2018届高考数学二轮数学第二讲三角恒等变换与解三角形专题卷(全国通用)
2018届高考数学二轮复习 三角恒等变换专题
三角恒等变换专题[基础达标](30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共35分)1°sin 75°-sin 60°cos 105°=()A.-12B.12C.-22D.22D【解析】原式=sin 30°sin 75°+cos 30°cos 75°=cos(75°-30°)=cos 45°=22.2tan α-π4=12，则sinα+cosαsinα-cosα的值为()A.12B.2C.22D.-2B【解析】因为tan α-π4=tanα-11+tanα=12，所以sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=2.3.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为(3，1)，则cos α+π3的值是() A.-0.5 B.0 C.0.5 D.1B【解析】∵角α终边上一点M的坐标为(3，1)，∴sin α=12，cos α=32，∴cos α+π3=12cos α-32sin α=12×32−32×12=0.4.在△ABC中，tan A+tan B+3=3tan A tan B，则C=()A.π3B.2π3C.π6D.π4A【解析】由已知得tan A+tan B=-3(1-tan A tan B)，则tan A+tan B1-tan A tan B=-3，即tan(A+B)=-3.又tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=3，0<C<π，故C=π3.53sin θ=cos θ，则cos 2θ+sin 2θ的值等于()A.-75B.75C.-35D.35B【解析】由3sin θ=cos θ得tan θ=13，cos 2θ+sin 2θ=cos2θ-sin2θ+2sin θcosθ=co s2θ-sin2θ+2sinθcosθco sθ+sinθ=1-tan2θ+2tanθ1+tanθ，将tan θ=13代入上式得cos 2θ+sin2θ=1-tan 2θ+2tanθ1+tanθ=1-19+231+1=75.6.设a=sin 14°+cos 14°，b=sin 16°+cos 16°，c=62，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<aB【解析】因为a=2sin(45°+14°)=2sin 59°，b=2sin(45°+16°)=2sin 61°，c=62=2sin 60°，所以a<c<b.7.已知cos x+π4=35，17π12<x<7π4，则sin2x+2sin2x1-tan x=()A.-2875B.2875C.-21100D.21100A【解析】由已知得5π3<x+π4<2π，则sin x+π4=-45，由cos x+π4=cos x cosπ4-sinx sinπ4=35，得cos x-sin x=325，2sin x cos x=725，故sin2x+2sin2x1-tan x=2sin x cos x+2sin2x1-sin x=2sin x cos x(cos x+sin x)cos x-sin x =2sin x cos x·2sin x+π4cos x-sin x=-2875.二、填空题(每小题5分，共15分)8tan α，tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根，则tan(α+β)=.1【解析】lg(6x2-5x+2)=0，即6x2-5x+2=1，6x2-5x+1=0，由题得tan α+tan β=56，tanα·tan β=16，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=561-1=1.9sin α+π4=23，则sin 2α=.-5 9【解析】由sin α+π4=22(sin α+cos α)=23得sin α+cos α=23，所以(sin α+cosα)2=1+sin 2α=49，则sin 2α=-59.10.若cos α+π6-sin α=335，则sin α+5π6=.3 5【解析】∵cos α+π6-sin α=335，∴32cos α-12sin α-sin α=335，即32cos α-32sinα=335，得cos α-3sin α=65，∴sin α+5π6=sin αcos5π6+cos αsin5π6=-32sin α+12cosα=12(cos α-3sin α)=12×65=35.三、解答题(共10分)11.(10分)已知函数f(x)=2cos x·cos3π2+x+3(2cos2x-1).(1)求f(x)的最大值；(2)若π12<x<π3，且f(x)=12，求cos 2x的值.【解析】(1)f(x)=2cos x cos3π2+x +3(2cos2x-1)=2cos x sin x+3cos 2x=sin2x+3cos 2x=2sin2x+π3，x∈R，则f(x)的最大值为2.(2)由π12<x<π3，得2x+π3∈π2，π ，由f(x)=12，得sin2x+π3=14，cos2x+π3=-1-sin22x+π3=-154，故cos 2x=cos2x+π3-π3=cos2x+π3cosπ3+sin2x+π3sinπ3=-154×12+14×32=3-158.[高考冲关](20分钟30分)1.(5分tan α=2，α为第一象限角，则sin 2α+cos α的值为()A.B.4+255C.4+55D.5-25C【解析】由tan α=2，α为第一象限角，得sin α=5，cos α=5，所以sin 2α+cosα=2sin αcos α+cos α=4+55.2.(5分f(x)=sin x+3cos x，x∈-π2，π2的单调递减区间与最小值分别是()A.递减区间是π6，π2，最小值是-2B.递减区间是-π2，-π6，最小值是-2C.递减区间是π6，π2，最小值是-1D.递减区间是-π2，-π6，最小值是-1C【解析】f(x)=sin x+3cos x=2sin x+π3，x∈-π2，π2，当x∈-π2，π2时，x+π3∈-π6，5π6.当x+π3∈π2，5π6，即x∈π6，π2时，f(x)=2sin x+π3单调递减，2sin x+π3∈[-1，2]，即f(x)的最小值是-1.3.(10分f(x)=2cos2π4-x +sin2x+π3-1.(1)求f-π12的值；(2)求f(x)在区间-π2，0上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=cos2π4-x +sin 2x cosπ3+cos 2x sinπ3=32sin 2x+32cos2x=sin2x+π6，所以f-π12=3sin-π12×2+π6=0.(2)由(1)知f(x)=3sin2x+π6，因为x∈-π2，0，所以2x+π6∈-5π6，π6，因此当2x+π6=π6，即x=0时，f(x)取最大值32；当2x+π6=-π2，即x=-π3时，f(x)取最小值-3.4.(10分f(x)=sin2x+2sinx·sinπ2-x +3sin23π2-x .(1)若tan x=12，求f(x)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.【解析】(1)f(x)=sin2x+2sin x·cos x+3cos2x=sin 2x+2sin x cos x+3co s2x sin2x+co s2x=tan 2x+2tan x+3 tan x+1=175.(2)因为f(x)=sin2x+2sin x·cos x+3cos2x=2sin2x+π4+2，所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.由π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ，k∈Z，则函数f(x)的单调递减区间为π8+kπ，5π8+kπ ，k∈Z.。
【高三数学试题精选】2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答案)
2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答
案)
5 c 专题升级训练三角函数的图象与性质
(时间60分钟满分100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是( )
A函数f(x)的最小正周期为2π
B函数f(x)在区间上是增函数
c函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D函数f(x)是奇函数
2(B
c-或-1D-
4要得到函数=sin 2x的图象,只需将函数=sin的图象( )
A向右平移个单位长度
B向左平移个单位长度
c向右平移个单位长度
D向左平移个单位长度
5函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为( )
A2,0B2,
c2,-D2,
6已知函数f(x)=cs x+x,x∈,sin x0=,x0∈,那么下面命题中真命题的序号是( )
①f(x)的最大值为f(x0)
②f(x)的最小值为f(x0)
③f(x)在上是增函数
④f(x)在上是增函数
A①③B①④。
2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第一部分 专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形 精品
由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7，
故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
考点三 三角恒等变换与解三角形的综合问题
试题 解析
考点一 考点二 考点三
5．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝tcaons BA＋tcaons AB. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
试题 解析
(1)证明：根据正弦定理，可设sina A＝sinb B＝sinc C＝k(k>0)． 则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入coas A＋cobs B＝sinc C中，有kcsoisnAA＋kcsoisnBB＝kssiinnCC，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 有 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以 sin Asin B＝sin C.
