第1节 椭圆及其标准方程学生

第1节 椭圆及其标准方程

撰写：刘一博 审核：冬焱

三点剖析：

一、教学大纲及考试大纲要求：

1. 理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念

2. 熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程

3. 能由椭圆定义推导椭圆的方程

4. 能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；

5. 学会用待定系数法与定义法求曲线的方程

6. 掌握转移法（代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与解决椭圆有关问题 二、重点与难点

1．重点是椭圆的定义和标准方程；用待定系数法与定义法求曲线的方程运用中间变量法求动点的轨迹

2．椭圆标准方程的推导; 待定系数法运用中间变量法求动点的轨迹 三、本节知识理解

1.平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于｜F 1F 2｜）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点；两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.

2.方程122

22=+b y a x (a ＞b ＞0)和12222=+b

x a y (a ＞b ＞0)叫做椭圆的标准方程.

3.椭圆的标准方程中a 、b 、c 之间的关系是a 2=b 2+c 2.

4.平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数2a ，当2a ＞｜F 1F 2｜时，动点的轨迹为椭圆；（反过来，椭圆上的点到两定点的距离和为常数）当2a =｜F 1F 2｜时，动点的轨迹为线段F 1F 2（反过来，

线段上的点到线段两端的距离和为线段F 1F 2的长）.椭圆的标准方程是22

22b y a x +=1和2222b

x a y +=1

（a ＞b ＞0）.求椭圆的标准方程，就是求a 2、b 2的值.焦点所在的坐标轴由x 2、y 2分母的大小确定.

精题精讲

【例1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).

(4)与椭圆226x 5y 120+=有相同焦点，且过点（23-

,2

5

）

【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).

(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.

(3)已知椭圆经过两点（)5,3()2

5

,23与-，求椭圆的标准方程

【例3】已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的 周长等于16，求顶点A 的轨迹方程

【例4】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹（若M 分 PP ˊ之比为2

1，求点M 的轨迹）

【例5】已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆14

22

=+y x

上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程

【例6】长度为5的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑

动，点M 在线段AB 上，且AM 2=，求点M 的轨迹方程

【例7】（1）已知定圆05562=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程

（2）已知两圆22212C x 4y 169C y 9:()-+=+=2

和：(x+4)，

动圆在圆1C 的内部且和圆1C 内切，和圆2C 相外切，求动圆圆心的轨迹方程。

【例8】.点P 是椭圆9

252

2y x +=1上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于8，求点P 的坐标.

【例9】已知椭圆的焦点是F 1（－1，0）、F 2（1，0），P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项. (1)求椭圆的方程；

(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2.

【例10】若一个动点P (x ,y )到两个定点A （－1，0），A ′（1，0）的距离的和为定值m ，试求P 点的轨迹方程.

基础达标

1.椭圆12

132

2y x +=1上一点P 到两个焦点的距离的和为（ ） A.26

B.24

C.2

D.213

2.椭圆1692522y x +=1的焦点坐标是（ ） A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)

3.已知椭圆的方程为2

2216m y x +=1，焦点在x 轴上，则m 的范围是（ ） A.－4≤m ≤4 B.－4＜m ＜4 C.m ＞4或m ＜－4 D.0＜m ＜4 4.a =6,c =1的椭圆的标准方程是（ ）

A.353622y x +=1

B.353622x y +=1

C.5362

2y x +=1 D.以上都不对 5.椭圆9252

2y x +=1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 6.方程α

sin 3422

y x -=1表示椭圆，则α的取值范围是（ ） A.－

2

π

＜α＜0 B.π＜α＜2π

C.2k π－

2

π

＜α＜2k π(k ∈Z )

D.2k π+π＜α＜2k π+2π(k ∈Z )

7.已知椭圆过点P (

53，－4)和点Q (－5

4

，3)，则此椭圆的标准方程是（ ） A.252y +x 2=1 B.25

2x +y 2=1 C.25

2x +y 2=1或x 2+252

y =1 D.以上都不对