数学分支巡礼之二：初等代数

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初等代数研究完整

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初等代数是数学的一个分支，主要研究数的性质以及数之间的关系。

它是数学中最基本的内容，也是很多其他学科的基础。

在数学史上，人们对初等代数的研究可以追溯到古希腊时代。

当时的
数学家主要关注整数、有理数和二次方程等基本概念和技巧。

随着时间的
推移，初等代数逐渐发展成为一门独立的学科，具有自己的研究方法和理
论体系。

在初等代数中，最基本的概念是数和运算。

数可以分为自然数、整数、有理数和实数等不同的类型。

运算包括加法、减法、乘法和除法等基本操作，可以通过运算规则和性质进行计算和推理。

在初等代数中，我们经常遇到的问题是求解方程。

方程是两个数或者
代数式之间的等式，我们需要找到使得等式成立的未知数的值。

求解方程
是初等代数的关键问题之一，它涉及到方程的解集和解的性质等内容。

初等代数中的另一个重要主题是数列和级数。

数列是按一定规律排列
的数的序列，级数是所有数列中的项的和。

数列和级数的研究可以帮助我
们理解数的增长和变化规律，以及推导一些重要的数学结果。

初等代数还涉及到多项式和多项式函数等概念。

多项式是一个有限项
的代数式，它由项之间的加法和乘法构成。

多项式函数是将多项式作为自
变量的函数，它在数学和自然科学中都有广泛的应用。

总之，初等代数是数学中最基本的内容之一，它研究数的性质和数之
间的关系，涉及到方程、数列、级数、多项式和多项式函数等概念。

通过
学习初等代数，学生可以培养数学思维和问题解决能力，为进一步学习数
学和其他学科打下坚实基础。

数学分支

17．半正定形式的平方和表示一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
18．用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。
19．正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代识，也就是说，古代算术和现代算术的许多内容上是相同的。不过现代算术和古代算术也还存在着区别。
首先，算术的内容是古代的成人包括数学家所研究的对象，现在这些内容已变成了少年儿童的数学。其次，在现代小学数学里，总结了长期以来所归结出来的基本运算性质，即加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律。这五条基本运算定律，不仅是小学数学里所学习的数运算的重要性质，也是整个数学里，特别是代数学里着重研究的主要性质。
8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
9．在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
我们在这里把算术列成第一个分支，主要是想强调在古代全部数学就叫做算术，现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。后来，算学、数学的概念出现了，它代替了算术的含义，包括了全部数学，算术就变成了一个分支了。因此，也可以说算术是最古老的分支。

数学分支巡礼之二：初等代数

数学分支巡礼之二：初等代数数学分支巡礼之二初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。

初等代数是更古老的算术的推广和进展。

在古代，当算术里积存了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。

至于什么年代产生的代数学这门学科，就专门不容易说清晰了。

比如，假如你认为“代数学”是指解ax2+bx+c=0这类用符号表示的方程的技巧。

那么,这种“代数学”是在十六世纪才进展起来的。

假如我们对代数符号不是要求象现在如此简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。

西方人将公元前三世纪古希腊数学家刁藩都看作是代数学的鼻祖。

而在中国，用文字来表达的代数问题显现的就更早了。

“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年。

那年，清代数学家里李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。

因此，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题。

初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学明白得成方程的科学，数学家们也把要紧精力集中在方程的研究上。

它的研究方法是高度运算性的。

要讨论方程，第一遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后依照等量关系列出方程。

因此初等代数的一个重要内容确实是代数式。

由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。

代数式是数的化身，因而在代数中，它们都能够进行四则运算，服从差不多运算定律，而且还能够进行乘方和开方两种新的运算。

通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。

在初等代数的产生和进展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步进展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范畴，使数包括正负整数、正负分数和零。

数学的三大核心领域

数学的三大核心领域之代数学范畴数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交*学科。

本章简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。

1、算术算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。

另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。

现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。

作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。

它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。

日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。

为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。

它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。

15世纪，它被改造成现在的形式。

在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。

后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。

算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。

尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。

初等代数研究

绪言一、“代数学”的起源及几种历史观点⒈“代数学”的起源公元820年前后时，花剌子模数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子模的著作《Kitab al jabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。

到14世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。

其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法”（Algorithm）即源于此。

代数的基础就是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察的关于算术的学说。

代数的课题首要就是字母表示的式的变换和解方程的规则和方法。

所以，代数这个名称的起源完全符合这门科学本身的内容。

算术→初等代数→高等代数→近世代数。

⒉历史观点⑴Ⅰ16世纪后期，视为普遍化的算术；Ⅱ17世纪60年代，各种量的计算理论；⑵18世纪末至19世纪初，代数方程的解法；⑶19世纪至今，研究各种代数结构。

二、“代数学”的定义“代数学”的定义——初等代数学（或称古典代数学）是更古来的算术的推广和发展；抽象代数学（曾称近世代数学）则是在初等代数学的基础上发生、发展，而于20世纪形成的。

“初等代数学”——研究数字和文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法；更确切点说，研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。

三、为什么数应专业学生要学习本门课程中学数学教师的历史使命第一章自然数一、数系的历史发展⑴数学思维对象与实体的分离数的概念的产生和发展人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。

