函数序列几种收敛性之间的关系

合集下载

概率论四种收敛性

x
x
r r

-
dF ( x )
r
1
r

x dF ( x )
=
E X
r
r
引理的特殊情况：取r=2，并以X-E(X)代替X得车贝晓夫不等式
P( X )
E X
r
r
2
【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X有2阶中心矩，E X-E(X) , 则对任意 0有
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X
9400) = P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)|
P(5200 X
9400)

2100}
由车贝晓夫不等式
D( X ) P{ |X-E(X)| 2100} 1 (2100)2 1 8 700 2 1 ( ) 1 9 9 2100
主要内容
车贝晓夫不等式-阶收敛
一、车贝晓夫不等式
【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有r阶绝对矩， E X ,
则对任意 0有
r
P( X )
E X
r
r
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有：
P( X )
x
dF ( x )
1 n 1 n K X i E ( X i ) lim lim P （ 1 ) 1 2 n n i 1 n n i 1 n
又由概率性质P 1
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
P Yn Y ; P Yn Y ;

抽象分析中几种收敛之关系

第６期
陈晓雷：象分析中几种收敛之关系抽
则可证得可测函数列
… …
，
一
，
Байду номын сангаас
依测度收敛于ｘ－。但对Ｖ）ｏ ∈ ［，）均有，，ｌ８例１ｏ０Ｉ，（】０见【Ｐ
定义３可测函数列｛（｝：．）在可测集Ｅ上几乎处
处收敛于Ａｘ，ｍ删）是指Ｅ
＝，０记为
于Ｅ。
定义４对可测集Ｅ上的可测函数｛（）与．：．｝厂（）若对Ｖ＞，自然数ＮＮｅ（，ｅＯ＝（）与无关）当，ｎＮ时，＞对一切 ∈ ，Ｅ均有Ｉｘ－（ｌ，ｆ）ｘ＜则称Ｉ（）．ｆ）ｅ（ｆｘｌｏ在Ｅ上一致收敛于．）记为二于Ｅ，。定义５设Ｉ．）与．）可测集Ｅ上ａｅ限：ｆ（｝是ｘ．有
．
以使对这部分内容的学习更为透彻，脉络更加清晰。为此先给出这几个收敛概念，他们在一般的实
变函数论课本中均可找到。
ｌ几种收敛的定义
为叙述方便起见，本文中所涉及的点集Ｅ为可测集，涉及的函数列｛）与．均为可测集Ｅ所｝厂）（
称（）Ｅ上依测度收敛于．）记为在。
．
—
上几乎处处有限的可测函数。
．
ｕｓｒ于Ｅｅ厂
定义１若命题Ｐｘ在可测集Ｅ上除了某个零：（）
（１Ｐ９见［］７定义２１。．）
测度子集外，处处成立，则说命题Ｐ ∽在集Ｅ上几乎处处成立。“ 几乎处处” 常记为ｍ（１２ｅ见［￣定义１）１．。３

几种收敛函数的介绍

概率论中的收敛-正文概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。

设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。

强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。

以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。

依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。

它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。

概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。

依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。

r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。

特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。

弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X。

由平均收敛可以推出弱收敛。

从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。

分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。

分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数ƒ(x)，img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。

分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。

中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。

函数序列几种收敛性之间的关系

科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界(上接第41页)难而上,积极努力参与课程建设的创新和改革,从而更好地发挥专业导论课的潜在价值和意义。

[1]师昌绪.材料科学导论[M].北京:机械工业出版社,2001.[2]李强.美国和欧洲的材料科学与工程教育[J].高等理科教育,2002(6):33-40.[3]李云,吴玉程.《材料科学导论》课程内容及教学的改革与实践[J].合肥工业大学学报:社会科学版,2006(20):12-14.[责任编辑:薛俊歌]从相关文献材料可知,函数序列的收敛性主要分成以下几种:一致收敛性、近一致收敛性、几乎处处收敛性、和依测度收敛性.1一致收敛与几乎处处收敛的关系从定义上看,显然,在E 上一致收敛的函数列一定处处收敛,而处处收敛又一定几乎处处收敛,所以,推出在E 上的函数列一致收敛必定几乎处处收敛.反之,从二者定义显然得知,几乎处处收敛不一定一致收敛.2几乎处处收敛与近一致收敛的关系要得到这两种收敛性的关系,必须知道一个定理———叶果洛夫定理,定理内容如下:叶果洛夫定理:设E 是可测集,mE <∞,f n (x )(n ∈N )和f (x )是E上几乎处处有限的可测函数,且f n (x )在E 上几乎处处收敛于f (x ),那么,对任意δ>0,存在集E δ⊂E ,使序列f n {}在E δ上一致收敛于f (x ),而m (E -E δ)<δ.由上述叶果洛夫定理明显可知,在E 上几乎处处收敛的函数列必定一致收敛,所以此函数列必定近一致收敛.反之,在可测集E 上的可测函数列f n (x )近一致收敛于f (x ),则f n (x )几乎处处收敛于f (x ).此定理可以视为叶果洛夫定理的逆定理,不难证明:对于每个k ∈N ,有可测集E k ⊂E ,使得m (E -E k )<1k,而序列f n {}在E k 上一致收敛于f (x ).令E *=∞k =1∪E k ,令f n (x )在E *上处处收敛于f (x ).其实,当x ∈E *时,x 属于某个E k .既然f n (t )在E k 上一致收敛于f (t ),自然在t =x 处也收敛于f (x ).同时,我们断定,m (E -E *)=0,这是因为,对每个自然数k ,m (E -E *)=m ∞k =1∩≤(E -E *)≤m (E -E k )<1k,所以,m (E -E *)=0得证.即在可测集E 上的可测函数列f n (x )近一致收敛于f (x ),则f n (x )几乎处处收敛于f (x ).3几乎处处收敛与依测度收敛的关系设mE <∞,则序列f n (x )几乎处处收敛于f (x ),则f n (x )依测度收敛于f (x ).根据叶果洛夫定理知道,假设mE <∞,则由f n (x )几乎处处收敛于f (x ),推出f n (x )近一致收敛于f (x ).因此,当mE <∞,则序列f n (x )几乎处处收敛于f (x )得,对于任意ε>0,δ>0,存在可测集E δ与自然数N ,使m (E -E δ)<δ,而在E δ上有,f n (x )-f (x )<ε(当n>N ),从而当时x ∈E (f n -f ≥ε)时,x ∉E δ.这表明有E f n -f ≥ε()⊂E-Eδ,因此mEf n -f ≥ε()≤m (E-Eδ)<δ,(当n>N ),即f n (x )依测度收敛于f (x ).而依测度收敛不一定几乎处处收敛,里斯定理表明了依测度收敛于几乎处处收敛间的联系:设mE <∞,则可测函数列f n (x )在E 上依测度收敛于f (x )的充要条件是:对序列f n (x ){}的任何子列f nk (x ){},都存在子列f ni (x ){},几乎处处收敛于f (x ).4近一致收敛与依测度收敛的关系在可测集上,近一致收敛一定依测度收敛。

函数项级数和函数列一致收敛

函数项级数和函数列一致收敛函数项级数和函数列是数学中非常重要的概念。

在许多数学领域，我们经常会遇到这两个概念，并且它们在解决许多问题时发挥着重要的作用。

本文将介绍函数项级数和函数列的概念，并探讨它们之间的联系和应用。

首先，我们来看看函数项级数的概念。

一个函数项级数是指一系列函数的无穷和。

具体而言，给定一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，其中$f_n(x)$是一个函数序列。

我们可以将级数记为$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$。

函数项级数的收敛性是指$S(x)$是否存在有限的极限。

当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。

与之相对应的是函数列。

函数列是一系列函数的序列。

对于给定的$x$，函数列的极限是指当$n$趋向于无穷大时，函数序列中的每个函数在$x$处的极限都存在，并且这些极限构成了一个函数。

具体而言，给定一个函数列$(f_n(x))$，其极限为$f(x)$，可以表示为$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$。

函数项级数和函数列之间存在着紧密的联系。

实际上，函数项级数可以看作是函数列的一种特殊情况。

考虑一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，我们可以构造一个函数列$(S_n(x))$，其中$S_n(x)$表示级数的部分和，即$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$。

