北师大版必修5__3.2《一元二次不等式》课件ppt
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3.2.2一元二次不等式的应用课件(北师大版必修5)
a<0 或 Δ<0
；
(4)不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集是全体实数(或恒成立)的等
a＝0 b＝0 c≥0 价条件是
a>0 或 Δ≤0
；
(5)f(x)≤a 恒成立，x∈D⇔[f (x)]max≤a，x∈D； (6)f(x)≥a 恒成立，x∈D⇔[f (x)]min≥a，x∈D.
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【典型例题】 例1 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
Δ≥0 f0>0 b － >0 2a
0<x1≤x2
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2.2
x1<0<x2
Δ>0 x1x2<0
f(0)<0
x1≤x2<k
Δ≥0 x1＋x2<2k x －k· 1 x2－k>0
Δ≥0 x1＋x2>2k x －k· 1 x2－k>0
fk >0 1 fk2<0 fk3>0
x1、x2∈ (k1，k2)
k1<x1<k2 <x2<k3
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探究点二 数轴穿根法解简单的一元高次不等式 数轴穿根法来源于实数积的符号法则， 例如要解不等式(x －1)(x－2)(x－3)>0.我们可以列表如下： x 的区间 x－1 x－2 x－3 (x－3)(x－2) · (x－1) 上得： x<1 － － － － 1<x<2 ＋ － － ＋ 2<x<3 ＋ ＋ － － x>3 ＋ ＋ ＋ ＋
∅
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对 其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等 式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个 系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不 等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根 的大小进行分类讨论．
集
(x1，x2) ∅
∅
1．一元二次不等式的求解步骤 (1)①通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项 系数大于零；②计算出相应一元二次方程的判别式；③求出相应 一元二次方程的根(或判断相应方程没有实根)；④根据③画出相 应二次函数的图像写出解集． (2)会用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的求解的算法过程．
4．若1ax2＋bx＋a>0 的解集是{x|2<x<8}，则 a＝ ________________________________________________________ ________________.
b＝________.
解析： 由题意知 a<0，且方程1ax2＋bx＋a＝0 的两根分别为
[思路点拨] 根据已知解集和一元二次不等式解的结构，逆 向推出 a、b、c 应满足的关系，进而求解不等式．一元二次不等 式解集的两个端点值是一元二次方程的两根．
解析： ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}． ∴a<0，且－3,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
由韦达定理得－－33×＋44＝＝ac－，ba，
答案： ＞ 两 －5,1 (－∞，－5)∪(1，＋∞) (－5,1)
4．解下列不等式： (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
北师大版高中数学必修五课件《3.2.1一元二次不等式的解法》课件
高中数学课件
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一元二次不等式的解法 （一）
y
o
x
问题：
（1）如何解一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) （2）二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
解与二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象 有什么联系？
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
x x x2或x x1
x x1 x x2
△＝0
x
R
x
b 2a
x x x2或x x1
x x1 x x2
当-2a＜3a，即a＞0时， 原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
小结：
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
例1、求下列不等式的解集：
(1) 6x2 5x 1 0 (2)4x2 4x 15 0
(3)5x2 2x 3
(4)9x2 6x 1
(5)3x2 5 4x
解解：：（（12345））将将原原不 不等等式式变变形形为为：(5293xxx6222x2526)4x(xx25xx315130)0000
而ax2这以往b上x往不c是等容0式易的对忽解x略∈集的R为恒，R成的一立条定。件要为引起大
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一元二次不等式的解法 （一）
y
o
x
问题：
（1）如何解一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) （2）二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
解与二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象 有什么联系？
