用换元法分解因式
人教版-数学-八年级上册-15.4因式分解 用“换元法”分解因式
用“换元法”分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的两种方法，比如提公因式法、运用公式法，这些方法都是最基础的因式分解方法．一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”．李老师欣然同意，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法———换元法．李老师把换元法分解因式分成了三种情况．一、换单项式例1分解因式x6+16x3y+64y2．析解：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3= m，则x6=m2，原式变形为m2+16my+64y2=（m+8y）2=（x3+8y）2．二、换多项式例2分解因式（x2+4x+6）（x2+6x+6）+x2．析解：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为（m+4x）（m+6x）+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=（m+5x）2=（x2+6+5x）2=2=（x+2）2（x+3）2．以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”．当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”．比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m（m+2x）+x2=m2+2mx+x2=（m+x）2=（x2+4x+6+x）2=（x2+5x+6）2=2=（x+2）2（x+3）2．三、换系数例3分解因式x3+x2-2004×2005x．析解：此题若按照一般思路解答，很难奏效．注意到2004、2005两个数字之间的关系，把其中一个常数换元．比如，设2004＝m，则2005=m+1．于是，原式变形为x3+x2-2004×2005x=x2（x+1）-m（m+1）x=x=x（x2+x-m2-m）=x=x=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2004）（x+2004+1）=x（x-2004）（x+2005）．以上介绍的是用换元法进行因式分解的初步知识，同学们在以后解题时要多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法．也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的．最后请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其它解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧．。
换元法解方程
换元法在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法.1.10)3)(4(22+++-+x x x x2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x4.90)384)(23(22-++++x x x x5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x7.4482--a a8.yz z y x 2222+--9. 644+x10. 2214176y xy x --11. 581337622-++--y x y xy x12.1433181892022-+--+y x y xy x13. 2820152-+--y x xy x14.12)2)(1(22-++++x x x x15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1.五.待定系数法1. 192256112--x x2.744272234+---x x x x3.156234+-+-x x x x六.因式定理余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即定理：是末项系的约数，是首项系数是它的根，则互质若是整系数多项式设q a p q p pq x x f n ),(.)(=.0的约数数a推论：., 1 000,0111a x x a x a x a x n n n 则是它的根若整数＋的整系数多项式对于首项系数为+++--1. 611623+++x x x2. 355223-+-x x x3.46423-+-x x x4.8292234+--+x x x x5.15132234----x x x x七.对称式 交代式 轮换式Ⅰ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式相等,那么这个多项式叫做关于这些字母的对称多项式.如: ,z y x ++abcc b a q p xz yz xy q z y x p 3 ,),( )()(333222-+++++++是系数等.Ⅱ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式只相差一个符号,那么这个多项式叫做关于这些字母的交代式. 如: ),)()((x z z y y x ---4433, b a b a --等.Ⅲ.在一个关于w z y x ,,,, 的多项式中,把它所含的字母按某种顺序进行轮换(把x 换成y,y 换成z,…,w 换成x)所得的多项式不变,那么这个多项式叫做关于这些字母的轮换式.