高中数学讲义微专题76 存在性问题

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高中数学教学存在的问题及措施分析

高中数学教学存在的问题及措施分析随着社会的快速发展，数学已经成为一门不可或缺的学科。

高中数学作为学生未来学业和职业发展的基础，其教学质量对学生的终身影响深远。

目前高中数学教学中存在着不少问题，如教学内容的难易不合理、教学方法的单一、师资力量的不足等。

面对这些问题，我们需要采取措施来加以解决，以提高高中数学教学的质量和水平，让学生真正掌握数学知识和方法，做到知行合一，为未来的发展奠定坚实基础。

高中数学教学存在的问题是教学内容的难易不合理。

当前，高中数学教学在一些学校中普遍存在这样的情况：基础知识的讲授过于简单，而难度较大的知识点又比较集中，学生容易出现学习瓶颈。

这样的教学方式不利于学生全面的知识掌握和能力培养。

为了解决这一问题，教师可以根据学生的实际情况对教学内容进行合理安排，让学生有充分准备，步步深入。

可以通过调整教学内容的难度和深度，使学生在学习过程中感觉到挑战和成就感，提高学生的学习兴趣和学习动力。

高中数学教学存在的问题是教学方法的单一。

目前，很多教师还停留在传统的教学模式上，主要采用讲解和讲义的形式，学生被动接受知识，缺乏主动性和创造性。

为了改进这种状况，教师可以运用多媒体教学、案例教学、实验教学等多种教学手段，增加学生的参与感和体验感。

教师可以鼓励学生进行讨论、小组合作，培养学生的团队协作意识和创造性思维，提高学生的学习兴趣和学习效果。

高中数学教学存在的问题是师资力量的不足。

随着教育事业的不断发展，虽然教育投入逐年增加，但是由于教师数量和教育资源分配存在不均衡的情况，导致了高中数学教师的师资力量不足。

为了解决这一问题，教育部门可以加大对教师岗位的培训力度，提高数学教师的教学水平和专业知识。

可以通过提供更多的教育资源和教育资金，吸引更多优秀的教师投身高中数学教育事业，为高中数学教学提供更好的师资力量支持。

存在性问题

第77讲存在性问题本节主要内容是存在性问题. 存在性问题有三种：第一类是肯定性问题, 其模式为“已知A, 证明存在对象B, 使其具有某种性质”. 第二类是否定性问题, 其模式为“已知A, 证明具有某种性质B 的对象不可能存在”. 第三类是探索性问题, 其模式为“已知A, 问是否存在具有某种性质B 的对象”.解决存在性问题通常有两种解题思路. 一种思路是通过正确的逻辑推理(包括直接计算), 证明(或求出)符合条件或要求的对象B 必然存在. 常利用反证法、数学归纳法、抽屉原则、计数法等. 另一种思路是构造法. 直接构造具有某种性质B 的对象. 常常采用排序原则、极端性原则进行构造.A 类例题例1 已知函数f (x )=|1-1x|.(1)是否存在实数a ,b (a <b ), 使得函数的定义域和值域都是[a ,b ]?若存在,请求出a ,b 的值；若不存在，请说明理由。

