《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。
解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法1. 知识点概述因式分解是初等代数中的基础知识之一。
它指的是将一个多项式表示为两个或多个乘积的形式。
在因式分解过程中，我们可以使用不同的方法，如待定系数法、换元法和添项拆项法。
这些方法在因式分解中起到关键的作用。
本文将介绍待定系数法、换元法和添项拆项法这三种因式分解的方法，并对其应用进行归纳总结。
2. 待定系数法待定系数法是一种常用的因式分解方法，适用于形如ax2+bx+c的二次多项式。
待定系数法的基本思想是假设待分解式可以表示为(px+q)(rx+s)的形式，然后通过比较系数求得未知数 p、q、r 和 s。
具体步骤如下：2.1. 假设分解形式首先假设待分解的多项式为(px+q)(rx+s)。
2.2. 展开并比较系数将假设的分解形式展开，得到prx2+(ps+qr)x+qs，然后将其与原多项式的表达式进行系数比较。
2.3. 求解未知数根据比较系数的结果，列出方程组，并求解未知数 p、q、r 和 s。
最终得到待分解多项式的因式分解形式。
待定系数法的核心是通过比较系数来确定未知数的值，因此需要注意每个系数的对应关系，并合理选择分解形式以便于求解。
3. 换元法换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。
通过合理选择新的变量，可以将原多项式转化为更易于分解的形式。
具体步骤如下：3.1. 选择合适的变量首先根据多项式的结构和特点，选择一个合适的变量进行替代，使得新的多项式更容易进行因式分解。
3.2. 进行变量替换将选定的变量代入原多项式，进行变量替换。
这样可以得到一个新的多项式。
3.3. 因式分解根据替换后的新多项式的特点和结构，选择合适的因式分解方法进行分解。
换元法的关键在于合理选择变量，通过变量替换将原多项式转化为更易分解的形式，进而进行因式分解。
4. 添项拆项法添项拆项法是一种通过添加或拆分项来进行因式分解的方法。
在这种方法中，我们通过合理地添加或拆分多项式的项，使其具备因式分解的特性。
因式分解方法归纳
因式分解定义：把一个多项式在一个范围内化成几个最简整式乘积的的形式。
说明：（1） 因式分解是与整式乘法互逆的恒等变形。
（2） 因式分解可以限定范围，有有理数范围内，实数范围内，复数范围内。
（3） 所有三次或三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解；所有二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。
方法一、提取公因式法若多项式的各项含有相同的因式，该因式为多项式的公因式，则可以直接提取公因式。
方法二、运用公式法常用的公式有：平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等。
方法三、分组分解法若多项式的其中几项可以提取公因式或运用公式，则可适当的分组，使得分成的几组在分解之后能提取公因式或运用公式。
方法四、十字相乘法形如2ax bx c ++的二次多项式，如果有,mn a pq c ==，且mq np b +=，则有 ()()2ax bx c mx p nx q ++=++。
说明：判别式240b ac =-≥且是一个完全平方数。
也就是方程2ax bx c ++有根。
图示为：方法五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开成几项和的形式，也可以添加几项和为0的多项式，通过拆项和添项使原多项式可以利用公式或提取公因式。
（1） 拆分含未知数的项，拆成的两部分分别和其余的项组合在一起，分别运用公式，在提取公因式；（2） 拆分常数项，通过合理的拆分常数项，构造公式。
例题：分解因式330x x ++解：把30分成333+，再与其余项组合，有， ()()()()()()()33322303333933310x x x x x x x x x x x ++=+++=+-+++=+-+。
类似的“3x x c ++”的模型有32x x ++，39x x ++ 。
方法六、配方法将一个多项式通过配方，添项减项处理，构造成完全平方式，剩下的部分再进行平方差公式。
说明：（1）为方便计算，可以先提取最高次项系数，使最高次项系数为1；（2）对形如2x bx c ++的二次三项式，有222222b b x bx c x bx c ⎛⎫⎛⎫++=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）对于齐次多项式22x bxy cy ++，将,x y 其中之一当作常数处理。
八年级数学：《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案编订：XX文讯教育机构《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
知识体系梳理◆添项拆项法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。
通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。
如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
◆待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。
然后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
◆换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。
换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。
（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。
★★典型例题、方法导航◆方法一：添项拆项法【例1】分解因式：分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。
可考虑添项拆项法分解。
从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或 ,但的中间项是 ,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。
因式分解知识点归纳
因式分解知识点归纳因式分解是代数中的重要概念和技巧，它在解方程、求根、化简表达式等方面都有广泛的应用。
以下是关于因式分解的知识点归纳：一、基本概念1.因式：在乘法中，参加运算的每个数或字母或含有字母的式子，称为因式。
2.因式分解：把一个多项式写成若干个因式相乘的形式，称为因式分解。
3.因数：若一个数a能够整除另一个数b，那么称a是b的因数，b 是a的倍数。
二、因式分解的原则1.分解的因式中只能有素数，即不能再分解。
2.同一因式在分解式中只能出现一次，不允许出现多个相同的因式。
三、因式分解的方法1.公因式法：把多项式中的公因式提出来，然后将剩余部分进行因式分解。
2.提取因式法：将多项式中的因式提取出来，然后将剩余部分进行因式分解。
3.平方差公式：对于两个完全平方差的多项式，可以利用平方差公式进行因式分解。
4.分组分解法：将多项式中的项进行分组，然后利用求和公式或平方差公式进行因式分解。
5.完全平方公式：对于一个完全平方的多项式，可以利用完全平方公式进行因式分解。
四、常用的因式分解公式1.两个平方差的因式分解公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；a² + 2ab+ b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.一次式的因式分解公式：ax + bx = x(a + b)；ax - bx = x(a - b)；ax + ay = a(x + y)；ax - ay = a(x - y)。
五、案例分析1.因式分解：将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。
例如：x²-3x-10=(x-5)(x+2)。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来。
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
【数学知识点】因式分解的方法和口诀
【数学知识点】因式分解的方法和口诀
初中数学因式分解的方法有待定系数法、提公因式法、十字相乘法等等，接下来分享具体的初中数学因式分解的方法和口诀。
（一）十字相乘法
(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;
(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;
(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;
(4)检验。
（二）提公因式法
(1)找出公因式；
(2)提公因式并确定另一个因式；
①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
（三）待定系数法
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
口诀一
首先提取公因式，其次考虑用公式。
十字相乘排第三，分组分解排第四。
几法若都行不通，拆项添项试一试。
口诀二
