学业水平考试数学模拟试题1

学业水平考试数学模拟试题
一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1设集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）
A ．0X ⊆
B ．{}0X ∈
C ．X φ∈
D ．{}0X ⊆ 2 函数x y sin =是（ ）
A ．增函数
B ．减函数
C ．偶函数
D ．周期函数 3已知函数822+-=x x y ，那么（ ）
（A ）当x ∈（1，＋∞）时，函数单调递增 （B ）当x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减
（C ）当x ∈（－∞，－1）时，函数单调递增 （D ）当x ∈（－∞，3）时，函数单调递减
4 不等式组⎩
⎨⎧≥-≥02
y x x 所表示的平面区域是（ ）
A B C D
5 数列{}n a 满足()131n n a a n +=-≥且17a =，则3a 的值是（ ）
A 1
B 4
C －3
D 6
6 圆0222=-+x y x 的圆心到直线1+=x y 的距离是（ ）
Ａ、2 Ｂ、
2
2
Ｃ、2 Ｄ、0 7 已知直线m l ,，平面βα,，且βα⊂⊥m l ,，给出四个命题：①若βα//，则
m l ⊥；
②若m l ⊥，则βα//；③若βα⊥，则m l //； ④若m l //，则βα⊥. 其中正确命题的个数是（ ） A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
8 不等式
021≥-+x
x
的解集为（ ） A 、[1,2]- B 、[1,2)- C 、),2[]1,(+∞⋃--∞ D 、),2(]1,(+∞⋃--∞ 9一个平面截一个球得到截面面积为216cm π的圆面，球心到这个平面的距离是
3cm ，则该球的表面积是（ ）
A ．216cm π
B ．225cm π
C ．275cm π
D ．2100cm π
10 已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ）
A ．(5,10)--
B ．(4,8)--
C ．(3,6)--
D ．(2,4)-- 11 直线l 将圆044222=-+-+y x y x 平分，且在
两坐标轴上的截距
相等，则直线l 的方程是（ ） A.02,01=-=+-y x y x B.02,01=-=--y x y x C.02,01=+=++y x y x
D.02,01=+=+-y x y x
12若执行下面的程序图的算法，则输出的k 的值为（ ）．
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
13 若532sin =θ，的终边在则θθ,5
4
2cos -=（ ）
A. 第二象限
B.第三象限
C.第四象限 D . 第三、四象限 14若m n 、是正实数，则（ ）
A.
2m n n m +> B.2m n n m +< C.2m n n m +≥ D.2m n
n m
+≤ 15 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项的和，20081-=a ，
22005
20072005
2007=-S S ，则2008
S 的值为（ ）
A 、2007-
B 、2008-
C 、2007
D 、2008
二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分。

把答案填在题中的横线上）
16．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，
现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n=
17 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,10
,121
)(x x
x x x f ，若a a f >)(，则实数a 的取值范围是
18 如果sin ()A π+＝
12，那么cos 32A π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值是_________ 19 有5把钥匙，其中有2把能打开锁，现从中任取1
把能打开锁的概率是
20．如图，已知两个灯塔A 和B 与观察站C 的距离都为
akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东 10，灯塔B 在观察站C 的南偏东 50，则灯塔A,B 间的距离是 km
一、选择题答题卡：
16、_________17、_________18、__________ 19、__________20、__________ 三、解答题（本大题有5小题，共40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（本小题满分8分）试证明函数1y x x
=+在(1)+，∞上为增函数．
22．（本小题满分8分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 已知335,9a S ==. （Ⅰ）求首项1a 和公差d 的值; （Ⅱ）若100n S =，求n 的值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案
B
1
A 23 （本小题满分8分）
求圆心在直线4 x + y = 0上，并过点P （4，1），Q （2，－1）的圆的方程
24．已知3
(sin ,)2
a x =，(cos ,1)
b x =-.
(1)若//,a b 求tan(2)4x π-的值;（2）设[0,],2
x π
∈求()()f x a b b =+⋅的最小值。

25 （本小题满分8分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，
1AC BC ==，12AA =，090ACB ∠=， M 是A 1B 1的中点
（1） 求证C 1M ⊥平面11ABB A ；
（2） 求异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值
学业水平考试数学模拟试题参考答案与评分标准
一、选择题1．D 2．D 3．A 4．D 5．A 6．A 7．C8．B9．D 10．B 11．C 12．C 13．C 14．C 15．B
二、填空题 16．80 17．1-<a 18．
12
19．52
20．a 3
三、解答题（本大题有5小题，满分40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21解：证明：设12x x ，是(1)+，∞上的任意两个实数，且12x x <，则
12121211()()f x f x x x x x ⎛⎫-=+
-+ ⎪⎝⎭
12
12121212121212111()x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．120x x -<∵，1210x x ->，
120x x >，12()()0f x f x -<∴，即12()()f x f x <．故函数1
y x x
=+在(1)+，∞上为增函数． 22. 解: (Ⅰ) 335,9a S ==,
1
125,339.a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得11,
2.
a d =⎧⎨=⎩ (Ⅱ)由100n S =,得()121002n n n -+⨯=, 解得10n =或10n =-(舍去).10n ∴=.
23 解：解:∵点P ，Q 在圆上，∴圆心在PQ 的垂直平分线上，PQ 的垂直平分
线的方程为x + y －3 = 0
又圆心在直线 4 x + y = 0上，∴它们的交点为圆心
由⎩
⎨⎧=-=⎩⎨
⎧=-+=+,4,
1,
03,04y x y x y x 得
即圆心坐标为(－1，4)，半径()()3414122
2=+++=
r ,
因此所求圆的方程为()()344122=-++y x
24 (1)∵//,a b ∴sin 33,tan cos 22x x x =-⇒=-，而232()
2tan 122tan 291tan 514
x x x ⨯-==
=-- 121
tan 217
5tan(2)1241tan 217
15x x x π--∴-===++
1
(2)()(sin cos ,)(cos ,1)
2
a b b x x x +⋅=+⋅-
211
(sin cos )cos sin cos cos 22x x x x x x =+-
=⋅+-
=
2)2
4x π+ 02
x π
≤≤
524
4
4
x π
π
π
∴
≤+
≤
(sin 2)124x π∴-≤+≤
min 1
sin(2)()(42
x f x π∴+===-当
25 (1)∵直三棱柱111ABC A B C -，∴1AA ⊥面111A B C 1C M ⊂面111A B C ， ∴
11C M AA ⊥， ∵11111A C B C ==， M 是A 1B 1的中点，∴111C M A B ⊥ 又
1
AA 111A B A = ∴ C 1M ⊥平面11ABB A
(2)设BC 、1BB 的中点分别为R 、N ， 连接MN ，∴MN ∥1A B ，连接RN ，∴RN ∥1B C ，
∴MNR ∠是异面直线1A B 与1B C 所成角或其补角；设点P 是AB 的中点，连接MP 、MR ，在Rt △
MPR MR ==MNR
中，
112MN A B =
=
112RN B C ==
∴222
cos 2MN PN MP MNR MN PN
+-∠==
⋅
⋅222
22
+-=
∴异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为。