矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析
(整理)数值分析课件典型例题与习题2.ppt
1
1
1
1
1 mn,n1
1
1
····
m21
m
n1
1 mn,n1
1
F1-1F2-1 ···Fn-1-1 =
16/51
例2.设A为对称矩阵。高斯消元法一步后,A约化为
a011
1T
2
5
2
2
1 2
1 3
2
3
1
12
3
1
10
3
28/51
三对角矩阵分解
2 1
2 1
1
3 2
2 4
2
1 / 2
5/2 2
2 4
2
3
5
3
5
2 1 / 2
1 5/2 4/5
2 12 / 5 3
2
2
1
/
2
5
1 5/2 4/5
2 12 / 5 5/4
m31u12+ m32u22=a32, ···, mn1u12+ mn2u22=an2
m32=(a32- m31u12)/u22, ···, mn2=(an2- mn1u12)/u22
对A的元素aij ,当 j≥k 和 i≥k+1时
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法
1.1内容提要
1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：
1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。 2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：
1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(
Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式
f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(
三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
第1章--1(矩阵与数值分析)
fx1,x2f,xa31, a2f,a a31,a2,a3x1x2ax 13 a2a a 13 a2a3
x1a1a3x2a2a2x3a3 a1a2a3
由已知，x1a1
1102, 2
x2 a2
1102, 2
x3 a3
1102, 2
其中 在 x与 a之间。如果 f'(a)0 , f''()与 f'(a)
相差不太大，则可忽略 x a 的二次项，得到 f (a) 的一个
近似误差:
f (x) f (a) f '(a) x a
如果 f(x1,x2, ,xn)为 n 元函数，自变量 x1,x2, ,xn 的近似值分别为 a1,a2, ,an，则
四、进行数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足 上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
什么是有效算法？
考察线性方程组的解法
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2
a2nxn
b2
an1x1 an2x2 annxn bn
早在18世纪Cramer已给出了求解法则：
Cramer’s Rule
x i
D i, D
i
1 ，… ，n（D≠0）
a11 a12 a1n
矩阵分析与数值分析实验报告
《矩阵分析与数值分析》实验报告
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所在班号：
任课老师：
一．设错误！未找到引用源。，分别编制从小到大和从大到小的顺序程序计算错误！未找到引用源。并指出有效位数。
程序如下：
function sum3
j=input('请输入求和个数 "j":');
A=0;
B=0;
double B;
double A;
for n=2:j
m=n^2-1;
t=1./m;
A=A+t;
end
disp('从小到大：')
s=A
for n=j:-1:2
m=n^2-1;
t=1./m;
B=B+t;
end
disp('从大到小:')
s=B
运行结果：
>> sum3
请输入求和个数 "j":100
从小到大：
s =0.740049504950495
从大到小:
s =0.740049504950495
>> sum3
请输入求和个数 "j":10000
从小到大：
s =0.749900004999506
从大到小:
s =0.749900004999500
>> sum3
请输入求和个数 "j":1000000
从小到大：
s =0.749999000000522
从大到小:
s =0.749999000000500
二、解线性方程组
1．分别Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛----000121001210
0121
00124321x x x x 迭代法计算停止的条件为：6)()1(3
110max -+≤≤<-k j k j j x x 。
数值分析、矩阵论
1 2 例题 3：变换 A = 1 2
2
3
数值分析讲义 GDY
Page 4 of 8
U m −1U m − 2 ⋯U 2U1 AV1V2 ⋯Vn − 2
× × × ⋱ = ⋱ × ×
1 1 2 2 例题 4：双对角化， A = 1 -1 -1 2 1 1
3、应用： （1）对于任意非零向量 a ，可选择 H ，使 Ha = −σ ⋅ e1 ,其中 e1 = (1,0,...,0)T ， σ = sign( a1 ) || a ||2 。即将向 量 a 变换成除第一个分量外的其它分量皆为零。 推导： 一般取 u =
a + σ ⋅ e1 来构造 H 。 || a + σ ⋅ e1 ||
× × ⋯ × × × × ⋯ × × T 即求若干个 Household 矩阵，使 HAH = ⋮ ；对于 A 为对称矩阵时，上 Hessenberg 矩 × ⋱ ⋱ × ⋮ × × 1 a11 v ˆ 阵变成三对角矩阵。记矩阵 A 的分块表达 A = ，设 H1u = −σ e1 ， H1 = ，则 ˆ H u A ' 1 ˆT a ˆT a ˆT 1 a11 vT 1 a11 vT H vT H vT H 1 11 1 11 1 = = = HAH T = 然后再 T ， T T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ' u A σ − e A H H H u H A ' H e H A ' H − σ n −1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 对矩阵 An −1 实施同样处理，直到变换成上 Hessenberg 矩阵为止。
矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析
第一章误差分析与向量与矩阵的范数
一、内容提要
本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。
1．误差的基本概念和有效数字
1）．绝对误差和相对误差的基本概念
设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则称x-a为近似值a的绝对误差，简称
x-a
为误差．当x≠0时，x称为a的相对误差．在实际运算中，精确值x往往是未知的，所
x-a
以常把a作为a的相对误差．
2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念
设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，如果有常数ea，使得
x-a≤ea
ea
a称ea为a的绝对误差界，或简称为误差界．称是a的相对误差界．
此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a近似x的程度越好，即a的精度越好．
3）．有效数字
设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成
a=±10k⨯0.a1a2 an
它可以是有限或无限小数的形式，其中ai(i=1,2, )是0,1, ,9中的一个数字，a1≠0,k 为整数．如果
x-a≤1⨯10k-n 2
则称a为x的具有n位有效数字的近似值．
如果a有n位有效数字，则a的相对误差界满足：
4）．函数计算的误差估计
如果y=f(x1,x2, ,xn)为n元函数，自变量x1,x2, ,xn的近似值分别为a1,a2, ,an，则x-a1≤⨯101-n。 a2a1
⎛∂f
f(x1,x2, ,xn)-f(a1,a2, ,an)≈∑
k=1⎝∂xk
矩阵论与数值分析理论及其工程应用课程设计 (2)
矩阵论与数值分析理论及其工程应用课程设计背景与意义
近年来，计算机科学技术的迅速发展给各个领域的科学研究和工程实践带来了巨大的影响。数学和计算科学作为计算机学科的重要分支，在计算机科学技术的推动下得到了飞速的发展。其中，矩阵论和数值分析理论是计算科学研究和工程应用中不可或缺的数学基础。
矩阵论研究矩阵的性质和运算规律，是线性代数的一部分。数值分析理论研究数学问题的数值解法，是数学计算的一个重要研究领域。它们在计算机科学、物理学、经济学、自然科学等众多领域都有着广泛的应用。
因此，本课程设计旨在通过对矩阵论和数值分析理论的学习和实践，帮助学生掌握和应用这两个重要的数学理论，并将其运用到具体的工程问题中，提高其解决实际问题的能力和实践操作能力。
课程设计内容
理论学习
本课程设计将针对矩阵论和数值分析理论两部分内容进行理论学习，包括以下内容：
矩阵论
1.矩阵的定义和基本运算
2.线性方程组和矩阵求逆
3.矩阵特征值和特征向量
4.矩阵的奇异值分解（SVD）
5.矩阵的正交化和QR分解
数值分析理论
1.数值积分和数值微分
2.插值方法和拟合方法
3.常微分方程数值解法
4.线性方程组数值解法
5.非线性方程数值解法
应用实践
除了理论学习外，本课程设计还将结合具体的工程应用问题进行应用实践，以加深对理论知识的理解和应用能力。主要应用实践包括以下内容：
1.基于矩阵的人脸识别算法实现
2.基于最小二乘法的数据拟合实现
3.基于数值微分的图像特征提取和图像处理实现
4.基于数值解法的工程问题解决实现
以上实践内容主要涉及到矩阵论和数值分析理论的一些具体应用案例，通过实际操作，帮助学生掌握和应用课程理论知识。
同济版 数值分析与矩阵论课答案对应题型
2.用Doolittle 分解计算线性代数方程组 （LU 分解，求解）
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡201814513252321321x x x 例 已知线性方程组⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡564221261142321x x x ，用LU 分解求此线性方程组。 解：
设LU A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221261142，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=101
00
1323121l l l L ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=332322
1312
11000u u u u u u U 则：
2
*2*4122641
214233322331322231312321222121131211=++=+==+=+====u l u l l u l l u l u l l u u u 得：2
30212342
1
1
42333231232221131211=
==
======u l l u u l u u u
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴23002340142,10210121001U L .,,b LUx b Ax LU A =∴==
设b Ly y Ux =∴=,
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=∴56410210121001321y y y Ly . 得⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=344y ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=∴34423002340142321x x x Ux . 得⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=24121x
矩阵与数值分析
矩阵与数值分析