如: ,z y x ++ ,222x z z y y x ++22 b a +, abc c b a 3 333-++等. 对称式、交代式和轮换式的因式分解方法:对于一个对称(或交代,轮换)多项式有一个次数较低的因式,那么与这个因式同类型的式子也是多项式的因式,再借助因式定理或待定系数法进行分解.1.abc c b a 3333-++2.3333)(z y x z y x ---++3.444))(())(())((b a b a a c a c c b c b +-++-++-4. )()()(333y x z x z y z y x -+-+-5. )1)(1)(()1)(1)(()1)(1)((222222zy zx y x yx yz x z xz xy z y ++-+++-+++-6.3333)()()()(z y x y x z x z y z y x -+--+--+-++7. xyz z y x y x z x z y z y x 2)()()()(333222-++-+++++八．因式分解的应用1.关于x,y 的二次式 x 2+7xy+my 2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.2.已知a=21m+1,b=21m+2,c=21m+3,求a 2+2ab+b 2-2ac-abc+c 2的值.3. 若a 为正整数，则a 4-3a 2+9是质数还是合数？ 给出你的证明。
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法1. 知识点概述因式分解是初等代数中的基础知识之一。
它指的是将一个多项式表示为两个或多个乘积的形式。
在因式分解过程中，我们可以使用不同的方法，如待定系数法、换元法和添项拆项法。
这些方法在因式分解中起到关键的作用。
本文将介绍待定系数法、换元法和添项拆项法这三种因式分解的方法，并对其应用进行归纳总结。
2. 待定系数法待定系数法是一种常用的因式分解方法，适用于形如ax2+bx+c的二次多项式。
待定系数法的基本思想是假设待分解式可以表示为(px+q)(rx+s)的形式，然后通过比较系数求得未知数 p、q、r 和 s。
具体步骤如下：2.1. 假设分解形式首先假设待分解的多项式为(px+q)(rx+s)。
2.2. 展开并比较系数将假设的分解形式展开，得到prx2+(ps+qr)x+qs，然后将其与原多项式的表达式进行系数比较。
2.3. 求解未知数根据比较系数的结果，列出方程组，并求解未知数 p、q、r 和 s。
最终得到待分解多项式的因式分解形式。
待定系数法的核心是通过比较系数来确定未知数的值，因此需要注意每个系数的对应关系，并合理选择分解形式以便于求解。
3. 换元法换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。
通过合理选择新的变量，可以将原多项式转化为更易于分解的形式。
具体步骤如下：3.1. 选择合适的变量首先根据多项式的结构和特点，选择一个合适的变量进行替代，使得新的多项式更容易进行因式分解。
3.2. 进行变量替换将选定的变量代入原多项式，进行变量替换。
这样可以得到一个新的多项式。
3.3. 因式分解根据替换后的新多项式的特点和结构，选择合适的因式分解方法进行分解。
换元法的关键在于合理选择变量，通过变量替换将原多项式转化为更易分解的形式，进而进行因式分解。
4. 添项拆项法添项拆项法是一种通过添加或拆分项来进行因式分解的方法。
在这种方法中，我们通过合理地添加或拆分多项式的项，使其具备因式分解的特性。
因式分解的方法
因式分解的方法因式分解是代数学中的重要概念，它在解决多项式的因式问题时起着至关重要的作用。
因式分解的方法有多种，本文将为大家介绍一些常见的因式分解方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来看一下因式分解的基本原理。
当我们要对一个多项式进行因式分解时，其实就是要把这个多项式表示成几个因式的乘积的形式。
而要实现这个目标，我们就需要运用一些特定的方法和技巧来进行因式分解。
一、公因式提取法。
公因式提取法是因式分解中最基本的一种方法。
它适用于多项式中含有公因式的情况。
具体来说，就是先找到多项式中的公因式，然后将其提取出来，再将剩下的部分进行因式分解。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以提取出公因式2x，得到2x(1+2y)，这样就完成了因式分解。
二、配方法。
配方法是另一种常用的因式分解方法。
它适用于多项式中含有平方项的情况。
具体来说，就是通过加减平方项的方法，将多项式转化为一个完全平方的形式，然后再进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2xy+y^2，我们可以将其转化为(x+y)^2，然后再进行因式分解。
三、分组分解法。
分组分解法是针对四项式的因式分解方法。
具体来说，就是将四项式中的四个项进行分组，然后再对每组进行公因式提取或者配方法，最终将四项式进行因式分解。
例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其分组为(x^2+2xy)+(2x+4y)，然后再进行因式分解。
四、换元法。
换元法是一种比较灵活的因式分解方法。
它适用于多项式中含有复杂因式的情况。
具体来说，就是通过变量替换的方法，将多项式转化为一个更容易进行因式分解的形式，然后再进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+3x^2+3x+1，我们可以通过令y=x+1，将其转化为y^3，然后再进行因式分解。
以上就是一些常见的因式分解方法，当然，实际问题中可能还会涉及到更多的情况和方法。
