乌鲁木齐地区高三数学第三次诊断性测验试卷

2008年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷文理科数学（问卷）（文科：必修+选修Ⅰ；理科：必修+选修Ⅱ）（考试时间：120分钟卷面分值150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，共90分）两部分，共4页；第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 考试结束后，只收答卷和机读卡.注意事项：1. 本试卷是问卷和答卷分离的试卷，答卷前先将答卷密封线内的项目填写清楚.2. 答第Ⅰ卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在机读卡上，每小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案.3. 第Ⅱ卷请在答卷上相应题号栏目区域中作答.4. 本卷是文理科数学合卷，卷中注明（文科）的，理科学生不做；注明（理科）的文科学生不做；未注明的文理科学生都要做.参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么球的体积公式P（AB）=P（A）P（B）V= 43πR3如果事件A在一次试验中发生的概率其中R表示球的半径是P那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n（k）=C knp k(1-p)n-k第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.(文科)已知向量a=(1, -2), b(-2, 4), 则a与bA．垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向（理科）若复数(1+i)(1-ai)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a=A. -1B. 0C. 1D. 22. 若实数a, b满足0<a<1, 0<b<1, 则下列命题错误．．的是A．0<a+b<2 B. -1<a-b<1 C. 0<ab<1 D. 0< ab<13. 已知a,b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若a∥α,b∥α,则a∥b B. 若a⊥β,α⊥β,则a∥αC. 若a∥α,a∥β,则α∥βD. 若a⊥α,b⊥α,则a∥b4. 顶点在原点，准线在x=-1的抛物线方程是A．y2=-4x B. y2=4x C. y2=-2x D. y2=2x5. （文科）若f(x)= x-1x, 则方程f(2x)=12x的解集是A． B. {0} C. {1} D. {-1,1}(理科) 若f(x)= x-1x, 则不等式f(2x)<12x的解集是A. (0,+∞)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)6.在同一直角坐标系中，曲线C与曲线y=log2x关于y轴对称，则曲线C的方程是A．y=-2x B. y=log2(-x) C. y=2x D. y=-log2x7. 已知|x-a|<b的解集为{x|2<x<4}, 则实数a等于A．1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 曲线y=2sinx与直线y=1的相邻两个交点的距离的最小值为A．π3B.2π3C. πD.4π39. 用垂直于直径的平面截球，所得的截面圆的半径为3，并且此直径的一个端点到截面的距离为3，则球的半径等于A．2 B.36C. 2 3D.3210. 若双曲线x2a2-y2b2=1上一点与其左顶点、右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形，则此双曲线的离心率为A． 2 B. 3 C. 2 D. 2+ 211. 已知函数f(x)=2x-2-x,a,b是实数，则a+b≥0是f(a)+f(b)≥0成立的A．充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 在Rt△ABC中，∠C=90°,且∠A，∠B，∠C所对的边a,b,c满足a+b=cx，则实数x的取值范围是A．(0,1] B. (0,2] C. (1,2] D. (1,2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接填在答卷中相应各题的横线上，答在问卷上无效.13. 若数列{an }的前n项和Sn=n2，则a9= ；14. 3名女生与2名男生排成一排照相，其中女生不相邻的排法种数有；15.(a+ 1a)n的展开式中的第3项含有a2，则n的值为；16. 如图以正方体被一平面截出一个四边形ABCD，其中BD分别为棱的中点，且EA：AF=1：3，则cos∠BCD= .三、解答题（共6小题，共70分）解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤，答在问卷上无效.17.(本题满分10分)设f(x)=sinx-2cosx(Ⅰ)设x∈(0,π),且f(x)=2, 求sin2x的值；(Ⅱ)当x∈[- π6,π6]时，求f(x)的最小值18.(本小题满分12分）已知等差数列{an }满足a1=1,a2n=2an，其前n项和为Sn.(Ⅰ)若Sn=55，求n；(Ⅱ)各项均为正数的等比数列{bn }的前n项和为Tn,若b3=a4, T3=a7,，求Tn19.(本题满分12分) P如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠ACB＝90°，PB＝BC＝CA，D是PC的中点.(Ⅰ)求证AC⊥平面PBC； D(Ⅱ)求异面直线PA与 BD所成的角的大小；(Ⅲ)求二面角B－PA－C的大小注：文科学生做(Ⅰ)(Ⅱ)问；理科学生做(Ⅱ)(Ⅲ)问 B CA20.