学院电子信息与电气工程学部专业生物医学工程
班级
学号
姓名刘江涛
1：考虑计算给定向量的范数；输入向量T n x x x x ),,,(21 =，输出∞x x x ,,21，请编制一个通用程序，并用你编制的程序计算如下向量的范数：
()T
T
n y n x ,,2,1,1,,3
1,21,1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=
对1000,100,10=n 甚至更大的n 计算其范数，你会发现什么结果？你能否修改你的程序使得计算结果相对精确呢？
通用求范数程序： function NORM(x) y1=sum(abs(x)); y2=(sum(x.^2))^(1/2); y3=max(abs(x));
fprintf('1-范数=%g ； 2-范数= %g ； inf-范数=%g\n',y1,y2,y3); 例题的运行程序： function xianglaing(n) x=[]; y=[]; for i=1:n x(i)=1/i; y(i)=i; end
disp('x 的范数：'); NORM(x'); disp(' ')
disp('y 的范数：'); NORM(y'); 运行结果如下表：
根据上述的两个表的运行结果，我们可以得知无论n 的值如何变化，对于1=∞x 恒成立；n y =∞恒成立，其1-范数与2-范数随着n 的增大而增大，但是其变化越来越小，这是因为计算在进行数值计算时有误差存在，对于表达式(1)当n 很大时
n
1
却很小，会出现“大数吃小数的现象”；修改方案：当n 很大时我们避免用n 做除数，因为当n 非常大时
矩阵与数值分析课后答案
矩阵与数值分析课后答案【篇一：李庆扬-数值分析第五版第5章习题答案
(20130808)】
>
【篇二：李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答
案】
>
【篇三：数值分析习题】
(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个数作减法运算；为避免
误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的； (4) 有效数字越多,相对误差越
2. 用例1.4的算法计算,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.
3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.
4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.
x1?0.3040, x2?5.1?109, x3?400, x4?0.003346,
x5?0.875?10?5
5. 证明1.2.3之定理1.1.
6. 若钢珠的的直径d的相对误差为1.0%,则它的体积v的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形）
7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m成绩为60s的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.
8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.
9. 一个园柱体的工件,直径d为10.25?0.25mm,高h为
40.00?1.00mm,则它的体积v的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有
?r(f(x))?k??r(x), 其中k?
矩阵与数值分析上机实习题汇总
矩阵与数值分析上机实习题汇总矩阵与数值分析上机实习
1.设, 其精确值为.
(1)编制按从⼤到⼩的顺序, 计算的通⽤
程序
(2)编制按从⼩到⼤的顺序, 计算
的通⽤程序
(3)按两种顺序分别计算并指出有效位数（编制程序时⽤单精度）
(4)通过本上机题，你明⽩了什么
从⼩到⼤,
代码:
%1---SN = %
N = input('please input a number(N>=2)')
if(N < 2)
disp('wrong number')
else
S = 0;
for j = 2:1:N
S = S + 1/(j^2 -1);
end
disp('S:')
disp(S)
end
结果
please input a number(N>=2)10^2
N =
100
S:
7.4005e-001
>> clear
please input a number(N>=2)10^4
N =
10000
S:
7.4990e-001
>> clear
please input a number(N>=2)10^6
N =
1000000
S:
7.5000e-001
>>
从⼤到⼩
代码:
%1---SN = %
eps('single')
N = input('please input a number(N>=2)') if(N < 2) disp('wrong number')
else
S = 0;
for j = N:-1:2
S = S + 1/(j^2 -1);
end
disp('S:')
数值分析课件第8章 矩阵特征值问题计算
特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
上页 下页
证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即 Ax=λx，其中x=(x1,x2,, xn)T0.
记 xk max xi x 1 i n 方程，即
0 ，考虑Ax=λx的第k个
第 8章
• 8.1 引言
矩阵特征问题的计算
• 8.2 幂法及反幂法 • 8.3 豪斯霍尔德方法
• 8.4 QR方法
上页
下页
8.1 引
言
工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的
振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分
析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特
征向量的问题. 下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础 知识.