(2)若存在实数a ,b (a <b ), 使得函数的定义域是[a ,b ]，值域是[ma ,mb ](m ≠0)，求实数m 的取值范围.(2005年天津市数学竞赛试题)分析函数f (x )是分段函数，它的值域是[0,).+∞ [a ,b ]是[0,)+∞的子集，而f (0)＞0，所以a ＞0，因为函数f (x )在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，所以我们分三种情况(i) 当a ,b ∈(0,1)时；(ii) 当 a ,b ∈(1,+∞)时；(iii)当a ∈(0,1),b ∈[1,+∞)时加以讨论.解 (1)不存在实数a ,b (a <b )满足条件.事实上，若存在实数a ,b (a <b ), 使得函数的定义域和值域都是[a ,b ]，则有x ≣a ＞0.故f (x )=11, 1.11, 1.x x x x⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩(i)当a ,b ∈(0,1)时, f (x )= 1x-1在(0,1)上是减函数，所以，(),(),f a b f b a =⎧⎨=⎩即11,11.b aa b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 由此推出a =b 与已知矛盾. 故此时不存在实数a ,b 满足条件. (ii)当a ,b ∈(1,+∞)时, f (x )=1-1x在(1,+∞)上为增函数，所以，(),(),f a a f b b =⎧⎨=⎩即11,11.a ab b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 于是，a ,b 是方程x 2-x +1=0的实根，而此方程无实根，故此时不存在实数a ,b 满足条件.(iii) 当a ∈(0,1),b ∈[1,+∞)时,显然，1∈[a ,b ],而f(1)=0,所以0∈[a ,b ]，矛盾. 故故此时不存在实数a ,b 满足条件.综上可知，不存在实数a ,b (a <b )满足条件.(2)若存在实数a ,b (a <b ), 使得函数的定义域是[a ,b ]，值域是[ma ,mb ](m ≠0)易得m ＞0,a ＞0. 仿照(1)的解答，当a ,b ∈(0,1)或a ∈(0,1),b ∈[1,+∞)时，满足条件的a ,b 不存在. 只有当a ,b ∈(1,+∞)时，f (x )=1-1x在(1,+∞)上为增函数，有(),(),f a ma f b mb =⎧⎨=⎩即11,11.ma amb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 于是，a ,b 是方程mx 2－x +1=0的两个大于1的实数根.所以，140,1,m x ∆=->⎧⎪⎨=>⎪⎩只须0,140,12.m m m ⎧>⎪->⎨⎪>⎩解得0<m <14. 因此，m 的取值范围是0<m <14.说明本题首先要注意题目的隐含条件a ＞0，因为函数的值域是[0,).+∞例2 已知常数a >0，在矩形ABCD 中，AB=4, BC=4a ，O 为AB 的中点，E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE BC = CF CD = DGDA ，P 为CE 与OF 的交点. 问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.(2003年全国高考江苏卷试题)分析根据题设满足的条件, 首先求出动点P 的轨迹方程，根据轨迹是否是椭圆，就可断定是否存在两个定点(椭圆的两个焦点)，使得P 到这两点的距离的和为定值．解按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a ),D(-2, 4a ).设BE BC = CF CD = DGDA = k (0≤k ≤1).由此有E(2,4ak ),F(2-4k , 4a ),G(-2, 4a -4ak ).直线OF 的方程为2ax +(2k -1)y =0, ① 直线GE 的方程为-a (2k -1)x + y -2a =0, ② 由①②消去参数k 得点P(x ,y )坐标满足方程2a 2x 2+y 2-2ay =0,整理得x 212+(y -a )2a 2=1.当a 2＝12时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当a 2≠12时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆的两个焦点的距离的和是定长；当a 2＜12时，P 到椭圆两个焦点(-12-a 2,a ),(12-a 2,a )的距离之和为定长2；当a 2＞12时，P 到椭圆两个焦点(0, a -a 2-12),(0, a +a 2-12)的距离之和为定长2a .说明要解决轨迹问题首先要建立适当的直角坐标系，有时还要选择适当的参数作过渡．情景再现1.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +a 满足条件f (x +74)= f (74-x ), 且方程f (x )=7x +a 有两个相等的实数根.(1) 求f (x )的解析式;(2) 是否存在实数m 、n (0＜m ＜n ),使得f (x )的定义域和值域分别是[m ,n ]和[3n ,3m ]? 若存在, 求出m 、n 的值; 若不存在, 请说明理由. (2004年河南省数学竞赛试题)2．直线l ：y =kx +1与双曲线C ：2x 2－y 2=1的右支交于不同的两点A 、B .(I) 求实数k 的取值范围；(II)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. (2004年湖北省高考理科试题)B 类例题例3将平面上每个点都以红、蓝两色之一着色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色.(1995年全国高中数学联赛第二试试题)分析因为平面上的每点不是红色就是蓝色，由抽屉原理，对任何一个无穷点集，至少有一个无穷子集是同色点集，对一个含n 个元素的有限点集，至少有一个含]21n [+个元素的子集是同色点集.(其中[ ]为高斯符号)，于是利用抽屉原理，在半径为1和1995的两个同心圆上，寻找两个三顶点同色的相似三角形.证明在平面上，以O 为圆心，作两个半径为1和1995的同心圆.根据抽屉原理，小圆周上至少有5点同色，不妨设为A 1,A 2,A 3,A 4,A 5，连接OA 1,OA 2,OA 3,OA 4,OA 5,分别交大圆于B 1,B 2,B 3,B 4,B 5，根据抽屉原理,B 1,B 2,B 3,B 4,B 5中必有三点同色，不妨设为B 1,B 2,B 3,分别连接A 1A 2，A 2A 3,A 3A 1,B 1B 2,B 2B 3,B 3B 1,则△A 1A 2A 3∽△B 1B 2B 3，其相似比为1995，且两个三角形三顶点同色.说明解决有关染色问题抽屉原理是经常使用的．例4 在坐标平面上，纵、横坐标都是整数的点称为整点.试证：存在一个同心圆的集合，使得 (1) 每个整点都在此集合的某一个圆周上； (2) 此集合的每个圆周上，有且仅有一个整点.（1987年全国高中数学联赛第二试试题）分析构造法.先设法证明任意两整点到P ⎪⎭⎫⎝⎛31,2的距离不可能相等，从而将所有整点到P 点的距离排序造出同心圆的集合，这里同心圆的坐标不是惟一的，可取⎪⎭⎫ ⎝⎛31,2外的其它值.证明取点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,2.设整点(a ,b )和(c ,d )到点P 的距离相等，则2222222211(()((),3322(().3a b c d c a c a d b b d -+-=-+--=-+-+-即上式仅当两端都为零时成立.所以c =a ①c 2－a 2+d 2－b 2+32(b －d )=0 ②将①代入②并化简得d 2－b 2+32(b －d )=0.1即 (d －b )(d +b －32)=0 由于b ，d 都是整数，第二个因子不能为零，因此b =d ，从而点(a ,b )与(c ,d )重合，故任意两个整点到P ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,2的距离都不相等.将所有整点到P 点的距离从大到小排成一列 d 1，d 2，d 3，……，d n ，…….显然，以P 为圆心，以d 1,d 2,d 3,…为半径作的同心圆集合即为所求.说明同心圆的圆心坐标不是惟一的.例5 (1)给定正整数n (n ≣5), 集合A n ={1,2,3,…,n }, 是否存在一一映射φ：A n →A n 满足条件：对一切k (1≢k ≢n －1), 都有k |(φ(1)+ φ(2)+ … +φ(n ))；(2)N +为全体正整数的集合, 是否存在一一映射φ：N +→N +满足条件：对一切k ∈N +, 都有k |(φ(1)+ φ(2)+ … +φ(n )).注映射φ：A →B 称为一一映射, 如果对任意b ∈B, 有且仅有一个a ∈A, 使得b =φ(a ).题中“|”为整除符号. (2004年福建省数学竞赛试题)分析对于问题(1)不难用反证法结合简单的同余理论可以获解；对于问题(2)采用归纳构造．解(1)不存在. 记S k =∑=ni i 1)(ϕ.当n =2m +1(m ≣2)时, 由2m |S 2m 及S 2m = (2m +1)(2m +2)2－φ(2m +1)得φ(2m +1)≡m +1(mod2m ).但φ(2m +1)∈A 2m +1, 故φ(2m +1)=m +1. 再由(2m －1)|S 2m －1及S 2m －1=(2m +1)(2m +2)2－(m +1)－φ(2m )得φ(2m )≡m +1(mod(2m －1)).所以, φ(2m ) =m +1, 与φ的双射定义矛盾. 当n =2m +1(m ≣2)时, S 2m +1=(2m +2)(2m +3)2－φ(2m +2)给出φ(2m +2)=1或2m +2, 同上又得φ(2m +1)=φ(2m )=m +2或m +1, 矛盾.(2) 存在.对n 归纳定义φ(2n -1)及φ(2n )如下：令φ(1)=1, φ(2)=3. 现已定义出不同的正整数φ(k )(1≢k ≢2n )满足整除条件且包含1,2,…,n , 又设v 是未取到的最小正整数值. 由于2n +1与2n +2互质, 根据孙子定理, 存在不同于v 及φ(k )(1≢k ≢2n )的正整数u 满足同余式组u ≡-S 2n (mod(2n +1)) ≡-S 2n -v (mod(2n +2)).定义φ(2n +1)= u , φ(2n +2)=v . 正整数φ(k )(1≢k ≢2n +2)也互不相同, 满足整除条件, 且包含1,2,…,n +1. 根据数学归纳法原理, 已经得到符合要求的一一映射φ：N +→N +.说明数论中的存在性问题是竞赛命题的一个热点．情景再现3．将平面上每个点都以红、蓝两色之一着色. 存在有两个内角分别为2π7、 4π7，且夹边长为1996的三角形，其三个顶点同色.(1996年北京市数学竞赛试题)4. 在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取6个格点P I (x i ,y i )(i =1,2,3,4,5,6)满足(1)|x i |≢2,| y i |≢2, (i =1,2,3,4,5,6); (2)任何三点不在同一条直线上.试证在P i ( i =1,2,3,4,5,6)以为顶点的所有三角形中,必有一个三角形,它的面积不大于2.(1992年全国高中数学联赛第二试试题)5. 在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l 1,l 2,…，l n ,…的直线族，它满足条件： (1)点(1,1)∈l n ,n =1,2,…； (2)k n +1=a n —b n ，其中k 1是l 1的斜率，k n +1是l n +1的斜率，a n 和b n 分别是l n 在x 轴和y 轴上的截距，n =1,2,3, …； (3)k n k n +1≣0，n =1,2,3, ….并证明你的结论. (1988年全国高中数学联赛第二试试题)C 类例题例6 平面上是否存在100条直线, 使它们恰好有1985个交点.(第26届IMO 预选题)分析由于100条直线最多有C 1002=4950(＞1985)个交点, 所以符合要求的直线可能存在.减少交点的个数可有两种途径:一是利用平行线, 二是利用共点线. 所以用构造法.解法一由于x 条直线与一族100-x 条平行线可得x (100-x )个交点. 而x (100-x )=1985没有整数解, 于是可以考虑99条直线构成的平行网格.由于x (99-x )＜1985的解为x ≢26或x ≣73,x ∈N , 且1985=73×26+99-12, 于是可作如下构造: (1) 由73条水平直线和26条竖直直线 x =k ,k =1,2,3,...,73; y = k ,k =1,2,3, (26)共99条直线, 可得73×26个交点.(2)再作直线y =x +14与上述99条直线都相交, 共得到99个交点, 但其中有12个交点(1,15),(2,16),…,(12,26)也是(1)中99条直线的彼此的交点, 所以共得99-12个交点. 由(1)、(2),这100条直线可得到73×26+99-12=1985个交点.解法二若100条直线没有两条是平行的, 也没有三条直线共点, 则可得到C 1002=4950(＞1985)个交点, 先用共点直线减少交点数.注意到若有n 1条直线共点, 则可减少12n C -1个交点. 设有k 个共点直线束, 每条直线束的直线条数依次为n 1, n 2,…, n k . 则有 n 1+n 2+…+ n k ≢100,122221112965k n n n C C C -+-++-=L ( C 1002-1985=2965). 因为满足12n C -1＜2965的最大整数是n 1=77, 此时C 772-1=2925. 因此可构造一个由77条直线组成的直线束,这时还应再减少40个交点. 而满足22n C -1＜40的最大整数为n 2=9, 此时C 92-1=35. 因此又可构造一个由9条直线组成的直线束. 这时还应减少5个交点. 由于C 42-1=5,所以最后可构造一个由4条直线组成的直线束.因为77+9+4=90＜100, 所以这100条直线可构成为77条,9条,4条的直线束, 另10条保持不动即可. 