(本小题满分12分)某选手在电视抢答赛中答对每道题的概率都是13，答错每道题的概率都是23，答对一道题积1分，答错一道题积-1分，答完n道题后的总积分记为Sn(Ⅰ)答完2道题后，求同时满足S1=1且S2≥0的概率；(Ⅱ)答完5道题后，求同时满足S1=1且S5=1的概率；(Ⅲ)答完5道题后，设ξ=|S5|，求ξ的分布列及其数学期望注：文科学生做(Ⅰ)、(Ⅱ)问；理科学生做(Ⅱ)、(Ⅲ)问.21.(本小题满分12分)已知曲线f(x)=x2+2x在点(x1,f(x1))处的切线为l.(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)设g(x)=(x+a)f(x),若g(x)在[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围； (Ⅲ)试判断l能否与曲线g(x)=ln(x+1)相切？并说明理由.注：文科生做(Ⅰ)、(Ⅱ)问；理科生做(Ⅰ)、(Ⅲ)问22.(本小题满分12分)(文科)已知焦点为F1(-1,0),F2(1,0)的椭圆经过点(1,32).(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P是椭圆上的点，△PFF的外接圆为⊙C，求半径最小时⊙C的方程(理科)已知焦点为F1(-1,0),F2(1,0)的椭圆经过点(1,22),直线l过点F2与椭圆交于A、B两点.(Ⅰ)求→OA·→OB的范围；(Ⅱ)若→OA+→OB与向量a=(-22,1)共线，求→OA·→OB的值及△AOB的外接圆的方程2008年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验文理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（文科）选D ．∵()2,42-=-()1,2-，即2-b =a（理科）选A ． ∵()()11i ai +-()()11a a i =++- 依题意有1a =- 2．选D ．对于前三个选项可由不等式性质知其正确，对选项D ，取12a b ==知其错误 3．选D ．4．选B ．∵顶点在原点，准线为1x =-，∴12p=，2p =，故方程为24y x = 5．（文科）选C ．由211(2)22x f x x x -==，得2(1)00x x ⎧-=⎨≠⎩，即1x = （理科）选D ． 由211(2)22x f x x x -=<，得2(1)0x x->，即01x x >≠且 6．选B ．7．选C ． x a b -<的解集为{}x a b x a b -<<+，于是2a b -=且4a b +=，得3a = 8．选B ．依题意有2sin 1x =，方程1s in 2x =连续的三个解为726x k ππ=-，或26x k ππ=+，或526x k ππ=+，其中k ∈Z ，则相邻两个交点的最小距离为23π9．选A ．依题意有()2223R R ±-+=⎡⎤⎣⎦，解得2R =10．选C ． 由题意可得，2b a c a+=，又222b c a =-，于是2c e a ==11．选C ．易知()f x 是增函数也是奇函数，0a b +≥⇔a b ≥-⇔()()f a f b ≥-⇔()()f a f b ≥-⇔()()0f a f b +≥12．选C ．sin sin sin cos sin a b A B x A A c C ++===+4A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sinsin sin 442A πππ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即(x ∈ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．17 14．12 15．10 16．11713．99817a S S =-=14．女生有33A 种排法，男生插空排列有22A 种排法，故共有323212A A ⋅=种排法15．1622122223()()n n nnT C a a C a---==，由622n -=，得10n = 16．易知四边形ABCD 是菱形，设4EF a =，则DC CB ===DB ==，∴在BCD ∆中，2221cos 217DC CB DB BCD DC CB +-∠==⋅ 三、解答题（共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）（1）由22sin 2cos 2sin cos 1x x x x -=⎧⎨+=⎩，得sin 0cos 1x x =⎧⎨=-⎩，或4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 又()0,x π∈∴4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故 24sin 22sin cos 25x x x ==- …5分（2）())f x x ϕ=-，其中02πϕ<<,cos ϕ=12<，得32ππϕ<<又,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2,36x ππϕ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，2,236πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭∴2x πϕ-=-时，()f x 的最小值为 …10分18．（本题满分12分）（1）设数列{}n a 公差为d ，由11a =，22n n a a =，得 ()()121211n d n d +-=+-⎡⎤⎣⎦即1d = ∴()11n a n n =+-=，()()1122n n n a a n n S ++==而 55n S =，即()1552n n +=，解得10n = …6分（2）由3437b a T a =⎧⎨=⎩，得21211147b q b b q b q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩ 解之得1923b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍），112b q =⎧⎨=⎩ ∴()()1111221112n n n n b q T q-⋅-===--- …12分19．