希望大家通过学习和练习，能够更好地掌握因式分解的方法，从而更好地解决代数学中的问题。
测试卷2：因式分解的方法二—换元法参考答案
因式分解的方法二——换元法参考答案知识要点：换元法是数学中的一种重要方法，在解题和证明中常常起到桥梁作用。
用换元法分解因式，是把题目中的某一部分或某几部分看成一个整体，设为一个或几个新的变元，从而使代数式的结果简单化，便于分解。
A 卷一、填空题1、分解因式：()()_______________122122=-++++x x x x .2、分解因式：()()()()_______________157531=+++++x x x x .3、（重庆市竞赛题）分解因式：()____________________199911999199922=---x x .4、（第12届“五羊杯”初二试题）分解因式：()()()_____________22333=-----y x y x . 5、（“TI 杯”初中竞赛题）若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .二、选择题6、当1=-y x 时，42233433y xy y x y x xy x ++---的值为（ ）A 、1-B 、0C 、2D 、17、（武汉市选拔赛）若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、2003D 、20058、要使()()()()m x x x x +--+-8431为完全平方式，则m 为（ ）A 、12B 、24C 、196D 、200B 卷一、填空题9、化简：()()()_______________111120022=++++++++x x x x x x x .11、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）在有理数范围内分解因式： ()()()()________________________________________63212=+++++x x x x x二、解答题12、分解因式：（2）()13322132222-+-+-x x x x 解原式()()13211132222---+-=x x x x令y x x =-322，则原式()11112--+=y y y y 92-=()9-=y y()()9323222---=x x x x ()()()32332+--=x x x x（3）()()()91729522---+a a a （湖北省黄冈市竞赛题）解原式()()()()91723352---++=a a a a()()[]()()[]91723352---++=a a a a()()9121215222-----=a a a a 令y a a =-22，则原式()()912115---=y y224362+-=y y()()828--=y y()()8228222----=a a a a()()()827242--+-=a a a a （4）()()42424101314x x x x x ++++-（第13届“五羊杯”竞赛题）解：设y x =+14，则原式()()4221034x x y x y ++-=44221012x x y x y +--=4222x y x y --=()()222x y x y +-=()()1122424+++-=x x x x()()[]2222211x x x -+-=()()()1112222-+++-=x x x x x （5）()()()2121231-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++y x y x xy xy xy （天津市竞赛题） 解：设a y x =+，b xy =，则 原式()()()2121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=a a b b b ()2212a b b -++=()()a b a b -+++=11()()y x xy y x xy --++++=11()()()()1111--++=y x y x （6）()()()3331252332y x y x y x ---+-（第13届“五羊杯”竞赛题） 解原式()()()[]33352332y x y x y x ---+-= ()()()()[]33323322332y x y x y x y x -+---+-= 设a y x =-32，b y x =-23，则原式()333b a b a +-+= ()b a ab +-=3()()()y x y x y x 5523323----=()()()y x y x y x 233215----=C 卷一、解答题13、（安徽省竞赛试题）证明：12000199919981997+⨯⨯⨯是一个整数的平方，并求出这个整数。
因式分解特殊解法之换元法
特殊解法之换元法【知识要点】换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原。