上页
下页
定义1 ⑴ 已知n阶矩阵A=(aij)，则
a11 a12 a 21 a 22 ( ) det( I A) det a an2 n1 a1n a2n a nn
称为迭代向量，由假设，v0可唯一表示为
x0为Rn中任一向量，则有
x i xi ,
i 1 n
x2
n
i 1
n
2 i
数值分析中的数值解线性方程组与矩阵计算
数值分析中的数值解线性方程组与矩阵计算数值分析是一门研究利用计算机数值方法解决数学问题的学科。线
性方程组是数值分析领域中常见的问题之一，而矩阵计算则是解决线
性方程组的关键。
一、线性方程组的数值解
线性方程组指的是由一系列线性方程组成的方程组。在数值分析中，往往会遇到大规模的线性方程组，解它们的解析解是困难且耗时的，
因此需要采用数值方法来求解。
1.1 直接法
直接法是一种通过有限次数的运算，得到给定线性方程组的精确解
的方法。其中最常用的方法是高斯消元法和LU分解法。
高斯消元法通过将线性方程组的增广矩阵化为上三角矩阵，再通过
回代求解得到解向量。LU分解法则将系数矩阵分解为一个下三角矩阵
L和一个上三角矩阵U，然后通过迭代求解来得到解向量。
1.2 迭代法
迭代法是一种通过迭代逼近的方式，不断改进解的近似值，直到满
足精度要求为止。其中最常用的方法是雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭
代法。
雅可比迭代法通过将线性方程组的每个方程都表示为未知数的显式
函数，并通过迭代公式逐步逼近解向量。高斯-赛德尔迭代法则在雅可
比迭代法的基础上，通过使用每次迭代后的更新值来改善近似解的质量。
二、矩阵计算
矩阵计算在数值分析中扮演着至关重要的角色，它们是线性方程组
求解的基础。
2.1 矩阵乘法
矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。在数值分
析中，矩阵乘法常常用于表示线性方程组的系数矩阵与解向量的乘法，以及迭代法中的更新矩阵与解向量的乘法。
2.2 矩阵求逆
矩阵求逆是指找到一个矩阵的逆矩阵，使得将该矩阵与其逆矩阵相
乘得到单位矩阵。在数值分析中，矩阵求逆常常用于直接法中的LU分解和迭代法中的雅可比迭代法。
矩阵与数值分析讲解
2013级工科硕士研究生
《矩阵与数值分析》课程数值实验题目
一、设
6
2
2
10
1
N
N
j
S
j
=
=
-
∑，分别编制从小到大和从大到小的顺序程序分别计算
100001000000
,
S S
并指出两种方法计算结果的有效位数。
Matlab程序如下：
function [si,sd]=S(N)
format long;
si=0;sd=0;
for j=N:-1:2
si=1.0e6/(j^2-1)+si;
end
for j=2:N
sd=1.0e6/(j^2-1)+sd;
end
end
在matlab命令窗口中输入：[si,sd]=S(10000)
运行结果：si =7.499000049995000e+005
sd =7.499000049994994e+005
在matlab命令窗口中输入：[si,sd]=S(1000000)
运行结果：si =7.499990000005000e+005
sd =7.499990000005200e+0051
结果分析：si为从大到小的顺序求和的值，sd为从小到大的顺序求和的值。当N分别为10000和1000000时，si分别为7.499000049995000e+005和7.499990000005000e+005，可以看出这两个数的有效值均为13位；而sd分别为7.499000049994994e+005和7.499990000005200e+005，这两个数的有效值均为16位。这就出现了我们在矩阵理论课上所学的“大数吃小数”的问题。为了使结果更为精确我们必须避免在四则运算中出现“大数吃小数”的情况，应该按从小到大的顺序进行求和。
数值分析 第八章-矩阵特征值问题计算
例题
平面旋转变换(返回)
Jacobi方法步骤(返回)
Jacobi方法收敛性(返回)
Jacobi方法例题(返回)
Jacobi方法例题1(返回)
Jacobi方法例题2(返回)
平面旋转矩阵
第八章 矩阵特征值问题计算
§8.1 幂法与反幂法
百度文库§8.2 Jacobi方法
§8.1 幂法与反幂法(返回)
幂法原理
幂法迭代格式 原点平移加速
反幂法
幂法例题
幂法原理(返回)
幂法迭代格式1(返回)
幂法迭代格式2(返回)
原点平移加速(返回)
反幂法(返回)
幂法例题(返回)
§8.2 Jacobi方法(返回)
矩阵与数值分析公式总结
矩阵与数值分析公式总结
第⼀章
绝对误差：
121
100.x 102
k k n n
a a a a a -=±-≤?，则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值
相对误差：
如果a 有n 位有效数字，则11
x 1102n a a
a --≤
；如果11x 1
1021n a a a --≤?+（），则a ⾄少有n 位有效数字。
近似绝对误差估计式：'
()()()f x f a f a x a -≈-
近似相对误差界为：
'()()()()()
f a f x f a x a f a f a -≤- N 元函数误差界：1231231(x ,x ,x ,....x )(,,,....)n n n k k k k a
f f f a a a a x a x =??