（本题满分12分） 解法一（1）由PB ⊥底面ABC ，得AC ⊥PB ，又90ACB ∠=，即AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面PBC …4分 （2）不妨设2PB BC CA a ===，由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以AC ⊥BD ，又BD PC ⊥，∴BD ⊥平面PAC ，故BD PA ⊥即PA 与BD 成90 …（文科）12分 …（理科）6分 或取AC 的中点F ，连接DF ，易知DF ∥PA ，故FDB ∠就是异面直线PA 与BD 所成角或其补角． 在Rt PBC ∆中，12BD PC ==； 在Rt BCF ∆中，BF = 在Rt PBA ∆中，PA ==，12DF PA == 在BDF ∆中，222BD DF BF +=，∴90BDF ∠=，故异面直线PA 与BD 所成角的大小为90 …（文科）12分…（理科）6分 （3）过B 作BE ⊥PA 于E ，连接DE ，由（2）BD ⊥PC ，BD ⊥PA ，可得BD ⊥平面PAC ,所以DE ⊥PA ，故BED ∠就是二面角B PA C --的平面角．在Rt PED ∆中，sin PD AC DE PD DPE PA ⋅=∠==在Rt BDE ∆中，tan BD BED DE ∠==3DEB π∠=， 故二面角B PA C --的大小为3π…（理科）12分 解法二过点B 作BM ∥CA ，如图建立直角坐标系B xyz -，设2BC a =，则()0,0,0B ，()2,2,0A a a ，()0,2,0C a ，()0,,D a a ，()0,0,2P a ∴()2,0,0CA a =，()0,0,2BP a =，()0,2,0BC a =，()2,2,2PA a a a =-，()0,,BD a a =， …4分（1）∵()()2,0,00,0,20CA BP a a ⋅=⋅=，得CA ⊥BP ，即CA ⊥BP同理，CA ⊥BC ，又BPBC B = ∴AC ⊥平面PBC …6分（2）∵0PA BD ⋅=∴异面直线PA 与BD 所成角等于90…（文科）12分…（理科）6分 （3）在平面PAB 中，()2,2,0B A a a =，()0,0,2BP a =，设平面PAB 的法向量()x,y,z =m 则0BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，于是22020ax ay az +=⎧⎨=⎩ ，取1x =-，得()-1,1,0=m 在平面PAC 中，()2,0,0CA a =，()2,2,2PA a a a =-，设平面PAC 的法向量()m,n,p =n 则00CA PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，于是202220am am an ap =⎧⎨+-=⎩ ，取1n =，得()0,1,1=n ∵1cos ,2⋅==m n m n m n ∴,3π=m n ，故二面角B PA C --的大小为3π…（理科）12分 20．（本题满分12分）（1）由题意“11S =且20S ≥”表示“答完2题，第一题答对，第二题答错；或第一题答对，第二题也答对” 此时概率P 1211133333=⋅+⋅= …6分 （2）由题意“11S =且51S =”表示“答完5道题，第一题答对，后四题答对两道，答错两道” 此时概率P =2224112333C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭881= …（文科）12分…（理科）4分 （3）因为答完5道题，结果可能是答对0道，此时55S =-，5ξ=；可能是答对1道（即答错4道），此时53S =-，3ξ=；可能是答对2道，此时51S =-，1ξ=；可能是答对3道，此时51S =，1ξ=；可能是答对4道，此时53S =，3ξ=；可能是答对5道，此时55S =，5ξ=，∴ξ的取值只能是1,3,5，而()233223551212401333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()4414551212103333327P C C ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()550555211153381P C C ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴ξ的分布列为∴18581E ξ=…（理科）12分21．（本题满分12分） （文科）（1）()22f x x x =+在点()()11,x f x 处的切线l 的斜率()1122k f x x '==+,()21112f x x x =+,∴l 的方程为()()()21111222y x x x x x -+=+-，即()21121y x x x =+-； …3分 （2）∵()()()()()22g x x a f x x a x x =+=++()3222x a x ax =+++∴()g x '=()23222x a x a +++，∵()g x 在[]1,2上是增函数，∴对任意[]1,2x ∈，()0g x '≥于是()21310a g +⎧-≤⎪⎨⎪'≥⎩，或2123203a a g +⎧<-<⎪⎪⎨+⎛⎫⎪'-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，或()22320a g +⎧-≥⎪⎨⎪'≥⎩ 解得74a ≥- ∴7,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()g x 在[]1,2上是增函数 …12分 （理科）（1）()22f x x x =+在点()()11,x f x 处的切线l 的斜率()1122k f x x '==+,()21112f x x x =+,ξ1 3 5P4081 1027 1181∴l 的方程为()()()21111222y x x x x x -+=+-，即()21121y x x x =+-； …3分（2）设曲线()()ln 1g x x =+的切点()()22,ln 1x x +， ()210x +>其切线方程为()()2221ln 11y x x x x -+=-+，即()22221ln 111x y x x x x =-++++ 欲使此切线与l 重合，需且只需()()1222122121(1)1ln 1(2)1x x x x x x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=-++⎪+⎩，即需要判断关于1x 的方程()()2111ln 210x x +-+=是否有解，注意到令11t x =+ 时，则问题转化为关于t 的方程2ln 20t t -=是否有实数解 由（１）式中的210x +>可知()1210x +>，故110t x =+> ，设()2ln 2g t t t =-，由()120g t t t '=-≥，得()g t的减区间是0,2⎛ ⎝⎦，增区间是2⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故()g t的最小值为1ln 022g ⎛⎫=-=> ⎪ ⎪⎝⎭ ∴2ln 20t t -=无实数解，即()()2111ln 210x x +-+=无实数解所以l 不可能与曲线()()ln 1g x x =+相切． …12分 22．（本题满分12分） （文科）（1）设此椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，点3(1,)2M 在椭圆上，()11,0F -，()21,0F ∴122a MF MF =+4==∴2a =，又1c =，所以2223b a c =-=，于是，椭圆方程为22143x y += …4分 （2）设()000(,y )0P x y ≠是椭圆上一点，12PF F ∆的外接圆圆心的坐标为(),C C C x y ，则点C 分别在线段2PF 、12F F 的垂直平分线上∴点C 的坐标满足方程组2200000011,122430y x x x y y x y x ⎧-+⎛⎫-=-+=⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩故点C 的坐标为0030,26y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭半径2CF ====其中2003y <≤，记()9,039t f t t t =+<≤，则()f t 在(]0,3上是减函数∴()()min 1033f t f ==，此时203y t ==，即0y =时半径2CF=0,C ⎛ ⎝⎭ 所以半径最小的⊙C的方程为2243x y ⎛+±= ⎝⎭ …12分 （理科）（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，点(1,)2M 在椭圆上，()11,0F -，()21,0F∴122a MF MF =+=∴a =1c =，所以2221b a c =-=，于是，椭圆方程为2212x y += ①若直线l 的斜率k 不存在，即直线l 与x 轴垂直，此时A 、B 两点的坐标分别为1,2⎛⎝⎭，1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则OA OB ⋅=12 ②若直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，此时()11,A x y ，()22,B x y 满足()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222214220k x k x k +-+-=，易知2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+而()()[]2212121212211()121k y y k x k x k x x x x k =--=-++=-+，()121222221ky y k x x k +=+-=-+ 则 OA OB ⋅=1212x x y y +=22221k k -+ （*）令22221k m k -=+，故()2122m k m -=+，易知120m -≠（否则k 不存在）， 于是2212m k m +=-，由20k ≥，得122m -≤<，即122OA OB -≤⋅<综合①②，12,2OA OB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦…7分（2）OA OB +=()()1122,,x y x y +=()1212,x x y y ++=22242,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭由OA OB +与向量()=-a 共线，得(2222412121k k k k -⋅-=⋅++解得0k =，或k =，此时由（*）得OA OB ⋅=2-，或0当OA OB ⋅=2-时，,,A O B 在一条直线上（x 轴），此时AOB ∆的外接圆不存在； 当OA OB ⋅=0时， OA ⊥OB ，此时AOB ∆的外接圆的圆心C 为线段AB 的中点1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即4,55C ⎛ ⎝⎭，半径221825r OC ==此时，AOB ∆的外接圆的方程224185525x y ⎛⎛⎫-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ …12分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。