试题 解析
考点三
考点一 考点二 考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价
错因(在相应错因中画√)
考点 错题题号
诊
知识性 方法性 运算性 审题性
断 考点一
评 价 考点二
考点三
※ 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错
考点一 三角恒等变换
考点一 考点二 考点三
[经典结论·全通关] 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α， α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：专题二第2讲三角恒等变换与解三角形 精品
＝2
3sin12ωx·cos12
ωx＋2cos212
ωx
(ω>0)，且函数
f(x)的最小正周期为 π.(导学号 55460020)
(1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx＋1＝ 2sinωx＋π6＋1， 又 f(x)的最小正周期为 π， ∴π＝2ωπ，即 ω＝2.
故 2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin23π－B＝ 3sin B－ 3cos B＝2 3sinB－π6. ∵b≥a， ∴π3≤B<23π，π6≤B－π6<π2， ∴2b－c＝2 3sinB－π6∈[ 3，2 3)．
[规律方法] 解三角形与三角函数的综合题，要优先 考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以 转化为三角函数的值域来求．
解析：(1)法一：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)·( 3cos x－
sin x)＝
4
3 2 sin
x＋12cos
x
3 2 cos
x－12sin
x＝
4sinx＋π6cosx＋π6＝2sin2x＋π3，
∴T＝22π＝π.
法二：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)＝3sin xcos x＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x＝sin 2x＋ 3cos 2x ＝2sin2x＋π3，
∴T＝22π＝π. (2)(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝4295，又 0<α<π2， 则 sin α＋cos α＝75， 2cosπ4－α＝sin α＋cos α＝75. 答案：(1)B (2)C
2018年高考数学二轮复习课件 专题3 第2讲三角恒等变换与解三角形(58张)
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[解析] 等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C) ＝sin Acos C＋sin(A＋C) ＝sin Acos C＋sin B， 等式左边＝sin B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B． 由cos C>0，得sin A＝2sin B． 根据正弦定理，得a＝2b． 故选A．
• (3)tan 2α＝______________．
1－cos 2α • 5．降幂公式 2 1＋cos 2α 2 (1)sin2α＝_____________ ；
1－tan2α
•
• (2)cos2α＝_____________．
6．正弦定理
b a c sin B sin A＝__________＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)．
1 bcsin A 1 1 2 S△ABC＝____________＝2acsin B＝2absin C．
• 1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开 方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数 符号错误． • 2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名 变换出错或三角函数值的符号出错．
2 2 2 2 a ＋ b sin( α ＋ φ ) ＝ a ＋ b cos(α＋θ) ． (4)辅助角公式：asin α＋bcos α＝____________________________________
• 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin αcos α • (1)sin 2α＝_____________ ； cos2α－sin2α 2α－1＝1－2sin2α； • (2)cos 2α＝_______________ ＝ 2cos 2tan α
高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理
②由 f(x)＝12sin2x－π6＝ 63，
得 sin2x－π6＝ 33，
∵x∈0，π4，∴－π6≤2x－π6≤π3，
∴cos2x－π6＝
6 3.
∴cos 2x＝cos2x－π6＋π6 ＝cos2x－π6× 23－sin2x－π6×21 ＝ 36× 23－ 33×12＝ 22－ 63.
