数值分析典型例题

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数值分析典型例题

例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711,

9.000024, 9.0000343

10⨯.

解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310⨯。

注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9

是1位有效数字。

例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310⨯，

23

10-⨯。

解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程*

s 的近似值s=800m ，所需时间*

s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。

解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t

s

s e t t e t v s e s v v e -=∂∂+∂∂≈ 从

而

05.00469.035

800

5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+⨯≤+≤t e t s s e t v e

同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v

t

t v s e v s s v r r r -=∂∂+∂∂=

所以00205.035

05

.08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r

因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。

例4试建立积分20,,1,05

=+=n dx x x I n

n 的递推关系，并研究它的误差

传递。 解：151

--=

n n I n

I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。

但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可

知近似值之间的递推关系为

151

--=

n n I n

I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得

01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳

定。

（1） 可以改写为

n

I I n n 51

511+

-=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n

n e e ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-511

，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。

解：因为0)1()0(

]4,2[]11,2[)]4(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx ；17

1)2(|)(|<≤'≤'ϕϕx ，由收

敛定理可知对任意的]4,2[0∈x ，迭代格式收敛 （2）x x x x ='-=

)(,)3(2

1)(2

ϕϕ，当]4,2[∈x 时2|)(|≥'x ϕ，从而该迭代格式发散。

例7 用迭代法求方程01)1()(2=-+=x x x f 在0.4附近的根，精确到4位有效数字。

解：将方程改写成等价的形式2

)

1(1

+=

x x ，于是有3

2)1(2

)(,)1(1)(+-='+=

x x x x ϕϕ。17289.0|)4.0(|<='ϕ，从而迭代格式 ,2,1,0)

1(1

2

1=+=

+k x x k k 是局部收敛的，计算结果如下。 465552

.0,465602.0,,510204.0,4.0181710====x x x x 00005.0||1718=-x x ，

误差不超过4102

1

-⨯，从而近似解465552.018=x 具有4位有效数字。

例8 用列主元Gauss 消元法解线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++-=+-=+-6

215318153312321

321321x x x x x x x x x

解：方程组的增广矩阵为