先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分:方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法,换元法等 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公"、三“分”、四“变"的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项)等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m （a+b+c ）二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例如：（1） (a+b ）（a —b) = a 2-b 2 —-------—-—a 2—b 2=(a+b)(a-b);（2） （a ±b ）2 = a 2±2ab+b 2 —-—---—-—a 2±2ab+b 2=（a ±b)2;（3) （a+b ）(a 2—ab+b 2) =a 3+b 3——---—---a 3+b 3=(a+b ）(a 2—ab+b 2）；(4） (a-b ）(a 2+ab+b 2） = a 3-b 3 —-——-—--a 3—b 3=（a —b)（a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c)2;（6）a 3+b 3+c 3-3abc=（a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab —bc —ca ）； 例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是( ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式:bn bm an am +++分析：从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解,但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组. 第二、三项为一组.解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析:若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组,虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
因式分解的14种方式
因式分解的14 种方式因式分解没有普遍的方式，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则：1 分解要完全2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ）分解因式技能：1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技能掌握：①等式左侧必需是多项式；②分解因式的结果必需是以乘积的形式表示；③每一个因式必需是整式，且每一个因式的次数都必需低于原来多项式的次数；④分解因式必需分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在肯定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
大体方式：⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
若是一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方式叫做提公因式法。
具体方式：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
若是多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法大体步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并肯定另一个因式：①第一步找公因式可依照肯定公因式的方式先肯定系数在肯定字母；②第二步提公因式并肯定另一个因式，注意要肯定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式别离除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。
完整版因式分解的常用方法方法最全最详细
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有 无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式； 如前两个步骤都不能实施， 可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法 继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法.:ma+mb+mc=m （a+b+c ） 、运用公式法•2 2 2在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如：2 2(1) (a+b)(a-b) = a -b -2 2 2(2) (a ±b) = a ±2ab+b ------------- a 22 33(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b -------------- 2233(4) (a-b)(a +ab+b ) = a -b -------------- 下面再补充两个常用的公式：22 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 33 322 (6) a +b3 3+c -3abc=(a+b+c)(a 例.已知a ，2 2-b =(a+b)(a-b)；2 2 2±2ab+b =(a ±b)；3322+b =(a+b)(a -ab+b )；3 3 2-b =(a-b)(a +ab+b 2 )•2；— 2+b +c -ab-bc-ca)b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 ab bc ca ，ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形2 2 2解：a b c ab bc ca2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b) (b c) (c a) 0三、分组分解法•（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解知识要点
因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。
本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。
2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
如:()++=++。
ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。
公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。
2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。
运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。
(完整版)八年级数学因式分解知识点
第四章 因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法引言因式分解是初中数学中的一个重要知识点，也是解决代数式化简、解方程等问题的基础方法。
在因式分解中，待定系数法、换元法和添项拆项法是常用的三种方法。
本文将分别介绍这三种方法的基本思想、操作步骤和应用场景。
一、待定系数法1. 基本思想待定系数法是一种通过猜测待定系数的方法来进行因式分解的技巧。
在待定系数法中，我们假设因式分解的结果中存在未知系数，并通过代数运算和方程求解的方法确定这些未知系数的值，从而完成因式分解过程。
2. 操作步骤待定系数法的操作步骤如下：1.根据给定的代数式，猜测待定系数的形式，通常选择简单的常数作为待定系数；2.将猜测出的待定系数带入原代数式中，得到待定系数的方程组；3.解方程组，确定待定系数的值；4.将确定的待定系数带入原代数式中进行验证；5.若验证正确，将原代数式分解为因式的乘积，其中包含待定系数。
3. 应用场景待定系数法常用于分解小数项的平方差式、三项立方差式等情况。
通过猜测待定系数的形式，可以简化复杂的因式分解过程，并在解题过程中培养学生的逻辑思维和方程求解能力。
二、换元法1. 基本思想换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。
通过适当选择新的变量，可以将原代数式转化为较简单的形式，从而便于因式分解。
2. 操作步骤换元法的操作步骤如下：1.分析原代数式的结构和特点，选取适当的新变量；2.对原代数式进行变量替换，将原代数式转化为新变量的代数式；3.对新的代数式进行因式分解；4.将因式分解的结果转化回原变量，得到最终的因式分解形式。
3. 应用场景换元法常用于分解含有平方根、分数等特殊形式的代数式。
通过适当的变量替换，可以将原代数式转化为一次方程、二次方程等常见形式，从而简化因式分解的过程。
三、添项拆项法1. 基本思想添项拆项法是一种通过添加、拆分代数式中的项来进行因式分解的方法。
通过适当添加一些项，并进行合并和拆分，可以将原代数式转化为更简单的形式，从而便于因式分解。