【典型例题】例1 因式分解（换一元）1、120)8(22)8(222++++a a a a2、222(231)22331x x x x -+-+-3、3)5)(3(22-----x x x x4、2223)67)(65(x x x x x -++++5、90)384)(23(22-++++x x x x6、2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++7、()()2723144-+++y y 8、19981999199824-+-x x x例2 因式分解（换二元）1、2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+2、)12)(1()21(22--+--b a a b a a3、22244)()()(b a b a b a -+++-4、22224(21)(32)(334)x x x x x x -++---+例3 因式分解：333)()()(cz ax cz by by ax ---+-例4 利用因式分解的方法进行计算：1、2199319931993199119931992222-+ 2、()()20032002199919972001399720002006200022⨯⨯⨯⨯+-【大展身手】1、因式分解：（1）12)2)(1(22-++++x x x x （2）22(815)(87)15x x x x +++++（3）15)7)(5)(3)(1(+++++x x x x （4）()()22212127123x x x x x -++++（5）()()224341256x x x x -+--+ （6）(1)(4)(2)(3)24x x x x ++++-（7）2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ （8）44(5)(3)82x x +++-2、因式分解：（1）、)1)(1()2)((-+++++xy xy xy y x y x（2）、2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-（3）、21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-3、计算：9991000199999910001999333⋅⋅--【小试锋芒】一、填空题（每空2分，共20分）1、把6x2y－8xy2 分解因式时应该提取公因式是_______________.2、3ay－3by=_______________.3、a2－14a＋49=_________________.4、n2－m2=____________ a2＋4ab＋4b2=_______________5、分解因式x2(a＋b) －y2(a＋b)=__________________6、利用因式分解计算：36×3.14＋47×3.14＋17×3.14=_________________.7、若4x2＋kxy＋9y2是一个完全平方式，则k的值是______________.8、如果方程x(ax＋2)=0的两根是x1=0,x2=4,那么a=______________.9、若x2y＋M=xy(N＋2y),则M=______________N=______________.二、选择题（每题3分，共30分）1、下列从左向右的变形是属于因式分解的是（）A、9－a2=(3＋a)(3－a)B、a2－2ax＋2x2=(a－x)2＋x2C、(2x＋1)(x＋2)=2x2－3x－2D、(y－2)(y－1)=(2－y)(1－y)2、下列提取公因式分解因式中，正确的是（）A、2x2－4xy=x(2x－4y)B、a3＋2a2＋a=a(a2＋2a)C、－2a－2b=2(a＋b)D、－a2＋a=－a(a－1)3、下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、x2＋4y2B、－4y2＋x2C、－x2－4y2D、x－4y24、下列各式中，不能用完全平方式分解因式的是（）A、x2－2xy－y2B、x2－2xy＋y2C、x2＋y2＋2xyD、－x2＋2xy－y25、下列因式分解正确的是（）A、6(x－2)＋x(2－x)=(x－2)(6＋x);B、x3＋2x2＋x=x(x2＋2x)C、a(a－b)2＋ab(a－b)=a(a－b);D、3x n＋1＋6x n=3x n(x＋2)6、计算（2ab2－8a2b）÷(4a－b)的结果为（）A、－2abB、2abC、3a2bD、－3ab7、分解因式6a(a－b)2－8(a－b)3时，应提取公因式是（）A、aB、6a(a－b)3C、8a(a－b)D、2(a－b)28、a2－9b2因式分解是（）9、x2＋8x＋16因式分解是（）A、(x＋8)2B、(x＋4)2C、(x－8)2D、(x－4)210、如果a2＋16与一个单项式的和是一个完全平方式，这个单项式是（）A、4aB、±8aC、±4aD、±8a或－16三、解答题1、分解因式：（每题4分，共32分）（1）16a2－9b2(2)4x2－12x＋9 (3)4x3＋8x2＋4x(4)3m(a－b)3－18n(b－a)3(5)20a3x－45ay2x (6)4x2y2－4xy＋1(7)(m＋n)2－(m－n)2(8)(x2＋1)2－4x22、计算：（a4－16）÷(a－2) ( 本题4分)3、解方程：（每题4分，共8分）（1）x2－5x=0 (2)(3x－2)2=(1－5x)24、如果在一个半径为a的圆内，挖去一个半径为b（b<a）的圆，（本题6分）（1）写出剩余部分面积的代数表达式，并因式分解它。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
因式分解的14种方法
因式分解的14种方法因式分解是数学中的一种重要运算方法。
它可以将一个数或一个多项式分解成若干个乘积的形式，从而可以更好地理解和研究数与代数表达式的性质。
根据因式分解的对象和方法的不同，可以总结出以下14种因式分解的方法。
1.因数法：当一个数或一个多项式可以被一个常数因式整除时，可以使用因数法进行分解。
例如，对于多项式3x^2+6x，可以因式分解为3x（x+2）。
2.公因式法：当一个多项式中的每一项都有一个共同的因式时，可以使用公因式法进行分解。
例如，对于多项式6x^3+9x^2+15x，可以因式分解为3x（2x^2+3x+5）。
3.完全平方式：对于一个完全平方数，可以使用完全平方式进行分解。
例如，对于数16，可以因式分解为4^24.平方差公式：根据平方差公式，可以将两个平方差形式分解为两个因式的乘积。
例如，a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。
