2018版高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式选学学案新人教B版

2.1.2 数列的递推公式(选学)
学习目标 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．
知识点一 递推公式
思考 下图形象地用小正方形个数给出数列{a n }的前4项：
那么a 2＝a 1＋______，a 3＝a 2＋______，a 4＝a 3＋____.由此猜想a n ＝a n －1＋______.
梳理 思考中的数列{a n }可由⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
a n ＝a n －1＋n ，n ≥2完全确定．
一般地，如果已知数列的__________(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的______________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
知识点二 递推公式与通项公式的比较
思考 (1)已知⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，
a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋，求a 4；
(2)已知a n ＝2n ，求a 4.
梳理 通项公式和递推公式都是给出数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意
一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项．
类型一 由数列前若干项归纳递推公式
例1 已知数列{a n }的前4项依次是：13,31,49,67，试猜想a n ＋1与a n 的关系．
反思与感悟 递推公式是反映数列相邻两项(或几项)间的关系的，所以寻找数列的递推关系，也常从数列相邻项有何变化着手，常考虑的变化有：数列是递增不是递减，若递增，增幅有什么规律．
跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，试猜想{a n }的递推公式．
类型二 数列的递推公式的应用
命题角度1 由递推公式求前若干项
例2 设数列{a n }满足⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，a n ＝1＋1
a n －1n >1，n ∈N ＋写出这个数列的前5项．
引申探究
数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝
1＋a n
1－a n
，求a 2 016.
反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．
跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．
命题角度2 由递推公式求通项
例3 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N
＋
)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n ；
(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3
a 2·…·a n
a n －1
＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n
(n ≥2，n ∈N ＋)，求通项a n .
反思与感悟 形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －
a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)求通项公式；形如
a n ＋1
a n
＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1
＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)求通项公式．
跟踪训练3 已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{a n}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 016项？
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．a n＋1＝a n＋n，n∈N＋
B．a n＝a n－1＋n，n∈N＋，n≥2
C．a n＋1＝a n＋(n＋1)，n∈N＋
D．a n＝a n－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
2．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项a n等于( )
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
1．{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．
3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.
答案精析
问题导学 知识点一 思考 2 3 4 n 梳理 第1项 前一项a n －1 知识点二
思考 (1)a 2＝a 1＋2＝4，a 3＝a 2＋2＝6，
a 4＝a 3＋2＝8.
(2)a 4＝2×4＝8. 题型探究 类型一
例1 解 由a 2－a 1＝31－13＝18，
a 3－a 2＝49－31＝18， a 4－a 3＝67－49＝18，
猜想a n ＋1－a n ＝18，即a n ＋1＝a n ＋18. 跟踪训练1 解 由a 2－a 1＝3－1 ＝2＝21
，
a 3－a 2＝7－3＝4＝22， a 4－a 3＝15－7＝8＝23，
猜想a n ＋1－a n ＝2n
，n ∈N ＋. 或a 2＝2×a 1＋1，
a 3＝2×a 2＋1， a 4＝2×a 3＋1.
∴猜想a n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N ＋. 类型二 命题角度1
例2 解 由题意可知a 1＝1，
a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝8
5
.
引申探究
解 a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋2
1－2
＝－3，
a 3＝
1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－1
2
， a 4＝1＋a 3
1－a 3＝1－1
21＋12＝13
，
a 5＝1＋a 4
1－a 4＝1＋131－1
3＝2＝a 1.
故{a n }是周期为4的数列． ∴a 2 016＝a 4×503＋4＝a 4＝1
3.
跟踪训练2 解 a 1＝2，a 2＝3，
a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33.
命题角度2
例3 解 (1)n ≥2时，
a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋2＋…＋
2
n －
个2
＝2(n －1)＋1
＝2n －1.
a 1＝1也适合上式，
所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1. (2)n ≥2时，
a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1
＝1·12·23·…·n －1n ＝1
n
.
a 1＝1也适合上式，
所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n
.
跟踪训练3 解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，
a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….
发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6. 证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，
∴a n＋3＝a n＋2－a n＋1
＝(a n＋1－a n)－a n＋1＝－a n.
∴a n＋6＝－a n＋3＝－(－a n)＝a n.
∴数列{a n}是周期数列，且T＝6. ∴a2 016＝a335×6＋6＝a6＝－1.
当堂训练
1．B 2.D 3.a n＝2n＋1，n∈N＋.。