在人类开始数数之前，人类是根据物体样子的差别来判断物体是多还是少。

从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。

原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别，逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。

数：一定物群所共有的抽象性质。

初等代数学

初等代数学
初等代数学是指涉及基本代数概念和技能的数学学科。

这个学科的范围很广，包括了从基本的数与运算开始，到一元与多元方程的解法，以及一些基本的代数理论和技巧。

初等代数学涉及以下主题：
1. 数与运算：整数、有理数和实数的基本概念和运算规则，包括加法、减法、乘法和除法。

2. 方程与不等式：一元和多元方程及其解法，一元和多元不等式及其解法。

3. 多项式与有理函数：多项式的基本操作和运算，以及有理函数的概念和运算。

4. 函数与图像：函数的定义和性质，函数的图像和图像的性质，包括线性函数、二次函数和一些基本的特殊函数。

5. 线性方程组：线性方程组的解法和性质，包括高斯消元法和矩阵方法。

6. 概率与统计：基本的概率理论和统计方法，包括概率空间、随机变量、概率分布和统计推断。

初等代数学是数学学科的基础，它提供了解决实际问题和进一步学习高级代数学科的基本工具和方法。

代数学发展历程

代数学发展历程在宽广的数学领域范围内，代数学只是其中的一个分支，一个部分．“代数学”这个名称，在我国是1859年正式开始使用的．那么什么是代数？代数学又是如何发展的呢？1847年，英国人伟烈亚力来到上海，他用中文写了一本《数学启蒙》，在序中说：“有代数、微分诸书在，余将续梓之．”这是第一次使用代数这个词来作为数学分科的名称．李善兰是我国清代数学家．1859年和伟烈亚力合译英国棣么甘（Augustus De Morgan）的“Elements of Algebra”正式定名为《代数学》．这是我国第一本代数学书，代数的名称就是这样来的．代数是对字母、字母表达式进行运算或变换的学问．在初等数学中字母代表数，在近代数学中字母可以代表更广泛的对象，如向量、张量、矩阵、变换等．代数的发展大致分为三个时期．第一个时期从九世纪的花拉子米始，到十六世纪止．这个时期人们把代数看成为对字母进行运算，关于字母公式的变换以及关于代数方程式的学问．这些就是目前中学代数的内容．第二个时期从十六世纪开始到十九世纪，这时意大利数学家解出了三次方程和四次方程．由此人们开始研究更高次的代数方程．代数的中心问题逐渐变为代数方程式的理论了．十九世纪谢尔的两卷本的代数问世，在这部书中代数被定义为方程式论．这在当时是个创举．在第二个时期内，行列式与矩阵的理论，二次型与变换的理论，特别是不变量的理论等代数工具也发展起来了．在这个时期内群论及不变量的理论的发展对几何学的发展起了重大影响．第三个时期从上世纪末到本世纪．这时在力学，物理以及数学本身越来越频繁地研究到一些对象，对这些对象也要考虑加法、减法，有时要考虑乘法和除法．这些对象中有矩阵、张量、旋量、超复数等．这样人们就不得不考虑某种更一般的集合，在这种集合中有某种运算，并满足一定的运算法则．这就是说，我们不得不考虑某种代数系统．这样一来，代数的目的是研究各种代数系统．这就是公理化，或抽象化的代数．说它是抽象的，是因为所考虑的代数系统是用字母表示的．说它是公理化的，是因为它只遵从作为它的基础的那些公理．有趣的是这样的代数系统无论就数学本身而言，或就它的应用而言都具有巨大意义．以下我是通过初等代数，高等代数以及抽象代数三个阶段的发展来研究代数学领域的发展的．1.初等代数初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科．初等代数是更古老的算术的推广和发展．在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数．代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的．代数和算术的主要区别，就在于前者引入未知量，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知量的值．至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了．比如，如果你认为“代数学”是指解这类用符号表示的方程的技巧，那么，这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的．如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么代数学可以上溯到更早的年代．大约在公元前2000年，巴比伦算术已经演化成为一种高度发展的用文字叙述的代数学．从载有数字表的文件中，可以获得巴比伦人的数系和数字运算方面的许多知识．他们既能用相当于代入一般公式的方法，又能用配方法来解二次方程，还讨论了某些三次方程和双二次（四次）方程．已经发现一块书板，它给出的数表不仅包括从1到30的整数的平方和立方，还包括了这个范围的整数组合．公元前2500年左右，埃及的草片文书（Ahmes）中有求一个未知量问题的解法，这个问题大体上相当于今日的一元一次方程．不过用的方法纯粹是算术的，并且在埃及人心目中这并不成其为一门独特的学科——解方程．公元200—1200年时期，印度人也在代数上获得一些进展．他们用缩写文字和一些记号来描述运算．印度人认识到二次方程有两个根，而且包括负根和无理根．在不定方程方面印度人超过了Diaphanous，印度人要求出所有整数解，而Diaphanous则只得出一个有理的解．印度人也研究了不定二次方程．他们解出了（其中不是平方数）这种类型的方程，并可看出这种类型对处理很重要．西方人将公元前三世纪古希腊数学家Diaphanous看作是代数学的鼻祖．而在中国，用文字来表达的代数问题出现得就更早了．“代数”作为一个数学专有名词，代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年．那年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》．当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如成书于公元一世纪初的《九章算术》中就有方程问题．在《九章》方程章中，经刘徽注给方程予以最早的定义：“程，课程也．群物总杂，各列有数，总言其实．令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，帮谓之方程”．这里的“群物总杂，各列有数，总言其实”是说每一行（相当于今称的方程式）的系数、未知数和常数项（此叫“实”）的组成方法．令每行为率（就是列出几个等式），二物者再乘（两个未知数，列两个等式或程式），三物三乘（三个未知数列三个等式或程式），如物数程之（就是有几个未知数，就列出几个等式或程式），用算筹并列成一方形，所以叫做方程．在方程的定义里，“程”就是“课”，而“课”的本义是试验，考核．正是在试验与考核的意义上，“程”与“课”是相通的．由“课”将数学应用题转化为盈亏类问题，而由“程”把问题布列为“方程”．这种问题模式化的思想和方法是一脉相承的．当然，在这里方程的定义是狭隘的，仅指线性方程组，但《九章》实际上还涉及到二次方程，而且已能用“带从开方术”（“从”读“纵”）求出方程的正根．共步骤相当于“配方法”．《九章》关于多元一次方程组的解法，是将其“所出率”用算筹摆成一个方阵，然后应用“遍乘，通约，齐同”三种基本演算，达到“消元”为目的．《九章》称解方程组的过程为“直除”，即现代的消元法．