说明本题的基本数学思想方法是逐步调整，这在证明不等式时经常使用，但学会在几何中应用，会使你的解题思想锦上添花．例7 设n 是大于等于3的整数, 证明平面上存在一个由n 个点组成的集合, 集合中任意两点之间的距离为无理数, 任三点组成一个非退化的面积为有理数的三角形. (第28届IMO 试题)分析本题的解决方法是构造法，一种方法在抛物线y =x 2上选择点列，另一种方法在半圆周上选择点列．解法一在抛物线y =x 2上选取n 个点P 1,P 2,…,P n , 点P i 的坐标为(i ,i 2) (i =1,2,…,n ).因为直线和抛物线的交点至多两个, 故n 个点中任意三点不共线, 构成三角形为非退化的. 任两点P i 和P j 之间的距离是|P i P j |=(i -j )2+(i 2-j 2)2=|i -j |1+(i +j )2 (i ≠j , i , j =1,2,…,n ).由于(i +j )2＜1+(i +j )2＜(i +j )2+2(i +j )+1=(i +j +1)2, 所以1+(i +j )2 是无理数. 从而|P i P j |是无理数.△P i P j P k 的面积=12222111i jk i j k =12|(i -j ) (i -k )(j -k )|, 显然是有理数. 因此,所选的n 个点符合条件.解法二考虑半圆周x 2+y 2=r 2(y ∈R +, r =2)上的点列{A n },对一切n ∈N *,令∠x OA n ＝αn ，则任意两点A i ,A j 之间的距离为|A i A j |=2r |sin αi -αj 2|,其中，0＜αn ≢π, cos αn 2 = n 2-1n 2+1, sin αn 2= 2nn 2+1.∴|A i A j |=2r |sin αi 2cos αj 2―cos αi 2sin αj2|为无理数．又sin αn =2sin αn 2cos αn 2∈Q, cos αn = cos 2 αn 2―sin 2 αn2∈Q.任何三点A i ,A j ,A k 不共线,必然构成非退化三角形，注意到r =2，其面积 S=12111cos cos cos sin sin sin ij k ijk r r r r r r αααααα=r22111cos cos cos sin sin sin i j k ijk αααααα=111cos cos cos sin sin sin i j k ijkαααααα为有理数．说明本题与第17届IMO 试题(见情景再现7)有一定的联系，请读者参考本解答完成它的解答．例8一个n ×n 的矩阵(正方阵)称为“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1,2,…,2n -1}, 且对每个i =1,2,…,n , 它的第i 行和第i 列中的所有元素合起来恰好是S 中所有元素.证明(1) 不存在n ＝1997阶的银矩阵；(2) 有无穷多个的n 值，存在n 阶银矩阵.(第38届IMO 试题)分析根据银矩阵的结构特征可以证明不存在奇数阶银矩阵，对任意自然数k , 用构造法构造出2k 阶银矩阵．解 (1)设n ＞1且存在n 阶银矩阵A. 由于S 中所有的2n -1个数都要在矩阵A 中出现，而A 的主对角线上只有n 个元素，所以，至少有一个x ∈S 不在A 的主对角线上. 取定这样的x . 对于每个i =1,2,…,n , 记A 的第i 行和第i 列中的所有元素合起来构成的集合为A i ，称为第i 个十字，则x 在每个A i 中恰好出现一次. 假设x 位于A 的第i 行、第i 列(i ≠ｊ). 则x 属于A i 和A ｊ，将A i 与A ｊ配对，这样A 的n 个十字两两配对，从而n 必为偶数. 而1997是奇数，故不存在n ＝1997阶的银矩阵.(2)对于n =2，A=1231骣÷ç÷ç÷ç÷桫即为一个银矩阵，对于n =4，A=1256317546127431骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫为一个银矩阵. 一般地，假设存在n 阶银矩阵A ，则可以按照如下方式构造2n 阶银矩阵D,D=A B C A 骣÷ç÷ç÷ç÷桫,其中B 是一个n ×n 的矩阵，它是通过A 的每一个元素加上2n 得到，而C 是通过把B 的主对角线元素换成2n 得到.为证明D 是2n 阶银矩阵，考察其第i 个十字. 不妨设i ≢n ，这时，第i 个十字由A 的第i 个十字以及B 的第i 行和C 的第i 列构成. A 的第i 个十字包含元素{1,2,…,2n -1}. 而B 的第i 行和C 的第i 列包含元素{2n , 2n +1,…,4n -1}.所以D 确实是一个2n 阶银矩阵.于是，用这种方法可以对任意自然数k,造出2k阶银矩阵.说明读者可以构造任意偶数阶银矩阵.情景再现6．证明不存在具有如下性质的由平面上多于2n(n＞3)个两两不平行的向量构成的有限集合G:(1)对于该集合中的任何n个向量, 都能从该集合中再找到n-1个向量, 使得这2n-1个向量的和等于0;(2)对于该集合中的任何n个向量, 都能从该集合中再找到n个向量, 使得这2n个向量的和等于0.(2003年俄罗斯数学奥林匹克试题)7．试证:在半径为1的圆周上存在1975个点, 其中任意两点之间的距离都是有理数.(第17届IMO试题)8．是否存在平面上的一个无穷点集，使得其中任意三点不共线，且任意两点之间的距离为有理数？(1994年亚太地区数学奥林匹克试题)习题771．已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1)的焦点为F,以A(a+4,0)为圆心，|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．(1)求|MF|+|NF|的值;(2)是否存在这样的a值，使|MF|，|PF|，|NF|成等差数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．(1996年昆明市数学选拔赛试题)2．证明:不存在正整数n使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方数. (2004年日本数学奥林匹克试题)3.证明只存在一个三角形,它的边长为三个连续的自然数,并且它的三个内角中有一个为另一个的两倍.(第10届IMO试题)4.是否存在这样的实系数多项式P(x):它具有负实数,而对于n＞1, P n(x)的系数全是正的.(1994年莫斯科数学奥林匹克试题)5.证明不存在对任意实数x均满足f[f(x)]= x2-1996的函数. (1996年城市数学联赛试题)6.是否存在有界函数f : R→R, 使得f(1)＞0, 且对一切的x、y∈R, 都有f 2(x+y)≣f 2(x)+2 f(xy)+ f 2 (y)成立. (2005年俄罗斯数学奥林匹克试题)7.是否存在数列x1,x2,…,x1999,满足(1)x i＜x i+1(i=1,2,3,…,1998);(2) x i+1- x i = x i- x i-1(i=2,3,…,1998);(3)( x i的数字和)＜( x i+1的数字和) (i=1,2,3,…,1998);(4) (x i+1的数字和)-( x i的数字和) = ( x i的数字和)–( x i-1的数字和)(i=2,3,…,1998)．(1999年江苏省数学冬令营试题)8．(1)是否存在正整数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有a2n+1≣2a n a n+2?(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有a2n+1≣2a n a n+2?(2004年中国东南地区数学奥林匹克试题)9．是否存在一个无限素数数列p1, p2,…,p n,…,对任意n满足|p n+1－2p n|=1.(2004年波罗的海数学奥林匹克试题) 10．证明：对于每个实数M, 存在一个无穷多项的等差数列, 使得(1)每项是一个正整数, 公差不能被10整除;(2)每项的各位数字之和超过M. (第40届IMOY预选题)11．是否存在定义在实数集R上的函数f(x),使得对任意的x∈R，f(f(x))=x, ①且f(f(x)+1)=1-x? ②若存在，写出一个符合条件的函数；若不存在，请说明理由．(2004年河南省数学竞赛试题)12．对于给定的大于1的正整数n ,是否存在2n 个两两不同的正整数a 1,a 2,…,a n ; b 1,b 2,…,b n 同时满足以下两个条件：(1) a 1+a 2+…+a n = b 1+b 2+…+b n ;(2)n -1＞1ni i i i ia b a b =-+å＞ n -1- 11998.(1998年CMO 试题)“情景再现”解答1．(1)由条件有f (x )=ax 2-72a x +a . 又f (x )=7x +a 有两个相等的实数根,则由ax 2-(72a +7)=0可知, ∆=(72a +7)2-4a ·0=0, 解得a =-2.故f (x )= -2x 2+7x -2.(2)存在. 如图. 设g (x )= 3x (x ＞0). 则当f (x )= g (x )时, 有-2x 2+7x -2= 3x ,即2x 3-7x 2+2x +3=0. 故(x -1)(x -3)(2x +1)=0. 解得x 1=1, x 2=3, x 2=-12(舍去).因为f (x )max = 4ac -b 24a = 338,此时,x = 74∈[1,3],所以, 3f (x )max = 811＜1. 故取m =811, n =3时, f (x )= -2x 2+7x -2在[811,3]上的值域为[1, 338]符合条件. 2. (I)将直线l 的方程y =kx +1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2=1后，整理后得(k 2－1)x 2+2kx +2=0 ①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故k 2－2≠0，Δ=(2k )2－8(k 2－2)>0，－2kk 2－2>0， 2k 2－2>0. 解得k 的取值范围为－2<k <－2.(II)设A 、B 两点的坐标分别为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则由①得x 1+x 2=－2kk 2－2，x 1x 2=2k 2－2. ②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c ,0)，则由FA ⊥FB 得(x 1－c )( x 2－c )+ y 1y 2=0，即(x 1－c )( x 2－c )+( kx 1+1)( kx 2+1)=0. 整理得(k 2+1)x 1x 2+(k －c )(x 1+x 2)+c 2+1=0. ③将②式及c= 62代入③式化简得5k 2+26kx －6=0.解得k =－ 6+65或k = 6－65∉(－2,－2)(舍去).可知k =－ 6+65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F .43A3. 任作一个边长为1996的正七边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7.这7个顶点中必有4点同色,而在这同色四点中,必有两点是相邻顶点, 为确定起见, 不妨设这两点就是A 1、A 2,并且它们均是红色. (1) A 4或A 6中有一个是红色的, 比如, A 6是红色的, △A 1A 2A 6即为所求.(2) A 4与A 6都是蓝色的. 若A 7是蓝色的, 则△A 4A 6A 7即为所求;若A 3是蓝色的, 则△A 4A 6A 7即为所求; 若A 3、A 7都是红色, 则为△A 1A 3A 7所求.4. 设存在6个格点P 1, P 2 ,P 3 ,P 4 ,P 5 ,P 6 落在区域S={(x ,y )||x |≢2,|y |≢2}内,它们任3个点所成的三角形面积都大于2.记P={ P 1, P 2 ,P 3 ,P 4 ,P 5 ,P 6}(1)若x 轴具有P 中的点数小于2,则由抽屉原理,x 轴的上半平面(或下半平面——不包括x 轴)至少有P i 的三个点.此三点所成的三角形面积不大于2.矛盾.故x 轴上恰有P 的2个点(因不能有3点共线).又剩下P 的4个点不可能有一点在直线y =±1上,否则出现P 中的点为顶点的面积不大于2的三角形.这就证明了,在直线y =2,和y =－2上，分别恰有P 的两个点.注意到S 的对称性,同理可证:直线x =－2, x =0, x =2上分别有P 的两个点. 于是,在每条直线y =2i ,x =2i (i =0,±1)上恰有P 的两个点.(2)P 必不能包含原点,否则,因S 内纵,横坐标均为偶数的所有格点落在且仅落在过原点的4条直线上,由抽屉原理,剩下的P 的5个点,至少有两个点落在这些直线的其中一条上,于是3点共线,矛盾. 因此,P 中在x 轴的两点必是(－2,0)，(2,0).同理,在y 轴上的两点必是(0,－2)，(0，2).剩下的两点只能取(－2,－2)，(2,2)，或(－2,2)，(2,－2).不论哪一种情形,都得到一个以P 点为顶点的面积不大于2的三角形,矛盾.5. 满足条件(1)、(2)、(3)的直线族不存在. 若不然，l n 的方程为y —1=k n (x —1)1111,1,n n n n n n n n na b k a b k k k k +=-=--=-=都存在，故k n ≠0，n =1,2,3, …. 对于n ≣1，有1112111121,1,,1.111n n n n n n n nk k k k k k k k k k k k k k +---=--=--=-=-+++相加得：（）由于k n ≠0及(III)有k n k n +1>0可知诸k n 符号相同，不妨设k n >0,n =1,2,……. 由11111121111111,,(),n n n n n n n n nk k k k k k k k k k k k k +++=-<>=-+++<-有但当n >k 12时k n +1<0，矛盾.同理可证，当k n <0，n =1,2, …，也会出现矛盾. 6. 假设题目的结论不真.选取一条直线l , 使其不与集合G 中的任何一个向量垂直. 于是, G 中至少有n 个向量在直线l 上的投影指向同一方向, 设它们为e 1, e 2, …, e n . 在直线l 上取定方向,使得这些向量的投影所指的方向为负. 再在集合G 中选取n 个向量f 1, f 2 ,…, f n ,使得它们的和在直线l 上的投影的代数值s 达到最大. 由题中条件(2)知s ＞0.