(完整版)解三角形三类经典题型

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解三角形三类经典类型

类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题

类型一 判断三角形形状

例1:已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2

22sin sin sin +=,试判断三角形的形状. 解:∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2

C ,∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2

22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形. 例2:在△ABC 中,若B=

60,2b=a+c,试判断△ABC 的形状.

解:∵2b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=

60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -

120)=3,整理得 sin(A+ 30)=1

∴A+

60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形.

例3:在△ABC 中,已知2

2

tan tan b a B A =,试判断△ABC 的形状. 解:法1:由题意得 B

A

A B B A 2

2sin sin cos sin cos sin =,化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2

π

=

+B A ,∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.

法2:由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2

222222222b a bc

a c

b b a

c b c a a =-+⋅

-+⋅

整理得0))((2

2

2

2

2

=-+-c b a b a ∴ 2

2222c b a b a =+=或

即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4:在△ABC 中,(1)已知sinA=2cosBsinC ,试判断三角形的形状; (2)已知sinA=

C

B C

B cos cos sin sin ++,试判断三角形的形状.

解:(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC

整理得sinBcosC -cosBsinC=0即sin(B -C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ,结合正、余弦定理得

c b ab

c b a a ac b c a a +=-+⋅+-+⋅22222222,化简整理得 0))((222=+--c b c b a

∴2

2

2

c b a +=即三角形为直角三角形.

例5:在△ABC 中,(1)已知a -b=ccosB -ccosA ,判断△ABC 的形状.

(2)若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状.

解:(1)由已知结合余弦定理可得bc a c b c ac b c a c b a 222

22222-+⋅--+⋅=-,整理得

0))((222=-+-c b a b a ∴222c b a b a =+=或,∴三角形为等腰三角形或直角三角形

(2)由b=asinC 可知 A

B

C a b sin sin sin ==,由c=acosB 可知ac b c a a c 2222-+⋅=整理得

222a c b =+,即三角形一定是直角三角形,∠A= 90,∴sinC=sinB ∴∠B=∠C ,∴△ABC

为等腰直角三角形. 例6:已知△ABC 中,5

4

cos =

A ,且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ,判断三角形的形状. 解:由题意令)0(32,2,2>=+==-k k c k b k a ,则23,2,2-==+=k c k b k a ∵5

4cos =

A ,由余弦定理得4=k ∴ 10,8,6===c b a ∴ 2

22c b a =+即△ABC 为直角三角形.

7.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,c

c

b A 22cos 2+=

,则△ABC 的形状为______ 8.在∆ABC 中,若

tan 2,tan A c b

B b

-=,则A=

类型二 求范围与最值

1、在ABC ∆中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足

bc a c b =-+222,0>⋅BC AB ,2

3

=

a ,则c

b +的取值范围是 2、在△ABC 中,AD 为BC 边上的高线,AD =BC ,角A ,B ,C 的对边为a ,b ,

c ,则b c +c b

的最大值是________.

解析 因为AD =BC =a ,由12a 2=12bc sin A ,解得sin A =a 2

bc ,再由余弦定理得cos A =

b 2

+c 2

-a

2

2bc

211(sin )22b c a b c

A c b bc c b

⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,得b c +c b

=2cos

A +sin A ,又A ∈(0,π),最大值为 5

解析几何或者几何法

1

解析几何法:,BC 2,AB ,ABC ABC ∆==∆求面积的最大值。 2几何法:ABC ∆,知道BC=4,B 的范围。 方程有解,利用判别式求范围。 附例:

4、已知ABC ∆中,B=

3,3

=b π

,且ABC ∆有两解,则边a 的取值范围是

5、借力打力型求取值范围 附例:钝角三角形中,3

B π

=,若最大边和最小边长的比为m ,则m 的取值范围

是 ?

+-3

3

ππ

αα设钝角三角形的另外两个角是

6、 已知△ABC 中,AB =1,BC =2,则角C 的取值范围是

7、在△ABC 中若2C B ∠=∠,则AB

AC

的取值范围 8、已知ABC ∆中,B=

3,3

=b π

,且ABC ∆有一解,则边a 的取值范围是

9、已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是 10、钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈),则a= 11、在锐角ABC ∆中,1BC =,2B A =,则AC 的取值范围为 .

12、设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为c b a ,,,若三边的长为连续的三个正整数,且C B A >>,C A 2=,则C B A sin :sin :sin 为

B

A

C

a c b

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