《九章》方程解法有方程术和正负术，刘徽注又添了新方程术，反映了我国古代方程理论发展的不同阶段．这些解法经刘徽注释，把它们作为比率理论的应用和发展，从而获得了统一的理论基础．初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上．它的研究方法是高度计算性的．要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程．所以初等代数的一个重要内容就是代数式．由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式，分式和根式这三大类代数式．代数式是数的化身，因而在代数中它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算．通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算．在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零．这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充．有了有理数，初等代数能解决的问题就大大地扩充了．但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解．于是，数的概念再一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数．那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？数学家们说：不用了．这就是代数里的一个著名的定理——代数基本定理．这个定理简单地说就是n个方程有n个根．1742年12月15日，瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述．后来另一个数学家德国的高斯在1799年给出了严格的证明．把上面分析过了的内容综合起来，组成初等代数的基本内容就是：三种数——有理数、无理数、复数．三种式——整式、分式、根式．中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组．初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同．比如严格地说，数的概念，排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的……．这些都只是历史上形成的一种编排方法．初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解．代数运算的特点是只进行有限次的运算．全部初等代数总起来有十条规则．这是学习初等代数需要理解并掌握的要点．这十条规则是：五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律；两条等式基本性质：等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积．初等代数学进一步向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程．这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了．2.高等代数初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组．沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组（也叫线性方程组）的同时还研究次数更高的一元方程组．发展到这个阶段，就叫做高等代数．高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支．现在大学里开设的高等代数一般包括两部分：线性代数、多项式代数．高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等．这些量具有和数相类似的运算特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复．集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些规则的集合．向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有了很大的不同．古典代数学（即初等代数学）的中心课题是解方程问题．就方程本身而言，它是向两个方向发展的．一个方向是一元高次方程，另一个方向是多元一次方程组与多元高次联立方程组．前者发展成为后来的方程论（或多项式论）的研究，方程论的扩展便是高等代数学．到了十九世纪，还诱发了近世代数的出现．后者的发展形成了线性代数学，它的中心内容是行列式与线性方程组，矩阵及线性空间和线性变换的理论等．多项式是一类最常见，最简单的函数，它的应用非常广泛．多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论．研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法．多项式代数所研究的内容，包括整除性理论，因式分解理论等．这些大体上和中学代数里的内容类似．多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的．解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解．我们知道一次方程叫线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数．线性代数学的兴起与发展是随着十七、十八世纪生产和科学技术的发展与要求而发展的．在线性代数中最重要的内容是行列式和矩阵．早在十七世纪和十八世纪初，行列式在解方程中就得到了发展．在线性方程组中，由于碰到方程的个数与未知量个数相等，所以就提出行列式这个词．行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述．此外，1750年瑞士克莱姆（C ramer，1704--1752）的“克莱姆法则”也出现，但没有把行列式作为一个单独理论加以研究和阐述．欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨．1772年法国数学家范德蒙（Vandermonde，1735--1796）首先把行列式作为专门理论独立于线性方程组之外进行研究．故人们称他是行列式理论的奠基者．德国数学家雅可比于1841年发表了《论行列式的形式与性质》一文标志着行列式的系统理论的建立．行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具．行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数．因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论．矩阵概念和行列式一样是从解线性方程组中产生的．矩阵概念最早也出现在我国的《九章算术》方程章里．该书所说的“方程”实际是“矩阵”，所说的“方程术”的中心内容是对“方程”（即矩阵）施行“遍乘”与“直除”两种运算．在欧洲，由于有行列式的成果作为基础，1850年前后，矩阵的理论发展是非常迅速的．“矩阵”这个词是西勒维斯特（J.J.Sylvester，1814--1897）在1850年首先提出并使用的．他在碰到线性方程组的方程的个数与未知量个数不等，无法运用行列式概念时提出这个词的．