三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑： 如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
分值 10 12 10
年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
17 正余弦定理
12
二倍角公式、基本关系式、余弦定理、
15
5
三角形面积公式
18
正余弦定理、三角形面积公式
12
17
正余弦定理、解三角形
12
二倍角、辅助角公式、基本关系式、
10、15 和的正弦公式、余弦定理
10°＝
典例1
A．34
(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin
( A)
B．14
C．12＋
3 2
D．3
3 4
(2)(2020·宜宾模拟)已知 α∈0，π2，且 3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则
sin 2α＋cos 2α＝
( A)
A．1
B．－2137
2018届高考数学二轮08三角函数、解三角形及平面向量2专题卷(全国通用)
三角函数、解三角形及平面向量0212.函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-x C ．()fx =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x【答案】B【解析】逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位即得()y f x =的图象， 即()sin 2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x x ππππππ=+=+=-+=-+=-13.设ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上是增函数，那么ω的最大值是 A ．32 B ．2C ．127D ．3【答案】A【解析】若函数)(x f 在]4,3[ππ-上单调递增，则)(x f 的周期一定不小于ππ34)3(4=⋅-，即πωπ342≥ 得：23≤ω 所以ω的最大值为：23，选A14.若方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解，则a 的取值范围 （ ） A.0>a 或8-≤a B.0>a C.3180≤<a D.2372318≤≤a 【答案】D【解析】方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解，等价于求134928sin sin +⋅+⋅=xx a 的值域 ∵]3,31[3sin ∈x ∴13492sin sin +⋅+⋅x x ]31,923[∈则a 的取值范围为2372318≤≤a .15.已知函数()sin()(0)36f x A x A ππ=+>在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于A ． 1B ．2C ． 4D ．8【答案】B【解析】)(x f 取最高点时：1)63sin(=+ππx ，在)(x f 的最小正周期内，当263πππ=+x 时，1)83sin(=+ππx ，解得：1=x ；同理：当)(x f 取最低点时：263πππ-=+x ，解得：2=x ；设最高点为),1(A ，最低点为),2(A --则：25)2(322=+A ，解得：2=A16.【答案】B 【解析】)(x f 向左平移2π个单位后：])2(sin[)(ϕπω++=x A x f )2sin(ϕωπω++=x A 设)2sin()(ϕωπω++=x A x g ，则)(x g 与)(x f 关于x 轴对称∴)()(x f x g =，故：πϕϕωπk +=+2（其中Z k ∈，且k 为奇数）πωπk =⇒2由题中各选项可得4=ω时，2=k ，与题意不符，故B 不对。
2018届高三数学二轮复习课件专题二第二讲 三角恒等变换与解三角形
2
真题自检
3．(2016· 高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 21 4 5 若 cos A＝ ，cos C＝ ，a＝1，则 b＝________. 13 5 13
解析：先求出 sin A，sin C 的值，进而求出 sin B 的值，再利用正弦定理求 b 的值． 4 5 因为 A，C 为△ABC 的内角，且 cos A＝ ，cos C＝ ， 5 13 3 12 所以 sin A＝ ，sin C＝ ， 5 13 3 5 4 所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝ × ＋ 5 13 5 × 12 63 ＝ . 13 65 asin B sin B 63 5 21 ＝ ＝ × ＝ . sin A sin A 65 3 13
2015 Ⅰ卷
2
真题自检
)
3 1． (2016· 高考全国卷Ⅲ)若 tan α＝ ， 则 cos2 α＋2sin 2α＝( 4 64 48 A. B. 25 25 16 C． 1 D. 25
解析：利用同角三角函数的基本关系式求解．
2 cos α＋4sin αcos α 3 2 因为 tan α ＝ ，则 cos α ＋ 2sin 2α ＝ ＝ 4 sin2 α＋cos2 α 3 1＋4tan α 1＋4×4 64 ＝ ＝ .故选 A. 2 25 3 tan α＋1 2 ＋1 4
2
真题自检
π 3 π 2． (2016· 高考全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角， 且 sinθ＋4 ＝ ， 则 tanθ－4 5 4 － 3 ＝________.
π π π 解析：将 θ－ 转化为θ＋4 － . 4 2 π 3 π π 由题意知 sinθ＋4 ＝ ， θ 是第四象限角， 所以 cosθ＋4 >0， 所以 cosθ＋4 5
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形 含解析 精品
专题二 三角函数、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形高考导航利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－725[解析] 解法一：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.故选D.解法二：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35，∴cos α＋sin α＝325，∴1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.[答案] D2．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A[解析] 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ， 即cos C (2sin B －sin A )＝0， 所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ， 即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°<C <90°，故2b ＝a .故选A. 解法二：由正弦定理和余弦定理得b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝2a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ， 所以2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝a 2＋3b 2－c 2， 即2ba (a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2，即(a 2＋b 2－c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a －1＝0，所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，故2b ＝a ，故选A. [答案] A3．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.[解析] 由余弦定理得cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14，∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝154，∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152. 又cos ∠ABC ＝cos2∠BDC ＝2cos 2∠BDC －1＝14，0<∠BDC <π2， ∴cos ∠BDC ＝104. [答案]1521044．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． [解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A . 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A . 故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12. 所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A ，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.考点一 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α.(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .[对点训练]1．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79. [答案] D2．(2017·福建省福州市高三综合质量检测)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m ＝( )A.12B.34C.32 D ．2[解析] 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan Atan B ＝2，故选D.[答案] D3．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是________．[解析] 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55× 1010＝22，且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] 7π4(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题．考点二 解三角形1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状[解析] ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C ＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．[答案] B 角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算[解析] 由b sin B －a sin A ＝12a sin C 及正弦定理得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.故选A. [答案] A 角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算[思维流程] (1)代换A ＋C 为π－B →化简关系式→求出cos B (2)求sin B →结合面积公式求出ac →借助余弦定理求出b[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．[对点训练]1．[角度1](2017·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状一定是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[解析] 在△ABC 中，∵cos 2A2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝sin B ＋sin C2sin C ＝12·sin B sin C ＋12，∴1＋cos A ＝sin B sin C ＋1，∴cos A sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴sin A cos C ＝0，sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C 为直角．故选B. [答案] B2．[角度2](2017·辽宁师大附中模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则B ＝( )A.π6或5π6B.π3C.π6D.5π6[解析] ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B . 又∵sin B ≠0，∴sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，解得sin(A ＋C )＝sin B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π6或5π6.故选A. [答案] A3．[角度3](2017·威海模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 由正弦定理得，(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，又a ＝2，所以b 2＋c 2－bc ＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－42bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.因为b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c 时取等号．