函数列$(S_n(x))$就是函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$的部分和函数列。

一个重要的问题是函数项级数和函数列的收敛性之间的关系。

当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。

类似地，当函数列对于所有的$x$都收敛时，我们也说该函数列是一致收敛的。

可以证明，函数项级数的一致收敛性等价于其部分和函数列的一致收敛性。

也就是说，如果函数项级数收敛于函数$S(x)$，那么它的部分和函数列也收敛于$S(x)$。

可测函数列常见的几种收敛

可测函数列常见的几种收敛摘要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”[1]1 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有()()k f x f x ε-<则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f −−→(其中u 表示一致uniform)．1.2 点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx=+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.x f x x =⎧=⎨<≤⎩ 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．1.3 几乎一致收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f −−→则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致almost uniform) ．例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0．1.4 几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有lim ()()k x f x f x →∞= 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．1.5 依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令1[,)22()(),1,2,,[0,1).i i k j j f x x k x χ+==∈任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集{[0,1)()0}{[0,1)()1}1[,)22k k i ix f x x f x j j ε∈-≥=∈=+= 的测度非常小．事实上 1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=．这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有lim (())0,k x m E f f ε→∞->= 则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1．反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列a.e ．收敛于一个a.e ．有限的函数f 的可测函数，则对于任意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<．注定理中“()m E <∞”不可去掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列1,(0,]()(1,2,).0,(,)m x m x m x m f ∈⎧==⎨∈+∞⎩ 则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何正数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上不一致收敛于1．这是因为，当时(\)m E E δδ<时，E δ不能全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞ ，于是有()0m m x f =．sup ()1()11m m m x E f x f x δ∈-≥-=所以()m x f 在E δ上不一致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上a.e ．有限的可测函数，则对于任意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上a.e ．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．有限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5 取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩， (1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩．然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j n j j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩ ．我们把(),1,2,,2{}n j x j f = ，先n 按后按j 的顺序逐个的排成一列：(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),n n n n x f x f x f x f x f (1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的0σ>，()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>)，或是1,22(]n n j j - (当01σ<≤)，所以 ()102([])n j n f m E σ-≥≤ (当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+== 趋于∞时n →∞，由此可见()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=，也即()()0m n j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n 多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因而()0()1n j x f =，然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz) [5] 设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}i n f 在E 上a.e ．收敛于f ．例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，1[](,)m f E m σ-≥=+∞且(,)m m +∞=∞．这说明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系：勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE <∞，{}n f 是E 上a.e ．有限的可测函数列， {}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．有限的函数f ，则()()m n x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件：设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性）由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列．（充分性）如果{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得()n f f m E σ-≥不趋于0．因此必有子序列{}k n f ，使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=> 这样{}k n f 就不可能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}k n f 依测度收敛于f ，即(())0.lim kn k m E f f σ→∞-≥= 这与上式矛盾，所以{}n f 依测度收敛于f ．应用依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布，从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]．结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．参考文献：[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7．[6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．。

可测函数列常见的几种收敛

可测函数列常见的几种收敛摘要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”[1]1 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有()()k f x f x ε-<则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： uk f f −−→(其中u 表示一致uniform)．1.2 点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx=+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.x f x x =⎧=⎨<≤⎩ 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．1.3 几乎一致收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有uk f f −−→则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致almost uniform) ．例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0． 1.4 几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有lim ()()k x f x f x →∞=则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a ek f f −−→ 若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ． 1.5 依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令1[,)22()(),1,2,,[0,1).i ik j j f x x k x χ+==∈任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i ij j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集{[0,1)()0}{[0,1)()1}1[,)22k k i ix f x x f x j j ε∈-≥=∈=+=的测度非常小．事实上1({[0,1)()0})2k im x f x ε∈-≥=．这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有lim (())0,k x m E f f ε→∞->=则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.mk f f −−→ 2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道uk f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1．反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序． 2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列a.e ．收敛于一个a.e ．有限的函数f 的可测函数，则对于任意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<．注定理中“()m E <∞”不可去掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列1,(0,]()(1,2,).0,(,)m x m x m x m f ∈⎧==⎨∈+∞⎩则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何正数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上不一致收敛于1．这是因为，当时(\)m E E δδ<时，E δ不能全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞，于是有()0m m x f =．sup ()1()11m m m x E f x f x δ∈-≥-=所以()m x f 在E δ上不一致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上a.e ．有限的可测函数，则对于任意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上 a.e ．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．有限的可测函数． 2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5 取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，(1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩．然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j nj j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩．我们把(),1,2,,2{}n j x j f =，先n 按后按j 的顺序逐个的排成一列：(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),nn n n x f x f x f x f x f(1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的0σ>，()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>)，或是1,22(]nn j j- (当01σ<≤)，所以 ()102([])n j n f m E σ-≥≤(当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+==趋于∞时n →∞，由此可见()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=，也即()()0mn j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n 多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因而()0()1n j x f =，然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz) [5] 设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}i n f 在E 上a.e ．收敛于f ．例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，1[](,)m f E m σ-≥=+∞且(,)m m +∞=∞．这说明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系：勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE <∞，{}n f 是E 上a.e ．有限的可测函数列， {}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．有限的函数f ，则()()mn x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件：设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性）由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列．（充分性）如果{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得()n f f m E σ-≥不趋于0．因此必有子序列{}k n f ，使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=>这样{}k n f 就不可能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}k n f 依测度收敛于f ，即(())0.lim kn k m E f f σ→∞-≥=这与上式矛盾，所以{}n f 依测度收敛于f ．应用依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布，从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]．结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．参考文献：[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6． [3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7． [6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