1855年凯莱也引出了矩阵概念．他在文章中介绍他发现这一概念的思想时说：“我决不是通过四元数而获得矩阵概念的，它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达方程组的方便的方法而来的．”矩阵也是由数排成行和列的数表，行数和列数可以相等也可以不等．矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法．利用矩阵这个工具可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量，这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以彻底地解决．矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都有十分广泛的应用．1879年，德国数学家弗罗尼乌斯（Frobenius）引入矩阵秩的概念，英国数学家史密斯（H.J.S Smith，1826--1883）引入增广矩阵的概念，证明了n 个未知数m个方程的方程组相容的充分必要条件是其增广矩阵与非增广矩阵的秩相等．在行列式的理论和矩阵理论与应用发展的同时，线性空间以及与之相联系的线性变换的理论也蓬蓬勃勃地发展起来．由于采用向量的概念，可以使得解析几何特别地简单和清楚．向量可以相加，也可以相乘，并且满足如下运算规律：1．2．存在着“零元素”0，使得对任意x，3．对于任意元素x，存在着一个逆元素-x，使得4．5．6．7．8．这里x、y、z是线性空间里的元素，而1、、、是数．如果向量由它的坐标（即它在坐标轴上的射影）给出，那么在向量上进行的加法运算和数乘运算就相应着由它的坐标所组成的行（或列）上同名的运算．这样一来，由三个数组成的行或列就宜于几何上地解释作三维空间中的向量，同时在“行”（或“列”）上进行的运算就解释作为空间中向量上所进行的相应的运算，使得由三个数所组成行（或列）的代数在形式上与三维空间中的向量代数没有差别．线性方程组的系数、线性方程组的解是一个多元有序数组，在多元有序数组集合中引进加法、数乘运算，可以简化线性方程组的讨论，这使它们自然地将三维向量空间推广到n元有序数组集合的n维向量空间．不仅n维向量的集合具备上面所说的这些特性，就是同一类型的矩阵集合以及物理向量：力、速度、加速度等等也具备这些性质．完全是另外性质的数学对象，如一个变元的多项式全体、已知区间[a，b]上的连续函数的全体，线性齐次微分方程解的全体等等，也都具备这些性质．这些例子引导人们进一步推广向量空间的概念，这种空间的元素可以是任意数学对象或物理对象，这就引进了一般的线性空间的概念．同样它们满足加法和数乘一定的运算规律．在很多数学研究中需要改换变数，即从一组变数,…… ,过渡到与它们有函数关系的另一组变数,,……．例如，如果变数是平面上或空间中点的坐标，那么从一个坐标系过渡到另一个坐标系就引起坐标的一个交换，它将原来的坐标用新的坐标表出．此外，在研究一个物体从一个位置或状态变为另一个位置或状态时，如果它的位置或状态由变数的值所给出，变数的变换也会产生．线性变换是线性空间到自身的变换．线性空间中每一个线性变换都对应着一个方阵，变换本身可以用矩阵语言写成形状，这里x是原向量的坐标组成的列，y是变换后的向量的坐标组成的列，是变换的系数矩阵．欧氏空间中，将保持向量长度不变的线性变换称为正交变换．正交变换是将三维空间中坐标原点不动的旋转或旋转与对通过原点的某一平面的反射的联合对n维空间的推广．正交变换是非退化变换的重要特殊情形．线性空间与线性变换是线性代数的几何架构，数组向量和矩阵实际上是它们的代数形式，其间的转换枢纽是基底，就好象是平面和立体几何里的坐标系．然而线性代数里的向量空间却往往从抽象定义开始，这只是相当大的一般性．3.抽象代数在十八世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革．当时数学家们面临一系列数学发展进程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中在代数方面最突出的是：高于四次的代数方程的根式求解问题．在十九世纪初，这个问题已变得越发尖锐而不可回避．它们引起了数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了代数学发展的新突破．在前面曾经说过，中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解方程的学问．直到十九世纪初，代数学研究仍未超出这个范围．不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上．考虑一般的五次式更高次的方程能否像二、三、四次方程一样来求解，也就是说对于形如：（其中）的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到呢？遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决．最终，阿贝尔（1802--1829）解决了五次和高于五次的一般方程的求解问题，证明了五次或五次以上方程不可能有代数解．即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来．他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类被称为“阿贝尔方程”．在这一工作中，他实际上引进了“域”这一重要的近世代数概念，虽然他没有这样来称呼．但他没能解决判定已知方程是否可用根式来求解的问题．这个问题最终由另一个年轻的天才数学家法国的伽罗瓦彻底解决．在十九世纪，代数学的研究对象已突破了数（包括用符号表示的数）的范畴，这种突破是由伽罗瓦群的概念开始的．伽罗瓦20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久便在一次私人决斗中死去，年仅21岁．伽罗瓦在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做了一些新发现．有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见．我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的．”伽罗瓦死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中．他的论文手稿过了14年，才由刘维尔（1809--1882）编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐．随着时间的推移，伽罗瓦的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识．伽罗瓦虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念．在伽罗瓦之后，群的概念本身进一步发展，除了有限的、离散的群，又出现了无限群、连续群等，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革．从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步发展．在数学大师们的经典著作中，伽罗瓦的论文是最薄的，但他的数学思想却是光彩夺目的．代数对象的扩张，在十九世纪还沿着其他途径进行，先后产生了许多其他代数系统，例如四元数与超复数、域、理想等．十九世纪数学家还引进了环（戴德金，1871．克罗内克也研究过环并称之为“order”，希尔伯特首先使用了“ring”即环这个名称）和格（戴德金，1897）等．。