(完整版)因式分解方法大全
因式分解方法大全（一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。
它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具。
因式分解方法灵活，技巧性强。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
因式分解的主要方法：⑴提公因式法；⑵运用公式法；⑶分组分解法；⑷十字相乘法；⑸添项折项法；⑹配方法；⑺求根法；⑻特殊值法；⑼待定系数法；⑽主元法；⑾换元法；⑿综合短除法等。
一、提公因式法： ()ma mb mc m a b c ++=++二、运用公式法： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+-⑵完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+（新课标不做要求）⑷立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++（新课标不做要求）⑸三项完全平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++⑹ 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---三、分组分解法.㈠分组后能直接提公因式例：分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --㈡分组后能直接运用公式或提公因式例：分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=()()a b c a b c -+--四、十字相乘法.凡是能十字相乘的二次三项式2ax bx c ++，都要求240b ac ∆=->而且是一个完全平方数。
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳知识体系梳理◆添项拆项法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。
通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。
如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
◆待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。
然后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
◆换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。
换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。
（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。
★★典型例题、方法导航◆方法一：添项拆项法【例1】分解因式：分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。
可考虑添项拆项法分解。
从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或,但的中间项是,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。
下面请看：其结果是我们猜想中的第一种。
此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。
方法二：方法三：方法四：方法五：方法六：（余下过程同学自己完成）方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。
(完整版)因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
七年级下册数学因式分解知识点
因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
初中数学：因式分解的方法与技巧汇总
初中数学：因式分解的方法与技巧汇总
定义
定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.
因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.
因式分解原则
1.分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
2.最后结果只有小括号
3.最后结果中多项式首项系数为正
基本方法
方法1：提公因式法
方法2：公式法
方法3：分组分解法
方法4：十字相乘法
方法5：换元法
方法6：拆项、添项法
方法7：配方法
方法8：主元法
方法9：特殊值法
方法10：待定系数法
方法11：双十字相乘法
方法12：长除法。
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《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
知识体系梳理
添项拆项法
有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。
通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。
如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
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待定系数法
有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。
然后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
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换元法
所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂
的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。
换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，一定要有
意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。
（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。
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典型例题、方法导航
方法一：添项拆项法
【例1】分解因式：
分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。
可考虑添项拆项法分解。
从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二
项式的积，即
，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或
,但的中间项是,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。
下面请
看：
解：
其结果是我们猜想中的第一种。
此题还有其他分解方法吗？在注意到分解
结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。
方法二：
方法三：
方法四：
方法五：
方法六：
（余下过程同学自己完成）
方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。
◎ 变式议练一：
分解下列各式的因式
（1）
（2）
（3）
方法二：待定系数法
【例2】分解因式：
解：
设：
展开后左右两边比较系数求出、即可。
分解结果：
【例3】已知多项式能被整除，请分解前者的因式。
分析：设，利用多项式的恒等求出、即可。
◎变式议练二：
、已知是的一个因式，则
2、用待定系数法分解因式：
【例4】在实数范围内分解因式
（1）
（2）
（3）
◎变式议练三：
求的算术平方根。
方法三：换元法
.
直接换元法
【例5】用换元法分解因式：
方法点金：设，
注意：换元法分解因式最后要回归。
◎变式议练四
、用换元法分解因式：
2、用换元法分解因式：
方法点金：当两括号中的二次项，一次项的系数对应成比例可考虑用换元法分解因式。
【例6】分解因式：
分析：两括号中二次项、一次项系数的比为，可以换元。
组合换元法
【例7】分解因式：
分析：观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为，因
此也可用组合换元法分解因式。
◎变式议练五
证明四个连续正整数的积与 1 的和是一个完全平方。
.
能力与创新
把下列各式分解因式：
①、
②、
③、
.......
快乐体验
、若多项式和多项式有公因式，则
2、若能被整除，则
3、分解因式：
（1）
2)
4、已知多项式有一个因式是，把这个多项式分解因式。
5、甲、乙两同学分解多项式时，甲看错了,分解结果为,乙看错了,分解结果为,请分析一下，、的值分别为多少？并写出正确的分解过程。
6、已知一个三角形的三边、、满足,试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。