完整版第4章向量代数与空间解析几何练习题

向量代数与空间解析几何试题卷

向量代数与空间解析几何试题A一．选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（）（A ）5 （ B ） 3 （ C ） 6 （ D ）92. 设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（）．（A ） 7 （B ）7j （ C ）–1；（D ）-9k3．平面1234x y z ++=与平面2341x y z +-=的位置关系是( )．(A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合4．两直线182511 :1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-.32,6 :2z y y x L 的夹角为（）.（A ） 6 π；（B ） 4 π；（C ） 2 π；（D ） 3π。

5. 母线平行于x 轴且通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程是( )．(A) 223216x z += (B) 22316y z -= (C) 22216x y += (D) 2316y z -= ６.已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是（） A. ；5 B. ；3 C. 6； D. 9.二．填空题1．设向量2a i j k =-+，42b i j k λ=-+，则当=λ__ ____时，a 与b 垂直.2.已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a b ⨯= .3．设一平面过原点及)2 ,3 ,6(-A ，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为。

4．曲线L :⎩⎨⎧-==+1222x z z y x ，关于平面xoy 的投影柱面的方程为。

5．平面xoy 上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转而成的旋转曲面的方程为。

6. 已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a 与b的夹角θ= ；7. 平面0523=-+z y x 的法向量=n ．三．判断题1. 任何向量都有确定的方向.（）2. 与非零向量a 同向的单位向量a 只有1个. （）3. 设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有 +=-a b a b .（）4. 若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有0⋅a b =（）．5. 若两向量,a b 满足关系a b a b +=+，则,a b 同向。

考研数学(二)题库(高等数学)-第四章向量代数和空间解析几何【圣才出品】

x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等，
则应选 D 项）
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。
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【解析】由a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}可知 λa＋μb＝{3λ＋2μ，5λ＋μ，－2λ＋4μ}，
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又 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则（λa＋μb）·{0，0，1}＝0，即（－2λ＋4μ）×1＝0 得 λ＝2μ。
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2．设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（
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A．|a＋b|＝|a|＋|b|
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第四章向量代数和空间解析几何
一、选择题
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1．若向量a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}，且 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则 λ 与 μ 的关
系为（）。
A．λ＝μ
B．λ＝－μ
C．λ＝2μ
D．λ＝3μ
【答案】C
（－7）×（－1）＋3×（－1）＝0，所以直线与平面平行。
x 3y 2z 1 0 7．设有直线 L : 2x y 10z 3 0 及平面∏：4x－2y＋z－2＝0，则直线 L（）。
A．平行于∏
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考研数学复习教程答案详解高数部分

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示：由1 未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。

18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==，而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。

20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。

三、解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。

(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。

22.23.解由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=，即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=，利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=，故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5’x9=45分1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________，方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。

参考答案一填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,1162、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。