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
x x x2或x x1
x x1 x x2
△＝0
x
R
x
b 2a
x x x2或x x1
x x1 x x2
当-2a＜3a，即a＞0时， 原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
小结：
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
例1、求下列不等式的解集：
(1) 6x2 5x 1 0 (2)4x2 4x 15 0
(3)5x2 2x 3
(4)9x2 6x 1
(5)3x2 5 4x
解解：：（（12345））将将原原不 不等等式式变变形形为为：(5293xxx6222x2526)4x(xx25xx315130)0000
而ax2这以往b上x往不c是等容0式易的对忽解x略∈集的R为恒，R成的一立条定。件要为引起大
3.2.1一元二次不等式的解法课件(北师大版必修5)
本 课 时 栏 目 开 关
合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像在 x 轴下方 部分的点的横坐标 x 的集合． (2)从方程的观点来看： 一元二次方程的根是二次函数的图像与 x 轴交点 的横坐标， 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集，就是 大于大根， 或者小于小根 的实数的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就 是 大于小根，且小于大根 的实数的集合． 一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
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【典型例题】 例1 求下列不等式的解集： (1)2x2－3x－2≥0；
本 课 时 栏 目 开 关
2.1
1 解 (1)∵2x －3x－2＝0 的两解为 x1＝－2，x2＝2， 且 a＝2>0. 1 2 ∴不等式 2x －3x－2≥0 的解集是{x| x≤－ 或 x≥2}． 2 (2)－3x2＋6x>2⇔－3x2＋6x－2>0
本 课 时 栏 目 开 关
2.1
2． 1
【学习要求】
一元二次不等式的解法
1．会解简单的一元二次不等式．
本 课 时 栏 目 开 关
2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相 互关系． 【学法指导】 1．利用图像的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关 系，牢固地记忆相关结论． 2．解一元二次不等式的关键是熟练掌握一元二次不等式解集 的结构特征，“对号入座”即可快速地写出其解集.
有两个不等的实数根，记作 x1，x2，且 x1<x2.则当 a>0 时，
{x|x<x1 或 x>x2} ；不等式 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是______________ {x|x1<x<x2} ； ax2＋bx＋c<0 的解集是______________ 当 a<0 时， 不等
合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像在 x 轴下方 部分的点的横坐标 x 的集合． (2)从方程的观点来看： 一元二次方程的根是二次函数的图像与 x 轴交点 的横坐标， 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集，就是 大于大根， 或者小于小根 的实数的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就 是 大于小根，且小于大根 的实数的集合． 一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
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【典型例题】 例1 求下列不等式的解集： (1)2x2－3x－2≥0；
本 课 时 栏 目 开 关
2.1
1 解 (1)∵2x －3x－2＝0 的两解为 x1＝－2，x2＝2， 且 a＝2>0. 1 2 ∴不等式 2x －3x－2≥0 的解集是{x| x≤－ 或 x≥2}． 2 (2)－3x2＋6x>2⇔－3x2＋6x－2>0
本 课 时 栏 目 开 关
2.1
2． 1
【学习要求】
一元二次不等式的解法
1．会解简单的一元二次不等式．
本 课 时 栏 目 开 关
2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相 互关系． 【学法指导】 1．利用图像的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关 系，牢固地记忆相关结论． 2．解一元二次不等式的关键是熟练掌握一元二次不等式解集 的结构特征，“对号入座”即可快速地写出其解集.
有两个不等的实数根，记作 x1，x2，且 x1<x2.则当 a>0 时，
{x|x<x1 或 x>x2} ；不等式 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是______________ {x|x1<x<x2} ； ax2＋bx＋c<0 的解集是______________ 当 a<0 时， 不等
3.2.2一元二次不等式的应用课件ppt(北师大版必修五)
规律方法 (1)解分式不等式关键是如何将它转化为同解 的整式不等式，化未知为已知．做题时要体会这种转化的 思想． (2)转化的依据是实数运算的符号法则，所以要将不等式 一边先化为零．
题型三
简单高次不等式的解法
一元高次不等式常用穿针引线法求解，其步骤
要熟练掌握．另外，适合不等式的根在数轴上
用“·”标出Байду номын сангаас不适合的根用“。”．
2 a － 1＜ 0 件是 2 2 Δ＝ [－ a－ 1] ＋ 4a － 1＜ 0
3 ，解得－ ＜ a＜ 1. 5
规律方法
(1)关于 x 的不等式 ax2＋bx＋ c＞ 0 对任意实数 x∈ R 外，还应该考虑二次项系数 a＝ 0 时
