∴cos B =2
1. ∵0
π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ．
=-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,
3
2π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(.
则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(.
∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值.
依题意得,-2+4k +1=5,∴k =2
3. 3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22
sin 2sin =++C B A . I.试判断△ABC 的形状;
II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.
【解析】:I.)4
2sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2
242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号, 此时面积的最大值为()24632-.
4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,4
3cos =A , (1)求B C cos ,cos 的值;
(2)若2
27=⋅BC BA ,求边AC 的长｡ 【解析】:(1)8
1116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C 4
7sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由 ()16
9814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,2
27cos ,227=∴=∴=
⋅ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=6
2516
9483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5. 5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.
(Ⅰ)求)tan(B A +的值;
(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==. ∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123
+==--⨯ (Ⅱ)∵ 180=++C B A ,∴)(180B A C +-= .
由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,
∵C 为三角形的内角,
∴sin 2C =
∵tan 3A =,A 为三角形的内角,
∴sin A =,
由正弦定理得:sin sin AB BC
C A =
∴2
BC ==6 ．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为
a 、
b 、
c ,向
量
(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B
n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡
(I)求锐角B 的大小;
(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡
【解析】:(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B
⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3
∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3
(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6
①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=3
4ac ≤ 3
∴△ABC 的面积最大值为 3
②当B=5π
6时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=1
4ac≤ 2- 3
∴△ABC 的面积最大值为2- 3
7 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21
222ac b c a =-+
(1)求B C
A 2cos 2sin 2++的值;
(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.
