第一章矩阵与数值分析

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大连理工大学-矩阵与数值分析第一章上

–对C的类型系统改进和扩充(更安全)
–支持面向对象
C++保持与C兼容(快速普及) C++不是纯粹的面向对象的语言

33
1.2 程序的编译过程
34
1.3 C++的词法记号
关键字各种常量操作符标识符分隔符

35
1.4 C++程序的结构
#include <iostream.h> int main() { cout<<”this is the start of something wonderful!”; cout<<endl; cout<<”And now we can say even more!”; return 0; }
Sub1
Sub2
….
Subn
各子流程实现----函数化 Func1 Func2 …. Funcn
根据系统的流程组建软件，通过函数的调用实现
17
面向对象思想
问题域 (Domain) 以问题域中的事物为中心思考问题 Object1 Object2
….
Objectn
对象归类----抽象化 Class1 Class2 …. Classn
返回类型
{ 函数体； }
50
函数名（形式参数1，形式参数2，。。。，形式参数
3.2 参数的传递
值调用
#include <iostream.h> double Volume(double radius,double height); int main() { double v; v=Volume(3.0,3.0); cout<<"Volume="<<v<<endl; return 0; } double Volume(double radius,double height) { double result=3.14 * radius * radius * height; return result; }

数值分析、矩阵论

注意：不可能找到若干个正交矩阵，经有限次正交相似变换使 A 成为对角矩阵！（4）对矩阵 A 的行、列同时实施 Householder 变换，可交矩阵 A 变换为上双对角线矩阵，即存在一系列 Householder 变换矩阵 U m −1 , U m − 2 ⋯U 2 , U1 , V1 , V2 ,⋯ , Vn − 2 ，使
数值分析讲义 GDY
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补充资料：线性代数三大正交变换一． Householder 变换
1、2D 与 3D 中的对称变换： XOY 平面点关于 X 轴的对称变换是 x ′ = x, y ′ = − y ，用矩阵表示即
1 0 0 x ′ 1 0 x 1 0 T y′ = 0 −1 y ，称 H = 0 −1 为镜像阵，且 H = 0 1 − 2 1 [ 0 1] = I − 2 ww ， T 其中 w = [ 0 1] 为 X 轴的法线方向法线方向（。法线方向 Y 轴方向）
1 3 2 1 2
1 4 2 -1 2
-0.3536 -0.7071 T （1）取 u = (1 2 1 -1 1) ，H 变换矩阵 U1 = -0.3536 0.3536 -0.3536
-0.7071 -0.3536 0.3536 -0.3536 0.6306 -0.1847 0.1847 -0.1847 -0.1847 0.9077 0.0923 -0.0923 0.1847 0.0923 0.9077 0.0923 -0.1847 -0.0923 0.0923 0.9077 -2.8284 -1.0607 -3.5355 -4.9497 0 0.9235 0.6306 0.8918 （2） A2 = U1 A = 0 -1.5383 0.8153 0.4459 2.5383 2.1847 0.5541 0 0 0.4617 0.8153 0.4459 0 0 0 1 0 -0.1718 -0.5726 -0.8016 T （3）取 v = ( -1.0607 -3.5355 -4.9497 ) ，求得 V1 = 0 -0.5726 0.7202 -0.3917 0 -0.8016 -0.3917 0.4516 0 0 -2.8284 6.1745 0 -1.2346 -0.4240 -0.5846 -0.5601 1.2933 1.1151 （4） A3 = A2V1 = 0 -2.1312 -0.0970 -2.6403 0 0 -0.9036 0.1481 -0.4882 0 0 0 0 1 0 -0.4602 -0.2088 -0.7944 -0.3368 T （5）取 u = ( -1.2346 -0.5601 -2.1312 -0.9036 ) ，得 U 2 = 0 -0.2088 0.9702 -0.1136 -0.0482 0 -0.7944 -0.1136 0.5678 -0.1833 0 -0.3368 -0.0482 -0.1833 0.9223 0 0 -2.8284 6.1745 0 2.6826 -0.0477 2.2983 （6） A4 = U 2 A3 = 0 0 1.3471 1.5273 0 0.1077 -1.0719 0 0 0 0.2349 0.1768