函数列的几种收敛性

函数列的几种收敛性王佩（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）摘要: 讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题.关键词：函数列；收敛；Several kinds of convergence for the sequence of funcationsWang pei(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou730070,China)Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the sequence of funcations.Key words: the sequence of funcations; convergence;一、几种收敛的定义1、收敛的定义定义1：设{}n a为数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有ε<-ana,则称数列{}n a收敛于a，定数a称为数列{}n a的极限，并记作limn→∞an=a,或()∞→→naan.定义2：设f为定义在[)+∞,a上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有 |f(x)-A|<ε,则称函数f当x趋于+ ∞时以A 为极限，记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(x→+ ∞).用c.表示.2、一致收敛的定义设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一数集E上，若对任意的ε>0,总存在自然数N，使得当n>N时，对一切x∈E都有| fn(x)- f(x)|<ε,则称函数列{fn (x)}在E上一致收敛于f(x)，记作fn(x)→ f(x)，（n→∞）x∈E.用u.c.表示.3、几乎处处收敛的定义设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)→ f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，记作limn→∞ fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn→fa.e.于E.用a.c.表示.4、几乎处处一致收敛设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)−→−uc f(x)）=0，（其中“−→−uc”表示不一致收敛于），则称{fn (x)}在E上几乎处处一致收敛于f(x)，记作limn→∞fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn−→−uc f a.e.于E.用a.u.c.表示.5、依测度收敛设函数列{fn(x)}是可测集E上一列a.e.有限的可测函数，若有E上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系：对任意σ>0有limnmE [|f n-f|≥σ]=0，则称函数列{f n}依测度收敛于f,或度量收敛于f记为：fn(x)⇒ f(x).6、近乎收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,且f n(x)−→−c f(x) (在E- Eσ上)，则称函数列{fn (x)}在E上近乎收敛于函数f(x)，记为fn(x)−→−c n. f(x)或简记为fn−→−c n. f.用n.c.表示.7、近乎一致收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,，且f n(x)−→−c u. f(x)在E- Eσ上），则称函数列{fn (x)}在E上近乎一致于函数f(x)，记为fn(x)−−→−c u n.. f(x)或f n−−→−c u n.. f.用n.u.c.表示.8、强收敛设fn (x)，f(x)属于L p,若fn(x)，f(x)得距离)()(f xfxn-敛于0（当n→+ ∞）,则称fn (x)强收敛于f(x),简记为：fn−→−强 f.二、几中收敛的关系1 一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系若{fn(x)}在E上一致收敛，则在E上逐点收敛，即处处收敛，处处收敛一定几乎处处收敛.但几乎处处收敛不一定处处收敛，处处收敛也不一定一致收敛.2 处处收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系2.1依测度收敛不论是在有限可测集上，还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛.例1 依测度收敛而处处不收敛的函数.取E=(]1,0,将E等分，定义两个函数：f（1）1(x)=⎧⎨⎩⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈1,21x,0,21,01x，f（1）2(x)=⎧⎨⎩.1,21,1,21,0x⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈x，然后将(]10，四等分、八等分等等.一般地，对每个n,作2n个函数：f（n）j (x)=⎧⎨⎩.2,21,0,2,21x1⎥⎦⎤⎝⎛-∉⎥⎦⎤⎝⎛-∈nnnnjjxjj，j=1,2,…,2n.把{ f（n）j，j=1,2,…,2n.}先按n后按j的顺序逐个地排成一列：f（1）1(x)，f（1）2(x)，…，f（n）1(x)，f（n）2(x)，…，f（n）2n(x), (1)f（n）j(x)在这个序列中是第N=2n-2+j个函数.可以证明这个序列是依测度收敛于零的.这是因为对任何σ>0,E[|f（n）j -0|≥σ]或是空集（当σ＞1），或是⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j（当0<σ≤1），所以m(E[|f（n）j -0|≥σ])≤n21(当σ＞1时，左端为0).于是当N=2n-2+j（j=1,2,…,2n）趋于∞时，n→∞.由此可见lim N→∞ m(E[|f（n）j-0|≥σ])=0,即f（n）j(x)⇒0.但是函数列（1）在(]1,0上的任何一点都不收敛.事实上，对任何点x0∈(]1,0,无论n多么大，总存在j,使x0∈⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j,因而f（n）j (x)=1，然而f（n）j+1(x)=0或f（n）j-1(x)=0，换言之，对任何x0∈(]1,0，在{f（n）j (x)}中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为零，所以序列（1）在(]1,0上任何点都是发散的.2．2反过来，一个a.e，收敛的函数列也可以不是依测度收敛的.例2 取E=(0,+∞),作函数列：f（n）(x)=⎧⎨⎩(](),,,0,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,….显然fn (x)→1(n→+∞),当x∈E.但是当0<σ<1时，E[|fn-1|≥σ]=（n, +∞),且m(n, +∞)=∞.这说明{ fn}不依测度收敛于1.2.3尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联系的.定理1（黎斯F.Riesz）设在E上{fn }测度收敛于f,则存在子列{ fni}在E上a.e.收敛于f.定理2(勒贝格Lebesgue) 设（1） mE<∞;（2） {fn}是E上a.e.有限的可测函数列；（3） {fn }在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数f,则 fn（x）⇒f(x).定理3设fn（x）⇒f(x)， f n（x）⇒g（x）,则f(x)=g(x)在E上几乎处处成立.3 几乎处处收敛与近一致收敛3.1 在有限可测集上，几乎处处收敛一定近一致收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理：设mE<+∞,f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若limn→∞f n(x)=f(x)，a.e.于E，则对任何σ>0,存在可测集Eσ⊂E,使得m Eσ<σ,且在E-Eσ上{ f n(x)}一致收敛于f(x).3.2 在一般可测集上（mE=+∞），几乎处处收敛不一定近一致收敛Eτopob定理中mE<+∞的条件不可少.例如考虑可测函数例fn (x)=Χ(0,n)(x),n=1,2,…, x∈(0, ∞).它在(0, ∞)上处处收敛于f(x)≡1,但在(0, ∞)中的任一个有限测度集外均不一致收敛于f(x)≡1.又如取E= (0,+ ∞)，则mE=+∞，作E上函数列：fn (x)=⎧⎨⎩[)().,,0;,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,…, limn→∞fn(x)= f(x)≡1 (0<x<∞)取δ=1, 则对任何可测集Eδ⊂E，若m Eδ<δ=1，故m(E-Eδ)= ∞,于是集E-Eδ无界.取ε=1/2,对任意N存在n=N+1和x0>N+1,且x∈E-Eδ时，| fn(x)-f(x0)|=|0-1|>ε.所以在E-Eδ上{ fn(x)}不一致收敛于f(x).3.3 不论在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定几乎处处收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理的逆定理成立可说明这一结论.设可测集E上可测函数列fn (x) 近一致收敛于f(x)，则fn(x)几乎处处收敛于f(x).4 近一致收敛与依测度收敛4.1 无论是在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定依测度收敛设f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若{ fn(x)}在E上近一致收敛于f(x)，则fn(x)⇒ f(x).证明由条件对任意δ>0及σ>0,存在N=N(σ,δ)及E的可测子集Eδ，且m Eδ=δ,当n≥N时，对一切x∈E-Eδ，| fn(x)- f(x)|<σ，因此，对任意x 0∈E-Eδ，x∈()()∞=<-NnxfxfEn,σE-Eδ()∞=<-⊂NnnfxfE.x)(σ于是对任何x∈E- ∞=<-NnffEnσ= ∞=≥-NnnffEσ,必有x∈Eδ,即∞=≥-Nn nf fE σ⊂E δ综上所述，对δ>0，σ>0，存在N=N(σ,δ)，当n ≥N 时，m( ∞=≥-Nn n f f E σ)≤m E δ<δ,从而mE[|f n -f|≥σ]<δ.由依测度收敛的定义可知，f n (x)⇒ f(x). 4.2 不论在有限可测集还是一般可测集上，依测度收敛不一定近一致收敛，但必有子列近一致收敛.依测度收敛但不几乎处处收敛的例子同时也说明依测度收敛不一定近一致收敛.5 几乎处处收敛与强收敛5.1几乎处处收敛不一定强收敛例 f n (x) =⎧⎨⎩.110,0,10,n ≤≤=<<x n x n x 及，显然在[]1,0上f n 处处收敛于f=0,然而并不强收敛于f.事实上f n -f ={dx n n ⎰12}21=n →∞（n →∞）. 5.2 强收敛不一定几乎处处收敛例 )(f k i = ⎧⎨⎩.,1,0,,1,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∉⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i x令Φn (x)= )(f k i,Φ(x)=0.则：()()x x n φφ-={()⎰1x n φ}21=k1→0(n →∞),Φn (x)−→−强 Φ(x),而Φn (x)在任一点都不收敛.6 依测度收敛与强收敛6.1强收敛一定依测度收敛可证明，对任何ε>0,设E n (ε)=E{x:|f n (x)-f(x)|≥0},),(|)()(|)(|)()(f|22εεεn n n nmE dx x f x f E dx x f x E ≥-≥-⎰⎰f n →f,∴mE n (ε)→0,即f n (x)⇒f(x). 6.2 依测度收敛不一定强收敛例 E=[]10，，在E 上作函数列如下： f 1(1)(x)=1 x ∈[)10，, f 1(2)(x)= ⎧⎨⎩01 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121,0x x … f i (k)(x)= ⎧⎨⎩01[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i ,11,0,1x (i=1,2…,k) 上述的函数列记为Φ1（x ）, Φ2（x ）, Φ3（x ）,…, Φn （x ）,…,可证Φn （x ）⇒Φ（x ）≡0，但却处处不收敛于Φ（x ）.证明若ε>1, E n (ε)为空集，显然lim n →∞E n (ε)=0；若0<ε≤1,则E n (ε)=E{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=⎪⎭⎫⎢⎣⎡k i k ,1-i ,所以mE{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=k1，于是当n →∞,显然k →∞.故lim n →∞E n (ε)=0，从而Φn （x ）⇒Φ（x ），而对任x 0∈[)10，,Φn （x 0）中总有无穷个1，无穷个0，即{Φn （x ）}处处不收敛.三、相关命题及证明命题1 f n ..a c E −−→ f ⇔ f n ..n c E−−→ f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E−−→ f ，则∀K ，∃E k ⊂E,使得m E k <k1,且 f n .kc E E -−−−→f 记 E 0= ∞=1k k E ，则m E 0=0,E- E 0= ∞=-1)(k k E E∴ f n .kc E E -−−−→f 且m E 0=0 即f n ..a c E −−→ f 证毕命题 2 f n ...n u c E −−−→f ⇔f n ..n c E−−→f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E −−→f ，则由命题1知 f n ..a c E−−→ f 而 m E<∞,故由叶果洛夫定理有 f n ...n u c E−−−→ f 证毕命题 3 若f n ...n u c E−−−→f ，则f n ⇒f命题 4 若f n ⇒f ，则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证明任取定{εk }→0,{δk }→0,且∑∞=1k k δ<∞，则由“⇒” 的定义知：可取定 n 1>N(ε1, δk )，使得 m E(|1f n -f|≥ε1)< δ12n > n 1, 2n > N(ε2, δ2), 使得 m E(|1f n -f|≥ε2)< δ2… … …∀ δ>0,由∑∞=1k k δ<∞知，∃K 1，使得∑∞=1k k δ<δ记 E δ=)|(|1k k k n f f E k ε≥-∞= 则 m E δ<δ又∀ δ>0，由{εk }→0，知∃K 2，使得εk 2<ε,于是当k ≥k 0=max{k 1,k 2},且x ∈(E- E δ)时，有 |k n f （x ）-f(x)|< εk <ε∴k n f （x ）..u c E Eδ-−−−→f (k →∞) 且m E δ<δ 即 k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证毕命题 5 f n ⇒f ⇔ {k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）证明∀ σ>0,记a n=m E(|f n -f|≥σ) (n=1,2,…)∀ δ>0, f n ⇒f,则由“⇒”的定义有 lim n →∞a n =lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0故∀ {k n a }⊂{a n },∃ {i n a }⊂{k n a },使得 lim n →∞k n a =0即∀{kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得lim n →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0 亦即1f k n ⇒f （i →∞）“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得lim i →∞i n a =lim i →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0∴ lim n →∞a n =0 即 lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0亦即 f n ⇒f 证毕命题 6 ∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则有{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞）证明“⇒”设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则由命题4知：{1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞）综上所述，结论成立.“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞）则由命题3知： 1f k n ⇒f （i →∞）综上述，结论成立.命题7 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞）则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ...n u c E−−−→f （m →∞）命题8 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得1f k n ..a c E−−→ f （i →∞）则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ..a c E−−→ f （m →∞）. 命题7和命题8的结论是容易证明的，不再叙述.命题9 若f n ..n c E −−→f,则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→f(k →∞）命题10 ∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f （k →∞）⇔{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→ f （k →∞）命题11∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） ⇔ {kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得 1f k n ..a c E−−→ f （i →∞）. 由命题1和命题2可立得命题9、命题10和命题11的结论.经上所述可测函数各种收敛性的关系的关系图如下：从上图清楚你地看出，一致连续这个条件最强，所得到的结果也最多.参考文献[1] 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础[M]. 北京：高等教育出版社，2003. [2] 周明强. 实便函数论[M]. 北京：北京大学出版社，2007. [3] 薛昌兴. 实变函数与泛函分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，1993. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社,2001. [5] 赵焕光. 实变函数[M]. 成都：四川大学出版社,2004.。

