第4章被控对象数学模型

4.1 被控对象的数学模型
数学模型的分类:
自动调整系统、程序控制系统、随动系统 （伺服控制系统） 线性系统和非线性系统
连续系统与离散系统
单输入单输出系统与多输入多输出系统 确定系统与不确定系统 集中参数系统和分布参数系统
4.1 被控对象的数学模型
4.1.2 被控对象数学模型的作用
设计过程控制系统和控制参数整定
4.2 被控对象数学模型的建立
一般情况下，由机理推导的微分方程往往比较复 杂，需要对模型进行简化，以获得实用的数学模型。 简化模型方法有以下三种：一是在开始推导时就 引入简化假定，使推导出的方程在符合过程主要客观 事实的基础上尽可能简单；二是在得到较复杂的高阶 微分方程时，用低阶的微分方程或差分方程来近似； 三是对得到的原始方程利用计算机仿真，得到一系列 的响应曲线（阶跃响应曲线或频率特性），根据这些 特性，再用低阶模型去近似。如有可能，对所得的数 学模型进行验证，若与实际过程的响应曲线差别较大， 则需要对数学模型进行修改和完善。
目

录
4.1 被控对象的数学模型
4.2 被控对象数学模型的建立 4.3 机理法建立被控对象的数学模型 4.4 实验法建立被控对象的数学模型



4.1 被控对象的数学模型
4.1.1 被控对象的数学模型
被控对象就是正在运行着的各种各样的被 控制的生产工艺设备，例如各种加热炉、锅炉、 发酵罐、热处理器、精馏塔等。 被控对象的数学模型就是被控对象的动态 特性的数学表达式，即被控对象的输出量（被 控量）在输入量（控制量和扰动量）作用下变 化的数学函数关系式。
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
4.3.2 单容过程的数学模型
单容过程是指只有一个储存容量的过程。 单容过程可以分为自平衡单容过程和无自平衡 单容过程。 1. 自平衡单容过程 所谓自平衡过程是指被控对象在扰动作用下， 平衡状态被破坏后，不需要操作人员或仪表的干 预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
H ( s) K e s 有自平衡过程的传递函数为： G(s) Q1 ( s) Ts 1
无自平衡过程的传递函数为：G(s)
其中τ为过程的纯滞后时间
H ( s) 1 e s Q1 ( s) Ts
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
有自平衡过 程的阶跃响 应过程如图 所示 ：
)
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
2．无自平衡单容过程
所谓无自平衡过程是指受扰过程的平衡状态被 破坏后，在没有操作人员或仪表等干预下，依靠被 控过程自身能力不能重新回到平衡状态。 如图所示为无自平衡单容液位过程
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
因阀门2换成计量泵，使在任何情况下Q2都保持 不变，即与液位h的大小无关，故有：
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
若储存罐1与储存罐2之间管道长度有延迟τ ， 则传递函数为：
K G(s) e s (T1 s 1)(T2 s 1)
若将阀门3改为定量泵，使该过程的输出量与液 位的高低无关，则无自平衡双容过程的传递函数如 下： K G(s) 式中TC=C2
(T1 s 1)TC s