矩阵与数值分析部分习题解答

其具有6位有效数字。故
*
而
y y* zz ，于是， y
*
1 4 1 1 k n 26 10 y y 10 10 2 2 2
y y* y z
* *
z z* z
*

0.5 104 0.5 106 59.9833 4.09407
可见，用公式 f ( x) ln x
k
k 2 k A A ( I A ) 5．证明ρ(A)＜1时，

1 注意，绝对收敛的函数幂级数 f t t 1 t , t 1，则证明(1)： k 0 1 t k 1 k s t f t t f t kt kt 令 2 1 t 1 t 2 k 1 k 0
3 。节点为: x1 h , x2 2h , x3 3h 4 8 8
相应的方程组为：
2 1 h 2 0 1 h 2 0 u1 h u2 1 2 2 u 3

2 先令 y x x 1 ，由于开方用六位函数表，则 y 的误差为已
知，故应看成 z g ( y) ln( y) , 由 y的误差限
* ln( y ) ln( y )。误差限
y y * 求g(y)的
解：当x=30时，求 y 30 302 1 , 用六位开方表得
xi a ih,
h 称为步长。
i 0,1,
,N, h
ba N
于是我们得区间 I=[a, b]的一个网格剖分。 xi称为网格节点,
h
a x0 x1

数值分析-第一章ppt课件

数及其图形作出判断. 整理版课件
6
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0. 其中的x2=0明பைடு நூலகம்失真, 这也是由于舍入误差造成的.
整理版课件
8
§1 误差的来源
实际问题
建立数学模型
确定计算方法
编程上机
由抽象简化产生的模型误差及参数的观测误差
由计算方法本身产生的截断误差或称方法误差
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2)
整理版课件
18
乘法相关的误差公式：设 f (x1, x2)= x1 x2 . e ( x 1 x 2 ) x 2 e ( x 1 ) x 1 e ( x 2 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 1 ) e r ( x 2 ) |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r ( x 1 x 2 ) | |e r ( x 1 ) | |e r ( x 2 ) |

张宏伟《矩阵与数值分析》第一章绪论

第一章误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称a x -为近似值a 的绝对误差，简称为误差．当0≠x 时，xax -称为a 的相对误差．在实际运算中，精确值x 往往是未知的，所以常把aax -作为a 的相对误差． 2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数a e ，使得 a e a x ≤- 称a e 为a 的绝对误差界，或简称为误差界．称ae a 是a 的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a 近似x 的程度越好，即a 的精度越好．3）．有效数字设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成n k a a a a 21.010⨯±=它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1( =i a i 是9,,1,0 中的一个数字，k a ,01≠为整数．如果n k a x -⨯≤-1021则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值．如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足：n a a a x -⨯≤-111021。

4）．函数计算的误差估计如果),,,(21n x x x f y =为n 元函数，自变量n x x x ,,,21 的近似值分别为n a a a ,,,21 ，则)(),,,(),,,(12121k k n k akn n a x x fa a a f x x x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈-∑= 其中),,,(21n kak a a a f x x f ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 k a n k aka n n e x fe a a af x x x f ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈≤-12121),,,(),,,( 如果令2=n ，设21,x x 的近似值分别为21,a a ，其误差界为111a e a x ≤-和≤-22a x 2a e ，取),(21x x f y =为21,x x 之间的四则运算，则它们的误差估计为，1121a a a a e e e +≈±；112121a a a a e a e a e +≈⋅；22211121a e a e a e a a a a +≈，02≠a 。