初中数学初等代数

初中数学初等代数在初中数学的学习中，初等代数是一个重要的组成部分。

它不仅是进一步学习数学和其他科学学科的基础，还在培养我们的逻辑思维和解决问题的能力方面发挥着关键作用。

初等代数的基础是数与式。

从整数、分数到有理数、无理数，我们逐步拓展了对数字的理解和运用。

而代数式，则是用字母来表示数的一种形式，通过代数式的运算和变形，我们能够更简洁地表达数学关系。

比如，在代数式的运算中，合并同类项是一项基本技能。

就像 3x＋ 5x，我们可以将它们合并为 8x。

还有整式的乘法和除法，例如（2x ＋ 3)（3x 4)，通过乘法分配律展开式子，再合并同类项，就能得到一个复杂但有规律的表达式。

方程是初等代数中的核心内容之一。

方程就是含有未知数的等式，我们的目标是求出未知数的值，使得等式成立。

一元一次方程是最简单的方程类型，例如 2x ＋ 3 ＝ 9，通过移项、合并同类项和系数化为1 等步骤，就能求出 x 的值。

而一元二次方程则更具挑战性，比如 x² 5x ＋ 6 ＝ 0，我们可以通过因式分解、配方法或者求根公式来求解。

因式分解法将方程化为（x 2)（x 3) ＝ 0，从而得到 x ＝ 2 或 x ＝ 3。

配方法是将方程变形为（x5/2)²＝ 1/4，然后开平方求解。

求根公式则是对于一般形式的一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0，x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a)。

不等式也是初等代数中的重要部分。

它与方程类似，但不等号取代了等号。

解不等式的方法与解方程类似，但需要注意当乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。

函数在初中数学中也有初步的涉及。

一次函数 y ＝ kx ＋ b，通过给定不同的 x 值，可以求出对应的 y 值，从而得到函数的图像。

函数的图像能够直观地反映函数的性质，比如增减性。

在实际应用中，初等代数有着广泛的用途。

比如在解决行程问题时，我们可以设未知数，根据路程、速度和时间的关系列出方程来求解。

初等代数知识点总结

初等代数知识点总结一、代数方程代数方程是初等代数的一个重要内容，通过代数方程的学习，可以帮助我们建立起对数学的基本概念和求解问题的方法。

代数方程通常由未知数和已知数通过等号连接而成，其中未知数是我们需要求解的对象。

代数方程的一般形式为：ax + b = 0，其中a、b为常数。

代数方程的求解要根据方程的形式对其进行分类分析，常见的代数方程有一元一次方程、一元二次方程、二元二次方程等。

一、一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的方程。

一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0。

要求解一元一次方程，可以通过使用反序运算和移项等方法将未知数的系数系数化，进而求解得到未知数的值。

例如：解方程2x + 5 = 8，首先将方程化为2x = 8 - 5，然后再得到x = 3。

二、一元二次方程一元二次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为2的方程。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。

要求解一元二次方程，可以通过使用因式分解、配方法、公式法等方法来求解得到未知数的值。

例如：解方程x^2 - 4x + 4 = 0，可以使用公式法来求解，得到x = 2。

三、二元二次方程二元二次方程是指含有两个未知数，并且这两个未知数的最高次数为2的方程。

二元二次方程的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0。

要求解二元二次方程，可以通过使用配方法、凑平方、代换等方法来求解得到未知数的值。

例如：解方程x^2 + y^2 = 25，可以通过将该方程转化为(x+3)^2 + (y+4)^2 = 0的形式，从而得到x = -3，y = -4。

二、多项式多项式是一个数学表达式，由系数和变量的乘幂运算而成。

多项式的一般形式为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0、a1、a2、...、an为系数，x为变量，n为次数。