a＞ 0， 恒成立的条件除了 Δ＜ 0
分别令各个因式为零，可得根依次为－1,2,1，－4. 在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图如下：
由上图可得不等式的解集为{x|－4<x≤－1或x≥2}．
【名师点评】
(1)解简单的高次不等式时要特别
注意偶次方根要“穿而不过”，也就是要“反弹”起 来．
(2)对原不等式化简时，要化成右边为0，左边分
解为乘积或商的形式，并且将一次项系数全化为
由图知原不等式的解集为{x|－1<x<0或x>1}． 不等式中不能乱去分母，去分母时要知道 分母的符号，最好是移项通分．
2x－1x＋1 即 ≤0，此不等式等价于 x－1x＋3 (2x－1)(x＋1)(x－1)· (x＋3)≤0，且 x≠1，x≠－3. 1 令每个因式为零，可得根为 ，－1,1，－3. 2
在 x 轴上标根，并从右上方引曲线可得图 ∴原不等式的解集为
1 x|－ 3<x≤－ 1，或 ≤ x＜ 1. 2
3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)
• ． • 2．若ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅，则a，b，
c满足的条件是 . a＞0，b2－4ac＜0 • 3．二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(x∈R)的部分对应 值如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
1 {2} 1．不等式4x2－4x＋1≤0的解集是
解析：
原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)＞0，
1 1 ∴x＜－3或 x＞2.
答案： A
x－1 2．不等式 log2 x ≥1 的解集为( A．(－∞，－1] C．[－1,0)
)
B．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
x－1 x＋1 解析： 由已知得 x ≥2，即 x ≤0， 由此解得－1≤x＜0.
其解集如图的阴影部分．
• ∴原不等式解集为{x|x<－5或－5<x<－4或
x>2}．
x2－4x＋1 x2－4x＋1－3x2＋7x－2 (2) 2 <1⇔ <0 3x －7x＋2 3x2－7x＋2 －2x2＋3x－1 2x－1x－1 ⇔ 2 <0⇔ >0 3x －7x＋2 3x－1x－2 ⇔(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0.
[题后感悟]
(1)数形结合法解恒成立问题，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ①f(x)＞0 在 x∈R
a＞0 上恒成立⇔ Δ＜0 a＜0 上恒成立⇔ Δ＜0
；
②f(x)＜0 在 x∈R
；
③a＞0 时，f(x)＜0
fα＜0 在区间[α，β]上恒成立⇔ fβ＜0
1.解不等式： (1)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0； x2－4x＋1 (2) 2 ＜1； 3x －7x＋2 x2－2x＋1 (3) 2 ≥0. x ＋9x－10
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
2
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
高中数学 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5.pptx
fx·gx≤0， gx≠0 ；
fx (3) gx
≥a⇔
fx－agx gx
≥0.
6
知识点二 穿针引线法解高次不等式
思考
分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的 图 像 ， 并 观 察 它 们 与 相 应 的 x － 1>0 ， (x － 1)(x － 2)>0 ， (x － 1)(x－2)(x－3)>0的关系. 答案
13
பைடு நூலகம்
反思与感悟
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准 确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应 注意变量具有的“实际含义”.
15
跟踪训练1 在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车 距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲，乙两种车型的 刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2， S乙＝0.05x＋0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任. 解答
10
梳理
一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝ f(x)在区间[a，b]上的图像全部在x轴 上 方.区间[a，b]是不等式f(x)>0的 解集的子集 . 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： 若f(x)有最大值，则k≥f(x)恒成立⇔k≥ f(x)max ； 若f(x)有最小值，则k≤f(x)恒成立⇔k≤ f(x)min .
x－3 (1)x＋2<0； 解答 x－3 x＋2 <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}.
3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)
• 2.2 一元二次不等式的应用
• 1.会求解方程根的存在性问题和恒成立问题． • 2.会解一元三次不等式及可化为一元二次(或三
次)不等式的分式不等式． • 3.能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型， 并加以解决.
• 1.对解分式不等式及恒成立问题的考查是本节
的热点． • 2.本节内容常与方程、函数、图像结合命题． • 3.三种题型均可能出现.