完整版第4章向量代数与空间解析几何练习题

s、填空题,CD =2 .已知ABC 三顶点的坐标分别为 A(0 , 0, 2), B(8 , 0, 0), C(0 ,3•空间中一动点移动时与点A(2,0,0)和点B(8,0,0)的距离相等，则该点的轨迹方程是4•设力F 2i 3j 5k ,则F 将一个质点从 A(0,1,3)移到B(,3,6,1)所做的功为5•已知 A(3,5,2), B(1,7,4), C(2,8,0),则 AB AC _________________________BC BA ___________________ ; ABC 的面积为 _____________________ . 三、计算题与证明题第4章向量代数与空间解析几何练习题习题4.1、选择题1 •将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点构成的图形是 ()(A )直线；(B )线段；(C )圆；(D )球.2.下列叙述中不是两个向量 a 与b 平行的充要条件的是( )(A ) a 与b 的内积等于零；(B ) a 与b 的外积等于零；(C )对任意向量c 有混合积(abc) 0 ； (D ) a 与b 的坐标对应成比例.3•设向量a 的坐标为—，则下列叙述中错误的是()31(A )向量a 的终点坐标为(x, y,z)；(B )若0为原点，且OA a ,则点A 的坐标为(x, y,z)； (C )向量a 的模长为x 2 y 2(D )向量(x/2,y/2,z/2)与 a 平行.4•行列式的值为((A ) 0 ；5.对任意向量 (B ) 1 ；a 与b ,下列表达式中错误的是((C )18； ) (D)18.(A ) |a | | a | ； ( B ) |a| |b| |a b|；(C ) |a| |b| |a b|；(D )|a| |b| |a b|.1.设在平行四边形 ABCD 中，边 BC 和CD的中点分别为 M 和N ，且 AM p , AN q ，则BC =8, 6)，则边BC 上的中线长为1．已知|a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且a b c 0．计算a b b c c a．2•已知|a b| 3, |a b| 4,求|a| |b|.3•设力F 2i 3j 5k作用在点A(3,6,1),求力F对点B(,1,7, 2)的力矩的大小.4•已知向量x与a(,1,5, 2)共线，且满足a x 3,求向量x的坐标.5•用向量方法证明，若一个四边形的对角线互相平分，则该四边形为平行四边形.6•已知点A(3,8,7), B( 1,2, 3)求线段AB的中垂面的方程.7•向量a, b, c,具有相同的模,且两两所成的角相等,若a, b的坐标分别为(1,1,0)和(0,1,1),求向量c的坐标.& 已知点A(3,6,1), B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3),(1) 求以AB , AC, AD 为邻边组成的平行六面体的体积.(2) 求三棱锥A BCD 的体积.(3) 求BCD 的面积.(4) 求点A到平面BCD的距离.习题 4.2、选择题1.下列平面方程中与向量a(2,3,5)垂直的平面是( )(A) X y z 1 ；(B) x_y-0 ；235235x(C)—_y z30 ；(D) 2x3y5z 1 2352.下列向量中与平面3x 4y 5x1平行的是( )(A) C(0, 5,4) ; ( B) C(3,4, 5) ; ( C) C(0,5,4) ; (D) C( 3, 4,5).3. 下列叙述中错误的是( )(A)若已知平面的一个法向量a(1, 2,4)与上一点A(3,5,1),就能确定平面的方程；(B)若向量a(1, 2,4)平行于平面且点A(3,5,1) , B(2,6,7)在上，则能确定平面的方程；(C)若已知点A(1,2,3), B( 2,5,0), C(7, 4,,9)在平面上，则能确定平面的方程；(D)若已知平面与三条坐标轴的交点分别为X (3,0,0), Y(0, 2,0), Z(0,0,5),则能确定平面的方程.4.卜列两平面垂直的是( )(A) x 2y 3z 6与2x4y 6z 1 ；(B) x 2y3z6与2x4y 6z 12 ；x (C) x 2y 3z 6与y z1；(D)x 2y3z6与x2y z 1 .1 2 35.原点O(0,0,0)到平面x2y 3z6的距离是( )2 3L14(A) ; (B) ；(C) 6 ；(D) 1.5 7、填空题1•垂直于向量a( 2,5,0)且到点A( 2,5,0)的距离为5的平面的方程是_______________________________ 或者2•经过原点0(0,0,0)与B( 2,5,0)且平行于向量a(2,4,1)的平面的方程是__________________________ .3. 平面2x 3y 5x 30与三坐标轴分别交于点(A )、( B)、( C),则4( A) ( B) (C)的面积为4. _______________________________________________________________________________ 一动点移动时与A(4,4,0)及坐标平面xOy等距离，则该点的轨迹方程为____________________________________ .5•通过Z轴和点A(9,13,22)的平面的方程是_____________________________ .三、计算题与证明题1•求经过点A(3,2,1)和B( 1,2, 3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程.2.求到两平面:3x y 2z 6 0和2七7 1距离相等的点的轨迹方程.3.已知原点到平面的距离为120,且在三个坐标轴上的截距之比为2:6:5,求的方程. 4•若点A(2,0, 1)在平面上的投影为B( 2,5,1),求平面的方程.5.已知两平面:mx 7y 6z 24 0与平面:2x 3my 11z 19 0相互垂直，求m的值.6.已知四点A(0,0,0), B(,2, 5,3), C(0,1, 2) , D(2,0,7),求三棱锥D ABC 中ABC面上的高. 7•已知点A在z轴上且到平面：4x 2y 7z 14 0的距离为7,求点A的坐标.&已知点.A在z轴上且到点B(0, 2,1)与到平面:6x 2y 3z 9的距离相等，求点A的坐标.、填空题3. 已知△ ABC 三顶点的坐标分别为 A(2,0, 2, B(2, 2,6) , (C ) (0, 8, 6)，则平行于的直线方程为 __________________________________________________ .x y 3z 10 04. 经过直线与点 A(2,0, 1)的平面的方程是 _____________________ .2x y z 17 02x 3y z 3 02x 10y2z 20x 1y 2 z 1x 1 y 2 z 1(C )；(D )1 5 1 5155 .与直线丨.■x 1 y 2 z 1平行且经过点1 1 1 A(2,5,2)的直线是 ()(A )x 2 y 5 z 2 • (B ) ^2y 5 z 2 . ；1 1 1 11 1x 2 y 5 z 2x 2 y 5 z 2(C )；(D )17 317 310x 5y z 10 0 x 5y z (A)(B)； ;、选择题1下列直线中与直线2x 3y 5z x 2y 3z习题4.3 0平行的是(1(B) 2x y x 2y 8 0 ；; 27 0 (C)宁(D)122.下列平面中与直线 —垂直的是(2(A) x 5y4z 12 (B) 2x (C ) 3x y2z 11 (D)3x2z 170 .x3 .直线h :- 3 (A )重合； -与直线2平行；(C )相交;4 .与平面 :x5y10 ■4的位置关系是((D )异面.0垂直且经过点 A(1, 2, 1)的直线的方程是(1.直线 xl ：-4-与平面11 0的夹角是2.