代数的发展史

代数的发展史代数作为数学的一个分支，经历了漫长的发展过程，逐渐形成了今天我们所熟知的数学体系。

下面将分别介绍代数的发展史中的几个主要阶段。

1.代数起源代数的起源可以追溯到古代的算术和几何。

在那个时期，人们已经开始使用字母来表示未知数和已知数，这种做法可以看作是代数的萌芽。

随着时间的推移，人们开始尝试用符号表示运算，如加、减、乘、除等，从而形成了代数的初步概念。

2.古代代数古代代数指的是文艺复兴以前的代数学。

在这个时期，代数学的发展主要集中在解一次方程和二次方程的方法上。

中国的《九章算术》和阿拉伯的《阿尔·芬格尼》等著作都包含了丰富的代数内容。

这些古代代数的著作主要探讨的是线性方程和二次方程的求解，使用了符号化表示和运算。

3.现代代数现代代数起源于19世纪末期，其标志是德国数学家域论的诞生。

域论提出了代数结构的概念，将代数学从对数字和方程的研究扩展到了对更为抽象的代数结构的研究。

这一阶段，代数学开始涉及到更高阶的群、环、模等抽象概念，为后续的代数学发展奠定了基础。

4.抽象代数抽象代数是现代代数的一个分支，它运用抽象的方法研究代数的结构和性质。

在这个阶段，代数学开始深入研究群、环、域等抽象代数结构，发展出了丰富的理论体系。

抽象代数的研究方法为后续的数学研究提供了新的思路和方法。

5.线性代数线性代数是代数学的一个分支，主要研究线性方程组、向量空间等线性代数结构。

它与矩阵、行列式等概念密切相关。

线性代数的研究成果被广泛应用于物理、化学、工程等领域。

在20世纪初期，线性代数的理论体系逐渐形成并逐渐发展完善。

6.群论与环论群论与环论是抽象代数的两个重要分支。

群论主要研究的是满足结合律的二元运算下，元素的集合的性质；而环论则研究的是具有两个运算（加法和乘法）的代数结构。

这些理论在数论、几何等领域都有着广泛的应用。

7.域论与伽罗瓦理论域论是代数学的一个重要分支，它主要研究的是在某个运算下封闭的数的集合。

代数是什么

代数是什么代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。

初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。

代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。

在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。

常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。

代数是数学的一个分支。

传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。

如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。

例如： 1/2 xy +1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。

如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。

一个代数数是某一方程式的根。

代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。

建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。

他证明了不可能有解五次方程的代数公式。

用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。

多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。

参见，如：布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。

这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。

特别重要的是结合律和交换律。

代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射。

换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;这三个法则满足下列条件：a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：则ℱ(A， K)是K上的代数，自然地被称为从A到K中的映射代数。

初等代数研究

初等代数研究.下册初等代数研究.下册_____________________________________初等代数学是一门重要的数学学科，它主要研究一些基本的数学思想和方法。

初等代数学不仅是高中数学的基础，也是高等数学的基础，它的知识和技巧在很多领域中都很有用，可以帮助人们更好地理解复杂的数学问题。

初等代数学，下册介绍了一些初等代数学的基本概念，如方程、不等式、因式分解、因式化简、指数和对数等。

一、方程方程是最基本的初等代数学概念，它由变量、运算符和常数组成，用来描述一个或多个变量之间的关系。

方程可以用来求解一个变量的值，也可以用来求解多个变量之间的关系。

常见的方程包括一元方程、二元方程、三元方程、不定方程、一次方程、二次方程、立方方程、四次方程、椭圆方程、抛物方程、反比例方程、反平方方程、反立方方程、反四次方程等。

二、不等式不等式是一个或多个变量之间的不相等关系，它是一个集合，表达式中常见的不相等关系有大于(>)、小于(<)、大于或等于(>=)、小于或等于(<=)。

不同的不相等关系会得出不同的解集，如正实数集、负实数集、正零集、负零集、正无穷大集、负无穷大集、无界集。

三、因式分解因式分解是将一个多项式分解成乘法相乘的因式的过程，这个过程可以通过几何图形来表达。

因式分解的步骤是首先将多项式化为最低项式，然后将最低项式分解成乘法相乘的因式，最后将分解出来的因式合并成原来的多项式。

因式分解有助于人们理解多项式，还可以用来计算多项式的值。

四、因式化简因式化简是将一个多项式化为乘法相乘的最少因式的过程。

因式化简步骤是先将多项式化为最低项式，然后将最低项式分解成乘法相乘的因式，最后将分解出来的因式进行化简，使其只有最少的因式。

因式化简有助于人们理解多项式，还可以用来计算多项式的值。

五、指数和对数指数是一个数字表达式，它表明一个数字乘以多少次幂才能得到另一个数字。

比如：2^3表明2乘以3次幂（2*2*2）才能得到8。

初等代数研究

初等代数研究初等代数是数学的一个基础学科，主要研究数的运算、方程的解法以及数学关系的性质。

在初等代数中，我们学习了许多基本的数学概念和技巧，为进一步学习高等数学打下了坚实的基础。

首先，在初等代数中，我们经常进行数字的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。

通过这些运算，我们能够快速计算数字的结果，并且掌握了数字运算的规律和性质。

四则运算是初等代数学习中的基础，其他许多知识和技巧都是建立在四则运算的基础上的。

其次，在初等代数中，我们学习了方程的解法。

方程是数学中非常重要的一个概念，它描述了数学关系的性质。

通过解方程，我们可以找到满足方程条件的数值，从而解决问题。

在初等代数中，我们学习了一元一次方程、一元二次方程等不同类型的方程，并且学会了基本的解方程方法，如因式分解、配方法、求根公式等。

此外，在初等代数中，我们还学习了许多数学关系的性质。

例如，我们学习了等式的性质，包括交换律、结合律和分配律等。

这些性质不仅可以简化计算，还可以帮助我们证明和推导其他数学定理。

我们还学习了数列和数列的求和公式，以及概率和统计的基本概念和方法。

总的来说，初等代数是数学学习的基础，它培养了我们的逻辑思维能力和问题解决能力。

通过初等代数的学习，我们不仅掌握了数字运算的技巧，还学会了运用数学方法解决实际问题。

初等代数的知识和技能在日常生活中都有着广泛的应用，它是我们进一步学习高等数学和其他数学学科的基础。

总之，初等代数是数学学习中不可或缺的一部分，它涵盖了数字运算、方程的解法和数学关系的性质等基础知识和技能。

通过初等代数的学习，我们能够提高自己的数学素养，并且为后续的学习打下坚实的基础。

无论是在学习、工作还是日常生活中，初等代数的知识都能发挥重要的作用。

因此，我们应该认真对待初等代数的学习，努力提高自己的数学水平。

数学的发展历史

中国数学史上最先完成勾股定理的证明
赵爽(东汉末至三国时代,生平不详，约生活于公元3世纪) 研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周牌算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。其中的弦图相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。
《抛物线求积法》研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。《论螺线》是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。《平面的平衡》是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。《浮体》，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。《论锥型体与球型体》讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。
（上海图书馆藏）
《周髀算经》中的 “勾股定理”
（约公元前700年）
《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到 “勾广三股修四经隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”
秦九韶的《数书九章》卷一“大衍总数术”