由条件(1),可以找到n -1个向量a 1, a 2 ,…,a n -1,使得f 1+ f 2+…+f n = -(a 1+a 2+…+a n -1).显然, 至少有某个向量e i 不出现在上式右端, 不妨设为e 1. 从而a 1+a 2+…+a n -1+e 1的投影为负, 且其绝对值大于s .再由条件(2)知, 又可以找到n 个向量, 使得它们的代数和等于-(a 1+a 2+…+a n -1+e 1),从而,该和的投影代数值大于s . 此与我们对f 1, f 2 ,…, f n 的选取相矛盾. 7. 取θn =arctan n 2-12n (1≢n ≢1975), 则sin θn = n 2-1n 2+1 , cos θn = 2nn 2+1都是有理数, 且2θn 互不相同.对单位圆上辐角为2θ1,2θ2,…,2θ1975的点P 1,P 2,…,P 1975,|P i P j |=2|sin(θi -θj )|=2| sin θi cos θj - cos θi sin θj )|为有理数.8. 答案是肯定的，下面提供两种构造这样的点集的方法．方法一存在角α，使得cos α与sin α都是有理数(例如sin α=35,cos α=45).考虑一个以有理数R 为半径的圆周，和一个弧度为2α的圆弧，显然a2R = sin α,其中a 是上述圆弧所对的弦长，因此弦长为有理数．从此弧的端点出发，在圆周上连续截取弧度为2α的圆弧，显然，任一弧所对的弦长XY 是有理数.由作图法知XY2R = |sin n α|,对某个正整数n ，由于cos α与sin α都是有理数，所以由数学归纳法可以证明sin n α和cos n α都是有理数．下面证明此过程产生一个无穷点集．为了此目的，设sin α＝p r , cos α＝qr ,其中(p ,q )=1,p 2+q 2=r 2,由棣美弗定理得(q r +i pr )n =cos n α+ i sin n α. 若其值为1，则1= cos n α=Σ(-1)k C n 2k p n -2k q 2krn. 由于q 2≡-p 2(mod r 2),则r n ≡p n 2n -1(mod r 2). 故2| r ,然而从p 2+q 2=r 2, (p ,q )=1可知这是不可能的．这就证明了我们描述的集合是无限集．方法二在平面上取一点P 和一条与P 距离为1的直线l ,设Q 是l 上与P 相距为1的点，考察l 上所有满足SQ,PS 都是有理数的点S,由于毕达哥拉斯基本的三元数组有无穷多个，而且与点S 一一对应，故存在无穷多个这样的点．作一个以P 为中心，半径为1的反演．此变换保持点之间的距离的有理性(这容易通过△PSR ∽△PS'R'证明，其中S 和R 是点集中的点，S'和R'分别为它们的象)．用这样的方法构造的点集在一个圆周上，因此，无三点共线．习题解答1. 解 (1)由已知得F(a ,0),半圆为[x -(a +4)]2+y 2=16(y ≣0)．把y 2=4ax 代入，可得x 2-2(4-a )x +a 2+4a =0. 设M(x 1, y 1),N(x 2, y 2).则由抛物线的定义得|MF|+|NF|=(x 1+a )+(x 2+a )=( x 1+ x 2)+2a =2(4-a ) +2a =8. (2)若|MF|，|PF|，|NF|成等差数列，则有 2|PF|=|MF|+|NF|.另一方面，设M, P, N 在抛物线准线上的射影为M', P', N'．则在直角梯形M'MNN'中，P'P 是中位线，又有 2|P'P|=|M'M|+|N'N|=|FM|+|FN|,因而|PF|=|P'P|.这说明了点P 应在抛物线上．但由已知P 是线段MN 的中点，即P 并不在抛物线上．所以不存在这样的a 值，使|MF|，|PF|，|NF|成等差数列．2．假设存在这样的n , 使2n 2+1，3n 2+1，6n 2+1都是完全平方数, 那么(2n 2+1)( 3n 2+1)(6n 2+1)必定为完全平方数, 而(2n 2+1)(3n 2+1)(6n 2+1)=36n 6+36n 4+11n 2+1,(6n 3+3n )2=36n 6+36n 4+9n 2,(6n 3+3n +1)2=36n 6+36n 4+12n 3+9n 2+6n +1,所以 (6n 3+3n )2＜(2n 2+1)(3n 2+1)(6n 2+1)＜(6n 3+3n +1)2, 显然,与(2n 2+1)( 3n 2+1)(6n 2+1)为完全平方数矛盾.3．设△ABC 满足题设条件, 即AB=n ,AC=n -1,BC=n +1, 这里n 是大于1的自然数. 并且△ABC 的三个内角分别为α、2α和π-3α，其中0＜α＜π3. 由于在同一个三角形中,较大的边所对的角也较大, 因此出现的情况只有如图所示的三种.对于情况(1), 因为sin(π-3α)sin α = sin3αsin α =4cos 2α-1=(sin2αsin α)2-1, 所以利用正弦定理可知n n -1 = sin(π-3α)sin α = (sin2αsin α)2-1= (n +1n -1)2-1, 从而得到n 2-5n =0, 解得n =5.同样,在情况(2)中,有n +1n -1 =(n n -1)2-1,解得n =2. 但n =2,此时三边为1,2,3,不能构成三角形. 在情况(3)中, 有n -1n =(n +1n)2-1,整理得n 2-3n -1=0, 但这个方程无整数解. 综上, 满足题设条件的三角形三边长只有4,5,6.可以证明cosB=34,cos2A= 18=cos2B, A=2B . 4. 存在．P(x )=10(x 3+1)(x +1)- x 2 =10x 4+10x 3- x 2+10x +10具有负系数, 但是P 2(x )= x 4+100(x 3+1)2(x +1)2-20x 2(x 3+1)(x +1)= x 4+20(x 3+1)[5(x 3+1)(x +1)2- x 2(x +1)]= x 4+20(x 3+1)(5x 5+10x 4+4x 3+4x 2+10x +5)的系数全是正的.P 3(x )=1000(x 3+1)3(x +1)3-300 x 2(x 3+1)2(x +1)2+30x 4(x 3+1)(x +1)-x 6=100(x 3+1)2(x +1)[10(x 3+1)(x +1)2-3x 2(x +1)]-x 6+30x 4(x 3+1)(x +1)=100(x 3+1)2(x +1)(10x 5+20x 4+7x 3+7x 2+20x +1)-x 6+30x 4(x 3+1)(x +1)=Q 1(x )-x 6+Q 2(x )Q 1(x )中的x 6的系数不小于1000,所以P 3(x )的系数也全是正的.又当k ≣2时,有P 2k (x )=[P 2(x )] k , P 2k +1(x )=[P 2(x )] k -1· P 3(x ).所以,对一切n ＞1, P n (x )的系数全是正的.5. 令g (x )= f [f (x )] = x 2-1996, 设a 、b 为方程x 2-1996= x 的两个实数根, 则a 、b 是g (x )的不动点. 设f (a )=p , 则f [f (p )]= f [f (f (a ))]= f (a )=p , 即p 也是g (x )的不动点. 所以f (a )∈{a ,b }.同理, f (b )∈{a ,b }.令h (x )= g [g (x )]=(x 2-1996)2-1996, 则h (x ) = x ∴ (x 2-1996)2-1996= x ∴ (x 2- x -1996)( x 2+ x -1995)=0所以h (x )存在四个不动点a 、b 、c 、d .因为c 2+c -1995=0, 所以g (c )= c 2-1996=- c -1= d .同理, g (d )=c .令f (c )=r , 则h [f (c )]= f [h (c )]= f (c ),即r 也是h (x )的不动点.若r ∈{a ,b },则d = f (r )∈{a ,b },矛盾; 若r = c , 则g (c )= f (r )= f (c )=r = c ,矛盾; 若r = d , 则d =g (c )= f (r )= f (d ),g (d )=g (r )=g (f (c ))=f (g (c ))= f (d )=d, 矛盾.综上所述, 满足条件的函数f (x )不存在.6. 不存在. 任取x 1≠0, 令y 1= 1x 1, 有 f 2(x 1+y 1)≣f 2(x 1)+2 f (1)+ f 2 (y 1) ≣f 2(x 1)+a ,其中a =2f (1)＞0.令x n =x n -1+y n -1, y n = 1x n, n ≣2. 于是, 有 f 2(x n +y n )≣f 2(x n )+a = f 2(x n -1+y n -1) +a ≣f 2(x n -1)+2a ≣…≣f 2(x 1)+na ,故数列{ f (x 1), f (x 2),…, f (x n ) ,…}并非有界.7. 存在，构造如下：取x 1= 00000 00001 00002 00003…09999,x 2= 00001 00002 00003 00004…10000,x 3= 00002 00003 00004 00005…10001,…………，x 1998= 01997 01998 01999 02000…11996,x 1999= 01998 01999 02000 02001…11997,这是公差为00001 00001 00001 00001…00001的等差数列(项数取1999),且各项数字和为公差是1的等差数列．8．(1)不存在.假设存在正整数数列{a n }满足条件a 2n +1≣2a n a n +2.因为a 2n +1≣2a n a n +2, a n ＞0,所以a n a n -1≢12·a n -1a n -2≢122·a n -2a n -3≢…≢12n -2·a 2a 1(n =3,4,…), 又a 2a 1≢122-2 · a 2a 1, 所以有a n a n -1≢12n -2·a 2a 1(n =2,3,4,…)成立, 于是 a n ≢(12n -2·a 2a 1)a n -1≢12(n -2)+(n -3)·(a 2a 1)2·a n -2≢…≢12(n -2)+(n -3)+…+1·(a 2a 1)n -2·a 2, 所以12222211().2≢n n n n a a a ---× 设212[2,2),k k a k+挝N *, 取N=k +3,则有 1221222221111121()() 1.22≢≢N k k N N N k k a a a a -++--++?这与a N 是正整数矛盾.所以, 不存在正整数数列{a n }满足条件.(2) a n = π2(n -1)( n -2)就是满足条件的一个无理数数列, 此时有a 2n +1=4a n a n +2≣2a n a n +2.9. 若存在这样的数列{ p n }满足条件. 由| p n +1－2p n | =1得 p n +1=2p n ±1＞2p n , 则数列{ p n }严格递增数列, 所以p 3＞3且不能被3整除, 若p 3≡1(mod3)时, 可得p 4= 2p 3－1(否则p 4= 2p 3+1≡0(mod3), 即p 4能被3整除,舍去), 类似的有, p 5= 2p 4－1, …,p n =2p n -1－1,容易得到p n =2n -3p 3－2n -3+1(n ≣3),令n －3= p 3－1, 由费尔马小定理)(mod 12313p p ≡-,则p n =2n -3p 3－2n -3+1≡0(mod p 3), 即p 3|p n , 矛盾. 当p 3≡2(mod3)时, 也可得到类似的结论.综上, 不存在这样的数列.10. 我们证明这个等差数列的公差为10m +1的形式. 设a 0是一个正整数, a n = a 0+n (10m +1)=10s s b b b -L , 这里s 和数字b 0,b 1,…,b s 依赖于n . 若l ≡k (mod2m ), 设l =2mt +k ,则10l =102mt +k =(10m +1-1)2t ·10k ≡(mod(10m +1)).于是, a 0≡a n =10s s b b b -L ≡2110m i i i c -=×å( mod(10m +1)).其中c i =b i +b 2m +i +b 4m +i +…,i =0,1,2,…,2m -1.令N 是大于M 的正整数, 满足c 0+c 1+…+c 2m -1≢N 的非负整数解(c 0,c 1,…,c 2m -1)的个数等于严格递增数列0≢c 0＜c 0+c 1+1＜c 0+c 1+ c 2+1＜c 0+c 1+…+c 2m -1+2m -1≢N+2m -1的数目, 即K N,2m =C 2m +N 2m =C 2m +N N = (2m +N)(2m +N -1)…(2m +1)N!. 对于足够大的m , 则有K N,2m ＜10m . 取a 0∈{1,2,…, 10m },使得a 0与集合 {21220m m --|c 0+c 1+…+c 2m -1≢N}中的任意元素模10m +1不同余, 因此, a 0的各位数字之和大于N . 从而, a n 的各位数字之和也大于N .11. 这样的函数不存在．下面用反证法证明．若存在函数f (x )使得条件均成立，先证明是f (x )是一一映射．对于任意的a 、b , 若f (a )= f (b ),则由①有a = f (f (a ))= f (f (b ))= b , 即f (x )是一一映射．将x =0代入①，则有f (f (0))= 0. ③ 将x =1代入②,得f (f (1)+1)= 0. ④ 由式③、④得f (f (0))= f (f (1)+1).因为f (x )是一一映射，所以，f (0)＝f (1)+1. ⑤ 同理，分别将x =1和x =0代入①、②，得f (f (1))= f (f (0)+1).则f (1) = f (0)+1. ⑥ ⑤＋⑥得0=2. 矛盾.12. 存在符合命题要求的2n 个正整数．令a i =2M i ,b i =2i ,(i =1,2,3,n -1;M 是大于或等于8000n 的正整数)，a n =(M -1)2n (n -1),b n =M(M -1)n (n -1).显然，上述2n 个正整数两两不同，且a 1+a 2+…+a n = b 1+b 2+…+b n = n (n -1)(M 2-M+1), 另一方面，我们有1ni i i i ia b a b =-+å＝(n -1) M -1M+1 - 12M -1＜n -1， 1ni i i i ia b a b =-+å＝n -1- 2(n -1)M+1 - 12M -1＞n -1-2(n -1)8000n - 18000＞n -1- 11998. 因此，上述所给的2n 个正整数符合命题要求．。