函数列三种收敛的关系探究毕业

函数列三种收敛的关系探究毕业本科生毕业论文函数列三种收敛的关系探究学号： 2009563018 姓名：刘玉良年级： 09级本科二班系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：王国贤完成日期： 2013年4月20日承诺书我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注的地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任.毕业论文（设计）作者签名：日期：年月日目录摘要 (I)Abstract ........................................................................... I I 前言 (1)第一章基本概念 (2)1.1一致收敛的相关定义 (2)1.2依测度收敛的定义 (4)1.3几乎处处收敛的定义 (5)第二章函数列收敛之间的关系 (6)2.1几乎处处收敛与一致收敛间的关系 (6)2.2依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系 (9)2.3一致收敛与依测度收敛之间的关系 (12)2.4基本上一致收敛与几乎处处收敛之间的关系 (13)2.5基本上一致收敛与依测度收敛之间的关系 (14)第三章利用收敛性的关系解决问题 (15)3.1利用一致收敛问题解决几乎处处收敛问题 (15)3.2 利用依测度收敛问题解决几乎处处收敛问题 (17)3.3利用几乎处处收敛问题解决一致收敛问题 (18)结论 (19)参考文献 (20)致谢 (22)摘要本文讨论了实数系下函数列的一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、基本上一致收敛的定义及定理，以及四种收敛之间的区别与联系.在有些条件（一般可测集和有限可测集）改变时，这几种收敛性相互之间又没有必然的联系.给定一个函数列，我们在考虑它的收敛性问题时，应该注意各种收敛之间有什么关系以及在什么意义下收敛.对于可测函数列来说，下文所介绍的叶果洛夫定理指出了几乎处处收敛与一致收敛的某种关系，黎斯定理指出了依测度收敛和几乎处处的某种关系，由于函数列一致收敛性有着重要意义，可以预见这一定理有广泛的应用，此外本文引进的依测度收敛的概念是可测函数列最经典的一种收敛，它在概率中有着具体含义.而研究清楚了它们之间的关系，我们可以应用相关定理来解决一些简单的问题.进而使我们能够对于黎斯定理、叶果洛夫定理进行简单的应用，同时使我们对于定理有了更加深刻的理解和认识.关键字：收敛；一致；依测度；几乎处处；基本上AbstractThis paper discussed the uniform convergence，convergence in measure，almost everywhere convergence，basically uniform convergence' definition and theorem in the actual amount，and there is some difference between the four kinds of definitions of convergence. If some conditions (general measurable sets and finite measurable set) are changed，the convergence does not always establish. Given a sequence of function，when we consider convergence，we should pay attention to the relationship between the various convergences and in which sense. Facing to the convergence of measurable function sequence，EropoB theorem pointed out the relationship between almost everywhere convergence and the uniform convergence. Riesz theorem pointed out the relationship between convergence in measure and almost everywhere convergence. Because of the significance of uniform convergence of function sequence，we can forecast this theory could be applied widely. In addition，the concept of the convergence in measure is one of the most classic concepts of measurable functions，and it has a specific meaning in probability. If we can make clearly the relationship between them，we can apply related theorem to solve some simple problems and we can perform simple application for Riesz theorem and EropoB theorem，at the same time we have a more profound understanding and knowledge for the theorem.Key words: Convergence; Uniform; According to the measure; Almost everywhere; Almost前言高等数学教学中的一个至关重要的概念就是具有收敛性的函数列的收敛问题，这是一个对我们数学学习研究有重要意义的问题.并且对于我们研究数学分析问题有重要的意义.是数学分析理论的重要组成部分和理论基础，是实变函数重要概念之一.在数学应用与技术工程中有着广泛应用，无论在数学科学本身还是在其他技术科学的研究中都是有着重要的研究价值.而如果通过函数列收敛的定义推断出函数列收敛性关系则是非常复杂的，因此，找出判断函数收敛性问题的方法则是非常重要的.所以，本文研讨了实函数列的一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、基本上一致收敛的概念、转化关系以及应用进行了深入的总结和分析，而在大部分资料中一般给出实函数列收敛关系的内容较简单，篇幅少，为了对实变函数列的一致收敛、依测度收敛，几乎处处收敛、近一致收敛的关系有更加全面的掌握和正确的理解，本文做了以下几点讨论：1.研究了一致收敛、依测度收敛，几乎处处收敛、近一致收敛的定义.2.给出了函数列几乎处处收敛的定理、一致收敛的定理、依测度收敛以及基本上一致收敛的定理.3.将函数列的黎斯定理、叶果罗夫定理、勒贝格定理进行了简单的应用.通过以上的讨论和研究，使得判定函数列的各种收敛性之间的关系变得更加透彻与清晰.⎛⎝).({|;n n j x x f x ∞=⎛∈E ⎝(){|;n x x f x ∈E ()x f n ⇒几乎处处收敛的定义,()，分别存在充分大1,2, (∈,0x 使得()x f n()mm m <E -E σ且在E 上，()n+∞,,()1-x<1n由（1）中的充分性可以得到结论依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系，，)(()2.8),2,基本上一致收敛于()mm δδE -E ≤()0*=E -E m()..f x a e =　于基本上一致收敛与依测度收敛之间的关系不论是在有限可测集还是一般可测集上，基本上一致收敛的函数列一定是依测)，(()(k k Nf x f ∞=E -)=σ( ∞=-E Nn nf()E ⊂-E ∞Nnf f证明对于m m 2=ε，存在A 的可测子集m B ，使得()m B A m m 2\<，且()x f n 在m B 上一致收敛于()x f .记() ∞=∞==1\j jm m B A B因为()()()12121\\-∞=∞=∞==<≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤∑∑j j m mj m m j m m B A B A m B mN j ∈∀，所以()0=B m∞=∞==∈∀1\j jm m B B A xN j ∈∃0，..t s ∞=∈j m mBx因为n f 在m B 上一致收敛，故在x 处收敛又()0=B m故()x f n 在A 上几乎处处收敛于()x f .探究完实数系下函数列的基本上一致收敛和几乎处处收敛的问题，研究一下应用黎斯定理解决依测度收敛和几乎处处收敛的问题.3.2 利用依测度收敛问题解决几乎处处收敛问题例3.3 设在E 上()()x f x f n ⇒且()()x f x f n n 1+≤几乎处处成立() ,2,1=n ，则几乎处处有()x f n 收敛于()x f .解1+≤n n f f ..e a 于E即[]1+>E n n f f m =0f f n ⇒由黎斯定理，知{}k n f ∃⊂n f ，则()()x f x f k n k =+∞→lim ..e a 于E即 []0=→/E f f m k n作[]⋃≥E =E +10n n f f []f f k n →/E则在0\E E 上()⎩⎨⎧∞→→≤+k f f f f kn n n 1即()()x f x f n n =∞→lim （单调函数的子列收敛于一个函数，则其单调函数列收敛于同一极限.）故()∞→→n f f n ..e a 于E .例 3.5 设函数列(){}x f n 在E 上依测度收敛于()x f ，且()()E ≤于..e a x g x f n () ,2,1=n ，试证()()x g x f ≤在E 上几乎处处成立. 证明若()()x f x f n ⇒，由黎斯定理存在子列(){}x f k n ，使得()()E =∞→于..lim e a x f x f k n k利用几乎处处收敛问题解决一致收敛问题，，)(),2,是[]b a ,([]，而({x f k结论至此，已经讨论了函数列一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、基本上一致收敛的定义以及它们收敛性之间的关系.从讨论中可以知道其中一致收敛函数列的条件要求最为严苛，而对于实数系下一致收敛函数列来说，对于其他几种收敛也是成立的.虽然基本上一致收敛函数列对于一致收敛条件要求比较宽松，但是基本上一致收敛函数列的条件比依测度收敛和几乎处处收敛的条件都要严苛.不论是在一般可测集还是在有限可测集上，基本上一致收敛函数列都能够推出依测度收敛和几乎处处收敛.然而在一般可测集上，推不出基本上一致收敛，但是在有限可测集上，几乎处处收敛函数列必定基本上一致收敛，而在一般可测集上，几乎处处收敛函数列未必基本上一致收敛.而对于函数列的几乎处处与依测度的收敛之间的推导需要某一特定的条件约束.而在有限可测集上，即()∞<E m ，函数列的几乎处处收敛问题必定是依测度收敛的问题，但是在一般可测集()∞=E m 上，几乎处处收敛函数列未必依测度收敛.研究清楚了它们之间的关系，我们可以应用相关定理来解决一些问题.进而使我们能够对于黎斯定理、叶戈罗夫定理进行简单的应用，同时使我们对于定理有了更加深刻的理解和认识.参考文献[1] 徐森林，薛春华.实变函数论[M].北京：清华大学出版社，2009:185-206.[2] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）第三版[M].北京：高等教育出版社，2007:23-30.[3] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）第三版[M].北京：高等教育出版社，2007:22-45.[4] 郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社，2005:101-108.[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M].华东:高等教育出版社，2003:81-94.[6] 魏国强，胡善文.实变函数与泛函分析学习指导[M].华东:高等教育出版社，2004:31-33.[7] 周民强.实变函数解题指南[M].北京:北京大学出版社，2008:147-160.[8] 周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2008:128-137.[9] 魏勇.实变函数论[M].成都：西南交通大学出版社，2007:68-73.[10] 江泽坚，吴智泉.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2006:118-123.[11] 尹敏.可测函数列的几种收敛性的关系[EB].井冈山师范学院学报，2001-12(6).[12] 张玲.几种收敛间的关系[EB].唐山师范学院数学系，2005-8(4).[13] 高继梅，万建平.可测函数序列的几种收敛间的关系[EB].周口师范学院学报，2006-9(5).[14] 陈建功.实函数论[M].北京:科学出版社，1978:35-40.[15] Torchinsky A. Real Variables. NewYork:Addison-Wesley Pub.Comp.Inc.1988:67-70.[16] Rudin W. Real ahd Complex Analysis. Sec.Edition. New York:Mcgraw-Hill Book Comp.1974:32-40.致谢经过几个月的努力工作，本次论文的撰写基本上接近尾声.在这个过程中我发现自己有很多的不足，而且我缺乏经验，如果没有王国贤老师的辅导，想要完成论文是相当困难的.我非常感谢我的指导教师王国贤老师，在本文的撰写过程中，我有幸成为王老师的学生，王老师用他深刻的数学思想和渊博的知识指引我，老师对我的论文提出了具体的建议，使我获的了很大的帮助.在论文的各个阶段，从确定论题到查阅材料，从论文初稿的确定到修改，从中期检查到论文定稿等各个过程中，王老师都给予我悉心的指导，王老师的严谨细致的作风一直是我学习和工作中的榜样，他的教导的循循善诱，思路不拘一格，这些都给予了我无尽的启迪.他那诲人不倦的精神和严谨的治学态度，使我终生难忘.最后，要感谢大学四年所有的专业课老师，为我打下了坚实的数学专业知识基础；同时还要感谢所有帮助我的亲人和同学们，正因为有了你们的帮助和鼓励，此次毕业论文才会顺利完成.。