经过 P(3,2, 1)且平行于z 轴的直线方程是BC 的中位线y^2和x山—」都垂直的直线的方程是11110三、计算题与证明题x 1 y 1 z 1 x1•求经过点P(1, 2,0)且与直线和一110 1X 1 y 3 Z2.求通过点P(1 , 0, -2),而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交的直线的方程.4 21x 2 y z 14.求点P(1, 1,0)到直线的距离.5. 经过原点0(0,0,0)且与直线y三」都平行的平面的方程.1 03.求通过点 A(0,0,0))与直线J 的平面的方程.1 11 1 05. 取何值时直线 3x y 2z 6 0与z 轴相交？x 4y z 15 07.求过点（3,25）且与两平面x 4z 3和3x y z 1平行直线方程.x 5 y 2 z&一平面经过直线（即直线在平面上） I :，且垂直于平面x y z 153 14该平面的方程.程.6.平面x y z 1 0上的直线I 通过直线l 1 :2z z与此平面的交点且与11垂直, 求I 的方0，求、选择题1下列曲面中不是关于原点中心对称的是(2(A ) 椭球面：%a2 2(A ) 4x 3y 16；、填空题1. 经过原点与(4, 0, 0), (1 , 3, 0),习题4.4(C ) 4x 3y 4 ；,2^2 2(D ) 4x 3y z .23•将坐标平面xOy 上的曲线2x 3y 2 36绕y 轴旋转得到的旋转面的方程是(A ) 2x 2 3y 2 2z 2 36 ； (B ) 2x 2 3y 2 3z 236 ；(C ) 2x 2 3y 2 3z 236 ；(D ) 2x 2 3y 2 3z 236 .2 2 24.曲线 22 21与平面y 4相交,得到的图形是( )32 4252(A ) 一个椭圆.；(B ) 一条双曲线； (C )两条相交直线；(D ) 一条抛物线.((A )椭球面； (B )单叶双曲面; (C )柱面; (D )锥面.2 .坐标平面xoz 上的曲线x 2z 2 10z 90绕坐标轴z 轴旋转一周得到的曲面的方程是2 z 2 c2(B ) 单叶双曲面：每a 2(C ) 双叶双曲面：2y _2a2(D )椭圆抛物面：差a2x b 22 •母线平行于z 轴，准线为曲线4x 2 3y 2z 25的柱面的方程是2 2(B ) 4x 3y(0, 0, -4)的球面的方程为3．母线平行于 z 轴, 准线为x 2 4y 2 z x 4y z的柱面的方程是 25三、计算题与证明题1•一动点P 到定点A( 4,0,0)的距离是它到B(2,0,0)的距离的两倍,求该动点的轨迹方程.xOy 面和 xOz 面是它的两个对称面，且过点 (6，1，2)与(1，1/3，-1),求该椭圆抛物面的方程.4．顶点在原点且经过圆x 2y 2 4的圆锥面的方程是5•经过z 车由,且与曲面(y 5)24 相切的平面的方程是3.求顶点为o(0,0,0)，轴与平面x+y+z=0 垂直，且经过点 (3,2,1) )的圆锥面的方程.4.已知平面22过 z 轴 , 且与球面 x 2 y 2z 2 6x 8y 10z 41 0相交得到一个半径为 2 的圆, 求2.已知椭圆抛物面的顶点在原点,s 该平面的方程.5.求以Z轴为母线x 1直线为中心轴的圆柱面的方程.y 16.求以z轴为母线经过点A(,4,2,2)以及B(6, 3,7)的圆柱面的方程7•根据k的不同取值 2 2 2，说明(9 k)x (4 k)y (1 k)z 1表示的各是什么图形.2x &已知椭球面一X2—1经过椭圆Z1 ■—I'与点A(1,2,U23)，试确定X,Y,Z的值.z 0.s2,终点构成一个球面的是(B )平行于同一直线的单位向量;(D )空间中的所有单位向量.a 与b 平行的充分条件的是(B ) a 与b 的内积等于零;3 •行列式、选择题复习题四(C )对任意向量c 有混合积 (abc) 0； (D ) a 与b 的坐标对应成比例.(A) 0 ;(B)(C ) 3 ;(D )3.4.下列向量中与平面 X 2z 11 0平行的是 (A) C(1, 1,2);(B ) C(1,1, 2);C(1,5,2) ;(D ) C( 1,5,2)(A ) x y 3z 6 0 与 2x 2y 6z 12 0 ;(B ) X y 3z 6 0与 x 8y z 1 0 ；(C ) X y 3z60与 x 2y z 1 0；(D ) xy 3z 6 -x y z0与16 6 26.原点 o(0,0 ,0)到平1面x 2的距离是()(A ) 2 ;(B )4;(C ) 22;(D )''•、22 .7.下列平面中- 与直线x 1 y 2 z 3垂直的是()3 1 2(A ) x 5y 4z 1 2 0 ;(B ) 2x y z 6 0 ；(o 仝工Z 1(D ) 3xy 2z 17 0 .2 6 33x 5v z 11 0xyz&直线11 :与直线丨j的位置关系是()x 8y 11z 17 06 23(A )重合； (1B )平行； (C )相目交； (D )异面.5.下列两平面垂直的是()9•下列曲面中不是关于原点中心对称的是()1. 将下列列向量的起点移到同一点(A )平行于同一平面的单位向量; (C )平行于同一平面的向量； 2. 下列叙述中不是两个向量(A ) |a| |b| 0 ；的值为2X 10.曲线v22刍 1与平面3、填空题1 .设在平行四边形ABCD 中，对角线AC 交BD 于点0，且AO p ， BO q ，则，AD =2.已知 ABC 三顶点的坐标分别为 A(0 , 0, 2), B(8 , 0, 0), C(0,8, 6)，则边BC 上高的长为3. 设力F 2i 3j k ，贝U F 将一个质点从 A( 1,1,3)移到B( 3,0,1)所做的功为4. 平面x 2 3z 6与三坐标轴分别交于点A 、B 、C,则三棱锥O ABC 的体积为 _____________________5 .通过X 轴且到点P(,3,1, 4)的距离为2的平面的方程是 ________________________________ . 6. 经过点A(3,2,1)和B( 1,2, 3)且与平面xoz 垂直的平面的方程.为 _________________________2x 3y z 6 07.经过直线 _______________________________________ 与点 A1,1, 1)的平面的方程是.x y 14 0x 1 y z 2 xy 1 z 18 .经过原点o(0,0,0)且与直线和都垂直的直线的方程是1 1 1 1 1 02 2 29. _______________________________________________________________________ 球面x y z 2x 6y 2z 100 0的半径是 ____________________________________________________________________ .2 2x V z10. 母线平行于 y 轴，准线为 ________________ 的柱面的方程是.y 2三、计算题与证明题1 .已知 |a | 2, |b| 7 , |c| 5,并且 a b c 0.计算 a b b c c a .2(A )长型型旋转椭球面：爲ab) ；( B )单叶旋转双曲面： 2y ~~2a2x~2a(C )双叶旋转双曲面2:y~~2aX 2z 2(D )椭圆抛物面：X 2(A ) —个椭圆;(B ) —条双曲线;(C )两条相交直线；(D ) 一条抛物线.2y 523相交,得到的图形是AB =2 2•设力F i 3j 2k作用在原点点，求力F对点B( 2,0,1)的力矩的大小.3•已知点A(0,1,4), B( 2,3,0)求线段AB的中垂面的方程.4.已知平面与三个坐标轴的交点分别为代B,C且O ABC的体积为80,又在三个坐标轴上的截距之比为4: 5: 3,求的方程.s5.已知两平面2x my x 11 0 与平面:mx y z 1相互垂直,,求m的值.6. 取何值时直线X 2y z 1°与X 轴相交?x 2y 3z 1 07•设圆柱面x 0 x 8 y z 1° 过直线l l ：y 6’ l 2〒0 丁以及Z 轴’求的方程.&已知球面面的方程为x 22 2y z 6x 8y 10z 410,求的与z 轴垂直相交的直径所在直线的方程.。