2x2＋x－1x2＋2x－3≥0 即为 2 x ＋2x－3≠0 2x－1x＋1x＋3x－1≥0 即等价变形为 x≠－3且x≠1
如下图所示，可得原不等式解集为
1 xx<－3或－1≤x≤ 或x>1 2
.
2x2＋x－1 (也可将 2 ≥0 转化为不等式组得 x ＋2x－3
[题后感悟]
(1)数形结合法解恒成立问题，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ①f(x)＞0 在 x∈R
a＞0 上恒成立⇔ Δ＜0 a＜0 上恒成立⇔ Δ＜0
；
②f(x)＜0 在 x∈R
；
③a＞0 时，f(x)＜0
fα＜0 在区间[α，β]上恒成立⇔ fβ＜0
g0＞0 可得 g4＞0
x2－4x＋4＞0 ，即 2 x ＞0
，
解得 x≠0 且 x≠2， 即 x 的取值范围为{x|x∈R 且 x≠0，x≠2}
• (2)解分式不等式注意的问题： • ①解分式不等式一定要等价变形为标准形式，
就是右边为零，左边为分式再等价转化为不等 式组或高次不等式来求解． • ②若分式不等式含等号，等价转化为整式不等 式时，其分母不为零最易丢掉，这一点一定要 注意． • ③当分式不等式分母正负不确定时不可通过不 等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等 式．
• 1.会求解方程根的存在性问题和恒成立问题． • 2.会解一元三次不等式及可化为一元二次(或三
次)不等式的分式不等式． • 3.能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型， 并加以解决.
• 1.对解分式不等式及恒成立问题的考查是本节
的热点． • 2.本节内容常与方程、函数、图像结合命题． • 3.三种题型均可能出现.
2x2＋x－1x2＋2x－3≥0 即为 2 x ＋2x－3≠0 2x－1x＋1x＋3x－1≥0 即等价变形为 x≠－3且x≠1
如下图所示，可得原不等式解集为
1 xx<－3或－1≤x≤ 或x>1 2
.
2x2＋x－1 (也可将 2 ≥0 转化为不等式组得 x ＋2x－3
[题后感悟]
(1)数形结合法解恒成立问题，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ①f(x)＞0 在 x∈R
a＞0 上恒成立⇔ Δ＜0 a＜0 上恒成立⇔ Δ＜0
；
②f(x)＜0 在 x∈R
；
③a＞0 时，f(x)＜0
fα＜0 在区间[α，β]上恒成立⇔ fβ＜0
g0＞0 可得 g4＞0
x2－4x＋4＞0 ，即 2 x ＞0
，
解得 x≠0 且 x≠2， 即 x 的取值范围为{x|x∈R 且 x≠0，x≠2}
• (2)解分式不等式注意的问题： • ①解分式不等式一定要等价变形为标准形式，
就是右边为零，左边为分式再等价转化为不等 式组或高次不等式来求解． • ②若分式不等式含等号，等价转化为整式不等 式时，其分母不为零最易丢掉，这一点一定要 注意． • ③当分式不等式分母正负不确定时不可通过不 等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等 式．
北师大版高中数学必修5课件32.1 一元二次不等式的应用 课件
＜0 f(x)·g(x)＜0
(3)
f x g x
≥0 f(x)·g(x)≥0 且 g(x)≠0
(4)
f x g x
≤0 f(x)·g(x)≤0 且 g(x)≠0
2．高次不等式的解法
含有一个未知数，且未知数的最高次数高于 2 的整式不等式叫一元高次不等式。 处理或解这类不等式我们常用穿针引线法。
又∵0＜x≤10， ∴0＜ x＜5，故 x 的取值范围是{x|0＜ x＜5}
方法小结：
1．归纳整理本节所学的知识方法，整合求解分式不等式及简单高次不等式的思想方法， 及化整为零解决实际问题的思维方法。 2．本节为解一元二次不等式的最后一节，对本节体现的“三个二次问题”以及转化的思想 方法、数形结合的思想方法，要深刻理解，牢牢掌握，并灵活地应用。
x y ·n· 1 ， 10 10
2 x， 3
∴np 1
x y 1 ＞np， 10 10
∵n＞0，p＞ 0，y＝
∴ 1
x x 2 1 ＞1 整理得 x －5x＜0，解这个一元二次不等式，得 0＜x＜ 5 10 15
例3
国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t，按规定，农户向国家纳税为：每收入100 元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)。为了减轻农民负担，制定积极的收购政策。根据市场规 律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点。试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税 收总收入不低于原计划的78%。
具体操作程序是：
1.先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次或二次不可约因 式积的形式且使最高次项的系数为正； 2.令代数式等于0，求出相应方程的根，并把它们依次标在数轴上，然后 用同一曲线按照自上而下，由右向左依次穿过(遇奇次重根一次穿过，遇 偶次重根不穿过)； 3.这样数轴上方、下方及数轴上的点分别表示使代数式大于0、小于0及 等于0的部分； 4.最后依据不等式的符号写出不等式的解集。
高中数学必修5北师大版 一元二次不等式的解法 课件(36张)
(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成
