数值分析经典习题(含答案)
数值分析课后习题答案

0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解,并求解方程组
Ax=b,其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自,所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
数值分析习题含答案

x1 )
f (x0)
(x
x 0 )( x x0 x1
x1 )
f ' ( x0 )
(x ( x1
x0)
2 2
x0 )
f ( x1 )
R ( x)
其中 R(x) 由以下计算得到: 构造辅助函数:
(t ) f (t ) N 2 (t ) (t (x x0 ) (t x0 ) ( x
2 2
x1 ) x1 )
f [ 2 ,2 ] =-2089 ,
0 1 2 7
0 1 7
f (x)
M ,
x
[ a , b ] ,证明:在任意相邻两节点间
R1 ( x )
1 8
Mh
2
。
x xi x xi M
1
f ( ) R1 i ( x ) 2 M 8 h 2,
h ,
2
x
8 ,n
[ xi , xi
1
]
R1 ( x )
max R1 i ( x )
1 2
s
2
[( x
xi
1
))( x
x
i
1 2
)( x
x i )]
e
4
h
3
[ s( s
1)( s
1)] 24
3 9
e h
4
3
10
6
3!
8
h
1 . 317
则用二次插值的步长应:
h
0 .6585
10
2
2-6 对区间 [a,b] 作步长为 h 的剖分,且 做线性插值,其误差限为 证明:区间上的误差限: 误差限: 2-7 设 f ( x ) 解: 自变量 1 2
数值分析期末试题及答案

数值分析期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 在数值分析中,下列哪个算法不是用于求解线性方程组的?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案:B2. 插值法中,拉格朗日插值法属于:A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案:A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源?A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案:C4. 在数值积分中,梯形法则的误差项是:A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 牛顿插值法中,插值多项式的一般形式为:______。
答案:f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时,迭代公式为:x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案:f'(x_n)3. 在数值分析中,______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案:误差4. 线性方程组的解法中,______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案:克兰特三、解答题(每题10分,共60分)1. 给定函数f(x) = e^(-x),使用拉格朗日插值法,求x = 0.5时的插值值。
解答:首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1,对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为:L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得:L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档

9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
(2)用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 , f x
x
,
xk
1
2k k
1, 2,3,
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3,所以,有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x,则0 (x) 1 ,1(x) x ,这样,有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以,法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程,得到
a1
4
,
a0
11 6
故,所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex , x [0,1] ,试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 , span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解:
1
4
x1
1 5
《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是( D )A .()1212x x x x ∆-≈∆-∆B .()1212x x x x ∆+≈∆+∆C .()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D .1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰,那么3kk A==∑( C )A .1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为( c )A .()()32880b a f η-''-B .()()312b a f η-''-C .()()()542880b a f η--D .()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解,则22r =( A ) A .1 B .12C .–1D .–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( D ) A .()00l x =0,()110l x = B . ()00l x =0,()111l x = C .()00l x =1,()111l x = D . ()00l x =1,()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根,若给定误差限ε,则计算二分次数的公式是n ≥( D )A .ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是( B )A .123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。
数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法?A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案:B2. 插值法中,拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是:A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案:A3. 在数值积分中,辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差:A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案:B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法?A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案:A5. 在求解常微分方程的数值解时,欧拉方法属于:A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案:A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法?A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案:B7. 线性插值公式中,如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \),插值多项式是:A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案:C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法?A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案:A9. 在数值微分中,使用有限差分法来近似导数时,中心差分法的误差:A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案:B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法?A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案:C二、简答题(每题10分,共30分)1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析版试题及答案

数值分析版试题及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-例1、已知函数表求()f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解:(1)由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为(2)一阶均差、二阶均差分别为均差表为故所求Newton 二次插值多项式为例2、 设2()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解:若{}span 1,x Φ=,则0()1x ϕ=,1()x x ϕ=,且()1x ρ=,这样,有 所以,法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程,得到14a =,0116a =故,所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解:若{}span 1,x Φ=,则0()1x ϕ=,1()x x ϕ=,这样,有 所以,法方程为解法方程,得到00.8732a =,1 1.6902a =, 故,所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
解:(1)用4n =的复合梯形公式由于2h =,()f x =,()121,2,3k x k k =+=,所以,有 (2)用4n =的复合辛普森公式由于2h =,()f x =,()121,2,3k x k k =+=,()12220,1,2,3k xk k +=+=,所以,有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
数值分析习题(含标准答案)

]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字(有效数字的计算) 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少(有效数字的计算) 解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需!41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取( , )之间的任意数,都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ⨯有几位有效数字(有效数字的计算)解:3*1021-⨯≤-aa ,2*1021-⨯≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差(误差的计算)~解:已知δ=-**xx x ,则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=,已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
(误差限的计算)解:*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。