第4章向量代数与空间解析几何练习题_6

第4章向量代数与空间解析几何练习题_6第4章向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( )（A ）直线；（B ）线段；（C ）圆；（D ）球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( )（A ）a 与b 的内积等于零；（B ）a 与b 的外积等于零；（C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ；（D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313, 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ；（B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ）向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为( )（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 18 ；（D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( )（A ）||||a a -=；（B ）||||||b a b a +>+；（C ） ||||||b a ba ?≥?；（D ）||||||b a b a ?≥?．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p =，q =，则BC =_______________，CD =__________________．2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________．5．已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=?_____________________;=?____________________;ABC ?的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ?+?+?．2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?．3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a ,b ,c , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ，(1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2)求三棱锥BCD A -的体积． (3)求BCD ?的面积． (4)求点A 到平面BCD 的距离．习题4.2一、选择题1．下列平面方程中与向量)5,3,2(a 垂直的平面是（）（A ）1532=++z y x ；（B ） 0532=++z y x ；（C ） 30532=++z y x ；（D ） 1532=++z y x ． 2．下列向量中与平面1543=-+x y x 平行的是（）（A ）)4,5,0(-C ；（B ）)5,4,3(-C ；（C ）)4,5,0(C ；（D ）)5,4,3(--C ．3．下列叙述中错误的是（）（A ）若已知平面α的一个法向量)4,2,1(-a 与α上一点)1,5,3(A , 就能确定平面α的方程；（B ）若向量)4,2,1(-a 平行于平面α且点)1,5,3(A , )7,6,2(B 在α上, 则能确定平面α的方程；（C ）若已知点)3,2,1(A , )0,5,2(-B , )9,,4,7(-C 在平面α上, 则能确定平面α的方程；（D ）若已知平面α与三条坐标轴的交点分别为)0,0,3(X , )0,2,0(-Y , )5,0,0(-Z , 则能确定平面α的方程．4．下列两平面垂直的是( )（A ）632=-+z y x 与1642=-+z y x ；（B ） 632=-+z y x 与12642=-+z y x ；（C ）632=-+z y x 与1321=+-+-z y x ；（D ） 632=-+z y x 与12=++-z y x ． 5．原点)0,0,0(O 到平面632=++z y x 的距离是( )（A ） 52；（B ） 7143；（C ） 6；（D ） 1．二、填空题1．垂直于向量)0,5,2(-a 且到点)0,5,2(-A 的距离为5的平面的方程是______________________或者__________________________．2．经过原点)0,0,0(O 与)0,5,2(-B 且平行于向量)1,4,2(a 的平面的方程是_________________．3．平面035x 3y 2x =++与三坐标轴分别交于点（A ）、（B ）、（C ），则Δ（A ）（B ）（C ）的面积为_________________．4．一动点移动时与)0,4,4(A 及坐标平面xOy 等距离，则该点的轨迹方程为________________．5．通过Z 轴和点)22,13,9(A 的平面的方程是________________________．三、计算题与证明题1．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．2．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程．3．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α的方程．4．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．5．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．6．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC 面上的高．7．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．8．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标．习题4.3一、选择题1．下列直线中与直线?-=+-=+-1320532z y x z y x 平行的是( ) （A ） 13151-=-=-z y x ；（B ） =--+=-++0272082z y x z y x ；（C ） 31321z y x =--=-；（D ） =-+=-+01205z x y x ． 2．下列平面中与直线21232-=-+=-z y x 垂直的是( ) （A ） 01245=-+-z y x ；（B ）062=---z y x ；（C ） 01123=+--z y x ；（D ） 01723=-++z y x ．3．直线:1l 21232-=-+=-z y x 与直线3213162:2-+=--=-z y x l 的位置关系是( ) （A ）重合；（B ）平行；（C ）相交；（D ）异面．4．与平面0105:=-+-z y x α垂直且经过点)1,2,1(--A 的直线的方程是( )（A ） ?=+-+=-+-03320105z y x z y x ；（B ）=+-+-=-+-020********z y x z y x ；（C ） 115211+=-+=-z y x ；（D ） 5 11251-+=+=--z y x ． 5．与直线111211:+=+=-z y x l 平行且经过点)2,5,2(A 的直线是( ) （A ）121512+=+=+z y x ；（B ） 121512-=-=-z y x ；（C ） 327512+=+=+z y x ；（D ） 3 27512-=-=-z y x ．二、填空题1．直线01243:z y x l =-=+与平面011:=-+-z y x α的夹角是_________________．2．经过)1,2,3(-P 且平行于z 轴的直线方程是___________________________________．3．已知ΔABC 三顶点的坐标分别为2,0,2(-A , )6,2,2(-B ，（C ）(0，8，6)，则平行于BC 的中位线的直线方程为_____________________________________________．4．经过直线?=+-+=-+-01720103z y x z y x 与点)1,0,2(-A 的平面的方程是__________________． 5．经过原点)0,0,0(O 且与直线12111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________．三、计算题与证明题1．求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0111+=-=z y x 都平行的平面的方程．2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线12341z y x =--=-相交的直线的方程．3．求通过点)0,0,0(A )与直线141423-=+=-z y x 的平面的方程．4．求点)0,1,1(-P 到直线01112+=-=-z y x 的距离．5．