立的x的值叫这个一元二次不等式的解． 所有解 组 (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的__________ 成的集合，叫作一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式与相应函数、方程的关系 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 判别式 有两个不相等 有两个相等的实 方程f(x)＝0 数根x1＝x2且x1 无实数根 的实数根x1， b 的解 ＝ x ＝－ 2 x2(x1＜x2) 2a
1 由图可得原不等式的解集为 xx≠2，x∈R.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，因为 Δ＝－4＜0， 所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，所以原不等式的解集为∅.
[方法归纳] 当 a ＞ 0时，解形如 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ (≥)0 或 ax2 ＋ bx＋ c ＜ (≤)0 的 一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx
(2)三个“二次”关系的实质是数形结合思想的应用：ax2＋bx＋
c＝0的根⇔y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点(x,0)的横坐标； ax2＋bx＋c＞0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图像上的点(x，y)在x 轴上方的横坐标的取值范围； ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根 ⇔ ax2 ＋ bx ＋c＞0解集的端点值．
一元二次不等式
解下列不等式： (1)2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1＞0；(4)－x2＋6x－10＞0.
1 [解](1)Δ＝49＞0， 方程 2x ＋5x－3＝0 的两根为 x1＝－3， x2＝ ， 2
2
作出函数 y＝2x2＋5x－3 的图像， 如图所示， 用阴影部分描出原 1 不等式的解，由图可得原不等式的解集为x－3＜x＜2.
北师大版必修5__3[1]2《一元二次不等式》课件ppt
![北师大版必修5__3[1]2《一元二次不等式》课件ppt](https://img.taocdn.com/s3/m/bf4cce715f0e7cd1842536c6.png)
x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2) x1=x2
ax2+bx的+c解>集0（a>0﹛）x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
例：解不等式：3x2 5x 2 0
例：解不等式： 9x2 6x 1 0
例：解不等式： x2 4x 5 0
例：解不等式： 2x2 x 1 0
例：解不等式： x2 4x 4 0
典例精讲：
例2：已知不等式 ax2 bx的解1 集0
是
，x求3 实x数 4 的值. a, b
例：设A，B分别是不等式3x2 6 19x
与不等式 2x2 3x的 5解集0 ，试求
x 3
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下：
(1).当x取 _____x_=__-1__或3时，y=0？ 当x取 ______-1_<_x_<_3 时，y<0？ 当x取 ___x_<_-_1__或__ x时>3，y>0?
问题探究：
(2).由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解集
为
﹛x|-1<x<3﹜
例：已知ax2 (1 a)恒x 成1 立0，
求a的取值范围。
解： 不等式恒成立，即解集为R
y
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
由 (1 a)2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
又a 0
高中数学 一元二次不等式的解法课件 北师大版必修5 精品共20页
人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
高中数学 一元二次不等式的解法课件 北 师大版必修5 精品
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
高中数学 一元二次不等式的解法课件 北 师大版必修5 精品
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
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1 解得：A＝ x x 6 3 2 由－2 x 3x 5 0解得 B x 1 x
5 2
1 5 A B x x A B x 1 x 6 2 3
例：解关于x的不等式：
解：
2 2
含参变量 的不等式
x (2m 1) x m m 0
方程x 2 (2m 1) x m 2 m 0的解为：
x1 m, x2 m 1
m m 1
原不等式的解集为 x m x m 1
例：解关于x的不等式：
解：
方程x (1 a) x a 0的解为：
例：求x 方法一：
2
2
2 x 3 0的根
(2) (2) 4 (3) x 1 2 x1 1, x2 3 2
方法二： 2
x 2 x 3 ( x 1) 4 0, ( x 1) 4
2 2
x 1 2,即x 1 2, x1 1, x2 3
时，y=0？ 时，y<0？ 时，y>0?