高中数学教学存在的问题及措施分析

高中数学教学存在的问题及措施分析随着社会经济的不断发展和教育体制的改革，高中数学教学在我国教育体系中扮演着重要的角色。

高中数学教学也存在一些问题，比如教学内容难度大、学生学习兴趣不高、教学方法单一等。

为了解决这些问题，我们需要进行深入分析，并提出相应的措施。

高中数学教学存在的问题是教学内容难度大。

随着教育体制的改革，高中数学知识体系越来越宽广，接触到的数学内容也越来越复杂。

这就给学生学习带来了一定的困难，尤其是对于一些数学基础较差的学生来说，更是感到无从下手。

这就需要我们采取相应的措施来解决这一问题。

高中数学教学方法单一也是一个问题。

传统的数学教学方法主要是讲授、讲解和练习，缺乏趣味性和互动性。

这就导致学生在学习数学时缺乏主动性和积极性，学习效果不佳。

我们需要采取一些新的教学方法来激发学生的学习兴趣和提高学习效果。

针对高中数学教学存在的问题，我们可以采取以下措施来加以解决。

我们可以通过优化教学内容来解决教学内容难度大的问题。

我们可以根据学生的实际情况，适当调整数学教学内容，让学生逐步学习，循序渐进，使学生在学习过程中能够感到轻松和愉快，从而提高学生的学习积极性。

我们还可以通过引入现代技术手段来提高教学效果。

可以利用多媒体教学技术，结合实际情况，设计生动有趣的教学课件，使学生在学习过程中能够更加直观地理解和掌握数学知识，从而提高学生的学习兴趣和学习效果。

高中数学教学存在的问题是众多的，需要我们采取一系列的措施来加以解决。

我们需要通过优化教学内容、创新教学方法、引入现代技术手段等多种途径来提高教学质量，激发学生的学习兴趣，从而达到提高教学效果的目的。

相信在全社会的关注和支持下，高中数学教学问题将会得到有效的解决，为培养更多数学人才做出积极的贡献。

高中数学教学中存在的问题及解决策略

高中数学教学中存在的问题及解决策略高中数学教学是培养学生数理思维能力和解决问题能力的重要环节，然而在实际教学中，却存在着诸多问题。

本文将围绕高中数学教学中存在的问题进行深入分析，并提出相应的解决策略。

一、存在的问题1. 学生对数学的兴趣不高高中数学内容较为抽象和理论，对学生的抽象思维要求较高，而大部分学生对数学的兴趣并不是很高，这导致了很多学生学习数学时缺乏积极性。

