数学精神与方法第七讲

递归原理还引出了一种极其重要的数学操作——映射的迭代 递归原理还引出了一种极其重要的数学操作——映射的迭代
N fϕ ↓ .′ → .′ .′ .′ N → N → N → N L L fϕ ↓ fϕ ↓ fϕ ↓ fϕ ↓ S →
a∈S →
ϕ
ϕ
S
→
ϕ
S
→
附录 度量空间的概念
义 设 是 个 空 合 如 映 d: X × X →R 合 X 一 非 集 ， 果 射 适 定 （ d( x, y) ≥ 0 并 ， ( x, y) = 0 ⇔x = y, 1 ） ， 且 d （ d(x, y) = d( y, x), 2 ） （ 称 ） 对 性 （ 角 等 ） 三 不 式 （ 定 ） 正 性
k≥0
k=0
k=0
(
)
注：在动力系统理论中，对混沌有许多可行的定义，我们选择的定义适用面 较宽且较易检验。
注 对 意 m ， ϕ 连 性 评 ： 任 的 ∈N 由 的 续 ，
∞ n→ 0≤k≤m
lim sup d ϕk ( xn ),ϕk ( x) = 0
(
)
( 因为lim d(x , x) =0 )；
混沌动力系统的例子
例1 符号动力系统
) 1 , ) 在 上 义 量 Σ2 :={ = (σ0σ1σ2 Lσk = 0或 (k = 0,1 2,L}, 并 其 定 度 σ
d(σ,τ ) := 考 由 个 母 例 0与， 组 的 列 间 2： 虑 两 字 ， 如 1 所 成 序 空 Σ
∑
k=0
∞
σk −τk
易 ，(Σ2 , d)构 度 空 ， ， 述 条 立 知 成 量 间 即 下 三 成 ：
题 若 ,τ ∈Σ2的 n +1 相 ， ， i =τi (i = 0,1 L n) 则 (σ,τ ) ≤ 1 n ; 前 项 同 即 σ , , ， d σ 命 2 反 ， d(σ,τ ) < 1 n ， σ,τ ∈Σ2的 n +1 相 。 （ 证 ） 之 若 则 前 项 同 试 之 2
∞ n→
} 其 B Ao ={x∈X ∃δ > 0使 B x,δ ) ⊆ A， 中 (x,δ ) ={u∈X d(u, x) <δ} , 得(
{
}
, A= A∪ A′ ,
A A 别 A 内 ， 集 闭 。 并 Ao， ′和 分 为 的 部 导 与 包 称 如 Ao = A， 称 为 集 如 A′ ⊂ A， 称 为 集 如 A′ ⊃ A， 果 则 A 开 。 果 则 A 闭 ； 果 则 称 为 全 ； 果 ′ = A， 称 为 全 集 A 完 集 如 A 则 A 完 闭 。 如 A= X， 么 们 说 在 中 稠 的 或 A是 的 密 集 果 那 我 就 A X 是 密 ， 称 X 稠 子 。
k ∞ ∞
（ ϕ 的 体 期 组 的 合Per(ϕ) 在X 中 密 即 2 ） 全 周 点 成 集 稠 ， Per(ϕ) = X ； （ ϕ 对 始 是 感 依 ， ， 在 数 > 0 使 对 任 点 ∈X， 在 ） 初 值 敏 相 的 即 存 常 δ ， 得 于 一 x 存 3 点 {xn} ⊂ X 适 列 合 ~ lim d(xn , x) = 0, 且 inf d(Orbϕ (xn ), Orbϕ (x)) ≥δ， n→ 0 n ~ 其 d(Orbϕ (xn ), Orbϕ (x)) 表 轨 Orbϕ (xn ) 与Orbϕ (x) 之 的 行 隙 ， 义 中 示 道 间 并 间 度 定 为 ~ d(Orbϕ (xn ), Orbϕ (x)):= supd ϕk (xn ),ϕk (x) 。
(
)
意 无 ( 注 δ > 0与x 和{xn} 都 关)；
所 ， 混 系 ， 则 不 做 期 测 混 系 的 一 性 科 界 以 对 沌 统 原 上 能 长 预 。 沌 统 这 属 对 学 在 识 和 法 方 具 重 意 和 响 想 想 学 好 容 达 的 认 论 方 论 面 有 要 义 影 。 一 科 界 不 易 成 “ 动 ” 可 造 共 ， 不 理 混 动 系 为 么 科 界 有 永 机 不 制 的 识 就 难 解 沌 力 统 什 对 学 具 重 要 义 影 了 意 和 响 。 混 动 系 的 扑 递 ， 味 这 系 的 可 解 ， ， 沌 沌 力 统 拓 传 性 意 着 种 统 不 分 性 即 混 系 不 分 成 个 互 干 子 统 亦 ， : X →X不 同 有 样 统 能 解 两 相 无 的 系 ， 即 ϕ 能 时 这 的 两 不 子 A和 ， 得 个 变 集 B 使 非 即 的 A与 都是 空的， 开又闭 ，并且 ∪B = X , A ∩B =φ 。 B A 混 系 的 期 稠 性反 出 种 统 存 着 定 规 因 。 沌 统 周 点 密 则 映 这 系 中 在 一 的 则 素
动 ； 果 在 整 n使 ϕn (x) = x， 称 为 的 个 期 ， 将 得 点 如 存 正 数 得 则 x ϕ 一 周 点 并 使