λ取何值时直线??=--+=-+-01540623z y x z y x λ与z 轴相交?6．平面01=+++z y x 上的直线l 通过直线1l ：?=++=+0102z y z x 与此平面的交点且与 1l 垂直, 求l 的方程．7．求过点)25,3(-且与两平面34=-z x 和13=+-z y x 平行直线方程．8．一平面经过直线（即直线在平面上）l ：41235z y x =-=+，且垂直于平面015=+-+z y x ，求该平面的方程．习题4.4一、选择题1．下列曲面中不是关于原点中心对称的是（）（A ）椭球面: 1222222=++c z b x a y ；（B ）单叶双曲面: 1222222=-+cz b x a y ；（C ）双叶双曲面: 1222222=--cz b x a y ；（D ）椭圆抛物面: pz b x a y 22222=+． 2．母线平行于z 轴，准线为曲线==++32534222z z y x 的柱面的方程是( )（A ）163422=+y x ；（B ）2534222=++z y x ；（C ）434=+y x ；（D ）22234z y x =+．3．将坐标平面xOy 上的曲线363222=-y x 绕y 轴旋转得到的旋转面的方程是( )（A ） 36232222=+-z y x ；（B ）36332222=+-z y x ；（C ） 36332222=--z y x ；（D ）36332222=++z y x ．4．曲线1543222222=-+z y x 与平面4=y 相交,得到的图形是( ) （A ）一个椭圆．；（B ）一条双曲线；（C ）两条相交直线；（D ）一条抛物线．5．下列曲面中与一条直线相交, 最多只有两个交点的图形是( )（A ）椭球面；（B ）单叶双曲面；（C ）柱面；（D ）锥面．二、填空题1．经过原点与(4，0，0)，(1，3，0)，(0，0，-4)的球面的方程为__________________________．2．坐标平面xoz 上的曲线091022=+-+z z x 绕坐标轴z 轴旋转一周得到的曲面的方程是___________________________________________． 3．母线平行于z 轴, 准线为?==+25422z z y x 的柱面的方程是_____________________． 4．顶点在原点且经过圆==+1422z y x 的圆锥面的方程是________________________．5．经过轴z , 且与曲面4)5(222=+-+z y x 相切的平面的方程是____________．三、计算题与证明题1．一动点P 到定点)0,0,4(-A 的距离是它到)0,0,2(B 的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程．2．已知椭圆抛物面的顶点在原点，xOy 面和xOz 面是它的两个对称面，且过点(6，1，2)与(1，1/3，-1), 求该椭圆抛物面的方程．3．求顶点为)0,0,0(o ，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程．4．已知平面α过z 轴, 且与球面0411086222=++--++z y x z y x 相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程．5．求以轴为母线z , 直线?==11y x 为中心轴的圆柱面的方程．6．求以轴为母线z , 经过点)7,3,6()2,2,4(,-B A 以及的圆柱面的方程7．根据k 的不同取值, 说明1)1()4()9(222=-+-+-z k y k x k 表示的各是什么图形．8．已知椭球面1222=++Z z Y y X x 经过椭圆==+.0,116922z y x 与点)23,2,1(A , 试确定Z Y X ,,的值．复习题四一、选择题1．将下列列向量的起点移到同一点, 终点构成一个球面的是 ( )（A ）平行于同一平面的单位向量；（B ）平行于同一直线的单位向量；（C ）平行于同一平面的向量；（D ）空间中的所有单位向量．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充分条件的是 ( )（A ）0||||=?b a ；（B ）a 与b 的内积等于零；（C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ；（D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．行列式963852741的值为 ( )（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 3 ；（D ） 3-．4．下列向量中与平面0112=-+-z y x 平行的是（）（A ）)2,1,1(-C ；（B ）)2,1,1(--C ；（C ）)2,5,1(C ；（D ）)2,5,1(--C5．下列两平面垂直的是 ( )（A ） 063=---z y x 与012622=+--z y x ；（B ） 063=---z y x 与018=++-z y x ；（C ） 063=---z y x 与012=++-z y x ；（D ） 063=---z y x 与1266=--z y x ． 6．原点)0,0,0(o 到平面2=x 的距离是 ( )（A ）2；（B ）4；（C ）22；（D ） 22． 7．下列平面中与直线231231--=-+=+z y x 垂直的是 ( ) （A ）01245=-+-z y x ；（B ）062=---z y x ；（C ） 1362=--z y x ；（D ）01723=-++z y x ． 8．直线=--+=+-+01711801153:1z y x z y x l 与直线326:2-=-=z y x l 的位置关系是 ( ) （A ）重合；（B ）平行；（C ）相交；（D ）异面．9．下列曲面中不是关于原点中心对称的是（）（A ）长型型旋转椭球面: )(1222222b a b z b x a y >=++；（B ）单叶旋转双曲面: 1222222=-+bz a x a y ；（C ）双叶旋转双曲面: 1222222=--bz b x a y ；（D ）椭圆抛物面: z y x =+22． 10．曲线1352222222=-+z y x 与平面3=z 相交,得到的图形是 ( ) （A ）一个椭圆；（B ）一条双曲线；（C ）两条相交直线；（D ）一条抛物线．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，且p AO =，q =，则AB =_______________，=__________________．2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上高的长为______________________．3．设力k j i F ++-=32, 则F 将一个质点从)3,1,1(-A 移到)1,0,3(-B 所做的功为____________________________．4．平面632+--z x 与三坐标轴分别交于点A 、B 、C ，则三棱锥ABC O -的体积为_________________ 5 ．通过x 轴且到点)4,1,3(,-P 的距离为2的平面的方程是________________________．6．经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与平面xoz 垂直的平面的方程．为_________________7．经过直线=++=-+-0140632y x z y x 与点)1,1,1-A 的平面的方程是__________________．8．经过原点)0,0,0(o 且与直线12111-+==--z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________．9．球面0100262222=---+++z y x z y x 的半径是__________________________． 10．母线平行于y 轴, 准线为==+2 22y z y x 的柱面的方程是______________________．三、计算题与证明题1．已知2||=a , 7||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ?+?+?．2．设力k j i F 23-+-=作用在原点点, 求力F 对点)1,0,2(-B 的力矩的大小．3．已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B 求线段AB 的中垂面的方程．4．已知平面α与三个坐标轴的交点分别为C B A ,,且ABC O -的体积为80, 又α在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4--, 求α的方程．5．已知两平面0112:=+-+-x my x α与平面1:=--z y mx β相互垂直, ,求m 的值．6．λ取何值时直线??=+++=-+-0132012z y x z y x λ与x 轴相交?7．设圆柱面α过直线??==60:1y x l , 2100082-==+z y x l 以及z 轴, 求α的方程．8．已知球面面α的方程为0411086222=-+--++z y x z y x , 求α的与z 轴垂直相交的直径所在直线的方程．。