4.2 被控对象数学模型的建立
系统辨识的一般步骤 ： 明确数学模型的应用目的及要求 掌握足够多的验前知识 实验设计 辨识方法应用 用阶跃响应、频率响应、频谱分析、相关函数 或参数估计等方法来建立过程的数学模型。对于模 型结构，包括模型形式、时滞情况及方程阶次的确 定等，通常总是先作假定，再通过实验加以验证。 模型验证
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
4.3.3 多容过程的数学模型
具有一个以上存储容量的过程称为多容过程。 在实际生产过程中被控对象大多具有一个以上的 存储容量。
如图所示的液 位过程由管路 分离的两个储 存罐组成，它 有两个储水的 容器称为双容 过程。
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
不计两个储存罐之间管路所造成的时间延迟， 以阀门1的流量Q1为输入量，第二个储存罐的液位h为 输出量，求此两容过程的数学模型
4.2 被控对象数学模型的建立
4.2.2 实验法建模 实验法建模是根据被控对象输入/输出的 实验测试数据通过数学处理后得出数学模 型。此方法又称为系统辨识。 系统辨识是根据测试数据确定模型结构 （包括形式、方程阶次以及时滞情况等）， 在已定模型结构的基础上，再由测试数据 确定模型的参数即为参数估计。
令T=RC，K=R，可得：
H ( s) K G( s) Q1 ( s) Ts 1
其中T为过程时间常数，K为过程放大系数。
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
当输入量有一阶跃变化时，可得出液位的变化为：
h KQ1 (1 e
t / T
液位控制过程的阶跃响应如图 所示。当t→∞时，液位变化趋于稳 态值。对于该过程，输入量的变 化经过储存罐这个对象后，放大 了K倍，故K称为放大系数。液阻R 不但影响液位过程的时间常数T， 而且影响放大系数K；而容量系数 C仅影响液位过程的时间常数T。 时间常数T是表征液位过程响应快 慢的重要参数。
dh Q1 Q2 A dt
假设Q2与h近似成线性正比关系，与阀门2处的液 阻R成反比关系，则可得：
dh RC h RQ1 dt
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
对上式取Laplace变换，可得液位变化与流 入量之间的传递函数：
H (s) R Q1 ( s) RCs 1
故有：
dV Q1 Q2 dt
即：
dh 1 (Q1 Q2 ) dt A
其中A是横截面积。
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
由上可见，液位变化dh/dt由两个因素决定：
一是储存罐的截面积A；
一是流入量与流出量之差Q1-Q2。
A越大，dh/dt越小；Q1-Q2越大，dh/dt越大。
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
对上式进行Laplace变换，整理可得双容过程的数学模型
R3 Q2 ( s ) H 2 ( s ) 1 K G( s) Q1 ( s) Q2 ( s) T1 s 1 T2 s 1 (T1 s 1)(T2 s 1)
如图所示为该双容过程的 阶跃响应曲线。 由图可见，与自平衡单容 过程的阶跃响应曲线相比，双 容过程的单位阶跃响应曲线从 一开始就变化较慢。这是因为 在两个储存罐之间存在液体流 通阻力，延缓了输出量的变化。 显然，如果依次相接的储存罐 越多，过程容量越大，这种延 缓就会越长。
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
若改为如图所示的串接并联，Q2的大小不仅与 液位h1有关，而且与后接储存罐的液位h2有关。
此时过程的传递函数为：
K0 H 2 ( s) G(s) Q1 ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 T12 ) s 1
式中：T1=R2C1、T2=R3C2、T12=R3C1、K0=R3。
dh Q1 Q2 C dt
因为ΔQ2=0，则可得：
dh C Q1 dt
对上式取Laplace变换，可得液位变化与流入 量之间的传递函数：
H ( s) 1 G( s) Q1 ( s) Ts
其中T=C为被控对象 的积分时间常数。
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
无自平衡单容过程阶跃响应曲线如图所示。
指导设计生产工艺设备 进行仿真试验研究 实施工业过程的优化 实现工业过程的故障检测和诊断 培训系统运行操作人员
4.1 被控对象的数学模型
4.1.3 被控对象数学模型的要求 实际生产工程的特性是非常复杂的，为了建 立被控对象的数学模型，有时需要做一些合理的 假设，并在此假设条件下，得到被控对象的数学 模型。作为被控对象的数学模型，要求其要准确 可靠。 在过程控制中实际应用的数学模型（传递函 数）的阶次一般不高于三阶，一般采用的是带有 纯滞后的一阶惯性环节和带有纯滞后的二阶振荡 环节的形式，其中最常用的是带有纯滞后环节的 一阶惯性环节形式。
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
4.3.1 基本原理
从机理出发，用理论的方法得到被控对象数学 模型，主要是依据物料平衡和能量平衡，一般用下 式表示：
单位时间内进入对象的物料量（或能量）－单 位时间内由对象流出的物料量（或能量）＝系统内 物料（或能量）蓄藏量的变化率
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
过程控制
第四章 被控对象的数学模型
第四章 被控对象的数学模型
要实现过程控制，首先要了解和掌握被 控对象的过程特性，而用数学语言对过程特 性进行描述就是被控对象的数学模型。被控 对象的数学模型在过程控制系统的分析与综 合中起着至关重要的作用。本章在介绍被控 对象数学模型的基本概念、作用和要求的基 础上，详细阐述利用机理法建模和实验法建 模的原理、方法和步骤。
4.2 被控对象数学模型的建立
4.2.3 机理法建模与实验法建模相结合
当用单一的机理法或实验法建立复杂的被控对 象的数学模型比较困难时，可采用将机理法和实验 法相结合的方法来建立数学模型。 •一是部分采用机理法推导相应部分的数学模型，该 部分往往是工作机理非常熟悉的部分。对于其它尚 不熟悉或不很肯定的部分则采用实验法得出其数学 模型。 •二是先通过机理分析确定模型结构形式，再通过实 验数据来确定模型中各个参数的具体数值。这种方 式实际上是机理法建模和参数估计两者的结合。
在过程控制系统中，被控对象一般都有一定储 存物料或能量的能力，储存能力的大小通常用容量 或容量系数表示，其表示符号为C。其物理意义是： 引起单位被控量变化时被控对象储存能量、物料量 变化的大小。 A是决定液位变化率大小的因素，称 之为容量，用C表示。
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
若以增量形式表示各变量相对于稳态值的变化 量，可得：
4.4 实验法建立被控对象的数学模型