代数的介绍

代数的介绍代数，作为数学的一个重要分支，是研究数和数量关系的一门学科。

代数的研究对象是数和符号，通过符号的运算和变换来研究数的性质和数量关系。

代数分为初等代数、线性代数、抽象代数等多个分支。

初等代数是代数的基础，它涉及到整数、有理数、实数和复数等基本数系，以及代数方程、多项式等基本概念和运算。

在初等代数中，我们学习了加法、减法、乘法、除法等基本运算，以及整式、分式、方程等基本概念。

通过初等代数的学习，我们可以解决很多实际问题，比如求解方程、计算多项式的值等。

线性代数是代数的一个重要分支，它研究的是向量和矩阵的性质和运算。

在线性代数中，我们学习了向量的加法、数乘、内积和外积等基本运算，以及矩阵的加法、数乘、乘法等基本运算。

线性代数在很多领域都有广泛的应用，比如物理学、工程学、计算机科学等。

通过线性代数的学习，我们可以研究空间的几何性质、解决线性方程组等问题。

抽象代数是代数的一个高级分支，它研究的是代数结构的一般性质和规律。

在抽象代数中，我们学习了群、环、域等代数结构的定义和性质。

通过抽象代数的学习，我们可以研究代数结构之间的关系和相互作用，深入理解数学的抽象性和普遍性。

除了初等代数、线性代数和抽象代数，代数还有很多其他的分支，比如数论、代数几何等。

数论是研究整数性质和整数运算的一门学科，它在密码学和编码理论中有重要应用。

代数几何是研究代数方程和几何图形之间的关系的学科，它在几何学和拓扑学中有广泛的应用。

代数作为数学的重要分支，不仅在理论上有着深刻的意义，而且在应用上也有着广泛的应用。

代数的研究成果不仅为其他数学分支提供了基础，也为其他学科的发展做出了重要贡献。

通过学习代数，我们可以培养逻辑思维能力和抽象思维能力，提高解决问题的能力。

同时，代数还可以帮助我们理解和解释现实世界中的一些现象和规律。

代数作为数学的一个重要分支，通过符号的运算和变换来研究数的性质和数量关系。

初等代数、线性代数、抽象代数等是代数的几个主要分支，它们分别研究了数的基本运算、向量和矩阵的性质、代数结构的一般性质和规律。

初等代数发展概述

初等代数发展概述
在初等意义下，代数学是指不用数字表示个别的数而用字母来代表一般的数，并对数的关系，数的性质和数的运算法则加以研究．
代数学的发展历史可追溯到古代埃及、巴比伦和中国古代数学中有关解方程问题的记载，到了公元3世纪，希腊数学家丢藩都撰著了《算术》一书，比较系统地对包括不定方程在内的一次、二次方程的解法作了讨论，并最早采用缩写符号来表示未知数及其各次幂、倒数、等式等，这可以说是符号代数的早期尝试．
此后，印度和阿拉伯数学家对丢藩都的工作加以了继承和发展．例如，用字母来代表未知数的这种代数思想就是来源于印度的．
文艺复兴可以说是代数学发展的一个里程碑．那时，代数学的一些早期研究成果经阿拉伯传至欧洲，意大利数学家对三、四次方程求根方法作了深入研究并获得了很好的成果，这些成果有效地促进了方程根与系数的关系，方程根的个数以及近似解等方程问题的研究，从而进一步推动了代数的符号化．到这时，代数学的主要内容还只是求解方程，直到19世纪初，阿贝尔证明不能用根式来解一般的五次方程，伽罗华彻底解决了用根式解代数方程的可能性的判定问题，从而既丰富了初等代数学的内容，又促进了代数学的新发展．现在，代数学的对象已由数扩大到向量、矩阵等，到本世纪，代数学的研究对象转向非特定的任意元素集合和定义在这些元素之间的，满足若干条件或公理的代数运算，即以研究各种代数结构（或称系统）的性质作为其中心任务．。

