(完整版)解三角形三类经典题型
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解三角形三类经典类型
类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题
类型一 判断三角形形状
例1:已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2
22sin sin sin +=,试判断三角形的形状. 解:∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2
C ,∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2
22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形. 例2:在△ABC 中,若B=
60,2b=a+c,试判断△ABC 的形状.
解:∵2b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=
60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -
120)=3,整理得 sin(A+ 30)=1
∴A+
60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形.
例3:在△ABC 中,已知2
2
tan tan b a B A =,试判断△ABC 的形状. 解:法1:由题意得 B
A
A B B A 2
2sin sin cos sin cos sin =,化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2
π
=
+B A ,∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.
法2:由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2
222222222b a bc
a c
b b a
c b c a a =-+⋅
-+⋅
,
整理得0))((2
2
2
2
2
=-+-c b a b a ∴ 2
2222c b a b a =+=或
即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4:在△ABC 中,(1)已知sinA=2cosBsinC ,试判断三角形的形状; (2)已知sinA=
C
B C
B cos cos sin sin ++,试判断三角形的形状.
解:(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC
整理得sinBcosC -cosBsinC=0即sin(B -C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ,结合正、余弦定理得
c b ab
c b a a ac b c a a +=-+⋅+-+⋅22222222,化简整理得 0))((222=+--c b c b a
∴2
2
2
c b a +=即三角形为直角三角形.
例5:在△ABC 中,(1)已知a -b=ccosB -ccosA ,判断△ABC 的形状.
(2)若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状.
解:(1)由已知结合余弦定理可得bc a c b c ac b c a c b a 222
22222-+⋅--+⋅=-,整理得
0))((222=-+-c b a b a ∴222c b a b a =+=或,∴三角形为等腰三角形或直角三角形
(2)由b=asinC 可知 A
B
C a b sin sin sin ==,由c=acosB 可知ac b c a a c 2222-+⋅=整理得
222a c b =+,即三角形一定是直角三角形,∠A= 90,∴sinC=sinB ∴∠B=∠C ,∴△ABC
为等腰直角三角形. 例6:已知△ABC 中,5
4
cos =
A ,且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ,判断三角形的形状. 解:由题意令)0(32,2,2>=+==-k k c k b k a ,则23,2,2-==+=k c k b k a ∵5
4cos =
A ,由余弦定理得4=k ∴ 10,8,6===c b a ∴ 2
22c b a =+即△ABC 为直角三角形.
7.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,c
c
b A 22cos 2+=
,则△ABC 的形状为______ 8.在∆ABC 中,若
tan 2,tan A c b
B b
-=,则A=
类型二 求范围与最值
1、在ABC ∆中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足
bc a c b =-+222,0>⋅BC AB ,2
3
=
a ,则c
b +的取值范围是 2、在△ABC 中,AD 为BC 边上的高线,AD =BC ,角A ,B ,C 的对边为a ,b ,
c ,则b c +c b
的最大值是________.
解析 因为AD =BC =a ,由12a 2=12bc sin A ,解得sin A =a 2
bc ,再由余弦定理得cos A =
b 2
+c 2
-a
2
2bc
211(sin )22b c a b c
A c b bc c b
⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,得b c +c b
=2cos
A +sin A ,又A ∈(0,π),最大值为 5
解析几何或者几何法
1
解析几何法:,BC 2,AB ,ABC ABC ∆==∆求面积的最大值。 2几何法:ABC ∆,知道BC=4,B 的范围。 方程有解,利用判别式求范围。 附例:
4、已知ABC ∆中,B=
3,3
=b π
,且ABC ∆有两解,则边a 的取值范围是
5、借力打力型求取值范围 附例:钝角三角形中,3
B π
=,若最大边和最小边长的比为m ,则m 的取值范围
是 ?
+-3
3
ππ
αα设钝角三角形的另外两个角是
,
6、 已知△ABC 中,AB =1,BC =2,则角C 的取值范围是
7、在△ABC 中若2C B ∠=∠,则AB
AC
的取值范围 8、已知ABC ∆中,B=
3,3
=b π
,且ABC ∆有一解,则边a 的取值范围是
9、已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是 10、钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈),则a= 11、在锐角ABC ∆中,1BC =,2B A =,则AC 的取值范围为 .
12、设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为c b a ,,,若三边的长为连续的三个正整数,且C B A >>,C A 2=,则C B A sin :sin :sin 为
B
A
C
a c b