问题探究：
(2).由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解集 为 ———————— 不等式x2-2x-3<0 的解集
﹛x|-1<x<3﹜
y
y=x2-2x-3 y>0
o
-1 y<0 3
x
为
﹛x|x<-1或x>3﹜
————————
归纳:
（1）先画出对应函数的图像
2
y ax 2 (1 a) x 2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
又a 0
a的取值范围为 3 2 2 a 3 2 2
小结
（1）不等式的解集的运算：注意利用数轴进 行集合的交集和并集的运算 （2）含参变量的不等式问题： 注意区分自变量和参变量 注意比较两根的大小，利用分类 讨论的数学思想 求参变量的取值问题，借助二次 函数的图像，利用数形结合的数学思想
R Φ
ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集
Φ
例：解不等式：3x 5x 2 0
2
例：解不等式： 9 x 6 x 1 0
2
例：解不等式： x 4 x 5 0
2
例：解不等式：
2x x 1 0
2
例：解不等式：
x 4x 4 0
分析：
令y=x2-2x-3，得到一元二次函数。
求得x2-2x-3＝0的两根为x1=-1，x2=3 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图:
y y=x2-2x-3
-1
o
x 3
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下： (1).当x取 当x取 当x取
x= -1 或3 __________ -1<x<3 __________ x<-1 或 x>3 __________
方法三：
x 2 x 3 ( x 1)( x 3) 0, x1 1, x2 3
2
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像
y y y
O
x1
x2
x
O
b 2a
x
O
x
0
0
0
复习一元二次函数:y=ax +bx+c(a≠0)
2
典例精讲：
例2：已知不等式 ax bx 1 0 的解集是 x 3 x 4 ，求实数 a, b 的值.
2
例：设A，B分别是不等式 3x 6 19 x 2 与不等式 2 x 3x 5 0 的解集，试求 A B, A B.
2
解：由3x 2 6 19 x，得3x 2 19 x 6 0
当a<0时图像
y y
复习一元二次函数 2
0
y 0
0
x
O
x1
x2
O
b 2a
x
O
x
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是二次的不等式叫做一元二次不等式. 形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
问题：如何解一元二次不等式呢？
例：解一元二次不等式x2-2x-3<0
y ax 2 bx c
图像在X轴上方时，其x的取值范围
一元二次不等式解集表（a>0)
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 x2+bx+c=0 的根 ⊿>0
y
⊿=0
y
⊿<0
y
x1
x2
x
x1(x2) x 无实根
x
有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0（a>0） ﹛x|x<x1或x>x2﹜ ﹛x|x≠x1﹜ 的解集
3.2一元二次不等式
复习一元二次方程 复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)
0方程有两个不等的根 0方程有一个根
0方程没有根
求根的方法： （1）公式法 X=
b 2 4ac b 2 0 （2）配方法，化为顶点式 a( x 2a ) 4a
（3）十字相乘法
x1 1, x2 a
x 2 (1 a) x a 0
2
(1)当a 1时， 原不式的解集为（a,1); (2)当a 1时， 原不式的解集为
(3)当a 1时， 原不式的解集为(1, a)
解： 不等式恒成立，即解集为R
a 0, 0
例：已知 ax (1 a) x 1 0 恒成立， 求a的取值范围。 y
如何利用二次函数解二次不等式 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 呢？
（2）确定不等式的解集：
ax2 bx c 0 的解集就是确定函数 y ax 2 bx c
图像在X轴下方时，其x的取值范围 的解集就是确定函数 2
ax bx c 0
5 2
1 5 A B x x A B x 1 x 6 2 3
例：解关于x的不等式：
解：
2 2
含参变量 的不等式
x (2m 1) x m m 0
方程x 2 (2m 1) x m 2 m 0的解为：
x1 m, x2 m 1
m m 1
原不等式的解集为 x m x m 1
例：解关于x的不等式：
解：
方程x (1 a) x a 0的解为：
例：求x 方法一：
2
2
2 x 3 0的根
(2) (2) 4 (3) x 1 2 x1 1, x2 3 2
方法二： 2
x 2 x 3 ( x 1) 4 0, ( x 1) 4
2 2
x 1 2,即x 1 2, x1 1, x2 3
时，y=0？ 时，y<0？ 时，y>0?