随机变量序列的几种收敛性注记

科教论坛科技风2020年10月DOC10.19392/ki.1671-7341.202028033随机变量序列的几种收敛性注记杨元启三峡大学理学院湖北宜昌443002摘要：随机变量序列的收敛性理论主要源自测度论中可测函数序列的收敛性理论，但由于概率测度的特殊性，使得随机变量序列的敛散性有自己的特点。

这些理论既是概率论的重点，也是难点。

本文准备详细介绍随机变量序列的各种收敛性概念,讨论他们之间的联系，并以适当的例题来说明收敛的性质。

关键词:几乎必然收敛;依概率收敛；完全收敛;一致可积性本科教材中关于随机变量序列的收敛概念一般只有两种:依概率收敛和依分布收敛,分别关联大数定律和中心极限定理。

但根据序列收敛的强弱,有多种强弱不同的收敛概念,它们的侧重点不一样，相互之间也有联系，讨论如下。

设79,9，”=1,2,3｝是概率空间(*,,p)上的随机变量序列，随机变量9的分布函数记作F(0=p(X<x+,x(R,X n 的分布函数记作F(0#以下是几种常用的收敛性：(1)若对F(0)的每个连续点0,有0)=F(0)，则称随机变量序列｛X”｝依分布收敛于X,记作X”厶X；(2)若对任意&>0,li rn P(X…-X|'&)=0,则称随机变P量序列｛X”｝依概率收敛于随机变量X,记作X”一X；(3)设r>0,=X”存在，且”X”-X|'=0,则称随机变量序列｛X”｝r阶收敛于随机变量X,记作X”二X,这时易知=X>也存在；(4)若P(”im X…=X)=1,则称随机变量序列｛X”｝几乎必然收敛于随机变量X,记作X”上$X；(5)若对任意的&>0,都有lim-P(|X»-X|'&)=0称随”$"7=”c机变量序列｛X”｝完全收敛于随机变量X,记作X”一X#下面几个概念与随机变量序列的收敛性关系密切：(1)对任给的&>0,存在(使得对任一"(F,当P(")d 时，便有spf j X”|$p<&,则称随机变量列｛X”｝是一致绝对连续的；(2)若epJj X”|$P<",则称随机变量列｛X”｝积分一致有界；(3)若sp|X”|$P=0,则称随机变量列｛X”｝是一致可积的；由测度论的理论,有下列结论:(1)｛X”｝是一致可积的充要条件是｛X”｝是一致绝对连续的且积分一致有界；(2)X”上$X当且仅当对于任意的&>0,^｛*”7X”-X丨'&｝｝=0以及X”上$x当且仅当对于任意的&>0,P(/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”P(3)X…-$X当且仅当对｛X”｝的任一子序列｛X”？，均存在子序列7X”》｝0｛X”？,使得X”7上$x；“、a・s.,、，P(4)X”一X时必有X”一X；r P(5)X”---------$X时必有X”----------$X；P<(6)X”---------$X时必有X”----------$X；C., a.s.(7)X”---------$X时必有X”----------$X；(8)”F"IX-XI=0的充要条件是｛X”｝是一致可积且PX”$X上述部分结论的证明可以从本文所列文献中找到，这里就不赘述了#我们只证(2)和(7)#先介绍一个引理#"8888弓【理如果-P("”)<8,则P(/U"”)=0,P(*/"”.)=1,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为0,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为1;如果P("”)=8,而｛"”｝是两两独立的事件序列，则P8888(/*"”)=1,P(*/"”.)=0,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为1,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为0#这是著名的波雷尔-康特立引理#(2)的证明:若X”上$X,即*中除了某个概率测度为零的集合8以外的所有点)对于任何&>0,当”>”0(&,)时就有t”_X I<&,也就是说，满足对任意的”,总存在>'”，使得X”-X的点)必属于零测度集8,亦即/*7X”-X'”一1>—”&｝08,因此P(/*7|X>-X|'&｝)=0；”=1>=”所以说X”上$X当且仅当对于任意的&>0,P (/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”66科技风2020年10月另外，根据概率的连续性，显然有P(/*i19-91>&!)=+=17=+0i U/P{U7丨9”-9|'&}=0,反之,若对于任意的&>0, >=+有U m：{U79”-9|'&}=0,则由于/U79”-9|'&8 +$">=++=1>=+"880U7X m-9|'&,有0!：(/U7X m-9|)!Um：>=++=1>=++$8 {U+7.|9>-9|}=0综上有：as889—」9%对于任意的&>0,P(/U7丨9”-9|)=0+=1>—+%对于任意的&>0,fm P{U7丨9”-9|}=0#+—8>—+C8(7)的证明：因为9―$9,即任意的&>0,Um-：+$87=+ (9,,-9'&)—0,因此Um：{U7丨9”-9|}<Um-：+$8>=++$8>=+ (9m-9|'&)=0,即|=9#以下通过几个例子进一步讨论随机变量序列的性质#例1设{9”}为相互独立的随机变量序列，若9…上$证明:设9…上$0,则对任意的&>0,有：(/U79-0)=0”=17=+即：(limyp7I9t1>&)=0,由｛9…｝相互独立及波雷尔-康特立引理，知-:(9>'&)<8,因此Um-：>=1”$8>=+ (9”|'&)=0,此即9 0注：(1)显然，此结论可改为：若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于9…亠0'或者，若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于2&>0,-：7(191>&)!<8#+=1(2)若｛9｝独立，｛,”｝为常数列，则9上$0等价于2&>0,-：7(19<8#”—1例2设｛9”｝为以概率1单调的随机变量序列，且9…: a.s.—9,则9”一9#:证明:不妨设2)(*,｛9”｝为单调递增，由于9…-$9,因此对｛9”｝的任一子序列｛9”？,均存在子序列｛9”？0 79…7!,使得9”7上$9,而｛9”｝为单调递增，故2)(*,9”$ 9,因此9”9#例3设随机变量序列｛9+｝依分布收敛于常数，，则9”:-----，#「1久',证明：常数，的分布函数；(0)=匸，｛9”｝依分布0x<<收敛于，,对任意的&>0,：(丨9”-|'&)=：(9”<,-&+：(9”'a+&)<;”(a-&)+—：(9”«+£&二；”(Q-&)+—;”(a+&:-0)=0+1-1二0,所以9”---a#例4设｛9”｝是独立同分布的随机变量序列，二阶矩有2”：界,则十*-@@―”(”+1)@12”证明:记=91=#,A91=*2,则*2<8,=(,2八-忑)—”(”1)@=1 )”乔17=( -9心A含9)=心-2”2”川-弘予，A(»-9)=4*2亍-==232”+11*2$0,(”$8)2=13”(”+1)2”由契贝雪夫不等式有2&>0,P(I十丁--=91I'&)”(”1)=12”<”(”&)@——$0,(+$»)，亦即尸石-9厶=91# &”(”+1)=1例5设｛9”｝为独立同分布的随机变量序列，密度函数「2-0a)兀'a</(0=L，记B”=m/791，…9”!，则B”—a# 050<af1-2"(0"a)兀'a 证明：容易算得公共分布函数;(0)-,0050<a'a时,：(B”>0)=：(m/791，…9”!>0)=：(/{9=>0)=1=(1-F(0))”=2一0-)2&>0,P(I”-a l'&)=：(B”'a+&)+P(B”<a-&)=2兀+：(*79=<a-&!)=1=2^+-：(9=<a-&)=1—e-&+0$0,”$8:<所以B”$a，因此,B”$a#例6设{9”}为独立同分布的随机变量序列,P(9”=1)1”9»=：(9”=0)=*,B”=-出”=1,2,3,则B”的分布收敛于27=12［0,1］上的均匀分布#证明：9»的特征函数为/()=*(1+e")—as寺2“,；的特征函数为+()-寺(1+e")=cos2)71“,7=1,2,3,由于97独立同分布,7=1,2,3,故B”的特征函数为,”(-=3(cos7=1tsin命抽')=丁-----------eM-,由于”/0”(-=〒Cn寺=Sm2”+丄(2“-1)，而［0,1］上的均匀分布的特征函数恰为丄*2“-1), It It由逆极限定理知B”的分布收敛于［0,1］上的均匀分布#参考文献：［1］王寿仁.概率论基础与随机过程［M&.北京：科学出版社，1997.［2］严家安.测度论讲义.北京:科学出版社,2000.［3］周民强.实变函数论.北京：北京大学出版社,2003.［4］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础.北京：科技出版社,$982.67。