[答案]3考点三 正、余弦定理的实际应用1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[对点训练]1．(2017·济南二模)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km [解析] 画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin30°sin45°＝3 2.[答案] B2．(2017·广东省五校协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.[解析]由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DBsin15°，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252(3－1)sin(90°＋θ)，即25sin45°＝252(3－1)cosθ，得到cosθ＝3－1.[答案]3－1解三角形实际问题的4步骤热点课题8 解三角形中的范围问题[感悟体验](2017·河南豫北联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围．[解] (1)由正弦定理将原等式化为3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，从而可得，3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0， 于是cos A ＝32.又A 为三角形的内角，因此A ＝π6.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2 ＝sin B ＋cos C －1＝sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B －1＝sin B ＋cos 5π6cos B ＋sin 5π6sin B －1 ＝32sin B －32cos B －1 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6－1，由A ＝π6可知，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6，所以B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，因此，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6－1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1， 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1.。
2018届高考理科数学二轮复习《三角恒等变换与解三角形》检测试卷及答案解析
课时跟踪检测（八） 三角恒等变换与解三角形A 级1．(2017·陕西模拟)设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5 2．(2018届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3 3．(2017·宝鸡模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( )A.23B.14C.34D.164．(2017·惠州模拟)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( )A.34 B ．1C.32D ．2 5．(2017·成都模拟)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )A.75B ．－75C.15D ．－156．(2017·长沙模拟)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C ．23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D ．23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋37．(2017·福州模拟)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．28．(2017·云南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A.32 B ．3C. 6 D ．69．(2018届高三·合肥摸底)已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4.若f (x 1)＜f (x 2)，则一定有( )A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．x 21＜x 22D ．x 21＞x 2210．(2018届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－3411．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－4512．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π213．(2017·南京模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.15．(2018届高三·湖北七校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.16.(2018届高三·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.B 级1．(2017·广州模拟)已知tan θ＝2，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2θ＝( )A.45B.35C ．－35 D ．－452．在△ABC 中，若tan A tan B ＝a 2b 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．不能确定3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，2π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π34．(2017·云南统一检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3C. 2 D. 35．(2018届高三·皖南八校联考)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.6．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．[C 级——压轴小题突破练]1．在外接圆半径为12的△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sinA ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC ，则b ＋c 的最大值是( )A ．1 B.12C ．3 D.322．(2018届高三·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．33C ．8D ．6 33．(2017·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.课时跟踪检测（八） 三角恒等变换与解三角形1．(2017·陕西模拟)设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15. 2．(2018届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.3．(2017·宝鸡模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( ) A.23 B.14 C.34D.16解析：选B ∵a sin A ＝c sin C ，即3sin A ＝4sin C，又sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝13，∴sin A ＝14. 4．(2017·惠州模拟)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34 B ．1 C.32D ．2 解析：选C y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，∴当t ＝12时，函数取得最大值32. 5．(2017·成都模拟)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )A.75 B ．－75C.15D ．－15解析：选B 因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－sin 2α＝－75.6．(2017·长沙模拟)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3 B ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3 C ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3 D ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3 解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ，于是△ABC 的周长为23⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3. 7．(2017·福州模拟)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．2解析：选D 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ， 则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ， 因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β， 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )， 即2cos A sin B ＝sin A cos B ， 所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan Atan B＝2. 8．(2017·云南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A.32 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理， 得b 2＝2ac .① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6， 所以S ＝12×6×6＝3.9．(2018届高三·合肥摸底)已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4.若f (x 1)＜f (x 2)，则一定有( )A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．x 21＜x 22D ．x 21＞x 22解析：选D f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝14cos 4x ＋34.因为4x ∈[－π，π]，所以函数f (x )是偶函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递减， 由f (x 1)＜f (x 2)，可得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，所以|x 1|＞|x 2|，即x 21＞x 22.10．(2018届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．11．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45 D ．－45解析：选D ∵sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435， 即32sin α＋12cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 12．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.13．(2017·南京模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 解析：因为⎝⎛⎭⎫π4－α＋⎝⎛⎭⎫π4＋α＝π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13. 答案：1314．(2017·长沙模拟)化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α15．(2018届高三·湖北七校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝⎛⎭⎫－12＝7b 2，∴c ＝7b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝27，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝37，∴tan A ＝sin A cos A ＝32. 答案：3216.(2018届高三·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°) ＝252(3－1)．在△BCD 中，∠DCB ＝90°＋θ， 所以25sin 45°＝252(3－1)sin (90°＋θ)， 即25sin 45°＝252(3－1)cos θ， 解得cos θ＝3－1. 答案：3－1[B 级——中档小题强化练]1．(2017·广州模拟)已知tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2θ＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选C 法一：由tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 可得sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos 2θ＝15，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.