-≤- ∑
111
2
22111
112max p ,1n
i
i n i i i
i n n
p
p i p
===
∞=??=≤<+∞
∑∑∑向量范数：范数：范数：范数：范数：x x x x x
x
11111
21
11max max m
ij j n
i n
ij i m
j m
n
ij m i j F
a a a ≤≤=∞≤≤========
∑∑∑
∑
（列和范数）
（⾏和范数）
（算⼦范数谱：
范数）A A A A
A
(A)max i i
ρλ=谱半径：
（A 的最⼤特征值）
第⼆章
,H H H A A AA A A =正规矩阵：是的共轭转置。
常见的Hermite 阵（A A =H ）、实对称矩阵（A A =T
）、斜Hermite 阵（A A -=H ）、实反对称矩阵（A A -=T ）、⾣阵（I AA A A ==H H ）和正交矩阵（I AA A A ==T
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第一章 误差分析与向量与矩阵的范数
一、内容提要
本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。
1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念
设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称a x -为近似值a 的绝对误差，简称为误差． 当0≠x 时，x a
x -称为a 的相对误差．在实际运算中，精确值x 往往是未知的，所
以常把a a
x -作为a 的相对误差．
2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念
设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数a e ，使得 a e a x ≤-
称a e 为a 的绝对误差界，或简称为误差界．称
a
e a
是a 的相对误差界．
此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a 近似x 的程度越好，即a 的精度越好．
3）．有效数字
设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成
ΛΛn k
a a a a 21.010⨯±=
它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1(Λ=i a i 是9,,1,0Λ中的一个数字，k a ,01≠为整数．如果
n k a x -⨯≤
-102
1
则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值．
如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足：n a a a x -⨯≤-11
1021
。 4）．函数计算的误差估计
如果),,,(21n x x x f y Λ=为n 元函数，自变量n x x x ,,,21Λ的近似值分别为n a a a ,,,21Λ，则
)(),,,(),,,(12121k k n
k a
k
n n a x x f
a a a f x x x f -⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂≈-∑=ΛΛ 其中),,,(21n k
a
k a a a f x x f Λ∂∂=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 k a n k a
k
a n n e x f
e a a a
f x x x f ∑=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂≈≤-12121),,,(),,,(ΛΛ 如果令2=n ，设21,x x 的近似值分别为21,a a ，其误差界为1
11a e a x ≤-和≤-22a x 2a e ，
取),(21x x f y =为21,x x 之间的四则运算，则它们的误差估计为，
1121a a a a e e e +≈±；112121a a a a e a e a e +≈⋅；2
2
211
12
1a e a e a e a a a a +≈
，02≠a 。
数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高． 对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：
2
12
12121a a e e a a e a a a a -+≈
-±。
如果1x 和2x 是两个十分接近的数，即1a 和2a 两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值21a a -的有效数字的位数将会很少。
对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：2
211
12
1a e a e a e a a a a +≈
。
从关系式中可以看出，如果2x 很小，即2a 很小，计算值2
1
a a 的误差可能很大。 5）．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则
⑴ 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之，成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。
⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。 ⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。 ⑷ 注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。
⑸ 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。 2．向量和矩阵范数
把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。
范数的主要的应用：
一、研究这些矩阵和向量的误差估计。
二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。
1）向量范数
定义 存在n R （n 维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为x x f =)(，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x 和y 以及任意常数R ∈α（实数域）
（1）非负性 0≥x ，并且0=x 的充分必要条件为0=x ; （2）齐次性
x x αα=；
（3）三角不等式y x y x +≤+． 则称函数
⋅
为n
R 上的一个向量范数．
常用三种的向量范数
设任意ｎ维向量T n x x x ),,,(21Λ=x ，（T
x 为向量x 的转置），
∑==n
i i x 1
1x ， 向量的1-范数
()21
,2
1
122x x x x x x =⋅=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=∑=T n i i ， 向量的2-范数
i n
i x x
≤≤∞
=1max ， 向量的∞-范数
一般情况下，对给定的任意一种向量范数⋅，其加权的范数可以表为
x x W W =，
其中W 为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。
向量范数的连续性定理 n
R 上的任何向量范数x 均为x 的连续函数。 向量范数的等价性定理 设α⋅和β
⋅
为n
R 上的任意两种向量范数，则存在两个与向量x 无关的正常数c 1和c 2，使得下面的不等式成立
βα
β
x x
x
21c c ≤≤，其中n x R ∈∀.
2). 矩阵范数 定义 存在n
n ⨯R （n n ⨯维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为A A f =)(，对任意的A,n
n ⨯∈R
B 均满足以下条件：
（1）非负性：对任意矩阵A 均有0≥A ，并且0=A 的充分必要条件为O A =;