2. 学生基础参差不齐由于初中数学阶段的差异性，导致高中数学教学中学生的数学基础参差不齐，这让教师在教学中很难照顾到每一个学生的学习情况。

3. 数学教学过于注重理论在高中数学教学中，教师普遍过于注重数学的理论性和抽象性，而忽略了数学知识的实际应用和实际解决问题的能力培养。

4. 教学方法较为单一大部分数学教师依然采用传统的教学方法，如板书、讲解和习题训练为主，缺乏趣味性和互动性，导致学生对数学学习产生抵触情绪。

5. 数学知识点的脱节数学知识点之间的脱节严重影响了学生对数学的整体理解，使得学生缺乏对数学知识的系统性和整体性的把握。

二、解决策略1. 多元化的教学方法数学教师应尝试多种教学方法，如适当运用多媒体教学、案例教学等方式，提高教学的趣味性和活跃性，激发学生的学习热情。

2. 个性化的教学辅导针对学生基础参差不齐的问题，教师应根据学生不同的学习情况进行个性化的教学辅导，帮助学生夯实基础，保障学生学习的质量和效果。

3. 注重数学知识的实际应用教师在教学中应引导学生注重数学知识的实际应用，例如通过实际问题引出数学知识，让学生了解数学知识在现实生活中的应用，增强学生的学习动力和实际解决问题的能力。

4. 培养数学思维数学教学中应注重培养学生的数学思维，教师可以通过举一反三或归纳总结等方式，激发学生的思维能力，使学生能够善于发现问题、提出问题以及解决问题的能力。

5. 强化知识点之间的联系教师应加强数学知识点之间的联系，引导学生建立系统的数学知识体系，帮助学生将散落的知识点有机地联系起来，提升学生对数学的整体理解能力。

高中数学教学存在的问题及对策浅析

高中数学教学存在的问题及对策浅析一、问题分析1. 学生学习兴趣不高高中数学学科的抽象性、难度较大，使得一部分学生对数学学习失去了兴趣。

他们对数学没有太大的兴趣，因此在学习过程中缺乏动力和激情，导致学习效果不佳。

2. 数学基础薄弱一些学生在初中阶段对数学学习不够扎实，导致高中数学学习的基础薄弱。

这些学生在学习高中数学时经常会出现跟不上的情况，导致进一步的学习困难。

3. 教学方法单一一些学校的高中数学教学方法单一，主要以讲述为主，缺乏趣味性和互动性。

这种教学方法容易导致学生学习疲劳，缺乏学习的主动性和积极性。

二、对策分析1. 提高教学内容的趣味性在高中数学教学中，教师可以增加一些生动有趣的例子和故事，使数学内容更加生动有趣，激发学生的学习兴趣。

也可以通过多媒体教学和互动式教学方法，使教学内容更具吸引力。

2. 加强基础知识的学习学校可以在课程中增加对数学基础知识的巩固和强化学习，引导学生在高中数学学习中建立扎实的基础。

对于基础薄弱的学生，可以开设专门的辅导班，针对性地帮助他们解决基础问题。

3. 创新教学方法高中数学教学应该注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教师可以在教学中引入启发式教学、问题式教学等创新的教学方法，激发学生的思维，增强他们的学习动力。

三、对策建议1. 建立多元化的教学模式学校可以尝试建立多元化的高中数学教学模式，包括传统的课堂授课、实验教学、讨论式教学、实践活动等，通过多样的教学形式激发学生学习兴趣和动力。

2. 加强教师的专业培训学校可以加强对高中数学教师的专业培训，提升他们的教学水平和教育教学理念，引导教师在教学中更加注重学生的个性发展和综合能力的培养。

3. 加强与家长的沟通学校和教师应该积极与学生家长沟通，了解学生的学习情况和问题所在，与家长共同合作，为学生创造良好的学习环境和条件，让学生在家庭中得到更好的学习支持。

四、总结高中数学教学存在的问题主要体现在学生学习兴趣、数学基础和教学方法上，针对这些问题必须采取相应的对策。

高中数学教学中存在的问题及解决策略

高中数学教学中存在的问题及解决策略一、存在的问题1. 数学知识的抽象性难以理解高中数学知识相对抽象，对部分学生来说难以理解和掌握。

代数中的方程、函数，几何中的投影、旋转等内容，对学生来说常常是难以想象和理解的。

2. 数学问题的实际应用缺乏在教学中，很多数学教材中的问题都是纯粹的数学问题，缺乏实际生活中的应用场景。

这使得学生难以理解数学的实际意义，导致了学习兴趣的下降。

3. 数学教学缺乏趣味性高中数学教学多以讲述和记忆为主，缺少趣味性和互动性，容易让学生失去学习兴趣，影响学习效果。

4. 学生学习数学的动力不足由于数学知识的抽象性、高考竞争的压力等原因，部分学生缺乏学习数学的积极性，导致了学习动力的不足。

二、解决策略1. 培养学生对数学知识的直观理解能力针对数学知识的抽象性，教师在教学中应该引导学生培养直观理解能力，通过图形、实际问题等方式来辅助学生理解抽象的数学概念。

教师可以通过实际场景来引入数学问题，使得学生在实际中感受数学的魅力，提高他们的学习兴趣。

在教学中，教师应该注重数学教学的趣味性和互动性，尝试将有趣的数学问题、挑战和游戏引入课堂，激发学生学习数学的兴趣。

教师可以设计一些小组讨论、互动答题等活动，增强学生的学习参与度。

针对学生学习数学的动力不足的问题，教师应该注重激发学生学习数学的动力。

可以通过激励机制、合理的学习目标、学生角色的转变等方式，激发学生学习数学的主动性和积极性。

5. 个性化教学针对不同学生的学习特点和能力水平的不同，教师应该进行个性化教学。

根据学生的特点和需求，设计差异化的教学内容和方式，使得学生能够更好地理解和掌握数学知识。

三、结语高中数学教学中存在的问题是多方面的，需要教师和学校多方面的努力去改善。

通过培养学生的直观理解能力、强化数学知识的实际应用、注重数学教学的趣味性和互动性、激发学生学习数学的动力以及个性化教学等策略，可以有效提高高中数学教学的质量，提高学生的学习积极性和成绩。

