利用函数图像的对称性解题

利用函数图像的对称性解题【摘要】函数是数学的重要基础,函数性质的考察和应用重点和热点,而函数图像是函数性质的一种直观表现。

函数图像的对称性,充分体现了数学的对称美,具有很好的数学价值。

【关键词】函数；图像；对称性；辅助函数；二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。

其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。

所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。

比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。

现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。

分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。

另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。

本道题目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。

因此我们可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的交点式来求解析式。

设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。

本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。

例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。

我们也可以用二次函数的对称性来解题。

由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。

相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。

要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。

我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。

下面仅以a>0时为例进行解答。

当a<0时也是成立的。

由二次函数的对称性可知，x1+x2在第一个图中为点D的横坐标，在第二个图中为点F 的横坐标，而求当x=x1+x2时的y 值也就是求此两点的纵坐标，再由对称性可知，在第一个图中点D 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，在第二个图中点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，均为二次函数与y 轴交点的纵坐标。

所以，对于二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），当x 取x1、x2时，y值相等（x1≠x 2），则当x 取－b 2a时，y 值为顶点纵坐标的值，即y=4ac-b2/4a ，当x 取x1+x2时，y 值为二次函数与y 轴交点的纵坐标，即y=c 。

函数的自对称问题函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)； 特别，函数y=f(x)的图象关于y 轴对称⇔f(x)=f(-x).函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b ； 特别，函数y=f(x)的图象关于原点对称⇔f(-x)=-f(x).主要题型：1.求对称轴(中心)：除了三角函数y=sinx ，y=cosx 的对称轴（中心）可以由下列结论直接写出来(对称轴为函数取得最值时的x=)(,2Z k k x k ∈=+πππ,对称中心为函数与x 轴的交点()()Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,0,πππ)外，其它函数的对称轴(中心)就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例1确定函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心.解析1设函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心为（h ，k ），在图象上任意取一点P （x ，y ），它关于（h ，k ）的对称点为Q （2h-x ，2k-y ），Q 点也在图象上，即有()x h x h y k -+--=-21223，由于()x x y +-=31，两式相加得 ()()h x x h k 2112233+-+--=，化简得 ()()()()01241161322=+-+--+---h k h h h x h h x h （*）. 由于P 点的任意性，即（*）式对任意x 都成立，从而必有x 的系数和常数项都为0，即h=1，k=1.所以函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心为（1,1）. 解析2设函数()x x x g +=3，则g(x)为奇函数，其对称中心为原点，由于()1)1(1)1(1)(3+-=+-+-=x g x x x f ，说明函数f(x)的图象是由g(x)的图象分别向右、向上平移1个单位得到，而原点向右、向上分别平移1个单位得到点(1,1).所以函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心为（1,1）. 例2曲线f(x)=ax3+bx2+cx ，当x=1-3时，f(x)有极小值；当x=1+3时，f(x)有极大值，且在x=1处切线的斜率为23.(1)求f(x)；(2)曲线上是否存在一点P ，使得y=f(x)的图象关于点P 中心对称？若存在，求出点P 的坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.解析(1)()x f '=3ax2+2bx+c ，由题意知1-3与1+3是()x f '=3ax2+2bx+c=0的根，代入解得b=-3a ，c=-6a.又f(x)在x=1处切线的斜率为23，所以()231'=f ，即3a+2b+c=23，解得1,21,61==-=c b a .所以f(x)x x x ++-=232161.(2)假设存在P(x0，y0)，使得f(x)的图象关于点P 中心对称，则f(x0+x)+f(x0-x)=2y0， 即-+++++-x x x x x x 02030)(21)(610020302)(21)(61y x x x x x x =-+-+-， 化简得()0300202023121y x x x x x =-++-.由于是对任意实数x 都成立，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+==-341312201003002000y x x x x y x ，而P ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1在曲线y=f(x)上. 所以曲线上存在点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1，使得y=f(x)的图象关于点P 中心对称.2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论(函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b)来解决.例3求证函数x x y -=28log 2的图象关于点P （1,3）成中心对称. 证明1在函数x x y -=28log 2的图象上任意取一点A （x ，y ），它关于点P （1,3）的对称点为B （2-x ，6-y ），因为)2(2)2(8log 2x x ----=--=-+=-=62log 32log 3)2(8log 222x x x x x x x x -28log 2y -=6，所以点B 在函数x x y -=28log 2的图象上，故函数x x y -=28log 2的图象关于点P （1,3）对称.证明2因为()()1111log 32log 328log 222---++=-+=-=x x x x x x y . 由于x x y -+=11log 2是奇函数，所以x x y -+=11log 2的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移1个单位，向上平移3个单位，就得到函数x x y -=28log 2的图象，所以x x y -=28log 2的图象关于点P （1,3）对称.()()()()()()()()32664log 111164log 1218log 1218log )1()1( 32222⨯===⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=---++-+=-++x x x x x x x x x f x f 证明所以x x y -=28log 2的图象关于点P （1,3）对称.已知函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解.例4已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,43对称，且满足,2)0(,1)1(),23()(-==-+-=f f x f x f 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)的值为（）.A ．-2B.-1C.0D.1解析由f(x)的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,43对称，则说明函数)43(-x f 是奇函数，也就是有-=--)43(x f )43(-x f ，即)23()(---=x f x f ，又)23()(+-=x f x f ，所以)23(--x f )23(+=x f ，即)()(x f x f =-，函数f(x)是偶函数.所以1)1()1(==-f f ，又)()23()2323()3(x f x f x f x f =+-=++=+，即f(x)以3为周期，f(2)=f(-1)=1，f(3)=f(0)=-2，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)=668（f(1)+f(2)+f(3)）+f(2005)=f(2005)=f(1)=1，选D.例5已知函数f(x)=x x a x a ++-2326的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1中心对称，求f(x).解析1设f(x)图象上任意一点A （x ，y ），它关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1的对称点为B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x 38,2，由于A 、B 都在f(x)上，所以()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+--=-++-=x x a x a y x x a x a y 2222638262323，相加整理得23238+=a ，解得a=1.所以f(x)=x x x ++-232161. 5结论其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。

所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。