线性代数与空间解析几何-第四章习题解答

10
(a − d ) × (b − c ) = a × b − a × c − d × b + d × c = a × b − c × d − a × c + b × d = 0 证：
故a − b与b − c共线。
11
证： AB = {− 1,3,3}
AC = {0,4,2}
AD = {3,1,−4}
i j k n= 1 3 2 = − i + 5 j − 7k 2 −1 −1
(3)
所以法向量为 { -1，5，-7}
由点法式： -(x-1)+5(y-3)-7(z-2)=0 即 x-5y+7z=0 设平面法向量为 { A, B, C },由点法式平面方程：A(x-2)+B(y-3)=0…………* 因为: 平面平行 Z 轴, 所以：法向量垂直 Z 轴即
设向量的方向余弦为 cos α . cos β . cos γ。由已知β = α
10 ( 加
A
题
)
1 ∆∆ABC中，D为BC边中点，证明AD = （AB + AC）。 2
B
D
C
证明：由三角形法则 AD = AB + BD 两式相加得 2 AD = AB + AC , 即 AD =
AD = AC + CD 又 ∵ D为BC中点。 ∴BD = −CD
第四章空间与向量运算
习题一 1 (1) (2)
AB(1,3,0)
BC (−5,0,0) CA(4,−3,0)
AB = (3 − 2) 2 + (2 + 1) 2 + (1 − 1) 2 = 10
2 A (3，4，0) 在 xoy 面上 B（0，4，3）点在 yoz 面上 C（3，0，0）在 x 轴上 D（0，－1，0）在 y 轴上 3 3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c 4 D C O A B 设四边形 ABCD 中 AC 与 DB 交于 O，由已知 AO＝OC，DO＝OB 因为 AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以 ABCD 为平行四边形。 5

向量代数与空间解析几何课堂练习题参考答案

向量代数与空间解析几何课堂练习题参考答案一、填空题1．设c b a, ,为非零向量，且c b a ⨯=，a c b ⨯= ，b a c ⨯= ，则=++c b a 3 。

解：显然c b a, ,互相垂直。

∵c b c b c b c b a ),sin( ==⨯=，同理c a b =， b a c=，∴2b a b a bc b a ===，又0≠a ，∴1 1 2=⇒=b b ，同理可证1 1,==c a，故3 =++c b a 。

2．2)( =⋅⨯c b a ，则[]=+⋅+⨯+)()()( a c c b b a4 。

解：[])()]()(([)()()( a c c b b c b a a c c b b a+⋅+⨯++⨯=+⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a+⋅⨯+⨯+⨯+⨯=)()()()()()(a c c b a c c a a c b a +⋅⨯++⋅⨯++⋅⨯= a c b c c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( 4)(2)()(=⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=c b a a c b c b a。

3．已知三角形)1 ,1 ,1(A ，)4 ,3 ,2(B ，)2 ,3 ,4(C ，则ABC ∆的面积=S 62 。

解：}3 ,2 ,1{=AB ，}1 ,2 ,3{=AC ，}4 ,8 ,4{123321--==⨯kj i AC AB ，.62)4(8)4(21222=-++-S 4．设一平面过原点及)2 ,3 ,6(-A ，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为0322=-+z y x 。

解：}2 ,3 ,6{-=，已知平面的法向量为}2 ,1 ,4{-=，则所求平面的法向量为}3 ,2 ,2{2}6 ,4 ,4{}2 ,1 ,4{}2 ,3 ,6{1--=--=-⨯-=⨯=n ，故所求平面的方程为0)0(3)0(2)0(2=---+-z y x ，即0322=-+z y x 。

(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。

1参考答案一填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。

第4章向量代数与空间解析几何练习题_3

3．母线平行于轴, 准线为的柱面的方程是
_____________________．
4．顶点在原点且经过圆的圆锥面的方程是
________________________．
5．经过, 且与曲面相切的平面的方程是____________．
三、计算题与证明题
1．一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 程．
复习题四
一、选择题
1．将下列列向量的起点移到同一点,
终点构成一个球面的是
()
（A）平行于同一平面的单位向量；（B）平行于同一直线的单位
向量；
（C）平行于同一平面的向量；（D）空间中的所有单位向量．
2．下列叙述中不是两个向量与平行的充分条件的是
(
)
（A）；（B）与的内积等于零；
（C）对任意向量有混合积；（D）与的坐标对应成比例．
3．设向量的坐标为, 则下列叙述中错误的是( )
（A）向量的终点坐标为；（B）若为原点,且, 则点的坐标为；
（C）向量的模长为；（D）向量与平行．
4．行列式的值为( )
（A） 0 ；（B） 1 ；（C） 18 ；（D）．
5．对任意向量与, 下列表达式中错误的是( )
（A）与；（B）与；
（C）与；（D）与．
5．原点到平面的距离是( )
（A）；（B）；（C）；（D） 1．
二、填空题
1．垂直于向量且到点的距离为5的平面的方程是 ______________________或者__________________________．
2．经过原点与且平行于向量的平面的方程是_________________． 3．平面与三坐标轴分别交于点（A）、（B）、（C），则Δ（A）（B）（C）的面积为_________________． 4．一动点移动时与及坐标平面等距离，则该点的轨迹方程为 ________________． 5．通过轴和点的平面的方程是________________________．

(完整版)高等数学空间解析几何练习

向量代数与空间解析几何第一部分向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。

(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。

3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。

4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。

5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。

6．已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。

向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。

2。

向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。

3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1．设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求：（1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2．设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3．利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。

第四章解析几何与向量代数(厦门理工作业答案)

高等数学练习题第四章空间解析几何与向量代数系专业班姓名学号4.1 向量及其线性运算（1）一．选择题1．定点)1,3,2(--A 与)1,3,2(-B 对称的坐标面为 [ C ] （A ）xOy 坐标面（B ）yOz 坐标面（C ）zOx 坐标面（D ）y 轴对称 2．两点)2,2,1(A 与)1,0,1(-B 的距离为 [ B ] （A ）1 （B ）3 （C ）13 （D ）4 3．非零向量 a 和b ，若满足| a –b |=| a | + |b | ，则 [ C ] （A ）a , b 方向相同（B ）a , b 互相垂直（C ）a , b 方向相反（D ）a , b 平行4．已知向量 a = }1,5,3{-, b ={2 ,2 ,3 },则2a –3b 为 [ C ] （A ）{0,12,11} （B ）{16,12,3} （C ）{11,4,0-} （D ）{11,14,4} 二．填空题：1．求出点)5,3,4(-A 到坐标y 2．一个向量的终点在点)7,1,2(-B 它在坐标轴上的投影顺次是4， 4- 和 7，这个向量的起点A 三．解下列各题：1．求向量a =21M M 的模、方向余弦和方向角。