高中数学教学存在的问题及对策浅析

高中数学教学存在的问题及对策浅析
高中数学作为学生必修的学科，对于学生的学习和发展具有重要的影响。

目前高中数
学教学存在着一些问题，如教学内容过于抽象、只重视理论而忽视实践、缺乏趣味性等。

为了解决这些问题，我们可以采取一些对策。

高中数学教学内容过于抽象是一个普遍存在的问题。

数学是一门抽象的学科，但过于
抽象的教学内容容易让学生感到无趣和无法理解。

我们可以通过引入一些具体的实例，将
抽象的概念与实际生活相结合，以增加学生的兴趣和理解能力。

在教授平面几何时，可以
通过实际物体的图像来讲解，让学生更直观地理解几何概念。

高中数学教学过于注重理论而忽视实践也是一个存在的问题。

数学是一门实践性很强
的学科，但传统的教学方法往往只注重理论推导，缺乏实际应用的训练。

为了解决这个问题，我们可以引入一些数学建模的教学内容，让学生通过实际问题的解决来应用数学知识，培养学生解决实际问题的能力。

可以加强实验教学，通过实际操作和观察，让学生更深入
地理解数学原理。

高中数学教学还存在着学生对数学学习的不重视的问题。

由于数学对于某些学生来说
较难，他们可能更倾向于放弃或选择其他学科。

为了解决这个问题，教师可以通过激发学
生的学习兴趣，提升学生的学习动力。

可以在课堂上讲一些数学的应用案例，展示数学在
现实生活中的重要性，从而帮助学生认识到数学的价值。

高中数学教学中存在的问题及改进策略

高中数学教学中存在的问题及改进策略一、问题分析：高中数学教学是学生学习数学知识和培养数学能力最重要的阶段之一，但在实际教学中，存在着一些问题和挑战。

高中数学涉及的内容较为抽象和深奥，对学生的逻辑思维能力、数学解决问题的能力和数学表达的能力要求较高。

由于教师普遍存在教学负担过重和教学资源不足的问题，导致教学效果不尽如人意。

现行的数学教学模式偏重传统的讲授和模拟测试，忽视了学生自主学习和探究的能力。

二、改进策略：1. 激发学生学习兴趣激发学生对数学学习的兴趣，关键在于丰富多彩的教学方式和生动有趣的数学实践。

教师可通过引入一些有趣的数学问题和案例，或者组织学生进行数学实验和数学建模等活动，展示数学在日常生活和实际问题中的应用，从而激发学生对数学学习的兴趣。

利用多媒体技术、互动式教学等手段，使数学教学更加生动活泼，吸引学生的注意力。

2. 提高教师的专业水平教师是数学教学中最关键的因素之一，其专业水平直接影响教学质量。

提高教师的专业水平是优化高中数学教学必须要解决的问题。

教育部门可加强对高中数学教师的培训和实践指导，使其掌握最新的教学理论和方法，提高教学水平和教学成果。

要关注教师的职业发展和心理健康，减轻教师的工作压力，激励其教学热情。

3. 引入多元化评价方式传统的数学教学评价主要以考试为主，这种评价方式容易导致学生的功利性学习，偏离了数学学科的本质。

应引入多元化的评价方式，包括平时成绩、学习过程记录、课堂表现、作业情况等，以及开展数学素质评价和综合能力测试等。

通过多种方式的评价，可以全面地了解学生的学习状况，激励他们全面发展和提高。

4. 推进数学教学的融合发展数学是一门与其他学科密切相关的学科，因此应推进数学教学与其他学科的融合发展。

教师应在教学中注重培养学生的跨学科思维，引导学生将数学知识与其他学科的知识相结合，拓展数学应用的领域。

在物理、化学等科目中，教师可以引导学生运用数学方法去分析问题和解决问题，提高学生对数学的综合应用能力和创新能力。

高中数学讲义微专题76存在性问题

Q ，问是否存在直线 l ，使得四边形 PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出 l 的方程；若不
存在，说明理由
解：（ 1） l0 与圆相切
10 dO l 5 2 r
a2
3
x2 y2
将 P 1, 代入椭圆方程
2
4
b 2 1 可得： b
3
x2
椭圆方程为：
4
y2 1
3
（ 2）由椭圆方程可得： F 1,0
22
23
23
当斜率不存在时，可知 l : x 1 ， A 1,
, B 1,
，则 P 2,0 不在椭圆上
3
3
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
综上所述： l : y
3 2 x 1 ，P ,
2 或l :y
22
2x
1 ，P
3 ,
2
22
2
2
例 2：过椭圆
:
x a2
y b2
1 a b 0 的右焦点 F2 的直线交椭圆于 A, B 两点， F1 为其左焦
x2 E : a2
y2 b2
1a b
0 的离心率是
2 ，过点 P 0,1 的动直线 l 与椭圆 2
相交于 A, B 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2
（ 1）求椭圆 E 的方程（ 2 ）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得对于任意直线 l ，
1
k2
1
4k 2 3
12 k2 1 4k2 3
联立直线 PQ 与椭圆方程：
y kx 1
3 2 消去 y 可得： 4k 2

浅谈高中数学教学存在的问题及对策

浅谈高中数学教学存在的问题及对策
高中数学教学存在的问题主要有以下几个方面：
第一，数学教学内容过于抽象和理论化。

传统的数学教学注重理论和公式的传授，缺乏实际问题的引导和解决。

学生往往对抽象的公式和理论感到困惑，学起来无从下手。

第二，数学教学缺乏启发和趣味性。

传统的数学教学注重学生的记忆和操练，很少注重启发学生思维和培养学生的兴趣。

学生对数学学习缺乏热情，导致学习效果不佳。

数学教学中缺乏充分的实践和应用。

传统的数学教学往往停留在公式和理论上，很少注重数学在现实生活中的应用和实践。

学生对数学的学习缺乏实际感和应用意识，无法将所学的知识运用到实际问题中去解决。

我们应该注重数学教学内容的启发性和趣味性。

在教学中，应该通过丰富多彩的教学方法和教学手段，引导学生主动探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣。

可以通过数学游戏、数学竞赛等形式，增加数学学习的趣味性。

这样可以促进学生的主动学习，提高学习效果。

我们应该注重数学教学内容的实践性和应用性。

在教学中，应该通过实际问题的引导和解决，让学生深刻体会数学的实际应用，培养学生的实际动手能力和应用意识。

可以通过实际问题的解决，增加学生对数学学习的兴趣和信心，从而提高学习效果。

针对高中数学教学存在的问题，我们可以通过以上的对策来提高教学质量。

这需要教师和学校的支持和配合，通过改革教学方式和教学方法，增加教学资源投入，提高教师的教学水平，从而提高学生的数学学习兴趣和学科成绩。

希望未来的高中数学教学可以更好地满足学生的学习需求，提高教学质量。

【本段文字208】。

浅谈高中数学教学中存在的问题及解决对策

浅谈高中数学教学中存在的问题及解决对策高中数学教学作为学生学习过程中的重要一环，不可避免地存在着一些问题。

这些问题不仅影响了学生的学习效果，还可能对学生的数学兴趣和学习动力产生负面影响。

我们有必要对高中数学教学中存在的问题进行深入分析，并提出解决对策，以期提高高中数学教学的质量，激发学生学习数学的兴趣和潜力。

高中数学教学中存在的问题主要包括以下几个方面：一、教学内容过于抽象和理论化。

高中数学教学往往偏向于理论知识和抽象概念的讲解，而缺乏实际应用和生活场景的引入。

这种教学方式容易使学生产生学习厌倦情绪，感到数学内容枯燥无味，难以理解和掌握。

二、教学方法单一化。

高中数学教学中，教师往往只采用传统的讲解和演示的方式来传授知识，而忽视了学生的个性差异和学习能力差异。

这种单一化的教学方法难以激发学生的学习兴趣和潜力，也难以调动学生的积极性和主动性。

三、教学资源不足。

由于高中数学教学所需的实验设备和教学资源相对较少，学校往往无法提供给学生充分的实践机会和资源支持。

这导致学生无法将理论知识与实际情景相结合，难以理解和应用所学知识。

四、评价标准单一。

高中数学教学中，评价标准主要依据学生的考试成绩和作业完成情况，忽视了其它方面的学习表现和能力展示。

这种单一的评价标准容易使学生形成应试教育的心态，追求分数，却忽视了对数学知识的真正理解和掌握。

针对以上问题，我们可以提出以下解决对策：一、注重数学知识的实际应用和生活场景的引入。

教师在教学过程中，可以通过丰富的例题和实例分析，使抽象的数学理论与实际生活相结合，提高学生对数学的兴趣和理解。

教师可以鼓励学生自主探究和发现数学问题，培养他们的创新思维和解决问题的能力。

二、采用多元化的教学方法。

教师在教学中，可以采用多种教学方法，如实验教学、问题式教学、讨论式教学等，以满足学生的不同学习需求和学习方式。

教师可以鼓励学生参加数学建模、数学竞赛等活动，拓展他们的数学视野和能力。

三、提供丰富的教学资源支持。

高中数学教学中存在的问题及改进策略探讨

高中数学教学中存在的问题及改进策略探讨高中数学教学是培养学生数理思维和逻辑推理能力的重要阶段，然而在实际教学中常常遇到各种问题，影响了教学效果和学生的学习积极性。

本文将就高中数学教学中存在的问题进行探讨，并提出改进策略。

一、存在的问题1. 教学内容过于抽象难懂：高中数学内容涉及到很多抽象的概念和理论，对学生来说很难理解和掌握，导致学习成绩不理想。

2. 缺乏实际应用：高中数学教学偏重于理论知识的传授，缺乏实际应用的训练，导致学生对数学的兴趣和学习积极性不高。

3. 教学方法单一：传统的数学教学方法单一，缺乏趣味性和启发性，难以激发学生的学习兴趣和潜力。

4. 学习压力大：高考对数学成绩的要求较高，使得学生在学习数学时存在较大的压力和焦虑情绪，影响了学习效果和身心健康。

二、改进策略1. 清晰化教学内容：在教学中应该尽量避免使用过多的数学符号和术语，让学生更容易理解和接受数学知识。

在引入新知识时，可以通过具体实例和生动形象的比喻来讲解，让学生更容易理解和接受。

2. 强化实际应用：在教学中应该加强数学知识与实际生活的联系，引导学生将数学知识应用到实际问题中去解决，提高学生的学习兴趣和动手能力。

3. 多元化教学方法：教师应该多样化教学方法，包括讲解、实验、讨论、游戏等多种形式，激发学生的学习兴趣和积极性。

可以利用数字化技术，如数学软件、互联网资源等，开展个性化学习和自主探究活动，提高学生的学习热情和主动性。

4. 疏导学习压力：教师和家长应该关注学生的学习压力，采取适当的帮助和疏导措施，引导学生树立正确的学习观念和态度，保持积极的心态和良好的情绪，更好地应对学习挑战和压力。

