数值分析期末复习题

一、填空题
1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ，绝对误差为 ， 相对误差为 。

2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为 。

3.对f(x)=x 3
+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。

4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。

5.设方程x=ϕ(x)有根x *
,且设ϕ(x)在含x *
的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=ϕ(x k )收敛的充要条件为 。

6.求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 。

7.⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=01100
1001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。

8.n 次Legendre 多项式的最高次项系数为 。

9.中矩形公式：)()2(
)(a b b a f dx x f b
a -+=⎰的代数精度为 。

10.求积公式：)1(2
1)0()(10
f f dx x f '+
≈⎰的代数精度为 。

11.在区间[1，2]上满足插值条件⎩
⎨⎧==3)2(1
)1(P P 的一次多项式P(x)= 。

12.设∑
==
n
k k k n x f A f I 0
)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则
∑=n
k k
A
= 。

13．梯形公式和改进的Euler 公式都是 阶精度的。

二、计算题
1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++20
53182521432321
321321x x x x x x x x x
2.设有函数值表
试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。

3.求解超定方程组⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛4323121
1121x x 的最小二乘解。

求3次自然样条插值函数 5.给定x x f =
)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建立f(x)的
二次（抛物）插值公式，利用插值公式求115的近似值并估计误差。

6.试分别写出用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解方程组 ⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
--
212112
121121x x 的第k 次迭代公式，并讨论它们的收敛性。

7.利用积分4ln 18
2
=⎰
dx x
计算ln4时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点
才能使其误差绝对值不超过4
10
2
1
-⨯。

8.建立计算dx x f ⎰8
2
)(的Gauss 求积公式，使其具有3次代数精度。

9.应用Newton 法导出方程
f(x)=x 2-a=0
的根a 的迭代格式，并求
2
1)/()(lim k k k x a x a --+→∞。

10.设f(x)=e x ,x ∈[0,1]。

求f(x)的二次最佳平方逼近多项式2
2102)(x c x c c x p ++=
11.求拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线方程。

12．用Euler 预测-校正格式求解初值问题
⎩
⎨
⎧=+='0)0(12
y y y 在0.3，0.4处的数值解。

要求写出格式，步长h=0.3，小数点后至少保留5位数字。

13．利用Euler 公式计算积分
⎰
=
x
t
dt
e x y 0
2
)(在点x=0.5,1,1.5,2的近似值。

14．试分别写出用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解方程组
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--32012103
224112532
1
x x x 的第k 次迭代公式，并讨论它们的收敛性。

15．用简单迭代法求解02.03=--x x 的所有实根，精确至3位有效数。

16．试用Gauss 消元法解下列方程组，计算过程按5位小数进行： ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---08.255.190.05.11
.40.10.15.26.15.05.12
.33
2
1
x x x （写出详细过程！
） 例17 求积公式
⎰1
0)(dx x f ≈)0(0f A +)1(1f A +)0(0f B '
已知其余项的表达式为)(f R =)(ξf k '''，)1,0(∈ξ.试确定系数0A ，1A ，0B 使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出该求积公式的余项和代数精度的次数.
解：
当)(x f =1时，⎰1
0)(dx x f =1 ⇒0A +1A =1
当)(x f =x 时，⎰1
0)(dx x f =
21 ⇒1A +0B =2
1
当)(x f =2x 时，⎰10
)(dx x f =3
1 ⇒1A =
3
1
代入求得：
0A =
3
2，1A =
3
1，0B =
6
1，从而
⎰1
)(dx x f ≈
)0(3
2f +)1(3
1f +
)0(6
1f '，且求积公式的代数精度至少为2，能否更高有待
验证.为此取 当)(x f =3
x 时，
⎰
1
)(dx x f =⎰1
3
dx x =
4
1，而
)0(3
2f +
)1(3
1f +
)0(6
1f '=3
1
说明当)(x f =3
x 时不能使求积公式准确成立，因而该公式只有2次代数精度. 下面考虑余项，设 ⎰1
0)(dx x f =
)0(3
2f +
)1(3
1f +
)0(6
1f '+)(ξf k '''
将)(x f =3
x 代入，得到
4
1=
3
1+3！k ⇒ k =72
1-
，即余项为
)(f R =)(72
1ξf '''-
，)1,0(∈ξ.
例18 设给定数据
(1) 作出函数f (x )的均差表；(2) 写出牛顿3次插值多项式)(3x N . 解：（1）
（2）)(3x N =1+21)0(-x +)1)(0(--x x +
2
3)2
3)(1)(0(---x x x
=1+2
1x +)1(-x x +
2
3)23)(1(-
-x x x
三、证明题
1.证明1-2x-sinx=0在[0,1]内有唯一根。

使用二分法求误差不大于4
10
2
1-⨯的根要迭代多
少次？
2.证明：证明方程01)(=-=x
xe x f 在(0，1)内有唯一根x *。

并证明迭代格式：
)1,0(,01∈∀=-+x e
x k
x k 是收敛的。

3.给定方程组)0,(,221122221
211
212111≠⎩⎨
⎧=+=+a a b x a x a b x a x a 试证明Jacobi 迭代法收敛的充要条件为122
112112<=a a a a r
4.设f(x)∈C 2[a,b],且f(a)=f(b)=0,求证：
|)(|max )(8
1|)(|max 2
x f a b x f b
x a b
x a ''-≤
≤≤≤≤。

5.设A ∈R n ⨯n ,证明当ρ(A)<1时，矩阵序列
S k =I+A+…+A k
(k=0,1,2,…) 收敛，并求其极限。

6.设n x x x ,...,,
10，f(x)为一个不超过n 次的多项式，证明：
(1)∑
==
n
k k k x l x f x f 0
)()()(;
(2)1)(0
=∑=n
k k x l 。

7.设f(x)∈C 2[a,b],写出梯形求积公式，并证明其截断误差为 ),(),(12
)()()
2(3
b a f
a b f R S ∈--
=ηη
8.设函数f(x)∈C[a,b],在Gauss 公式⎰∑
=≈
b
a
n
k k k x f A dx x f 0
)()(中，证明Gauss 系数。

n k dx x l A b
a
k k ,...,2,1,0,)(2
==
⎰
其中)(x l k 为Lagrange 插值基函数。

9．Euler 公式的截断误差为)(),
(2
112
1++<<''=
i i i i i x x y h R ξξ。