5. 二次三项式因式分解：对于一个二次三项式（ax^2 + bx + c），可以使用二次三项式因式分解法进行分解。
例如，对于多项式 x^2 + 4x+ 4，可以因式分解为（x + 2）^26.分组因式法：当多项式中存在多个项，但无法直接应用其他因式分解法时，可以使用分组因式法进行分解。
例如，对于多项式x^3+x^2+2x+2，可以因式分解为（x^3+x^2）+（2x+2），然后再进行进一步的分解。
7.因式分解与除法结合：当一个多项式无法直接因式分解时，可以先进行除法运算，将其分解为两个因式相乘的形式。
例如，对于多项式x^4-1，可以使用除法运算将其分解为（x^2+1）（x^2-1）。
8.差两个平方公式：根据差两个平方公式，可以将两个平方和形式分解为两个因式相乘的形式。
例如，a^2+b^2可以分解为(a+b)(a-b)。
9. 三次和三项式因式分解：对于一个三次和三项式（ax^3 + bx^2 + cx + d），可以使用三次和三项式因式分解法进行分解。
因式分解进阶——换元法的妙用.doc
因式分解进阶——换元法的妙用换元法换元法又称变量替换法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
-----引自百度百科上面的文字看起来有点懵，我们通俗一点讲就是，把某个式子看成一个整体用一个变量（字母）去替代它，从而使问题简化，这就叫换元法。
换元法是整体思想的体现，是非常重要的数学思维，也是高中阶段常用的数学方法，希望大家能好好研究一下。
数学解题思想之整体思想，快看看你家孩子会不会一、整体换元例1：乍一看，好像能提公因式，但是当我们尝试后发现，提完公因式就没法继续下一步了，后面的括号里也不满足十字相乘法，所以，我们今天使用换元法。
整体换元法通常把相同的部分设为一个字母。
整体换元我们可以看到，在综合练习中，一般不会只使用一种方法就解分解完全，一定是几个方法来回不断地使用，所以我们一定要记住每一种方法，并养成检查的习惯。
二、均值换元顾名思义，均值换元法就是求出两个部分的平均值，然后把这个平均值设为字母。
例2：仔细观察，两个括号中式子相差2，很容易求出他们的平均值：所以，我们可以这样做：均值换元三、双换元有时候根据题目需要，我们可以用双换元法，把其中的两个部分，分别设为两个字母，然后再根据和差关系推导出另外的部分，再代入原式进行分解。
例3：很明显，c-a、a-b、b-c这三个式子是首尾相连的，很容易得到他们的关系。
双换元还有两种比较罕见的换元法，正常的考试中碰到这类题的机率很小了，但是可以做一个了解，增加一下自己的认知度。
四、倒数换元例4：倒数换元这个题目没有太多需要讲的，基本上是比较佛系的题了，随缘，能碰到对的思路就对了，碰不到，可能想破脑袋都难想出思路。
但是提公因式后的设元，还是值得研究推敲！五、和差换元和差换元可以算是均值换元的进阶版，脑路清奇的可以记住有这么个方法，一般情况下用不到，我们直接来看个例题吧。
因式分解的几种方法(一提二套三分四造),换元法和十字相乘法的运用
因式分解的几种方法（一提二套三分四造），换元法和十字相乘法的运用全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：因式分解是一种将复杂的多项式分解成简单的乘积的数学方法。
在代数学习中，因式分解是一个重要的基本技能，可以帮助我们更好地理解多项式的性质和特点。
根据多项式的特点和形式，可以采用不同的方法来进行因式分解，比较常用的方法有一提二套三分四造法、换元法和十字相乘法。
一提二套三分四造法是一种比较常用的因式分解方法，适用于一些简单的多项式。
具体来说，一提二套三分四造法是指首先找出多项式中的公因式，然后再根据不同的拆解方式，逐步将多项式分解成简单的乘积。
对于多项式3x^2+9x，首先可以提取出公因式3x，然后可以将其分解为3x(x+3)。
通过这种方法，可以有效地将多项式分解为简单的因式，从而更好地理解和计算多项式的性质。
另外一个常用的因式分解方法是换元法。
换元法是指通过引入一个新的变量或代数式来简化多项式的分解过程。
换元法常用于一些复杂的多项式，特别是含有平方项或立方项的多项式。
对于多项式2x^2+5xy+3y^2，可以引入一个新的变量u=x+y，然后将多项式转化为2u^2+3y^2，再利用一提二套三分四造法进行因式分解。
通过换元法，可以将原本较为复杂的多项式简化成易于处理的形式，达到更好地进行因式分解的目的。
因式分解是一项非常重要的数学技能，可以帮助我们更好地理解并处理复杂的多项式。
根据多项式的特点和形式，我们可以选择不同的因式分解方法，比如一提二套三分四造法、换元法和十字相乘法等。
通过灵活运用这些方法，我们可以更加高效地进行因式分解，从而提高数学问题的解决能力和计算速度。
希望通过不断练习和探索，我们可以更好地掌握因式分解的技巧，为数学学习打下坚实的基础。
【注：本文涉及的因式分解方法仅为数学入门级别的基本方法，详情请参考更为深入的数学教材和资料。
】第二篇示例：因式分解是代数学中非常重要的一种运算方法，它可以帮助我们简化复杂的代数式，将其分解成更简单的乘积形式。
因式分解之换元法和主元法