矩阵与数值分析

矩阵与数值分析学院电子信息与电气工程学部专业生物医学工程班级学号姓名刘江涛1：考虑计算给定向量的范数；输入向量T n x x x x ),,,(21 =，输出∞x x x ,,21，请编制一个通用程序，并用你编制的程序计算如下向量的范数：()TTn y n x ,,2,1,1,,31,21,1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=对1000,100,10=n 甚至更大的n 计算其范数，你会发现什么结果？你能否修改你的程序使得计算结果相对精确呢？通用求范数程序： function NORM(x) y1=sum(abs(x)); y2=(sum(x.^2))^(1/2); y3=max(abs(x));fprintf('1-范数=%g ； 2-范数= %g ； inf-范数=%g\n',y1,y2,y3); 例题的运行程序： function xianglaing(n) x=[]; y=[]; for i=1:n x(i)=1/i; y(i)=i; enddisp('x 的范数：'); NORM(x'); disp(' ')disp('y 的范数：'); NORM(y'); 运行结果如下表：根据上述的两个表的运行结果，我们可以得知无论n 的值如何变化，对于1=∞x 恒成立；n y =∞恒成立，其1-范数与2-范数随着n 的增大而增大，但是其变化越来越小，这是因为计算在进行数值计算时有误差存在，对于表达式(1)当n 很大时n1却很小，会出现“大数吃小数的现象”；修改方案：当n 很大时我们避免用n 做除数，因为当n 非常大时01→n成立；所以在求解其范数时我们从小数开始相加，无穷个非常小的数值相加也可能是个很大的数，从而可以避免两个数相加时出现“大数吃小数”的现象；2：考虑xx x f y )1ln()(+==，其中定义1)0(=f ，此时)(x f 是连续函数，用此公式计算当]10,10[1515---∈x 时的函数值，画出图像。

数值分析第一章1.3范数

A R ，令 A max X 0
nn
AX X
r
r
, ( r 1, 2, ),
r 则为与n 相容的范数，记为。 A r Rn
称其为由向量范数诱导的矩阵空间的算子范数。
证明：1、向量范数与其诱导的矩阵空间的算子范数相容证、 A R nn、Y R n , Y 0,
2
二、矩阵的范数定义2 定义映射：R nn R, A A ，若满足： 1、 A
0, A 0 当且仅当
A 0;
2、 aA a A , a R, A R nn ;
nn 3、 A B A B , AB A . B , A, B R ,
n
2

2 2 x12 x 2 x n 0;
2

i1 axi
n
2
a

xi2 a X 2 ; i 1
n
（3）易见，X
2

X T X , 由Cauchy-Schwarz不等式
( X T Y ) 2 ( X T X )(Y T Y )
X Y
2 2
(X Y) (X Y) X
2、(齐次性).任意 a R ,有 aX a X ; 3、(三角不等式). X Y X Y 。将向量模的概念加以推广，便得到向量范数概念。
定义1 定义映射 ① ② ③
: R n ，若满足条件： R, X X
X 0;
X 0当且仅当 , X 0
aX a X , a R, X R n ;
X Y X Y , X ,Y Rn ,
n 则称其为 R上的一种范数。
最常用的如下三种向量范数： X x1 , x2 ,, xn T R n

[理学]矩阵与数值分析-第1章li-Chapter1

什么是有效算法？
考察，线性方程组的解法
⎧a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ M ⎪ ⎪ ⎩an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
早在18世纪Cramer已给出了求解法则：
2001. 数值线性代数，徐树方、高立、张平文，北京大学出版社，2000. 数值逼近，王仁宏，高等教育出版社，1999. 数值逼近方法，南京大学数学系计算数学专业编，科学出版社，1978. 微分方程数值解法，李荣华、冯果忱，高等教育出版社， 1996. 微分方程数值方法，胡健伟、汤怀民，科学出版社，1999. 矩阵分析引论，罗家洪、方卫东，华南理工大学出版社， 2006. 矩阵分析，同济大学应用数学系，同济大学出版社，2005.
本课程的成绩考核标准
1、平时的课后作业 2、数值试验报告 (Matlab,C) 3、期末考试 ≈ 70%
课程网站 /numerical/
≈ 30%
第1章
绪
论
1.1 计算机科学计算研究对象与特点
科学计算、理论计算和实验并列为三大科学方法。现代意义下的计算数学主要研究在计算机上计算的有效算法及其相关理论，从而使它成为一门新学科——科学计算。
矩阵与数值分析
大连理工大学工科硕士研究生基础学位课程
李崇君
(主讲) 作者：张宏伟、金光日、李崇君大连理工大学数学科学学院
从一个小例子开始
问题: 在一个正方形的桌面上(边长为a), 分别在四个角有四只小虫,它们同时向着逆时针方向的另一只小虫移动, 求它们的运动轨迹.