序列与级数的收敛性与发散性分析

序列与级数的收敛性与发散性分析序列与级数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。

在本文中，我们将对序列与级数的收敛性与发散性进行分析，并探讨它们的性质和应用。

一、序列的收敛性与发散性序列是由一系列有序的数所组成的集合。

我们可以将序列表示为{an}，其中n表示序列的索引。

序列的收敛性与发散性是指序列是否趋于某个确定的极限值。

当序列{an}的极限存在且为有限值时，我们称该序列收敛。

换句话说，对于给定的ε>0，存在一个正整数N，使得当n>N时，序列的值an与极限值L之间的差的绝对值小于ε，即|an - L| < ε。

这意味着序列的值越来越接近极限值L。

相反，如果序列{an}的极限不存在或为无穷大，我们称该序列发散。

这意味着序列的值没有趋于任何确定的极限值。

二、级数的收敛性与发散性级数是由一个序列的部分和所组成的数列。

我们可以将级数表示为S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中an表示序列的第n项。

与序列类似，级数的收敛性与发散性也是指级数是否趋于某个确定的极限值。

当级数S的部分和存在且为有限值时，我们称该级数收敛。

换句话说，对于给定的ε>0，存在一个正整数N，使得当n>N时，级数的部分和Sn与极限值L之间的差的绝对值小于ε，即|Sn - L| < ε。

这意味着级数的部分和越来越接近极限值L。

相反，如果级数S的部分和不存在或为无穷大，我们称该级数发散。

这意味着级数的部分和没有趋于任何确定的极限值。

三、序列与级数的性质序列与级数具有一些重要的性质。

首先，收敛序列的极限是唯一的。

也就是说，如果序列{an}收敛于L1和L2，那么L1必须等于L2。

其次，如果序列{an}收敛于L，那么序列的任意子序列也收敛于L。

换句话说，序列的任意子序列都具有相同的极限。

另外，如果级数收敛，那么级数的每一项必须趋于零。

这是因为如果级数的每一项不趋于零，那么级数的部分和将无法收敛。

测函数列三种收敛性的区别与联系解析

目录1．前言 (1)2．概念 (1)2.1 几乎处处收敛 (1)2.2 几乎一致收敛 (1)2.3 依测度收敛 (2)3．三种收敛性之间的区别 (2)3.1 存在可测函数列几乎处处收敛而不依测度收敛 (2)3.2 存在可测函数列依测度收敛而不几乎处处收敛 (2)3.3 存在可测函数列几乎处处收敛而不几乎一致收敛 (4)4．三种收敛性的充要条件 (4)4.1 几乎处处收敛的充要条件 (4)4.2 几乎一致收敛的充要条件 (4)4.3 依测度收敛的充要条件 (6)5．三种收敛性之间的联系 (6)5.1 几乎一致收敛与几乎处处收敛 (6)5.2 依测度收敛与几乎处处收敛 (8)5.3 依测度收敛与几乎一致收敛 (10)5.4 三种收敛之间的关系图： (11)6．结论 (11)7．致谢 (12)8．参考文献 (13)n f 可测函数列三种收敛性的区别与联系摘要：对于可测集合E 上的几乎处处有限的可测函数列n f 来说有三种常见类型的收敛：几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛。

本文首先介绍可测函数列三种收敛的概念，并讨论几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛三者之间的关系。

这几种概念是伴随测度的建立而产生的新的收敛性，相对其他两种收敛性来说，依测度收敛的收敛条件是比较弱的，与熟知的处处收敛有很大的差异。

Egorov 定理、Riesz 定理和Lebesgue 定理等揭示了这几种收敛之间的关系。

关键词：几乎处处收敛几乎一致收敛依测度收敛中图分类号：O 17Difference and Connection between Three Types of Convergence of Measurable Function SequenceJiang Zhong (Tutor ：You Xuexiao)(Department of Mathematics, Hubei Normal University, Huangshi Hubei435002,China)Abstract : For the measurable function sequencewhich is finite almost everywhere on the measurable set E ,there are three types of common convergence: convergence almost everywhere, convergence almost uniform and convergence in measurable. This article has first described the concepts of those three types of convergence, and then discussed the relationship among convergence almost everywhere,convergence almost uniform and convergence in measurable . Those concepts are the new convergence,which are arised with the establishment of measure. Comparing with the other twotypes of convergence, the conditions of convergence inmeasurable are relatively weak, and has large differencewith the well-known convergence almost everywhere. TheEgorov theorem, Riesz theorem and Lebesgue theorem and soon reveal the relationship among these types of convergence.Keywords: Convergence almost everywhere Convergence almost uniform Convergence in measurable可测函数列三种收敛性的区别与联系蒋忠（指导教师，游雪肖）（湖北师范学院数学与应用数学湖北黄石 435002）1．前言本文介绍了几乎处处收敛、几乎一致收敛与依测度收敛，它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性。

随机变量序列的几种收敛性和关系毕业论文

然而不趋于0.
由上面四种收敛性间的关系可得：
几乎处处收敛依概率收敛依分布收敛.
阶收敛依概率收敛依分布收敛.
3.
因为随机变量取值的统计规律可由它的分布函数完全确定，所以自然会考虑利用分布函数的收敛性来定义随机变量的收敛性，又分布函数和特征函数一一对应，而判断一个分布函数的序列的收敛是否弱收敛有时是很麻烦的，但判断相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易，下面给出弱收敛的充要条件，首先做一些准备：
后来我们引入了伯努利概型来刻画独立重复试验.将一成功（即A发生）概率为p的试验独立重复n次，其中成功次，则是二项分布随机变量.
因此成功的频率也是随机变量.其期望为p与n无关，且方差当时趋于0.熟知，方差为0的随机变量恒等于它的期望，所以当时频率应以概率p为极限.另一方面，可以写，其中相互独立，具有一样的伯努利分布，至此，问题转化为研究时的平均值序列的极限行为.鉴于已在上面讨论过随机变量列的各种收敛性，因此我们可以给出大数定律的严格定义.
注：由于连续，如广义均匀收敛到，则必定是连续函数.
系1设分布函数列对应的特征函数列为，则下列四条件等价：
（1）弱收敛于某分布函数，
（2）收敛到某函数，在点0连续，
（3）收敛到某连续函数，
（4）广义均匀收敛到某函数 .
当任一条件满足时，是的特征函数.
下面说明系1中等价条件（2）中“ 在的连续性”是不可缺少的条件.
则对任意的，有成立.
证明：因为有一样分布，所以也有一样的特征函数，记这个特征函数为，又因为存在，从而特征函数有展开式：
=
再由独立性知的特征函数为
对任意取定的t,有
而是退化分布的特征函数，相应的分布函数为

概率论中几种收敛及其联系1

概率论中几种收敛及其联系西北师范大学数学与应用数学专业甘肃兰州 730070摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系.关键词：示性函数概率随机变量收敛分布函数Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the averageconvergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred betweenKey words : indicator function probability random variable convergence distribution function首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。

所以首先需要建立必要的概率不等式。

我们以I(A)表示事件A 的示性函数，即有⎩⎨⎧∉∈=.,0;,1)(A A A I ωω那么，显然当B A ⊂时，有).()(B I A I ≤，并且有).()(A EI A P =定理 1 （Chebyshev 不等式）设)(x g 是定义在 [)∞,0 上的非降的非负值函数，如果对随机变量η，有∞<)(ηEg ，那么对任何使得0)(>a g 的0>a ，我们都有.)()()(a g Eg a P ηη≤≥证明：首先，由)(x g 的非降性知 ()()()().a g g a ≥⊂≥ηη 因此()()()()()()()()().a g g I a g g a g g I a I ≥≤≥≤≥ηηηη其中)(A I 是事件A 的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件()()()a g g ≥η上面有()()1≥a g g η由上述不等式立得()()()()()()()()()()()().a g Eg a g g I a g g E a g g EI a EI a P ηηηηηη≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≥≤≥=≥Chebyshev 不等式在以后的证明中有非常重要的作用,所以我们在这里先将其提出. 下面让我们先从较简单的依概率收敛谈起.定义 1 已知随机变量序列{n ξ,N n ∈}与随机变量ξ.如果对0>∀ε，都有.0)|(|lim =≥-∞→εξξn n P那么我们就称随机变量序列{N n n ∈,ξ}依概率收敛到随机变量ξ，记为ξξ−→−Pn其实,依概率收敛的本质是n ξ对ξ的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着n 增大而减小.或者说,绝对偏差小于任一给定量的可能性将随着增大而接近1,即上式等价于1)(lim =<-∞→εξξn n P .特别当ξ为退化分布时,即()1==c P ξ,则称序列{}n ξ依概率收敛于c ,即c Pn −→−ξ.下面, 我们来引入随机变量序列的另外一种收敛:平均收敛.定义 2 如果{}0;,>n n ξξ是r L 中的随机变量, 其中,0>r {}∞<=rr E L ξξ,并且0→-ξξn E , ()∞→n .则称随机变量序列{}N n n ∈,ξ依r 阶平均收敛到随机变量,ξ记作ξξ−→−rLn 当1=r 时简称为依平均收敛，并记为.ξξ−→−Ln在依概率收敛和平均收敛之间存在如下关系:定理 2 r 阶平均收敛蕴含依概率收敛. 证明:因为0lim =-∞→rn n E ξξ,故对,,0N ∃>∀ε当N n >时,有εξξrrn a E <- .又由Chebyshev 不等式知对任何0>a ，有()rrn n aE a P ξξξξ-≤≥-，故()εξξ<≥-a P n ，因此()0lim =≥-∞→a P n n ξξ.但是,反之不真.反例如下:例1 设概率空间为区间上的几何型概率空间,即有 ()1,0=Ω , () 1.0B F = , L P =. 令()0=ωξ, ()1,0∈∀ω, 而易知,对任何0>ε,当∞→n 时,都有 ()()020→=>≤>-nP P n n ξεξξ,所以ξξ−→−Pn ;但是1≡=-n n E E ξξξ, 所以n ξ不依平均收敛到ξ.在概率极限理论中,研究随机变量序列收敛性的同时当然也要研究相应的分布函数序列的收敛性,下面就让我们来谈一谈依分布收敛.定义3 设{}N n x F n ∈),(是一列定义在R 上的有界非降的左连续函数，如果存在一个定义在上的有界非降的左连续函数).(x F 使得),(),()(lim F C x x F x F n n ∈∀=∞→则称{})(x F n 弱收敛到)(x F 记为),()(x F x F n −→−ω并称)(x F 是{})(x F n 的弱极限。

