(全国通用版)2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练全等三角形的常见基本模型练
中考数学知识点梳理·系统复习--第四单元 图形的初步认识与三角形
第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质二、知识清单梳理知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.第17讲相似三角形21P COBAPCO BADABC abcDABC abc四、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．。
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方法技巧训练（二） 全等三角形的常见基本模型
基本模型1 平移模型
如图，可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成的，故对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差证得．
1．如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，点E ，C 在直线BF 上，且BE ＝CF.求证：AC∥DF.
证明：∵BE＝CF ，∴BE＋EC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，
∴△ABC≌△DEF(SSS )．
∴∠ACB＝∠DFE.
∴AC∥DF.
基本模型2 对称模型
如图，图形沿着某一条直线折叠，这条直线两边的部分能够完全重合，重合的顶点即为全等三角形的对应点．
2．(2017·温州节选)如图，在五边形ABCDE 中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC ＝ED ，AC ＝AD.求证：△ABC≌△AED.
证明：∵AC＝AD ，∴∠ACD＝∠ADC.
又∵∠BCD ＝∠EDC＝90°，
∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC，
即∠BCA＝∠EDA.
在△ABC 和△AED 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝ED ，∠BCA＝∠EDA，AC ＝AD ，
∴△ABC≌△AED(SAS )．
基本模型3 旋转模型
如图，可看成是绕着三角形某一顶点旋转而成，故一般有一对相等的角隐含在对顶角或某些角的和、差之中．
3．(2018·黑龙江)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD 的面积为(B )
A ．15
B ．12.5
C ．14.5
D ．17
第3题图 第4题图
4．(2018·东营)如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC.给出
下列结论：①BD＝CE ；②∠ABD＋∠EC B ＝45°；③BD⊥CE；④BE 2＝2(AD 2＋AB 2)－CD 2.其中正确的是(A )
A ．①②③④
B ．②④
C ．①②③
D ．①③④
5．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 是AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别交AB ，BC(或它们的延长线)于点M ，N ，设∠AEM＝α(0°＜α＜90°)，给出下列四个结论：①AM＝CN ；②∠AME＝∠BN E ；③BN－AM ＝2；④S △EMN ＝2
cos 2α.上述结论中正确的个数是(C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第5题图 第6题图
6.如图，在△APB 中，AB ＝2，∠APB ＝90°，在AB 的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形PCDE 面积的最大值是1．
7．如图，在平面内，正方形ABCD 与正方形CEFH 如图放置，连接DE ，BH ，两线交于点M.求证：
(1)BH ＝DE ；
(2)BH⊥DE.
证明：(1)在正方形ABCD 与正方形CEFH 中，
BC ＝DC ，CH ＝CE ，
∠BCD＝∠ECH＝90°，
∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，
即∠BCH＝∠DCE.
在△BCH 和△DCE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCH ＝∠DCE，CH ＝CE ，
∴△BCH≌△DCE(SAS )．
∴BH＝DE.
(2)设BH 与CD 相交于点O.
∵△BCH≌△DCE，
∴∠CBH＝∠CDE.
又∵∠BOC＝∠DOM，
∴∠DMB＝∠BCD＝90°. ∴BH⊥DE .
基本模型4 三垂直模型
证明过程中多数用到“同(等)角的余角相等”，从而可证得相等的角．
8．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，一等腰Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB＝90°，AC 交l 2于点
D.已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则AB BD 的值为(A )
A .425
B .345
C .528
D .20223
9．如图，已知∠ABC＝90°，D 是直线AB 上的点，AD ＝BC ，过点A 作AF⊥AB，并截取AF ＝BD ，连接DC ，DF ，CF ，判断△CDF 的形状并证明．
解：△CDF 是等腰直角三角形．证明如下：
∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC.
在△FAD 和△DBC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠FAD＝∠DBC，AF ＝BD ，
∴△FAD≌△DBC(SAS )．
∴FD＝DC ，∠FDA＝∠DCB.
∵∠BDC＋∠DCB＝90°，
∴∠BDC＋∠F DA ＝90°，即∠CDF＝90°.
∴△CDF 是等腰直角三角形．
基本模型5 一线三等角模型
如图，三个角均相等为α，则根据外角的性质，一定可以推导出图中∠1＝∠2.
10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CD ，BD ＝CF ，则∠α与∠A 之间的数量关系是2∠α＋∠A＝180°．。