中原名校(即豫南九校)2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题 (2)
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3．函数 ，则 （ ）
A． B．4C． D．8
4．设 是两个不同的平面， 是直线且 ， ，若使 成立，则需增加条件（）
A． 是直线且 ， B． 是异面直线，
C． 是相交直线且 ， D． 是平行直线且 ，
5．已知函数 在区间 上是单调增函数，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
6．已知矩形 ， ， ，沿矩形的对角线 将平面 折起，若 四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）
（2）若直线 经过点 ，并且被圆 截得的弦长为2，求直线 的方程.
21．如图，四面体 中， 平面 ， ， ， ， .
（Ⅰ）求四面体 的四个面的面积中，最大的面积是多少？
（Ⅱ）证明：在线段 上存在点 ，使得 ，并求 的值．
22．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）如果对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
3．D
【解析】
∵ ，∴ .
故选D
4．C
【详解】
要使 成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，
是相交直线且 ， ， ， ，
由平面和平面平行的判定定理可得 .
故选C.
5．B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质，可知区间 在对称轴 的右面，即 ，即可求得答案.
【详解】
函数 为对称轴 开口向上的二次函数，
A．-9，1B．-10，1C．-9，2D．-10，2
11．已知函数 ，若对一切 ， 都成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．已知 为圆 的两条互相垂直的弦，且垂足为 ，则四边形 面积的最大值为（）
A．10B．13C．15D．20
二、填空题
13．函数 的单调递增区间为__________．
在区间 上是单调增函数，
区间 在对称轴 的右面，即 ，源自文库
实数 的取值范围为 .
故选B.
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.
6．C
【解析】
矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为 .
故选C.
7．B
14．已知集合 ， ，则集合 中子集个数是__________．
15．如图，已知圆柱的轴截面 是矩形， ， 是圆柱下底面弧 的中点， 是圆柱上底面弧 的中点，那么异面直线 与 所成角的正切值为__________．
16．已知函数 ，则函数 的零点个数为__________．
三、解答题
17．已知全集 ，集合 ，集合 .
A． B． C． D．
7．设 是定义在实数集上的函数，且 ，若当 时， ，则有（）
A． B．
C． D．
8．已知 是定义在 上的偶函数，那么 的最大值是（）
A．0B． C． D．1
9．某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（ ）
A．1B． C． D．2
10．已知实数 满足方程 ，则 的最小值和最大值分别为（）
（3）是否存在实数 ，使得函数 的最大值为0，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
由题意，集合 是由点作为元素构成的一个点集，根据 ，即可得到集合 的元素.
【详解】
由题意，集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D．
【点睛】
与集合元素有关问题的思路：
【解析】
由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以 ，
，又当x≥1时，f(x)＝lnx单调递增，所以 ，
故选B.
8．C
【解析】
∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝ .
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴ ，所以 .
故选C.
9．B
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．A
【解析】
由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋ ＝0平行所以 ，
即 －1或1，经检验 成立.
故选A.
【解析】
在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1BCB1，如图所示，该四面体的体积为 .
故选B．
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
10．A
【解析】
即为
y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，
当直线y＝2x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ，解得b＝－9或1．所以y－2x的最大值为1，最小值为－9．
故选A.
11．C
【解析】
由题意得，对一切 ，f(x)>0都成立，
即 ，
而 ，
则实数a的取值范围为 .
故选C.
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；
（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）.
河南省中原名校（即豫南九校）【最新】高一上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则集合 中元素的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
2．已知直线 与直线 平行，则 的值为
A．1B．-1C．0D．-1或1
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
18．已知直线 及点 .
（1）证明直线 过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点 到直线 的距离最大时，求直线 的方程.
19．设 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）求 的解析式；
（2）解不等式 .
20．已知圆 经过点 ， 和直线 相切.
（1）求圆 的方程；
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
A． B．4C． D．8
4．设 是两个不同的平面， 是直线且 ， ，若使 成立，则需增加条件（）
A． 是直线且 ， B． 是异面直线，
C． 是相交直线且 ， D． 是平行直线且 ，
5．已知函数 在区间 上是单调增函数，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
6．已知矩形 ， ， ，沿矩形的对角线 将平面 折起，若 四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）
（2）若直线 经过点 ，并且被圆 截得的弦长为2，求直线 的方程.
21．如图，四面体 中， 平面 ， ， ， ， .
（Ⅰ）求四面体 的四个面的面积中，最大的面积是多少？
（Ⅱ）证明：在线段 上存在点 ，使得 ，并求 的值．
22．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）如果对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
3．D
【解析】
∵ ，∴ .
故选D
4．C
【详解】
要使 成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，
是相交直线且 ， ， ， ，
由平面和平面平行的判定定理可得 .
故选C.
5．B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质，可知区间 在对称轴 的右面，即 ，即可求得答案.
【详解】
函数 为对称轴 开口向上的二次函数，
A．-9，1B．-10，1C．-9，2D．-10，2
11．已知函数 ，若对一切 ， 都成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．已知 为圆 的两条互相垂直的弦，且垂足为 ，则四边形 面积的最大值为（）
A．10B．13C．15D．20
二、填空题
13．函数 的单调递增区间为__________．
在区间 上是单调增函数，
区间 在对称轴 的右面，即 ，源自文库
实数 的取值范围为 .
故选B.
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.
6．C
【解析】
矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为 .
故选C.
7．B
14．已知集合 ， ，则集合 中子集个数是__________．
15．如图，已知圆柱的轴截面 是矩形， ， 是圆柱下底面弧 的中点， 是圆柱上底面弧 的中点，那么异面直线 与 所成角的正切值为__________．
16．已知函数 ，则函数 的零点个数为__________．
三、解答题
17．已知全集 ，集合 ，集合 .
A． B． C． D．
7．设 是定义在实数集上的函数，且 ，若当 时， ，则有（）
A． B．
C． D．
8．已知 是定义在 上的偶函数，那么 的最大值是（）
A．0B． C． D．1
9．某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（ ）
A．1B． C． D．2
10．已知实数 满足方程 ，则 的最小值和最大值分别为（）
（3）是否存在实数 ，使得函数 的最大值为0，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
由题意，集合 是由点作为元素构成的一个点集，根据 ，即可得到集合 的元素.
【详解】
由题意，集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D．
【点睛】
与集合元素有关问题的思路：
【解析】
由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以 ，
，又当x≥1时，f(x)＝lnx单调递增，所以 ，
故选B.
8．C
【解析】
∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝ .
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴ ，所以 .
故选C.
9．B
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．A
【解析】
由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋ ＝0平行所以 ，
即 －1或1，经检验 成立.
故选A.
【解析】
在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1BCB1，如图所示，该四面体的体积为 .
故选B．
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
10．A
【解析】
即为
y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，
当直线y＝2x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ，解得b＝－9或1．所以y－2x的最大值为1，最小值为－9．
故选A.
11．C
【解析】
由题意得，对一切 ，f(x)>0都成立，
即 ，
而 ，
则实数a的取值范围为 .
故选C.
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；
（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）.
河南省中原名校（即豫南九校）【最新】高一上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则集合 中元素的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
2．已知直线 与直线 平行，则 的值为
A．1B．-1C．0D．-1或1
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
18．已知直线 及点 .
（1）证明直线 过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点 到直线 的距离最大时，求直线 的方程.
19．设 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）求 的解析式；
（2）解不等式 .
20．已知圆 经过点 ， 和直线 相切.
（1）求圆 的方程；
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．