最新解三角形精典题型归纳(包括知识点)

高中数学必修5 第一章 解三角形复习

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：

()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R =

=2c

R

=

； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）

R C

B A c

b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】

1．余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C

⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪=⎨⎪⎪+-=

⎪⎩

.

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若2

2

2

a b c +=，则90C =；②若2

2

2

a b c +>，则90C <； ③若2

2

2

a b c +<，则90C >．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

1.111sin ()222

a S ah a

b C r a b

c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）

2.设)(2

1

c b a p ++=

,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)

【三角形中的常见结论】

（1）π=++C B A

(2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

2cos 2sin

C B A =+,2

sin 2cos C

B A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>

C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于

60，最小角小于等于

60

(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角

⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.

钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是

60=B .

(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总

题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型

（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形

是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形

∆

（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）

(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2

π

=

+B A .

题型2【解三角形及求面积】

题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.

题型4【解三角形在实际中的应用】

解三角形测试题

一、选择题

1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于

（ ）

A ．60°

B ．60°或120°

C ．30°或150°

D ．120°

2、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )

A.10 海里

B.5海里

C. 56 海里

D.53 海里

3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）

A ．cosA>sin

B 且cosB>sinA B ．cosA

C ．cosA>sinB 且cosB

D ．cosAsinA

4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰直角三角形

5.△ABC 中，cos cos cos a b c

A B C ==

，则△ABC 一定是 （ ）

A 直角三角形

B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形

6. △ABC 中，60B =，2

b a

c =，则△ABC 一定是 （ ）

A 锐角三角形

B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形 7.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定

8.△ABC 中，8b =，c =，ABC

S

=则A ∠等于 （ ）

A 30

B 60

C 30或150

D 60或120

9.△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b c

A B C +-+-等于 （ ）

A 2

B 1

2 D