初等代数的基本内容

初等代数
初等代数是一种数学课程，它涉及数学中的基本概念，如算术，代数，几何和概率。

它主
要用于学习数学概念和解决实际问题，从而帮助学生掌握数学知识。

一、算术
算术是初等数学的基础，它是数学中最基本的概念，包括加法，减法，乘法，除法和平方
根等。

它是一种基础的数学技能，可以帮助学生掌握基本的数学概念，如数字，因数，运
算符等。

例如，让学生计算3 + 4 = 7，可以帮助他们掌握基本的加法算术。

二、代数
代数是初等数学的重要部分，它包括求解方程，求解不等式，绘制函数图像等。

代数主要
用于解决实际问题，如求解线性方程组，解决实际问题，如求解一元二次方程等。

例如，
如果学生需要解决2x + 3 = 7的方程，他们可以使用代数来解决这个问题，答案是x = 2。

三、几何
几何是初等数学的重要部分，它涉及图形，空间，距离，角度等概念。

几何可以帮助学生
理解和解决实际问题，如计算三角形的面积，计算圆的周长等。

例如，让学生计算一个正
三角形的面积，可以帮助他们掌握基本的几何概念。

四、概率
概率是初等数学的重要部分，它主要用于研究随机事件的可能性，如抛硬币，掷骰子等。

概率可以帮助学生理解和解决实际问题，如估算抛硬币的可能性，估算掷骰子的可能性等。

例如，让学生计算抛硬币的可能性，可以帮助他们掌握基本的概率概念。

总结
初等数学是一种数学课程，它涉及数学中的基本概念，如算术，代数，几何和概率。

它主
要用于学习数学概念和解决实际问题，从而帮助学生掌握数学知识。

数学学科分支体系

数学学科分支体系一、初等数学初等数学是数学的基础学科，包括代数、几何和数论等内容。

代数是研究数和运算规律的学科，包括整数、有理数、多项式、方程等内容。

几何是研究空间和形状的学科，包括点、线、面、体的性质和变换等内容。

数论是研究整数性质的学科，包括素数、约数、同余等内容。

二、高等数学高等数学是数学的核心学科，包括微积分、数列、级数、常微分方程等内容。

微积分是研究变化率和积分的学科，包括极限、导数、积分、微分方程等内容。

数列和级数是研究数列和无穷级数的学科，包括等差数列、等比数列、收敛性等内容。

常微分方程是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的学科，包括一阶线性常微分方程、二阶常微分方程等内容。

三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的学科，包括概率模型、随机变量、概率分布、抽样分布、参数估计、假设检验等内容。

概率论是研究随机现象的量化和描述的学科，包括概率模型、条件概率、随机变量、概率分布等内容。

数理统计是研究通过样本对总体进行推断的学科，包括抽样分布、参数估计、假设检验等内容。

四、离散数学离散数学是研究离散结构和离散对象的学科，包括集合论、图论、代数结构等内容。

集合论是研究集合及其运算的学科，包括集合的性质、运算规律、集合间的关系等内容。

图论是研究图及其性质和应用的学科，包括图的基本概念、图的遍历和连通性、最短路径等内容。

代数结构是研究代数系统及其性质的学科，包括群、环、域等内容。

五、数学分析数学分析是研究实数、函数和极限的学科，包括实数的性质、函数的极限和连续性等内容。

实数是研究实数集的性质和运算规律的学科，包括实数的有序性、上界和下界、实数的完备性等内容。

函数是研究自变量和因变量之间关系的学科，包括函数的极限、连续性、导数和积分等内容。

六、数学逻辑与集合论数学逻辑是研究数学推理和证明的学科，包括命题逻辑、一阶谓词逻辑等内容。

命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的学科，包括命题的合取、析取、蕴含等内容。

初等代数发展概述

数学分支巡礼

数学分支巡礼数学分支巡礼最早的数学──算术算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。

它研究数的性质及其运算。

“算术”这个词，在我国古代是全部数学的统称。

至于几何、代数等许多数学分支学科的名称，都是后来很晚的时候才有的。

国外系统地整理前人数学知识的书，要算是希腊的欧几里得的《几何原本》最早。

《几何原本》全书共十五卷，后两卷是后人增补的。

全书大部分是属于几何知识，在第七、八、九卷中专门讨论了数的性质和运算，属于算术的内容。

现在拉丁文的“算术”这个词是由希腊文的“数和数(音属，shu 三音)数的技术”变化而来的。

“算”字在中国的古意也是“数”的意思，表示计算用的竹筹。

中国古代的复杂数字计算都要用算筹。

所以“算术”包含当时的全部数学知识与计算技能，流传下来的最古老的《九章算术》以及失传的许商《算术》和杜忠《算术》，就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。

关于算数的产生，还是要从数谈起。

数是用来表达、讨论数量问题的，有不同类型的量，也就随着产生了各种不同类型的数。

远在古代发展的最初阶段，由于人类日常生活与生产实践中的需要，在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然数的概念。

自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。

比如说树和羊这两种事物，如果说两棵树，就是一棵再一颗；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。

但不能说有半棵树或者半只羊，半棵树或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作树和羊。

不过，自然数不足以解决生活和生产中常见的分份问题，因此数的概念产生了第一次扩张。

分数是对另一种类型的量的分割而产生的。

比如，长度就是一种可以无限地分割的量，要表示这些量，就只有用分数。

从已有的文献可知，人类认识自然数和分数的历史是很久的。

比如约公元前2000年流传下来的古埃及莱茵德纸草书，就记载有关于分数的计算方法；中国殷代遗留下来的甲骨文中也有很多自然数，最大的数字是三万，并且全部是应用十进位制的位置计数法。

自然数和分数具有不同的性质，数和数之间也有不同的关系，为了计算这些数,就产生了加、减、乘、除的方法，这四种方法就是四则运算。