矩阵论与数值分析基础课程设计

矩阵论与数值分析基础课程设计一、项目背景矩阵论与数值分析基础是计算数学的核心内容之一，是学习计算机科学、物理学、工程学等的基础课程。

因此，本设计旨在通过实际案例，更好地帮助学生理解和掌握矩阵论与数值分析基础知识。

二、项目目标本项目的主要目标是让学生学会使用Python编程进行矩阵计算和数值分析，并且将其应用于解决实际问题。

项目的具体目标如下：1.理解矩阵和向量的基本概念和运算法则。

2.掌握矩阵的转置、加法、乘法、求逆等基本操作。

3.掌握线性方程组求解的方法，如高斯消元法、LU分解法、迭代法等。

4.掌握矩阵特征值和特征向量的求法，并了解其在实际问题中的应用。

5.理解数值积分、微分方程数值解的基本概念和方法。

6.应用所学知识，解决实际问题，如电路分析、物理学中的矢量运算、图像处理等。

三、课程设计本课程设计采用实践教学法，以具体的案例为主线，通过让学生亲手操作和实践，达到理论与实践相结合，提高学生的学习兴趣和能力。

1. 矩阵的基本操作任务一使用Python编写程序，输入两个矩阵，并进行加法、乘法、转置、求逆等操作，输出运算结果。

并分析运算规律，总结操作法则。

任务二编写程序，输入方阵，并输出其特征值和特征向量，分析特征值和特征向量间的关系，并应用于解决实际问题。

2. 线性方程组的求解任务三学习高斯消元法和LU分解法，编写程序解决方程组，比较两种方法的优缺点，分析何时使用何种方法最为适宜。

任务四了解迭代法的基本原理和流程，编写程序解决方程组，分析收敛性和收敛速度与初始值的关系，并应用于实际问题。

3. 数值积分任务五了解数值积分的基本原理和常用方法，编写程序计算定积分的值，对比不同方法的精确度和计算效率。

任务六应用数值积分方法计算实际问题，如近似计算圆的面积、求解一元方程的根等。

4. 微分方程数值解任务七了解常微分方程的基本概念和求解方法，编写程序解决ODE问题。

任务八应用所学知识解决物理学中的问题，如自由落体运动、摆的运动等。

数值分析矩阵分析基础

1in
i
A(谱范数） 2
注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。
定义5：设|| ·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ A k }，若
lim
k
Ak
A
0
则称矩阵序列{ A}k收敛于矩阵A，记为
lim
k
Ak
v y v1
v y v1
v
为矩阵A的算子范数.
由算子范数的定义，可由向量范数诱导出矩阵范数：
1）显然A0.若A0,则AmaxAx 0. x1 反之，若A0Ax 0Ax
A0.
正定性
2 ）对任意两个n阶方阵A和B，
AB max (AB)x max AxBx
定理1：定义在Rn上的向量范数 X 是变量X分量的一致连续函数。 X f (X )
定理2：在Rn上定义的任一向量范数 X 都与范数 X 等价， 1 即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式
mXXMX
1
1
成立。
推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
对常用范数，容易验证下列不等式：
2)cA |c|A , c R ;(齐次 ) 性 3)ABAB,(三角不 ) 等式 4)AB AB, (相容 ) 性
则称‖A‖为矩阵A的范数。
定义4 （矩阵的算子范数）
设xRn, ARnn, x 是向量范数(v=1,2,或), v
称矩阵的非负函数
A
Ax sup v sup Ay来自=max Ayv
x x
( 1 )c o n d ( A ) A 1A A 1 A I 1