已知M 1(1,2,4 ) , M 2(3 ,0 ,2 )。

解：)1,2,1(1221--=-==OM OM M M a 2121=++=∴cos x a α==-12，cos y a β==-22，cos z a γ==12 所以方向角为 3,43,32πγπβπα===2．求向量a =→→→+-k j i 532的模，并用单位向量 a o 表达向量a 。

解： (=+=22a ∴=038a a3．设向量r 的模是4，它与轴u 的夹角是60o , 求r 在轴u 上的投影。

解： ()cos u r r •ϕ=⋅=⨯=1422所以r 在轴u 上的投影为2。

4．证明以三点A(4 ,1 ,9) , B(10 ,1- ,6) ,C(2 ,4 ,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形解： )3,2,6(--=-=OA OB AB )6,3,2(--=-=OA OC AC )3,5,8(--=-=OB OC BC2792564,79436==++==++==∴所以以三点A(4 ,1 ,9) , B(10 ,1- ,6) ,C(2 ,4 ,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形高等数学练习题第四章空间解析几何与向量代数系专业班姓名学号4.1 数量积向量积（2）一．选择题1．判断向量→a =→→→++k j i 23和→b =→→-j i 32位置是 [ B ] （A ）平行（B ）垂直（C ）相交（D ）以上都不是。

空间解析几何与向量代数测试题

⎩ ⎩ a b . 习题六一、填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面 5x-2y+6z-7=0 和 3x-y+2z+1=0 的平面方程为 .→2.已知向量OM 的模为10.与x 轴的正向的夹角为450 ,与y 轴的正向的夹→角为600,则向量OM =.3. 过(- 2,1,3)点且平行于向量 a = {2,-2,3}和b = {- 1,3,-5}的平面方程为 .若两向量→= {λ,-3,2}和→= {1,2,-λ}互相垂直,则λ=5. 与三点M 1 (1,-1,2), M 2 (3,3,1), M 3 (3,1,3)决定的平面垂直的单位向量→a 0 = 向量→ = {1,1,4}在向量→= {2,-2,1}上的投影等于6. b → a→ ⎛ → → ⎫ 0.→ → →7.已知m = 5, n = 2, m , n ⎪ = 60 则向量a = 2 m - 3 n 的模等于.⎝ ⎭⎧x - 2 y + 4z - 7 = 08. 过点(2,0,-3)且与平面⎨垂直的平面方程是 .⎩3x + 5 y - 2z + 1 = 0→ → →→→→9. 设 a , b , c 两两互相垂直,且 a = 1, b = 2 , c = 1, 则向量→→ → →s = a + b - c 的模等于.10. 过点(0,2,4)且与平面 x+2z=1,y-3z=2 都平行的直线是.⎧2x + 3y - z + D = 011. 若直线⎨2x - 2 y + 2z - 6 = 二、选择题与x 轴有交点,则D = .⎧x 2 + 4 y 2 + 9z 2 = 361. 方程⎨ y = 1( A )椭球面;(C )椭圆柱面;表示 (B ) y = 1平面上的椭圆;(D )椭圆柱面在y = 0上的投影曲线.答: ( )→→ → →→2.已知向量a = i + j + k ,则垂直于a 且垂直于oy 轴的单位向量是:4.b a b a a ⋅ b ( A ) ± 3 ⎛→ → → ⎫3 ⎛→ → → ⎫i + 3 ⎝ j + k ⎪⎭(B ) ± i - 3 ⎝ j + k ⎪⎭C ) ± 2 ⎛→- → ⎫(D ) ± 2 ⎛→+ → ⎫答: ( )i k ⎪ 2 ⎝ ⎭→ →⎛→ →⎫ i k ⎪ 2 ⎝ ⎭π → → 3.已知a = 1, b = 2,且 a , b ⎪ = 4,则a + b = ⎝ ⎭(A ) 1;(B ) 1 + 2;(C ) 2;答: ( )4. 平面 3x-3y-6=0 的位置是(A)平行 xoy 平面 (B)平行 z 轴,但不通过 z 轴; (C)垂直于 z 轴;(D)通过 z 轴. 答:( )→ →→→5.设向量a , b 互相平行, 但方向相反,且 a > b > 0,则有→ →→→→ →→→( A ) a + b = a - b ;(B ) a + b > a - b→ →→→+ < - → →→→+ = + 答: ( )6.旋转曲面x 2 - y 2 - z 2 = 1是(A ) xoy 平面上的双曲线绕x 轴旋转所得(B ) xoz 平面上的双曲线绕z 轴旋转所得(C ) xoy 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得(D ) xoz 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得答: ( )→ → → →7. 设向量a ≠ 0, b ≠ 0, 指出以下结论中的正确结论:→ →→ →(A ) a ⨯ b = 0是a 与b 垂直的充要条件;→ → → →(B ) a ⋅ b = 0是a 与b 平行的充要条件;→→→→(C ) a 与b 的对应分量成比例是a 与b 平行的充要条件;→ (D ) 若→ → →λ是数),则 = 0.答: ( )(D ) 5.(C ) a b( A ) a ba = λb (→→→ ⎛→→⎫→8.设a, b, c 为三个任意向量,则 a+b ⎪⨯c =⎝⎭→→→→→→→→(A)a⨯c +c⨯b (B) c⨯a+c⨯b→→→→+ →→→→+ 答: ()⎧x 2y 2⎪+=9.方程⎨4 9⎪⎩y = 2在空间解析几何中表达(A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面,(D)两条平行直线. 答:( )10.对于向量a, b, c ，有（A）若a ⋅b = 0 ，则a, b 中最少有一种零向量（B）( +)(⋅)(a ⋅c)（C）(a ⋅b)⋅c =a ⋅(b ⋅c)（D）(a ⋅b)(a ⋅b)=01 1. 方程y 2+z2- 4x + 8 = 0 表达(A)单叶双曲面;(B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )x 2 12.双曲抛物面(马鞍面)p -y 2= 2z(p > 0, q > 0)与xoy 平面交线是q(A)双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答()三、计算题（本题共 6 小题，每小题 8 分，满分 48 分。