定 3 对 连 映 ϕ : X →X， 果 ∈X适 ϕ(x) = x， 称 为 的 义 于 续 射 如 x 合 则 x ϕ 不
混沌的数学描述
义5 一 度 空 ， 一 连 映 。 果 述1 ） 定 5 设( X, d) 是 个 量 间 ϕ : X →X 是 个 续 射 如 下 （ ， 义 （ 和 3 三 成 ， 称 在X 上 混 的 2 ） （ ） 条 立 便 ϕ 是 沌 ： 1 ） 拓 传 的 即 对 任 非 开 U 有 （ ϕ是 扑 递 ， ， X的 一 空 集 ， 意 是 ϕ 稠 ） ϕ (U) = X （ 思 U k (U) 在X 中 密 ； U
2
k
) (σ = (σ0σ1σ2 L,τ 类 表 )。 似 示
（ d(σ,τ ) + d(τ,ξ) ≥ d(σ,ξ)。 3 ） 另 ， 难 明 列 题 外 不 证 下 命 ：
（ d(σ,τ ) ≥ 0 且 号 在 =τ 时 立 1 ） ， 等 仅 σ 成 ； （ d(σ,τ ) = d(τ,σ) 2 ） ；
数学精神与方法
第七讲 运算与迭代的威力（三） 运算与迭代的威力（
§3.3 迭代产生的混沌与分形
回顾自然数的基本原理之一——递归原理： 递归原理： 回顾自然数的基本原理之一 递归原理
一 映 ， 归 理 S 一 集 ， 递 原 设 是 个 合 ϕ : S →S为 个 射 a 是的 一 事 给 的 素 那 ， 在 到的 一 S 任 个 先 定 元 。 么 存 Ν S 唯 的 射 : Ν→S， 足 映 f 满 f (0) = a , 且 f (n′) =ϕ o f (n) (∀ ∈Ν) . n 上 定 是 们 以 出 归 义 理 依 。 述 理 我 可 做 递 定 的 论 据 例 ， 然 系 的 法 乘 两 运 ， 是 递 如 自 数 中 加 和 法 种 算 都 用 归 式 义 ； 两 运 ， 定 的 理 本 上 方 定 的 这 种 算 其 义 合 性 质 正 基 上 的 归 理 这 在 五 中 清 了 是 于 面 递 原 。 已 第 讲 讲 楚 。
加法和乘法连同其逆运算（减法和除法） 加法和乘法连同其逆运算（减法和除法）的威力在上一讲我们已有所 感受。想一想， 数形合一”的实现， 感受。想一想，“数形合一”的实现，竟然是对自然数无限次地运用简单 四则运算的结果。那么，我们在惊叹“万物皆数”此言不虚的同时， 四则运算的结果。那么，我们在惊叹“万物皆数”此言不虚的同时，能不 感受运算——尤其是无限次运算 尤其是无限次运算——的震撼吗？！感谢上苍让我们，按逻 的震撼吗？！感谢上苍让我们， 感受运算 尤其是无限次运算 的震撼吗？！感谢上苍让我们 辑给予的启示，凭借自身心灵的力量就学会了无限次运算。 辑给予的启示，凭借自身心灵的力量就学会了无限次运算。 在此，我们提醒大家，不要忘记递归原理和数学归纳法原理的作用， 在此，我们提醒大家，不要忘记递归原理和数学归纳法原理的作用， 不要无视“无限” 的观念所蕴含的超越性力量。 不要无视“无限” 的观念所蕴含的超越性力量。
那 称 ( ⋅ , ⋅ )为 上 一 度 ， 距 ； 时 我 说 连 其 的 离 ( ⋅ , ⋅ )构 了 么 d 成 一 X 的 个 量 或 离 此 ， 们 X 同 上 距 d 个 量 间 记 (X, d)。 度 空 ， 作
（ d( , 3 ）
( 义 设 X, d)是 个 量 间 A是 的 个 集 我 记 一 度 空 ， X 一 子 。 们 定 { A′ = x∈X ∃ xn} ⊆ A\ {x}使 lim d(xn , x) = 0 得
迭代这一数学模式成为描述决定性系统的理想工具。 迭代这一数学模式成为描述决定性系统的理想工具。
基本概念
定 1 设 是 个 量 间 ϕ : X →X是 个 续 射 我 称 代 列 义 X 一 度 空 ， 一 连 映 。 们 迭 序 L L ϕ0 =idX , ϕ1 =ϕ, ϕ2 =ϕ oϕ, L , ϕk =ϕ oϕk−1, L 为 ϕ 定 的 动 系 ， 离 动 系 。 由所 义 半 力 统 或 散 力 统 定 2 对 由 续 射 : X →X所 义 离 动 系 及 始 x0 ∈X, 义 于 连 映 ϕ 定 的 散 力 统 初 点 我 记 们 Orbϕ ( x0 ) = ϕk (x0 ) k ∈N
∞ n→ n
因 ， 动 系 做 程 测 是 行 。 么 对 力 统 否 长 预 此 对 力 统 短 预 总 可 的 那 ， 动 系 能 做 期 测 ？ 呢 混 动 系 ， 对 值 敏 依 性于 沌 力 统 具 初 的 感 赖， 是
∞ n→ k≥0
lim supd ϕk ( xn ),ϕk ( x) ≥δ > 0
( 一 度 空 ， 制 X 义 设 X, d)是 个 量 间 X0是 的 个 空 集 那 d( ⋅ , ⋅ )限 在 0 × X0上 X 一 非 子 ， 么 定
简 ( X, d)的 空 。 称 子 间