数值分析第1章

13 14
3．计算复杂性尽可能小从实际需要出发，我们还需要考虑计算量的大小，即所谓计算复杂性问题。它由以下两个因素决定的：使用中央处理器 CPU）的时间，主要由四则运算使用中央处理器（的时间主要由四则运算的次数决定；占用内存储器的空间，主要由使用的数据量来决定。
4．要有数值化结果数值计算的许多方法是建立在离散化的基础上进行的，其解决问题的最终结果不是解析解而是数值近似解。对于给定的数学模型，采用不同的离散手段可以导致不同的数值方法，应该通过计算机进行数值试验，进行分析、比较来选定算法。对新提出的算法，有的在理论上虽然还未证明其收敛性，但可以从具体试验中发现其规律，为理论证明提供线索。
x2 =
−b − b 2 − 4ac 2c = 2a −b + b 2 − 4ac
9
来严重影响应尽量避免来严重影响，应尽量避免。例3
，
在 4 位浮点十进制数下，用消去法解线性方程
⎧0.00003 x1 − 3 x 2 = 0.6 ⎨ x1 + 2 x 2 = 1 . ⎩
组
2 ×10 =1 . 109 + 109
§1.1
预备知识
一、集合
把一些确定的彼此不相同的事物汇集在一起成为一个整体，称为集合。表示方法：描述法；列举法。分类：有限集；无限集（可列集，不可列集）。
9
10
可列集（可数集）：设 A 是无限集，若 A 中的一切元素可以用自然数编号（即 A 与自然数集 N 一一对应），使 A 写成 A={ A { a1 , a2 , a3 ,L an ,L },则称 A 为可列集（或可数集）。否则，称为不可列集。如：有理数集是可列集，数列构成的集合是可列集；无理数集、[0，1]中的全体实数构成的集合是不可列集。

矩阵与数值分析讲解

2013级工科硕士研究生《矩阵与数值分析》课程数值实验题目一、设622101NNjSj==-∑，分别编制从小到大和从大到小的顺序程序分别计算100001000000,S S并指出两种方法计算结果的有效位数。

Matlab程序如下：function [si,sd]=S(N)format long;si=0;sd=0;for j=N:-1:2si=1.0e6/(j^2-1)+si;endfor j=2:Nsd=1.0e6/(j^2-1)+sd;endend在matlab命令窗口中输入：[si,sd]=S(10000)运行结果：si =7.499000049995000e+005sd =7.499000049994994e+005在matlab命令窗口中输入：[si,sd]=S(1000000)运行结果：si =7.499990000005000e+005sd =7.499990000005200e+0051结果分析：si为从大到小的顺序求和的值，sd为从小到大的顺序求和的值。

当N分别为10000和1000000时，si分别为7.499000049995000e+005和7.499990000005000e+005，可以看出这两个数的有效值均为13位；而sd分别为7.499000049994994e+005和7.499990000005200e+005，这两个数的有效值均为16位。