法二：因为tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. 2．在△ABC 中，若tan A tan B ＝a 2b 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．不能确定解析：选B 由已知并结合正弦定理得，sin A cos A ·cos B sin B ＝sin 2A sin 2B ，即cos B cos A ＝sin Asin B ，∴sin A cosA ＝sinB cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤π6，2π3 B.⎣⎡⎦⎤π6，π4 C.⎝⎛⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎭⎫π6，π3解析：选C 在△ABC 中，由正弦定理化简已知的等式得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32(当且仅当c 2＝3a 2，即c ＝3a 时取等号)，因为A 为△ABC 的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以0＜A ≤π6，故角A的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 4．(2017·云南统一检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由a ＝b cos C ＋c sin B 及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ，得sin C cos B ＝sin C sin B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝1.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝22＋4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac ＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以b ≥2，b 的最小值为2，故选A.5．(2018届高三·皖南八校联考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116， 所以sin 2α＝1516. 答案：15166．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．解析：AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ，且AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ，即AC 2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADC ，且(6－2AC )2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADB ，∵∠ADB ＝π－∠ADC ，∴AC 2＋(6－2AC )2＝2AD 2＋8，∴AD 2＝3AC 2－122AC ＋282＝3(AC －22)2＋42， 当AC ＝22时，AD 取最小值2， 此时cos ∠ACB ＝8＋4－282＝528， ∴sin ∠ACB ＝148， ∴△ABC 的面积S ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ＝7. 答案：7[C 级——压轴小题突破练]1．在外接圆半径为12的△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则b ＋c 的最大值是( )A ．1B.12解析：选A 根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝－12，A ＝120°.因为△ABC 外接圆半径为12，所以由正弦定理得b ＋c ＝sin B ·2R ＋sin C ·2R ＝sin B ＋sin(60°－B )＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°)，故当B ＝30°时，b ＋c 取得最大值1.2．(2018届高三·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：选C 由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， ∴tan B tan C ＝tan A tan A －2， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2， 令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．3．(2017·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________. 解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin ∠BCA ， 即32＝12×2×6×sin ∠BCA ， 所以sin ∠BCA ＝12. 因为∠BAC ＞∠BDC ＝π4， 所以∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA ＝32.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠BCA＝2＋6－2×2×6×32＝2，所以AB ＝2，所以∠ABC ＝π6，在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠ABC ， 即622＝CD12，解得CD ＝ 3.答案：3。
2018届高考数学二轮三角函数与解三角形专题卷(全国通用)
中档大题规范练1.三角函数与解三角形1.(2017·河南百校联盟质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，cos A sin B ＋(c －sin A )·cos(A ＋C )＝0.(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin C 的值. 解 (1)由cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0，得cos A sin B －(c －sin A )cos B ＝0，即sin(A ＋B )＝c cos B ，sin C ＝c cos B ，sin C c＝cos B ， 因为sin C c ＝sin B b， 所以sin B 3＝cos B ， 即tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)由S ＝12ac sin B ＝32，得ac ＝2， 由b ＝3及余弦定理得(3)2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ，所以a ＋c ＝3，所以sin A ＋sin C ＝sin B b (a ＋c )＝32. 2.已知函数f (x )＝12sin2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ＋12cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点⎝⎛⎭⎫π6，12.(1)求ω和φ的值；(2)求函数y ＝f (2x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域. 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx cos φ＋1＋cos 2ωx 2sin φ－12sin φ ＝12(sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ)＝12sin(2ωx ＋φ). 由题意可知，T ＝2π＝2π|2ω|，则ω＝±12，当ω＝12，把点⎝⎛⎭⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中，可得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，而0＜φ＜π，解得φ＝π3. 当ω＝－12，把点⎝⎛⎭⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中，可得φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，而0＜φ＜π，解得φ＝2π3. (2)由题可知，当ω＝12，f (2x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， 则函数f (2x )的值域为⎣⎡⎦⎤－34，12. 当ω＝－12时，f (2x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋2π3＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，则函数f (2x )的值域为⎣⎡⎦⎤－34，12.综上，函数f (2x )的值域为⎣⎡⎦⎤－34，12. 3.(2017·湖南邵阳大联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝1，sin (2A ＋B )sin A＝2(1－cos C ). (1)求b 的值；(2)若△ABC 的面积为32，求c 的值. 解 (1)∵sin(2A ＋B )＝2sin A (1－cos C )，∴sin[(A ＋B )＋A ]＝2sin A －2sin A cos C ，sin(A ＋B )cos A ＋cos(A ＋B )sin A ＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋B )，sin(A ＋B )cos A －cos(A ＋B )sin A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，又a ＝1，∴b ＝2.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2sin C ＝32， ∴sin C ＝32，cos C ＝±12， 当cos C ＝12时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝12，∴c ＝3； 当cos C ＝－12时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝－12，∴c ＝7. 故c ＝3或c ＝7.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 的度数成等差数列，b ＝13.(1)若3sin C ＝4sin A ，求c 的值；(2)求a ＋c 的最大值.解 (1)由角A ，B ，C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C .又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 由正弦定理，得3c ＝4a ，即a ＝3c 4. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即13＝⎝⎛⎭⎫3c 42＋c 2－2×3c 4×c ×12，解得c ＝4. (2)由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝1332＝2133， 所以a ＝2133sin A ，c ＝2133sin C . 所以a ＋c ＝2133(sin A ＋sin C )＝2133[sin A ＋sin(A ＋B )] ＝2133⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝2133⎝⎛⎭⎫32sin A ＋32cos A ＝213sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 由0＜A ＜2π3，得π6＜A ＋π6＜5π6. 所以当A ＋π6＝π2， 即A ＝π3时，(a ＋c )max ＝213. 5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝()cos A ，cos B ，n ＝()a ，2c －b ，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值.解 (1)∵m ∥n ，∴a cos B －()2c －b cos A ＝0，由正弦定理得sin A cos B －()2sin C －sin B cos A ＝0，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，∴sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，由A ＋B ＋C ＝π，得sin C ＝2sin C cos A由于0＜C ＜π，因此sin C >0，∴cos A ＝12，由于0＜A ＜π，∴A ＝π3. (2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，∴bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立，∴△ABC 面积S ＝12bc sin A ≤43， ∴△ABC 面积的最大值为4 3.6.(2017·吉林二调)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f ⎝⎛⎭⎫A 2的取值范围.解 (1)由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，ω＝2，将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 因为|φ|＜π2，所以φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 及正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，cos B ＝12，B ＝π3，A ＋C ＝2π3， f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，0＜A ＜2π3，π6＜A ＋π6＜5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1， 所以f ⎝⎛⎭⎫A 2的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，1.。