分解方法的延拓一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．【例1】 分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．【例2】分解因式：344422-+--y y x x = ．【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．【例3】把下列各式分解因式：(1)1724+-x x ；（2）22412a ax x x -+++；(3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+；(4)1232234++++x x x x【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?【例5】 如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +、)(c x +的乘积(b 、c 为整数)，则a 的值应为多少?训练1．(1)完成下列配方问题：[])()()()(212222++=+++=++x px x px x（2）分解因式：32422+++-b a b a 的结果是 ． 2．若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝ ．3．若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ．4．已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以i 分解为)2)(2(n y x m y x +-++的形式，那么1123-+n m 的值是 ．5．已知052422=+-++b a b a ，则b a b a -+的值为( ) A ．3 B ．31 C ．3- D ．31- 6．如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( )A ．－2B ．－lC ．0D ．27．44+a d 分解因式的结果是（ ）A ．)22)(22(22+--+a a a aB ．)22)(22(22---+a a a aC ．)22)(22(22--++a a a aD ．)22)(22(22+-++a a a a8．把下列各式分解因式：(1)4416b a +；(2)4224y y x x ++；(3)2222)()1(x x x x ++++；（4）))((4)(2b a c b a c ----；(5)893+-x x ；（6）65223--+x x x9．已知522++x x 是b ax x ++24的一个因式，求b a +的值．10．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝ ．11．一个二次三项式的完全平方式是b ax x x x +++-23476，那么这个二次三项式是 ．12．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则2002)(z y x --= ．。
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数学中的一个重要概念，它在解决多项式的因式分解、求根和化简等问题中起着至关重要的作用。
因式分解法有多种方法，本文将介绍其中的四种常用方法，提公因式法、分组分解法、配方法和换元法。
首先，提公因式法是一种常用的因式分解方法。
当多项式中的各项有一个公因式时，可以利用提公因式法进行因式分解。
例如，对于多项式$2x^2+6x$，可以提取公因式2x，得到$2x(x+3)$，从而完成因式分解。
其次，分组分解法是另一种常见的因式分解方法。
当多项式中的项可以分成两组，每组分别提取一个公因式时，可以利用分组分解法进行因式分解。
例如，对于多项式$xy+2x+y+2$，可以将其分成两组$x(y+2)$和$1(y+2)$，然后提取公因式得到$(x+1)(y+2)$，完成因式分解。
除了提公因式法和分组分解法，配方法也是一种常用的因式分解方法。
当多项式可以通过配方法化简成完全平方时，可以利用配方法进行因式分解。
例如，对于多项式$x^2+6x+9$，可以通过配方法化简成$(x+3)^2$，完成因式分解。
最后，换元法是一种较为灵活的因式分解方法。
当多项式中存在较为复杂的因式时，可以通过适当的换元变换，将多项式化简成较为简单的形式，然后进行因式分解。
例如，对于多项式$x^3+8$，可以通过换元$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$，完成因式分解。
综上所述，提公因式法、分组分解法、配方法和换元法是常用的因式分解方法。
在解决多项式的因式分解问题时，可以根据具体情况选择合适的方法进行处理，以便更加高效地完成因式分解。
希望本文介绍的四种方法能够帮助读者更好地理解和掌握因式分解的技巧，提高代数学习的效率和水平。
因式分解之换元法课件
03
换元法的实施步骤
确定需要替换的项
01
确定需要替换的项是换元法的第 一步，通常这些项是复杂的表达 式或难以处理的项。
02
确定需要替换的项有助于简化问 题，使问题更容易解决。
选择合适的替换元
选择合适的替换元是换元法的关键步 骤，选择合适的替换元可以使问题简 化。
选择替换元时需要考虑其代入后对整 个表达式的影响，确保替换元能够使 问题得到有效简化。
挑战练习题
总结词
挑战与突破
VS
详细描述
题目难度较大，需要学生综合运用所学知 识进行解答，挑战学生的解题思维和创新 能力。这类题目有助于培养学生的解题兴 趣和自信心。
06
总结与展望
因式分解的意义与价值
数学基础
应用广泛
因式分解是数学中的基本技能，是解 决复杂数学问题的关键步骤，有助于 理解数学概念和定理。
在因式分解中，换元法通常用于将一个复杂的多项式转换为更易于处理的形式，以 便进行因式分解。
通过引入新的变量（或元），换元法能够将原始多项式中的某些项替换为更简单的 形式，从而简化整个表达式。
换元法的应用场景
当多项式中的某些项难以直接进 行因式分解时，可以考虑使用换
元法。
对于一些复杂的二次多项式或高 次多项式，换元法可以帮助将其 转换为更易于处理的一元二次方
因式分解在各个数学领域都有广泛的 应用，如代数方程求解、不等式证明 、函数性质研究等。
简化问题
通过因式分解，可以将复杂的多项式 简化成易于处理的形式，有助于解决 代数、几何和三角函数等问题。
换元法在数学中的地位与作用
解题策略
