所以 a b (x1 i y1 j ) (x2 i y2 j )
高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
2.4 平面向量的数量积(2)
复习
1.平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b，即
a b | a || b | cos