专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形
一、选择题1．(2018·合肥调研)已知x ∈()0，π，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.13B ．－13C ．3D ．－3解析：由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ， ∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13. 答案：A2．(2018·成都模拟)已知sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6的值为( ) A.43－310B.43＋310C.4－3310D.33－410解析：∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝31010， sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝1－15＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310.答案：A3．(2018·昆明三中、五溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A ．34B ．43C ．－43D ．－34解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．答案：C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：根据正弦定理得c b ＝sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形． 答案：A5.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cos A ＝64.答案：C6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A ．15B ．55C ．255D ．1解析：由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， ∴|a －b |＝55. 故选B. 答案：B7. (2018·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置(图略)，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t ×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以Δt＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B.答案：B8．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则 tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， ∴tan B tan C ＝tan A tan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan Atan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号．答案：C 二、填空题9．(2018·广西三市一联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B ＝2sin C ，cos C ＝13，△ABC 的面积为4，则c ＝________.解析：由a sin B ＝2sin C ，得ab ＝2c ， 由cos C ＝13，得sin C ＝223，则S △ABC ＝12ab sin C ＝23c ＝4，解得c ＝6.答案：610．(2018·皖南八校联考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件； 由cos α－sin α＝14，两边平方得 1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：151611．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．解析：AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ， 且AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ， 即AC 2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADC ， 且(6－2AC )2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADB ， ∵∠ADB ＝π－∠ADC ，∴AC 2＋(6－2AC )2＝2AD 2＋8，∴AD 2＝3AC 2－122AC ＋282＝3(AC －22)2＋42，当AC ＝22时，AD 取最小值2， 此时cos ∠ACB ＝8＋4－282＝528，∴sin ∠ACB ＝148， ∴△ABC 的面积S ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ＝7.答案：712．(2018·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin ∠BCA ，即32＝12×2×6×sin ∠BCA ， 所以sin ∠BCA ＝12.因为∠BAC >∠BDC ＝π4，所以∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA ＝32.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠BCA ＝2＋6－2×2×6×32＝2， 所以AB ＝2，所以∠ABC ＝π6，在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠DBC ，即622＝CD12，解得CD ＝ 3. 答案： 3 三、解答题13．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足cos 2A －cos 2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎫π6－B cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0. (1)求角A 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a 的取值范围．解析：(1)由cos 2A －cos 2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎫π6－B cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0， 得2sin 2B －2sin 2A ＋2⎝⎛⎭⎫34cos 2B －14sin 2B ＝0， 化简得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. (2)∵b ＝3≤a ，∴c ≥a ，∴π3≤C <π2，π6<B ≤π3，∴12<sin B ≤32.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a 32＝3sin B，∴a ＝32sin B ，由sin B ∈⎝⎛⎦⎤12，32得a ∈[3，3)．14．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AD 是BC 边上的中线，记∠CAD ＝α，∠BAD ＝β.(1)求sin α∶sin β；(2)若tan α＝sin ∠BAC ，求BC . 解析：(1)∵AD 为BC 边上的中线， ∴S △ACD ＝S △ABD ，∴12AC ·AD sin α＝12AB ·AD sin β， ∴sin α∶sin β＝AB ∶AC ＝2∶1. (2)∵tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)， ∴sin α＝sin(α＋β)cos α， ∴2sin β＝sin(α＋β)cos α，∴2sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tan α， 又tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)≠0， ∴cos(α＋β)＝cos ∠BAC ＝12，在△ABC 中，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝3， ∴BC ＝ 3.15．(2018·广州模拟)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解析：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A ， 得3cos(B ＋C )＋2＝2cos 2A ， 即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝34bc ＝53，得bc ＝20，因为b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝25＋16－2×20×12＝21，故a ＝21.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得sin B sin C ＝b a sin A ×c a sin A ＝57.16．(2018·山西八校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋c )2＝b 2＋3ac .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，且sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解析：(1)由(a ＋c )2＝b 2＋3ac ，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，∵0<B <π， ∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＝sin(A ＋C )， 由已知sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A 可得sin(A ＋C )＋sin(C －A )＝2sin 2A ， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ， 整理得cos A sin C ＝2sin A cos A .若cos A ＝0，则A ＝π2，由b ＝2，可得c ＝2tan B ＝233，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝233.若cos A ≠0，则sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可知，c ＝2a ，代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，整理可得3a 2＝4，解得a ＝233，∴c ＝433，此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝233.综上所述，△ABC 的面积为233.17．(2018·常德市模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值． 解析：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)，∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin π4＝7210， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ) ＝2⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫72102＝－4825.。
高考数学大二轮复习专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件理0315153
解析 因为 α 为锐角且 cosα＋π6 ＝45>0，
所以 α＋π6 ∈π6 ，π2 ，所以 sinα＋π6 ＝35.
所以 sin2α＋π12＝sin2α＋π6 －π4
＝sin 2α＋π6 cos
－17，故 cos2π4 －α＝1＋cos2π2 －2α＝1＋si2n 2α＝12＋
sin
α cos
α，其中
sin
αcos
α
＝
sin αcos α sin2α＋cos2α
＝
tatna2nαα＋1＝－570，故12＋sin αcos α＝295.
答案
9 25
2．设 α 为锐角，若 cosα ＋π6 ＝45，则 sin2α ＋π12 的值为________．
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)其中tan
φ
＝ba.
3．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ ＋cos2θ ＝
tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α ＋2cos2α ＝(sin2α
＋cos2α )＋cos2α ，α ＝(α－β)＋β 等．
17 2 50
3．(2018·浙江)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始 边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P－35，－45.
(1)求 sin(α＋π )的值； (2)若角 β 满足 sin(α＋β)＝153，求 cos β 的值．
解析 (1)由角 α 的终边过点 P－35，－45得 sin α ＝－45，所以 sin(α＋π)＝－sin α＝45.