收敛函数_精品文档

收敛函数1. 引言在数学中，收敛函数是一类非常重要的函数，它们在数学分析、实数理论以及其他领域中扮演着重要的角色。

本文将介绍什么是收敛函数，它们的定义以及一些典型的例子和性质。

同时，我们还将讨论收敛函数的应用以及它们在数学和实际问题中的意义。

2. 收敛函数的定义在数学中，给定一个函数序列{fn(x)}，如果对于任意的x0，都存在一个数列{an}，使得fn(x0)在n趋于无穷大时收敛到x0，那么我们称函数序列{fn(x)}在点x0处收敛。

换句话说，对于任意给定的误差ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，|fn(x0) - x0| < ε。

3. 收敛函数的例子3.1 线性收敛函数线性函数是一种最简单的函数类型，它的图像是一条直线。

在数学中，我们称线性函数为收敛函数，因为它们具有收敛到零的特性。

例如，y = x是一个线性函数，它的图像是一条通过原点的直线。

当x趋向于无穷大时，y也趋向于无穷大，但是它们之间的差值在不断减小，最终收敛于零。

3.2 幂函数幂函数是一类常见的函数类型，它们具有形如y = x^n的形式。

当幂函数的幂指数大于1时，它们可以是收敛函数。

例如，y = x^2是一个典型的收敛函数，因为当x趋向于无穷大时，y也趋向于无穷大，但是它们之间的差值在不断减小，最终收敛于零。

4. 收敛函数的性质4.1 收敛函数的极限对于一个收敛函数fn(x)，它在点x0处的极限等于x0。

换句话说，lim┬(n→∞)⁡〖fn(x0) = x0〗。

4.2 收敛函数的一致收敛性如果一列函数{fn(x)}在定义域D上的每一个点处都收敛，并且收敛的极限也是一个定义在D上的函数f(x)，那么我们称函数序列{fn(x)}在D上一致收敛于f(x)。

4.3 收敛函数的连续性如果一个函数序列{fn(x)}在某个点x0处收敛，并且在该点的极限f(x0)存在，那么我们称f(x)在x0处是连续的。

5. 收敛函数的应用收敛函数在数学中具有广泛的应用。

一致收敛与收敛

在数学中，一致收敛性（或称均匀收敛）是函数序列的一种收敛定义，它较逐点收敛更强，并能保持一些重要的分析性质（如连续性）。

定义：设为一集合，为一度量空间。

若对一函数序列，存在满足，对所有，存在，使得
，则称一致收敛到。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中仅与相关，而在逐点收敛中还与相关。

所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

例子:
考虑区间上的函数序列，它逐点收敛到函数，
然而这并非一致收敛。

直观地想像：当愈靠近，使接近所需的便愈大。

可以依此想法循定义直接证明，也可以利用下节关于连续的性质证明，因为在此例中皆连续，而不连续。

性质：假设一致收敛到，此时有下述性质：
（1）连续性：若是集合的闭包中的一个元素，且每个都在上连续，则也在a 上连续。

若对集合I的每个紧子集，每个都在上连续，则在上连续。

（2）与积分的交换：令为中的开集，或。

若每个都是黎曼可
积，则也是黎曼可积，而且。

注：在勒贝格积分的框架下能得到更广的结果。

（3）与微分的交换：令为中的开集，或。

若每个皆可微，且一致收敛到函数，则亦可微，且。

数列的极限与数列的收敛性总结

数列的极限与数列的收敛性总结在数学中，数列是由一系列按照特定规则排列的数字所组成的序列。

研究数列的极限和收敛性是分析数学中的重要部分。

本文将总结数列的极限和数列的收敛性，并探讨其在数学领域中的应用。

1. 数列的极限数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列中的数字所逼近的值。

用数学符号表示，数列的极限可以表示为lim(n→∞)an = L，其中an表示数列的第n个项，L表示极限值。

数列的极限有以下几种情况：- 收敛：当数列的极限存在且唯一时，称该数列收敛。

例如，数列an = 1/n，当n趋于无穷大时，数列的极限为0，因此该数列收敛于0。

- 发散：当数列的极限不存在时，称该数列发散。

例如，数列an = (-1)^n，当n趋于无穷大时，数列的极限不存在，因此该数列发散。

- 无穷大：当数列的极限为正无穷大或负无穷大时，称该数列极限为无穷大。

例如，数列an = n，当n趋于无穷大时，数列的极限为正无穷大。

2. 数列的收敛性数列的收敛性是指数列是否有极限存在。

根据数列的极限定义，我们可以判断数列的收敛性。

数列的收敛性有以下几种情况：- 收敛数列：当数列的极限存在时，称该数列为收敛数列。

收敛数列中的项逐渐趋近于某个确定的值。

例如，数列an = 1/n，当n趋于无穷大时，数列的极限为0，因此该数列是收敛数列。

- 发散数列：当数列的极限不存在时，称该数列为发散数列。

发散数列中的项没有趋近于特定值的趋势。

例如，数列an = (-1)^n，当n趋于无穷大时，数列的极限不存在，因此该数列是发散数列。

3. 数列的应用数列的极限和收敛性在数学领域中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：- 数列的极限可以用来求解一些数学问题中的未知变量。

例如，在微积分中，利用数列极限的概念可以求解函数的导数和积分。

- 数列的收敛性可以用来描述自然界中的一些现象和过程。

例如，在物理学中，利用数列的收敛性可以描述物体在运动中的加速度和速度的变化。

函数的级数

函数的级数一、引言在数学中，级数是由一系列项组成的无穷和。

级数理论是数学分析的重要分支之一，其应用范围涉及到物理、工程、经济学等多个领域。

本文将介绍函数的级数。

二、什么是函数的级数函数的级数是由一系列函数组成的无穷和，其形式如下：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn + …其中，a0, a1, a2, …, an, … 是常数项，x 是自变量。

三、收敛性和发散性对于一个给定的函数序列 {an} 和自变量 x，如果它们的无穷和 f(x) 在某个区间内有定义且存在有限极限，则称该级数在该区间内收敛。

反之，如果该无穷和不存在或为无穷大，则称该级数在该区间内发散。

四、收敛定理1. 比较判别法：设 {an} 和 {bn} 为两个正项函数序列，并且存在正常数 C 和 N 使得当 n > N 时，有an ≤ Cbn，则当∑bn 收敛时，∑an 必收敛；当∑bn 发散时，∑an 必发散。

2. 极限判别法：设 {an} 和 {bn} 为两个正项函数序列，并且存在有限极限lim(n→∞) an/bn = L，则当L < ∞ 时，∑an 和∑bn 同时收敛或同时发散；当L = +∞ 时，若∑bn 收敛，则∑an 必收敛；若∑bn 发散，则∑an 必发散。

3. 比值判别法：设 {an} 为一个正项函数序列，并且存在有限极限lim(n→∞) an+1/an = L，则当 L < 1 时，∑an 收敛；当 L > 1 时，∑an 发散；当 L = 1 时，该方法不适用。

4. 根值判别法：设 {an} 为一个正项函数序列，并且存在有限极限lim(n→∞) (an)^(1/n) = L，则当 L < 1 时，∑an 收敛；当 L > 1 时，∑an 发散；当 L = 1 时，该方法不适用。

五、级数的求和对于一些特殊的级数，在某些区间内可以求出其无穷和。

下面介绍几种常见的求和方法。

§4.1随机变量序列的两种收敛性§4.2特征函数§4.3大数定律

第8页
方法一：利用大数定律例1 P215 18. 设随机变量序列{Xn }独立同分布， 2 期望、方差均存在，且 E( X n ) = 0,Var( X n ) = s
1 n P 2 2 X 揪 ? s 求证： å i n i= 1
思考题：P215 19
第9页
方法二：利用切比雪夫不等式例2 P215 17. 设随机变量序列{Xn }独立同分布，期望、方差均存在，且 E( X n ) = m.
注意：i 1 是虚数单位.
第20页
注意点(1)
(t ) e (1) 当X为离散随机变量时，
k 1

itxk
pk
itx ( t ) e (2) 当X为连续随机变量时， p( x)dx
这是 p(x) 的傅里叶变换
第21页
注意点(2)
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式： eitx cos(tx) i sin(tx) (2) 复数的共轭： a bi a bi (3) 复数的模： a bi a2 b2
P
c 其中c为常数，并求c的值.
作业：习题4.1第12、15题
第13页
引例设随机变量序列{ Xn } 服从以下的退化分布 1 P ( X n = ) = 1, n = 1, 2, L n 求{Xn }的分布函数，并求其极限函数. 它还是一个分布函数吗？
第14页
4.1.2
按分布收敛、弱Leabharlann 敛 lim P X X 若对任意的 >0，有 n n 0
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X, 记为
Xn
P X
第4页