这就出现了我们在矩阵理论课上所学的“大数吃小数”的问题。

为了使结果更为精确我们必须避免在四则运算中出现“大数吃小数”的情况，应该按从小到大的顺序进行求和。

二、解线性方程组1．分别利用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax b=，其中常向量为()21n-维随机生成的列向量，系数矩阵A具有如下形式1111111122n n n n n n n n T I I I A I I T I --------+-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-+⎝⎭，其中1211112n T --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭为1n -阶矩阵，1n I -为1n -阶单位矩阵，迭代法计算停止的条件为：101210k k x x -+-<，给出10,100,1000n =时的不同迭代步数．求解系数矩阵A 和向量b 的Matlab 程序如下：function [A,b,x0]=jz(n)for i=1:n-1 %此处n 赋值即可，如n=100for j=1:n-1if(i==j)T(i,j)=2;endif(i==(j+1))T(i,j)=-1;endif(i==(j-1))T(i,j)=-1;endendendI=eye(n-1);k=1;for mm=1:(n-1)A(k:(k+n-2),k:(k+n-2))=T+2*I;k=k+n-1;endk=1;for xx=1:(n-2)A(k:(k+n-2),(k+n-1):(k+2*n-3))=-I;A((k+n-1):(k+2*n-3),k:(k+n-2))=-I;k=k+n-1;endb=randn((n-1)^2,1);x0=zeros((n-1)^2,1);Jacobi 迭代法Matlab 程序如下：function n=jacobi(A,b,x0)eps= 1.0e-10;M = 10000;D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0=x;x=B*x0+f;n=n+1;if(n>=M)disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！');return;endendGauss-Seidel迭代法Matlab程序如下：function n=gauseidel(A,b,x0)eps= 1.0e-10;M = 10000;D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=G*x0+f;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0=x;x=G*x0+f;n=n+1;if(n>=M)disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！');return;endend在matlab命令窗口中输入：[A,b,x0]=jz(10);J10=jacobi(A,b,x0)G10=gauseidel(A,b,x0)[A,b,x0]=jz(20);J20=jacobi(A,b,x0)G20=gauseidel(A,b,x0)[A,b,x0]=jz(30);J30=jacobi(A,b,x0)G30=gauseidel(A,b,x0)运行结果：J10 =436；G10 =214J20 =1810；G20 =913J30 =3990；G30 =2001结果分析：N=10且M=1000时，Jacobi 迭代法和Gauss —seidel 迭代法的迭代次数分别为436和214；N=20且M=1000时，Jacobi 迭代法和Gauss —seidel 迭代法的迭代次数分别为1810和913；N=30且M=1000时，Jacobi 和Gauss-seidel 算法的迭代次数分别为3990和2001次。

矩阵与数值分析公式总结

第一章绝对误差：121100.x 102k k n na a a a a -=±⨯⋅⋅⋅⋅-≤⨯，则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值相对误差：如果a 有n 位有效数字，则11x 1102n a aa --≤⨯ ；如果11x 11021n a a a --≤⨯+（），则a 至少有n 位有效数字。

近似绝对误差估计式：'()()()f x f a f a x a -≈- 近似相对误差界为：'()()()()()f a f x f a x a f a f a -≤-N 元函数误差界：1231231(x ,x ,x ,....x )(,,,....)nn n k k k k af f f a a a a x a x =⎛⎫∂-≤-⎪∂⎝⎭∑111222111112max p ,1nii n i i ii nn pp i pi x x p ==∞≤≤==⎛⎫===⎪⎝⎭∞=⎛⎫=≤<+∞⎪⎝⎭∑∑∑向量范数：范数：范数：范数：范数：x x x x x x111112111max max mij j ni nij i mj mnij m i j Fa a a ≤≤=∞≤≤========∑∑∑∑（列和范数）（行和范数）（算子范数谱：范数）A A A AA(A)max i iρλ=谱半径：（A 的最大特征值）第二章,H H H A A AA A A =正规矩阵：是的共轭转置。

常见的Hermite 阵（A A =H ）、实对称矩阵（A A =T ）、斜Hermite 阵（A A -=H ）、实反对称矩阵（A A -=T ）、酉阵（I AA A A ==H H ）和正交矩阵（I AA A A ==T T ）等均为正规矩阵．正定的充分必要条件是：A 的各阶顺序主子式都为正。

A 的特征值全为正。

T T A A AA E ==正交矩阵： 1T A A -= 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。