答案 C
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项二 专题二 2 第2讲 三角恒等变换与解三角形专
第2讲 三角恒等变换与解三角形[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sinC ，则sin B 为( )A.74B.34C.73D.13解析：选A.由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ， 得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， 所以sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.3．(2018·某某第一次统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A.32B.233C.33D. 3解析：选B.由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B. 4．(2018·某某模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A.法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1，故选A. 法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sinA cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0<C <π4，所以C ＝π6.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.63解析：选 C.依题意得，BD ＝AD ＝DEsin A＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________． 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1 ＝－78.答案：－788．(2018·高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________．解析：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案：4 29．(2018·某某第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值X 围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cosA ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝（4－b ）（4＋b ）16（4－b ）＝4＋b 16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210) 三、解答题10．(2018·某某教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b .(1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c .解：(1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，所以2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， 所以2sin B cos C ＋sin B ＝0， 因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝23，所以ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， 所以c ＝27.11．(2018·某某质量检测(二))已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3ca cos B＝tan A ＋tan B .(1)求角A 的大小；(2)设AD 为BC 边上的高，a ＝3，求AD 的取值X 围． 解：(1)在△ABC 中，因为3c a cos B ＝tan A ＋tan B ，所以3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos Acos A cos B，所以3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，所以AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －32bc ，所以0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以0<AD ≤32.12．(2018·某某质量检测(二))已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，c ＝3.(1)求A ；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积． 解：(1)对于2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，由正弦定理得，b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，连接DE ，易知A ，D ，E 三点共线． 在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝2AD ＝19，在△ABE 中，由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos 120°，即19＝9＋AC 2－2×3×AC ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得AC ＝2.故S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝332.[B 组 大题增分专练]1．(2018·某某质量监测(二))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A .(1)求cb的值；(2)设内角A 的平分线AD 交于BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解：(1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即c b ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233，即4b 2＋3－b22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1.2．(2018·某某模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c .(1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值；(2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab，求M 的值．解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，所以sin A ＝45，tan A ＝43，所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c2，所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝5c 6，由正弦定理得：sin ∠ACB ＝AB sin ABC ＝c ×455c 6＝2425.(2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ，所以c 2＝324ab ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ， 所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ，所以M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab＝22abab＝2 2.3．(2018·某某质量检测)已知△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝22，∠DBC ＝45°. (1)若CD ＝25，求△BCD 的面积； (2)若角C 为锐角，AB ＝62，sin A ＝1010，求CD 的长． 解：(1)在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 45°， 即20＝8＋BD 2－4BD ，解得BD ＝6，所以△BCD 的面积S ＝12×22×6×sin 45°＝6.(2)在△ABC 中，由BC sin A ＝AB sin C 得221010＝62sin C ，解得sin C ＝31010.由角C 为锐角得，cos C ＝1010，所以sin ∠BDC ＝sin(C ＋45°)＝255.在△BCD 中，CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠BDC ，即CD 22＝22255，解得CD ＝ 5.4．(2018·高考某某卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sinA ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。
2018届高考数学二轮复习 专题检测(十二)三角恒等变换与解三角形 理
专题检测（十二） 三角恒等变换与解三角形A 卷——夯基保分专练一、选择题1．(2018届高三·合肥调研)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.13B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.2．(2017·张掖一诊)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sinB －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A.74 C.73＝12a sin C ，且c ＝2a ，＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ的值为( )A.3B.43C.34D.32解析：选D 法一：由sin θ－cos θ＝－144， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，故2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.法二：因为sin θ－cos θ＝－144， 两边平方，整理得2sin θcos θ＝18，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝98.因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ>0，cos θ>0，所以sin θ＋cos θ＝324.2θ)＝32.a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sinC C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4， 由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A 根据正弦定理得c b ＝sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形．6．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.63 解析：选C 依题意得，BD ＝AD ＝DEsin A ＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．(2017·洛阳统考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.答案：－788．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于D ，则BDCD的值为________． 解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝27，所以BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×27＝127， CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BD CD＝6.答案：69．(2017·福州质检)在距离塔底分别为80 m,160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.解析：设塔高为h m tan β＝h 160，tan γ＝h240.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋βγ)tan γ＝－γγ－γγγ＝1，所以h 80＋h1601－h 80·h 160·h 240＝1，解得h 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B (2)若c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由正弦定理得，2sin B ＝3sin C .∵B ＝2C ，∴2sin 2C ＝3sin C ，∴4sin C cos C ＝3sin C ， ∵C ∈(0，π)，sin C ≠0，∴cos C ＝34.(2)由题意得，c ＝4，b ＝6.∵C ∈(0，π)，∴sin C ＝1－cos 2C ＝74， sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝378，cos B ＝cos 2C ＝cos 2C －sin 2C ＝18，∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝378×34＋18×74＝5716. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×4×5716＝1574.11．(2017·东北四市高考模拟)已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP ―→·QP ―→.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． 解：(1)由已知，得OP ―→＝(3，1)，QP ―→＝(3－cos x,1－sin x )，所以f (x )＝3－3cos x ＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π.(2)因为f (A )＝4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝0，又0<A <π，所以π3<A ＋π3<4π3，A ＝2π3.因为BC ＝3，所以由正弦定理，得AC ＝23sin B ，AB ＝23sin C ，所以△ABC 的周长为3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3.因为0<B <π3，所以π3<B ＋π3<2π3，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，△ABC 的周长取得最大值，为3＋2 3.12．如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 分别表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－x －22x ·20＝3x ＋325x， 同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x.∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ， ∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D (图略)，在△ADP 中， ＝25，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 所以A ＋B 2＝π2－C 2，则sin A ＋B 2＝cos C2. 由8sin2A ＋B2－2cos 2C ＝7，得8cos 2C2－2cos 2C ＝7， 所以4(1＋cos C )－2(2cos 2C －1)＝7， 即(2cos C －1)2＝0，所以cos C ＝12.因为0＜C ＜π，所以C ＝π3，于是tan C ＝tan π3＝ 3.(2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a .①又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3.②联立①②，解得a ＝1，b ＝2.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． 解：(1)∵a sin B ＝－b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，∴由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.(2)∵A ＝5π6，∴sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 3．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6，又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－4.所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛2x 0⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 4．在△ABC 中，B ＝π3，点D 在边AB 上，BD ＝1，且DA ＝DC .； ·sin B ＝3，2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ， CD ＝13.＝∠DCA ＝θ， 则∠ADC ＝π－2θ，又AC ＝3，由正弦定理，得AC sin 2θ＝CD sin θ，所以CD ＝32cos θ.在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π3－2θ，由正弦定理，得CD sin B ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ，化简得cos θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2θ，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ.因为0＜θ＜π2，所以0＜π2－θ＜π2，－π3＜2π3－2θ＜2π3，所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π3－2θ＝π，解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA ＝π6或∠DCA ＝π18.。
2018年高考数学二三角函数平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形习题
9．在△ ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b，c，且满足 bsin A＝ acos B，则角 B 的大小
为 ________．
解析：∵ bsin A＝ acos B，由正弦定理，得 sin Bsin A＝ sin AcosB.
∵ sin
A≠0，∴ sin
B＝ cos
B，∵ B为△ ABC内角，∴
x＋ 3
≤
. 5
6 ∴ f ( x) ＝ max 5. 故选 A.