§-3.2-可测函数的收敛性

83§3.2 可测函数的收敛性教学目的使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解.本节要点本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.设),,(µF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念.几乎处处成立的性质设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ⊂), 则称P (关于测度µ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.−µ, 或者)(x P a.e.在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x µ 特别地, 当测度空间),,(µF X 是完备的时候如此.例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e.例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ∉时,+∞<f 则称f 是几乎处处有限的, 记为+∞<f , a.e.注1 设f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集N, 使得当N x ∉时.+∞<f 令.~c N fI f = 则f ~是处处有限的可测函数并且 a.e..~f f =因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的.注意, f 几乎处处有限与 a.e.M f ≤是不同的概念. a.e.M f ≤表示84存在一个零测度集N , 使得f 在c N 上有界. 显然 a.e.M f ≤蕴涵f 几乎处处有限. 但反之不然. 例如, 设),10(1)(≤<=x xx f .)0(+∞=f 则f 在)1,0(上关于L 测度是几乎处处有限的, 但在)1,0(中并不存在一个L 零测度集N 和,0>M 使得在N −)1,0(上, .)(M x f ≤ 初学者常常在这里发生误解, 应当引起注意.可测函数的几种收敛性和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性. 设E 是X 的子集. )1(,≥n f f n 定义在E 上的函数. 若对任意0>ε, 存在,0>N 使得当N n ≥时, 对一切E x ∈成立,)()(ε<−x f x f n 则称}{n f 在E 上一致收敛于f , 记为..un f f n →定义1 设}{n f 为一可测函数列, f 为一可测函数.(1) 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时, 有)()(lim x f x f n n =∞→, 则称}{n f 几乎处处收敛于f , 记为f f n n =∞→lim a.e., 或f f n → a.e.. (2) 若对任给的0>ε, 总有.0})({lim =≥−+∞→εµf f n n则称}{n f 依测度收敛于f , 记为.f f n → µ(3) 若对任给的0>δ, 存在可测集δE , δµδ<)(E , 使得}{n f在c E δ上一致收敛于f , 则称}{n f 几乎一致收敛于f , 记为n nf lim =f a.un., 或 f f n → a..un..容易证明, 若将两个a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若,a.e.f f n → g f n → a.e., 则g f = a.e.. 其证明留作习题.例3 设))),,0[(),,0([m +∞+∞M 为区间),0[∞+上的Lebesgue 测度空间. 其中)),0[(+∞M 是),0[∞+上的L 可测集所成的σ-代数, m 是1R 上的L 测度在),0[∞+上的限制. 令85.1),(1)(),1(≥−=n x I x f n n n则对任意,0>x ).(0)(∞→→n x f n 当0=x 时)(x f n 不收敛于0. 但,0})0({=m 因此在),0[∞+上.0a.e. → n f 由于对,21=ε ).(,0)),[]1,0([})21({/+∞→ → +∞=+∞∪=≥n n n m f m n 因此}{n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛.例4 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,)(≥=n x x f n n则对任意0>δ, }{n f 在]1,0[δ−上一致收敛于0.由于δδ=−])1,1((m 可以任意小, 因此0a..un. → n f . 又显然.0a.e. → n f例5 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,,,1,1[≥=−=n n i ni n i A i n L 将}{i n A 先按照n 后按照i 的顺序重新编号记为}{n E . 显然.0)(→n E m 令)()(x I x f n E n =, 1≥n ,.0)(=x f对任意0>ε, 由于.,0)(})({∞→→=≥−n E m f f m n n ε故}{n f 依测度收敛于f . 但}{n f 在]1,0[上处处不收敛. 事实上, 对任意]1,0[0∈x , 必有无穷多个n E 包含0x , 也有无穷多个n E 不包含0x . 故有无穷多个n 使得,1)(0=x f n 又有无穷多个n 使得.0)(0=x f n 因此}{n f 在0x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大.几种收敛性之间的关系为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明).引理2 设+∞<)(X µ. 若.a.e.f f n → 则对任意0>ε有86.0)}{(lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 证明设0>ε是一给定的正数. 任取X x ∈, 若对任意,1≥n 存在,n i ≥ 使得.)()(ε≥−x f x f i 则)()(x f x f n 不收敛于. 这表明IU ∞=∞=≥−1}{n n i i f fε)}.()(:{/x f x f x n → ⊂由于,a.e.f f n → 因此由上式知道.0}{1=≥−∞=∞=IU n n i i f f εµ 由于+∞<)(X µ, 由测度的上连续性, 我们有0}{}{lim 1=≥−= ≥−∞=∞=∞=∞→IU U n n i i n i i n f f f f εµεµ. ■ 容易证明, 若,a..un.f f n → 则f f n → a.e.(其证明留作习题). 下面的定理表明当+∞<)(X µ时, 其逆也成立.定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.a..un.f f n →证明设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → 由引理2 , 对任意0>ε, 有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 于是对任意的0>δ和自然数1≥k , 存在自然数k n 使得.2}1{k n i i k k f f δµ< ≥−∞=U 令.}1{1U U ∞=∞=≥−=k n i i kk f f E δ 由测度的次可数可加性我们有 .2}1{)(11δδµµδ=≤ ≥−≤∑∑∞=∞=∞=k k k n i i k k f f E U 往证在c E δ上, }{n f 一致收敛于f . 事实上, 由De Morgan 公式得87.1,}1{}1{1≥<−⊂<−=∞=∞=∞=k k f f k f f E kk n i i k n i i c I I I δ (1) 对任意0>ε, 取k 足够大使得.1ε<k则由(1)式知道, 当k n i ≥时对一切c E x δ∈, 有.1)()(ε<<−kx f x f i 即在c E δ上}{n f 一致收敛于f . 这就证明了f f n → a..un.. 定理证毕. 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件+∞<)(X µ不能去掉. 例如, 若令),()(),[x I x f n n +∞= .1≥n 则}{n f 在1R 上处处收敛于0. 但容易知道}{n f 不是几乎一致收敛于0.定理4 若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.f f n → µ证明设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → . 由引理2 , 对任意0>ε有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 由测度的单调性立即得到()≤≥−∞→}{lim εµf f n n .0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 即.f f n → µ ■ 本节例3表明, 在定理4中, 条件+∞<)(X µ不能去掉.定理5 (Riesz)若,f f n → µ 则存在}{n f 的子列}{k n f , 使得.a.e.f f k n →证明设.f f n → µ 对任意0>ε和0>δ, 存在1≥N , 使得当Nn ≥时, 有δεµ<≥−})({f f n .于是对任意自然数1≥k , 存在自然数k n , 使得.21})1({k n k f f k <≥−µ (2)88我们可适当选取k n 使得L ,2,1,1=<+k n n k k . 往证.a.e.f f k n → 令L I ,2,1,}1{=<−=∞=i k f f E ik n i k . 对任意i E x ∈, 当i k ≥时, .1)()(kx f x f k n <− 这表明}{k n f 在i E 上收敛于f . 令.1U ∞==i i E E 则}{k n f 在E 上收敛于f . 往证.0)(=c E µ 由De Morgan 公式, 我们有.}1{11I IU ∞=∞=∞=≥−==i i i k n c i c k f f E E k 利用(2)容易得到.1)(1≤c E µ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有.021lim })1({lim }1{lim )(=≤≥−≤ ≥−=∑∑∞=∞→∞=∞→∞=∞→i k k i ik n i ik n i ck f f k f f E k k µµµU 这就证明了.a.e.f f k n → ■定理6 设+∞<)(X µ. 则f f n → µ当且仅当}{n f 的任一子列}{k n f 都存在其子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n证明必要性(此时不需设+∞<)(X µ). 设.f f n → µ 显然}{n f 的任一子列}{k n f 也依测度收敛于 f. 由定理 5 , 存在}{k n f 的子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n充分性. 用反证法. 若}{n f 不依测度收敛于f , 则存在,0>ε 使得.0}({/ → ≥−εµf f n 于是存在0>δ和}{n f 的子列}{kn f , 使得 .})({δεµ≥≥−f f kn 由此知}{k n f 的任何子列}{k n f ′都不能依测度收敛于f . 由定理4, }{k n f ′也不89能a.e.收敛于f . 这与定理所设的条件矛盾. 故必有.f f n → µ ■定理5和定理6给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处收敛是比较容易处理的.例 6 设)1(,,,≥n g f g f n n 是有限测度空间),,(µF X 上的几乎处处有限的可测函数, ,f f n → µ .g g n → µ 又设h 是2R 上的连续函数. 则).,(),(.g f h g f h n n → µ特别地, .fg g f n n → µ证明不妨设)1(,,,≥n g f g f n n 都是处处有限的. 设),(k k n n g f h 是),(n n g f h 的任一子列. 由定理6, 存在}{k n f 的子列}{k n f ′使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n 同理存在}{k n g ′的子列, 不妨仍记为}{k n g ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k g g k n 既然h 是连续的, 因此有).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′这表明),(n n g f h 的任一子列),(k k n n g f h , 都存在其子列),(k k n n g f h ′′使得).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′ 再次应用定理6, 知道).,(),(.g f h g f h n n → µ 特别地, 若取,),(xy y x h = 则得到.fg g f n n → µ ■小结本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系. 其中最重要的是Egorov 定理和Riesz 定理.利用Riesz 定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题.习题习题三, 第18题—第28题.。