矩阵与数值分析

2011级工科硕士研究生《矩阵与数值分析》课程数值实验报告教学班号：1任课老师：张宏伟姓名：xxx院系：机械工程学院学号：21104218一、对于数列11111,,,,,392781，有如下两种生成方式1、首项为01a =，递推公式为11,1,2,3nn a a n -== ； 2、前两项为0111,3a a ==，递推公式为1210,2,3,3n n n a a a n --=-= ；给出利用上述两种递推公式生成的序列的第50项。

1题程序: clear; clc;a=linspace(0,0,50); k=1;a(1)=1; %a0=a(1),a1=a(2)依次类推....a49=a(50)。

for k=1:49a(k+1)=1/3*a(k); endformat short e a 运行结果 a =Columns 1 through 61.0000e+000 3.3333e-001 1.1111e-001 3.7037e-002 1.2346e-002 4.1152e-003Columns 7 through 121.3717e-003 4.5725e-004 1.5242e-004 5.0805e-005 1.6935e-005 5.6450e-006Columns 13 through 181.8817e-006 6.2723e-0072.0908e-007 6.9692e-008 2.3231e-008 7.7435e-009Columns 19 through 242.5812e-009 8.6039e-010 2.8680e-010 9.5599e-0113.1866e-011 1.0622e-011Columns 25 through 303.5407e-012 1.1802e-012 3.9341e-013 1.3114e-0134.3712e-014 1.4571e-014Columns 31 through 364.8569e-015 1.6190e-0155.3966e-016 1.7989e-016 5.9962e-017 1.9987e-017Columns 37 through 426.6625e-018 2.2208e-0187.4027e-019 2.4676e-0198.2253e-020 2.7418e-020Columns 43 through 489.1392e-021 3.0464e-021 1.0155e-021 3.3849e-022 1.1283e-022 3.7610e-023Columns 49 through 501.2537e-023 4.1789e-024clear;clc;a=linspace(0,0,50);k=3;a(1)=1; %a0=a(1),a1=a(2)依次类推....a49=a(50)。

矩阵与数值分析-教学大纲

《矩阵与数值分析》教学大纲
开课院系：数学科学学院课程编号：2120020013
英文名称：Matrix and Numerical Analysis开课学期：秋
任课教师：张宏伟金光日李崇君董波孟兆良
教学对象：硕士适合专业：工科各专业
课程作用与任务：《矩阵与数值分析》课程是为工科硕士研究生开设的公共基础课程。

课程主要讲授当前科学与工程计算中所涉及的微积分、常微分方程、代数和矩阵计算等内容中数值问题的算法、理论分析等内容。

通过本课程的教学，应使学生掌握计算机现代数值方法的基本概念、基本理论与基本方法，为今后的学习、工作打下坚实基础。

教学主要内容及对学生的要求：
1、学习内容：主要涉及当前科学与工程计算中所涉及的微积分、常微分方程、代数和矩阵计算等内容中数值问题的算法及相关理论。

2、实验内容：对课程中所涉及的计算方法进行数值实验（不占教学课时）。

3、先修知识：线性代数，微积分。

考核方式：考试、闭卷
教材名称：计算机科学计算（第二版），张宏伟，金光日，施吉林高等教育出版社，2012.主要参考书目：主要参考书目：科学和工程计算基础，施妙根等编，清华大学出版社，1999
矩阵论简明教程，徐仲等，科学出版社，2001．
教学日历：
编制人签字：张宏伟（课程负责人）、金光日一级学科点长签字：主管研究生负责人签字：编制时间：2012-5-31。

第一章矩阵与数值分析

大连理工大学-矩阵与数值分析第一章上

数值分析、矩阵论

矩阵与数值分析部分习题解答

数值分析-第一章ppt课件

张宏伟《矩阵与数值分析》第一章 绪论

矩阵与数值分析

数值分析第一章1.3范数

[理学]矩阵与数值分析-第1章li-Chapter1

矩阵论与数值分析基础课程设计

数值分析矩阵分析基础

数值分析 第1章

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数值分析第1章