试题集：向量代数与空间解析几何

1.在三维空间中，向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少？o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。

2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少？o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。

3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么？o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。

4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少？o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。

5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少？o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。

6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例，因此它们不共线。

7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0，因此它们不正交。

8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。

考研数学(三)题库微积分(第四章向量代数和空间解析几何)打印版【圣才出品】

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9．方程 x2/2＋y2/2－z2/3＝0 表示旋转曲面，它的旋转轴是（）。 A．x 轴 B．y 轴 C．z 轴 D．直线 x＝y＝z 【答案】C 【解析】由于选项中有三项均为坐标轴，可先考虑旋转轴是否为坐标轴，观察曲面方程 x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等，则应选 D 项）
A．|a＋b|＝|a|＋|b|
→→
→
→
B．|a＋b|＝|a|－|b|
→→
→→
C．|a＋b|＝|a－b|
→→→→
D．a＋b＝a－b
【答案】C
→→
→→
【解析】由向量与平面几何图形之间的关系可知，a⊥b时，以a，b为边的四边形为矩
→→
→→
→→
→→
形，且|a＋b|与|a－b|均是该矩形的对角线长，则必有|a＋b|＝|a－b|。
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→→→
→ →→
→→
3．设三向量a，b，c满足关系a＋b＋c＝0，则a×b＝（）。
→→A．c×b→→源自B．b×c→→C．a×c
→→
D．b×a
【答案】B
→ →→
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→
→→ →→
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→→ →→
【解析】a＋b＋c＝0⇒（a＋b＋c）×b＝0⇒a×b＋c×b＝0⇒a×b＝－c×b＝b×c。
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。

向量与空间解析几何练习题

题型1.向量的线性运算（三角形法则、平行四边形法则）；向量的坐标运算2.向量的平行、垂直以及它们之间的夹角、向量的投影3.向量的数量积（点积）；向量的向量积（叉积）4．直线方程、平面方程5.曲线方程、曲面方程内容一．向量的概念及其运算1.向量的概念 6.数乘向量2.向量的模7.向量的数量积3.单位向量8.向量的向量积4.方向角9.向量的混合积5.向量的加减运算10.向量之间的关系二．平面与直线1.平面方程2.直线方程3.平面束4.两平面的位置关系5.平面与直线的位置关系6.两直线的位置关系7.点到平面的距离三．曲面方程1.球面方程2.柱面方程3.旋转方程4.锥面5.其他二次曲面四．空间曲线方程1.空间曲线的一般方程（面交式）2.空间曲线的参数方程3.空间曲线在平面上的投影方程典型例题向量I 向量的概念与运算向量II 平面与直线方程向量III 曲面与空间曲线方程自测题七综合题与方法相结合4月6日向量练习题基础题：1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（）A ）5B ） 3C ） 6D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（）A ）2π B ）4π C ）3π D ）π 6. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是：（） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k7. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（）A ）362B ）364 C ）32 D ）3 8.点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。

(完整版)向量代数与空间解析几何练习题

第4章向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点构成的图形是( ）（A ）直线； (B ）线段； (C ）圆； (D) 球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ）（A)a 与b 的内积等于零; (B)a 与b 的外积等于零;（C)对任意向量c 有混合积0)(=abc ； (D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313，则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ；（B ）若O 为原点，且a OA =，则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++;（D ）向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为（ )（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 18 ； (D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是（ )(A ）||||a a -=；（B ）||||||b a b a +>+；（C ） ||||||b a b a ⋅≥⋅； (D ） ||||||b a b a ⨯≥⋅．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =，q AN =，则BC =_______________,CD =__________________．2．已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A （0，0，2），B(8，0，0），C(0，8，6），则边BC 上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等，则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k j i F 532++=，则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________．5．已知)2,5,3(A ， )4,7,1(B , )0,8,2(C ，则=⋅AC AB _____________________;=⨯BA BC ____________________；ABC ∆的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c ，并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a ，求||||b a ⋅．3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A ，求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线，且满足3=⋅x a ，求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a ， b , c , 具有相同的模，且两两所成的角相等，若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和，求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A ， )1,4,2(-B , )3,2,0(-C ， )3,0,2(--D ，(1) 求以AB ， AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥BCD A -的体积．(3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．习题4。

向量代数及空间解析几何习题

1. | r | {cos ,cos ,cos } 求向量 : 2.用坐标表达式{ x , y , z } 3.用已知的向量表示
例：向量d 垂直于a {2, 3, 1}和b {1, 2, 3} 且与c {2, 1,1}的数量积为 6, 求向量d . 解: 由条件得 d // a b 设d (a b )
例：已知向量a 3i j 5k , b i 2 j 3k , 求向量p 使得p与z轴垂直，且a p=9，b p 4 解: 设p xi yj zk z =0 p k =0 得 3x y 5 z =9 由条件 p a =9 x 2 y 3 z =4 p b =4 z =0 22 22 3 得 x= p i j P16, 6 7 7 7 3 y= 7
例：设a 3i 5 j 2k , b 2i j 4k , 求的值，使得(1) a b与z轴垂直； (2) a b与a 垂直，并证明此时 | a b | 取最小值. 解:(1) 只需( a b ) k 0 由( a b ) k 2 4 0得 2 2 (2) ( a b ) a a a b 38 3 3 令( a b ) a 0得 38 2 2 2 | a b | ( a b ) ( a b ) a 2 a b b
0 3 3 3 27 (b )a a (1,1, 9) ( , , ) 83 83 83 83
例(0530)：设a , b , c 具有相同的模且两两所成角相等, 若a (1,1, 0), b (0,1,1), 求c 解: 设c ( x, y, z ) a b | a || b | cos(a , b ) x y 1 由条件可知a c b c a b 得 yz 1 又 | c | 2 得x 2 y 2 z 2 2 x y1 x y 1 2 所以 yz 1 2 x y2 2 2 2 2 x y z 2 1 2 x1 1或x2 3x 2x 1 0 3 1 4 1 得c (1, 0,1)或c ( , , ) 3 3 3

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