换元法是一种重要的代数解题策 略，通过引入新的变量或参数， 将复杂问题转化为简单问题，降
换元法在因式分解中的应用
换元法在因式分解中的应用
换元法是中学数学中一种重要的解题方法，属于非常规思维，带有试探性、不规则性及创造性．用换元法解题，不蹈常规，见解独特，是培养学生创造性思维能力的重要手段。
因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。
但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。
把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。
举例简解如下。
一、整体换元
例1因式分解
解：设，原式
例2若是方程的两根。
因式分解
解：因为是方程的两根，所以
设，原式
但
同理
所以原式
二、局部换元
例3因式分解
解：设
原式
例4因式分解
解：设，原式
三、局部分解后，重组再换元
例5因式分解
解：原式
原式
例6因式分解
解：原式
设，原式
注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。
四、多元换元
例7因式分解
解：设
原式
例8因式分解
解：设
原式
例9因式分解
解：设注意到
所以原式
注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。
由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是一种行之有效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母的分解式。
因式分解换元法课件
在进行因式分解时，需要注意符号的处理，确保结果的正确性。同时，要识别 并提取公因子，简化表达式。此外，还要注意根号的使用，确保根号下的内容 非负。
03 换元法的概念
换元法的定义
01
换元法是一种通过引入新的变量 来替换原表达式中的部分或全部 ，从而简化问题的方法。
02
在因式分解中，换元法通常用于 将复杂的表达式转换为更易于处 理的形式，以便进行因式分解或 化简。
因式分解换元法课件
目录
• 引言 • 因式分解基础 • 换元法的概念 • 因式分解换元法的结合 • 练习与巩固 • 总结与展望
01 引言
课程背景
数学是研究数量、结构、变化以及空间等概念的抽象科学，是透过抽象化和逻辑 推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。
因式分解换元法是数学中一种重要的解题方法，它能够将复杂的数学表达式简化 Fra bibliotek从而方便求解。
总结词
掌握基本概念和步骤
详细描述
提供一系列简单的基础题目，涉及因式分解和换元法的初步概念和基本操作，帮助学生熟悉和理解因式分解换元 法的基本步骤和技巧。
进阶练习题
总结词
提升解题能力
详细描述
题目难度有所提升，涉及更复杂的多项式因式分解和换元法应用，旨在提高学生的解题能力和技巧， 加深对因式分解换元法的理解和掌握。
首先需要确定问题中的 未知数，并将其表示为
代数表达式。
替换变量
因式分解
求解方程
将原问题中的未知数替 换为新变量，以便进行
因式分解。
对新变量进行因式分解， 将复杂表达式化简为简
单形式。
通过因式分解得到方程， 并求解得到原问题的解。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。
例1】将$x^2+4x+8$看作一个整体，设为$y$，则原式变为$y^2+3xy+2x^2$。
将$y$代入可得$(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2$。
最终结果为$(x^2+3x+4)^2-x+16$。
例2】设$x^2+5x+2=a$，$x^2+5x+3=b$，则原式变为$ab-12$。
将$a+b$代入可得$(x^2+5x+2)+(x^2+5x+3)=2x^2+10x+5$，最终结果为$(2x^2+10x+5)^2-169$。
例3】将$x+1$看作一个整体，设为$a$，则原式变为$(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+15$。
将$a+5$代入可得$(x+6)(x+4)(x+2)(x+10)+15$。
例4】将$a-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$。
将$x+2$代入可得$(a-2+2)(a-2+3)(a-2+4)(a-2+5)-24$，最终结果为$(a^2-5a+10)^2-24$。
例5】设$x^2+x+1=a$，$x^2+x+2=b$，则原式变为$ab-12$。
将$a+b$代入可得$(x^2+x+1)+(x^2+x+2)=2x^2+2x+3$，最终结果为$(2x^2+2x+3)^2-49$。
板块二：选主元例1】将$1+a+b+c$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x-1)^2+(a+1)(b+1)(c+1)$。
展开可得$x^2-2x+1+ab+ac+bc+2a+2b+2c+1$，最终结果为$(a+b+c+1)^2$。
例2】将$a(6a+11b+4)+b(3b-1)-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x-2$。
展开可得$6a^2+11ab+4a+3b^2-b-2$，最终结果为$(3a+b+1)^2$。
例3】将$2a^2-b^2-ab+bc+2ac$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x$。
因式分解特殊方法