问题探究：
(2).由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解集 为 ———————— 不等式x2-2x-3<0 的解集
﹛x|-1<x<3﹜
y
y=x2-2x-3 y>0
o
-1 y<0 3
x
为
﹛x|x<-1或x>3﹜
————————
归纳:
（1）先画出对应函数的图像
2
y ax 2 (1 a) x 2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
又a 0
a的取值范围为 3 2 2 a 3 2 2
小结
（1）不等式的解集的运算：注意利用数轴进 行集合的交集和并集的运算 （2）含参变量的不等式问题： 注意区分自变量和参变量 注意比较两根的大小，利用分类 讨论的数学思想 求参变量的取值问题，借助二次 函数的图像，利用数形结合的数学思想
R Φ
ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集
Φ
例：解不等式：3x 5x 2 0
2
例：解不等式： 9 x 6 x 1 0
2
例：解不等式： x 4 x 5 0
2
例：解不等式：
2x x 1 0
2
例：解不等式：
x 4x 4 0
分析：
令y=x2-2x-3，得到一元二次函数。
求得x2-2x-3＝0的两根为x1=-1，x2=3 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图:
y y=x2-2x-3
-1
o
x 3
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下： (1).当x取 当x取 当x取
x= -1 或3 __________ -1<x<3 __________ x<-1 或 x>3 __________
方法三：
x 2 x 3 ( x 1)( x 3) 0, x1 1, x2 3
2
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像
y y y
O
x1
x2
x
O
b 2a
x
O
x
0
0
0
复习一元二次函数:y=ax +bx+c(a≠0)
2
典例精讲：
例2：已知不等式 ax bx 1 0 的解集是 x 3 x 4 ，求实数 a, b 的值.
2
例：设A，B分别是不等式 3x 6 19 x 2 与不等式 2 x 3x 5 0 的解集，试求 A B, A B.
2
解：由3x 2 6 19 x，得3x 2 19 x 6 0
当a<0时图像
y y
复习一元二次函数 2
0
y 0
0
x
O
x1
x2
O
b 2a
x
O
x
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是二次的不等式叫做一元二次不等式. 形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
问题：如何解一元二次不等式呢？
例：解一元二次不等式x2-2x-3<0
y ax 2 bx c
图像在X轴上方时，其x的取值范围
一元二次不等式解集表（a>0)
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 x2+bx+c=0 的根 ⊿>0
y
⊿=0
y
⊿<0
y
x1
x2
x
x1(x2) x 无实根
x
有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0（a>0） ﹛x|x<x1或x>x2﹜ ﹛x|x≠x1﹜ 的解集
3.2一元二次不等式
复习一元二次方程 复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)
0方程有两个不等的根 0方程有一个根
0方程没有根
求根的方法： （1）公式法 X=
b 2 4ac b 2 0 （2）配方法，化为顶点式 a( x 2a ) 4a
（3）十字相乘法
x1 1, x2 a
x 2 (1 a) x a 0
2
(1)当a 1时， 原不式的解集为（a,1); (2)当a 1时， 原不式的解集为
(3)当a 1时， 原不式的解集为(1, a)
解： 不等式恒成立，即解集为R
a 0, 0
例：已知 ax (1 a) x 1 0 恒成立， 求a的取值范围。 y
如何利用二次函数解二次不等式 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 呢？
（2）确定不等式的解集：
ax2 bx c 0 的解集就是确定函数 y ax 2 bx c
图像在X轴下方时，其x的取值范围 的解集就是确定函数 2
ax bx c 0