答案： A
8．(2017 ·高考全国卷Ⅰ ) △ ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b，c. 已知 sin B＋ sin A(sin C
－ cos C) ＝ 0， a＝ 2， c＝ 2，则 C＝ ( )
π A. 12
π B. 6
π C. 4
π D. 3
2
2
解析：因为 a＝ 2， c＝ 2，所以由正弦定理可知， sin A＝ sin C，
故 sin A＝ 2sin C. 又 B＝ π － ( A＋ C) ， 故 sin B＋ sin A(sin C－cos C) ＝ sin( A＋ C) ＋ sin Asin C－ sin Acos C ＝ sin Acos C＋cos Asin C＋ sin Asin C－ sin Acos C ＝ (sin A＋ cos A)sin C ＝ 0.
x＝π ＋ 2kπ( k∈ Z) 时， f
( x) 取得最大值
6 .
故选
A.
Hale Waihona Puke 65法二：∵
π x＋ 3
＋
π 6 －x
π ＝ 2，
1
∴
f
(
x)
＝
广东高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与解三角形专题强化练七三角恒等变换与解三角形文
专题强化练七 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79 C ．－79 D ．－89解析：cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案：B2．(2018·湖南师大联考)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π4，a ＝6，b ＝8，则c ＝( )A ．42－2或42＋2B ．42－2C ．42＋2D ．4解析：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－82c ＋28＝0，即(c －42)2＝4.解得c ＝42±2.答案：A 3．(2018·广东六校第三次联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos 2θ＝( )A.15B.25C.35D.55解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋3cos(π－θ)＝cos θ－3cos θ＝－2cos θ＝sin(－θ)＝－sin θ，所以tan θ＝2，则sin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan 2θ＋1＝35. 答案：C4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：因为S △ABC ＝12ab sin C ， 所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C . 由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .得2ab cos C ＝2ab sin C ，则tan C ＝1.在△ABC 中，C ＝π4. 答案：C5．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0.所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b .答案：A二、填空题6．(2018·全国卷Ⅱ)知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________． 解析：法一 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15， 所以tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 法二 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15， 所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋tan 5π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32. 答案：327．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．解析：由正弦定理得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C ·cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 所以2sin B cos B ＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos B ＝12，故B ＝π3. 答案：π38．(2018·全国卷Ⅰ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解析：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 及正弦定理，得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C .又sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12. 由b 2＋c 2－a 2＝8，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝32. 所以bc ＝833， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233. 答案：233三、解答题9．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值． 解：(1)因为角α的终边过点P (－35，－45)， 得sin α＝－45，cos α＝－35， 则sin(α＋π)＝－sin α＝45. (2)由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213， 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得b sin A ＝a sin B . 又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6. 则sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a ＜c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17. 所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 11．(2018·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝C ，4sin A sin B ＝1－cos 2B .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的周长为5，求△ABC 的面积．解：(1)因为4sin A sin B ＝1－cos 2B ，所以4sin A sin B ＝2sin 2B ，所以sin B (2sin A －sin B )＝0.因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以sin B ＝2sin A .所以b ＝2a .又B ＝C ，所以c ＝b ＝2a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a ＝78. 又因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝158. (2)据(1)求解知，b ＝c ＝2a .又因为a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，b ＝c ＝2.又据(1)求解知，sin A ＝158， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×2×158＝154.。
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[限时规范训练]一、选择题1．(2017·高考山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．πD ．2π解析：y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π.故选C. 答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.79解析：∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A. 答案：A3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7，则sin α的值等于( ) A.35 B ．－35C.45D ．－45解析：因为tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7，所以tan α－11＋tan α＝－7，得tan α＝－34，即sin αcos α＝－34.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.又sin 2 α＋cos 2 α＝1，得sin α＝35，故选A.答案：A4．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵cos 2A2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋cc，化简得a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 是直角三角形． 答案：B5．在△ABC 中，A ＝60°，若a ，b ，c 成等比数列，则b sin Bc＝( ) A.12 B.32 C.22D.6＋24解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，① 又A ＝60°，则由正弦定理得a sin A ＝bsin B， 即a ＝b sin A sin B ，代入①得，b 2＝cb sin A sin B ，则b ＝c sin A sin B ，所以b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.故选B.答案：B6．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( ) A. 3 B.322 C ．2 2D ．2 3解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝2，解得bc ＝3.因为A 为锐角，sin A ＝223，所以cos A ＝13，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解得b 2＋c 2＝6，则(b ＋c )2＝12，b ＋c ＝23，所以b ＝c ＝3，故选A. 答案：A7．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35D.15解析：法一：∵f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值65.故选A.法二：∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin(x ＋π3)＋cos(π6－x ) ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65. 故选A.答案：A8．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C， 故sin A ＝2sin C .又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角，故sin C ≠0， 则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.故选B.答案：B二、填空题9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b sin A ＝a cos B ，则角B 的大小为________．解析：∵b sin A ＝a cos B ，由正弦定理，得sin B sin A ＝sin A cosB. ∵sin A ≠0，∴sin B ＝cos B ，∵B 为△ABC 内角，∴B ＝π4.答案：π410．(2017·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：法一：∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16，∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75.法二：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16×1＝75.答案：7511．(2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z)，∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z)， sin β＝sin α，cos β＝－cos α.又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.答案：－7912．在△ABC 中，若C ＝60°，AB ＝2，则AC ＋BC 的取值范围为________．解析：设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由题意，得c ＝2.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥14(a ＋b )2，得a ＋b ≤4.又由三角形的性质可得a＋b >2，综上可得2<a ＋b ≤4. 答案：(2,4] 三、解答题13．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A . (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解析：(1)证明：由题意得2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos B cos A ， ∴2sin(A ＋B )＝sin A ＋sinB. 又∵A ＋B ＝π－C ，∴sin(A ＋B )＝sin ()π－C ＝sin C ， ∴2sin C ＝sin A ＋sin B 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.14．(2016·高考四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tanB.解析：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k ＞0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin Bcos B＝4.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin C －sin B sin B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin C ＝2sin B ，求b ，c 的值． 解析：(1)由正、余弦定理得2sin C －sin B sin B ＝a cos B b cos A ＝sin A cos Bsin B cos A，所以2sin C cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 因为sin C ≠0，故cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由sin C ＝2sin B 得c ＝2b ， 因为a ＝3，A ＝π3，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝3b 2， 解得b ＝3，c ＝2 3.。