因式分解的特殊技巧方法【考点聚焦】分解因式特殊技巧：技巧一：换元法技巧二：主元法技巧三：添项拆项技巧四：待定系数法（赋值法）技巧五：试根法【典例剖析】考点1：因式分解的特殊技巧方法一：换元法【例1】把22222)84(384x x x x x x ++++++）（分解因式【例2】分解因式：1)4)(3)(2)(1(+++++x x x x【变式1】分解因式：9)5)(3)(1(2-++-y y y【变式2】分解因式：2)6)(3)(2)(1(m m m m m +++++【例3】分解因式：))((4)(2d c b a d c b a +++--+【变式】分解因式：)(4)(22222y x xy y xy x +-++考点2：因式分解的特殊技巧方法2--主元法（双十字乘法）【例4】分解因式：（1）121553222-+---y x y xy x（2）45322-+--y x y x【变式】分解因式：（1）22227376z yz xz y xy x -+--- （2）22--++y x y xy考点3：因式分解的特殊技巧方法3--待定系数法【例5】已知m x x +-232有因式12+x ，求m 的值；【变式】若432+-kx x 被13-x 除余3，则k = .【例6】已知多项式556234++++x x x x 能被12++x x 整除，请分解前者的因式.【变式】已知154723--+x bx ax 能被13+x 和32-x 整除，求b a 、的值，并将该多项式因式分解.考点4：因式分解的特殊技巧方法4--试根法【例7】分解因式：（1）65223--+x x x （2）462234+--x x x【变式1】（1）8292234+--+x x x x （2）231968234++-+x x x x【变式2】（1）2426923+++x x x （2）abc c b a 3333-++考点5：因式分解的特殊技巧方法5--添项、拆项法【例8】（1）233+-x x （2）4464b a +9 （3）611623+++x x x。
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用换元法分解因式
我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因式法、运用公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法.一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”.
李老师欣然应允，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法——换元法.李老师把换元法分解因式分成了三种情况：
一、换单项式
例1分解因式x6+14x3y+49y2.
分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，原式变形为
m2+14my+49y2
=(m+7y)2
=(x3+7y)2.
二、换多项式
例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.
分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x2
=m2+10mx+24x2+x2
=m2+10mx+25x2
=(m+5x)2
=(x2+6+5x)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为
m(m+2x)+x2
=m2+2mx+x2
=(m+x)2
=(x2+4x+6+x)2
=(x2+5x+6)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m= [(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，
(m+x)(m-x)+x2
=m2-x2+x2
=m2
=(x2+5x+6)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设m=[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为
(m+5)(m-5)+24
=m2-25+24
=m2-1
=(m+1)(m-1)
=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)
=(x2+x-6)(x2+x-8)
=(x-2)(x+3)(x2+x-8).
三、换常数
例3分解因式x2(x+1)-2003×2004x.
分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003，则2004=m+1.于是，原式变形为x2(x+1)–m(m+1)x
=x[x(x+1)-m(m+1)]
=x(x2+x-m2-m)
=x[(x2-m2)+(x-m)]
=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]
=x(x-m)(x+m+1)
=x(x-2003)(x+2003+1)
=x(x-2003)(x+2004).
以上介绍的是用换元法因式分解的初步知识，同学们在以后解题时可以多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法.也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的.最后，就请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其他解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧.。