高中数学教学中存在着一些问题，但是通过采取相应的改进策略，可以有效地提高教学效果和学生的学习积极性。

教师和家长需要携手合作，共同关注学生的学习情况，为他们营造良好的学习环境，激发他们对数学学习的兴趣和热情。

相信通过不懈的努力，高中数学教学一定会取得更好的成绩，实现教育教学的全面发展目标。

浅谈高中数学教学存在的问题及对策

浅谈高中数学教学存在的问题及对策一、存在的问题1.学习动机不足在高中阶段，学生面临着来自升学压力、考试压力等多方面的压力，很多学生对数学学习的兴趣不高，学习动机不足。

这就导致了学生在学习数学时缺乏积极性和主动性，不愿意主动去探索数学知识，不愿意去解决数学问题。

2.数学知识缺乏系统性在高中阶段，数学知识较为复杂，学生需要掌握的知识点较多。

在教学中，很多教师只是着重强调知识点的传授和题目的训练，而忽略了知识的系统性。

这导致学生对数学知识的整体性认识不够，只是对零散的知识点有所掌握，而不能形成系统的认识。

3.缺乏数学实践能力数学是一门需要实践性较强的学科，而在教学中，很多教师过于注重数学知识的传授和计算题的训练，忽略了数学实践的能力培养。

这就导致学生往往只是停留在学习知识点和解答问题的表面，对于如何将数学知识应用到实际问题中缺乏相关的能力。

4.教学手段单一在高中阶段的数学教学中，很多教师使用的教学手段比较单一，主要是传统的讲授式教学。

这种教学模式往往导致学生的学习方式单一，缺乏主动性和创造性。

二、对策建议1.培养学生的兴趣教师在教学中要注重培养学生的数学学习兴趣，激发学生的学习动机。

可以通过设计有趣的数学问题、引导学生参与数学竞赛等方式，激发学生对数学的兴趣。

结合数学在现实生活中的应用，让学生认识到数学的重要性，增强学生的学习动力。

2.强化数学知识的系统性教师在教学中应该强调数学知识的系统性，培养学生对数学知识的整体性认识。

可以通过引导学生归纳总结相关知识、模块化教学等方式，帮助学生建立知识之间的联系，形成系统的数学知识结构。

3.注重数学实践能力的培养在教学中，教师应该注重培养学生的数学实践能力，让学生通过实际问题的解决来深入理解和掌握数学知识。

可以通过引导学生参与数学建模、组织实际问题的解答等方式，培养学生的数学实践能力，提高学生的数学思维能力。

4.多样化的教学方法教师在教学中应该采用多样化的教学方法，扩大教学手段的多样性。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼存在性问题

e=
c 3 = ⇒ a : b : c = 3 : 2 :1 a 3
第九章
第 76 炼圆锥曲线中的
在性问题
解析几何
则a =
3c, b = 2c ，依题意可得
F ( c,0 ) ，当 l 的斜率为 1 时
l: y = x−c⇒ x− y−c=0
∴ dO − l =
c
2
=
2 解得 2
c =1 x2 y 2 + =1 3 2
∴0 < r < 1
若直线 PQ 斜率在，设 PQ : y = kx + m ， P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 圆相
Q PQ
∴ dO − l =
m k +1
2
= r ⇐ m2 = r 2 ( k 2 + 1)
uuu r uuur OP ⊥ OQ ⇒ OP ⋅ OQ = 0
∴ a = 3, b = 2
椭圆方程为
2 设 P ( x0 , y0 ) ， A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 当 l 斜率在时，设 l : y = k ( x − 1)
uuu r uuu r uuu r Q OP = OA + OB
x0 = x1 + x2 ∴ y0 = y1 + y2
在时，可知 l : x = 1 ， A 1,
2 3 2 3 , B 1, − ，则 P ( 2,0 ) 3 3
第九章
第 76 炼圆锥曲线中的
在性问题
解析几何
∴ 综所述
3 3 2 2 l : y = 2 ( x − 1) ， P , − 或 l : y = − 2 ( x − 1) ， P , 2 2 2 2

浅谈高中数学中存在的问题及对策探究

浅谈高中数学中存在的问题及对策探究高中数学作为学科中的一门基础学科，对学生的逻辑思维能力、数学思维能力以及解决问题的能力都有着很高的要求。

在高中数学教学中，存在着一些问题，如学生对数学概念的理解不深、解题能力不强、学习兴趣不高等。

本文将针对这些问题进行探讨，并提出一些解决对策。

一、数学概念理解不深在高中数学教学中，学生对数学概念的理解不深是一个十分普遍的问题。

这主要是由于学生在初中阶段对数学概念的理解不够深入，导致了高中阶段对数学概念的理解也比较表面化。

其表现为学生对于抽象概念理解能力不足，不能很好地理解数学定理和公式的推导过程以及其实际意义。

对策一：建立数学概念融合的教学体系在高中数学教学中，可以通过建立数学概念融合的教学体系来帮助学生深入理解数学概念。

教师可以根据数学概念的融合性和延伸性，将不同的数学概念进行联系和整合，帮助学生建立起一个全面、系统的数学知识网络。

对策二：加强概念讲解和应用实例在教学中，老师可以利用大量的具体的例子和实际应用问题来帮助学生深入理解数学概念。

通过丰富的实例和真实的应用，可以帮助学生更好地理解数学概念，并将其应用到实际问题中去。

二、解题能力不强高中数学教学中还存在着学生解题能力不强的问题。

学生在解题过程中往往不能很好地运用所学的数学知识，不能灵活地解决问题，甚至有的同学面对一些简单的数学问题都感到力不从心，这显示了学生的解题能力有待提高。

对策一：培养解题思维在学生解题能力不强的问题上，教师们可以从培养学生的解题思维入手。

通过培养学生的解题思维，提高他们运用所学知识解决实际问题的能力。

教师可以通过提出一些具体问题，引导学生分析问题、巧妙运用所学数学知识解决问题，从而培养学生的解题思维。

对策二：拓展解题方法在教学中，教师可以通过拓展解题方法，帮助学生掌握不同的解题技巧和方法。

通过对一些常见的数学问题采用多种不同的解题方法进行讲解，可以帮助学生提高解题的灵活性和多样性，从而在解决问题时更加得心应手。

高中数学教学中存在的问题及解决策略

高中数学教学中存在的问题及解决策略随着教育改革的不断推进，高中数学教学也在不断变革和完善。

在教学实践中，仍然存在着一些问题，这些问题不仅影响着学生的学习效果，也制约了数学教学的提高和发展。

本文将探讨高中数学教学中存在的问题，并提出相应的解决策略，旨在为教师和教育管理者提供参考和借鉴。

一、存在的问题1.学生学习兴趣不高在高中数学教学中，学生学习兴趣不高是一个普遍存在的问题。

由于数学的抽象性和理论性较强，使得一些学生对数学课缺乏兴趣，认为数学难以理解和应用，从而产生畏难情绪，导致学习动力不足。

2.数学知识理解不透彻另外一个问题是学生对数学知识的理解不够透彻。

由于数学知识的系统性和逻辑性，学生往往只是泛泛了解概念和定理，而没有深入理解其内涵和应用。

这样一来，就容易出现知识点的死记硬背和机械运用，而缺乏灵活的应用能力和创新思维。

3.课堂教学方式单一高中数学教学中，课堂教学方式单一也是一个常见问题。

传统的数学教学往往以讲解和灌输为主，缺乏互动性和趣味性，使得学生在课堂上缺乏参与感和学习动力，导致学习效果不佳。

二、解决策略要解决学生学习兴趣不高的问题，关键在于激发学生的学习兴趣。

教师可以通过丰富多彩的教学手段和形式，引导学生主动参与课堂，增加课堂互动。

教师可以利用数学游戏、数学实验、数学竞赛等活动来激发学生学习的兴趣，使数学知识不再枯燥乏味，而是充满趣味和挑战。

针对学生对数学知识理解不透彻的问题，教师可以通过启发式教学法和问题解决式教学法，帮助学生深入理解数学知识。

在教学过程中，教师可以引导学生进行思维的碰撞和启发式的探究，培养学生的逻辑思维和创新意识，使得学生不再局限于知识的表面，而是能够深入挖掘数学知识的内涵和应用。

3.多元化的教学方式为了解决课堂教学方式单一的问题，教师可以尝试采用多元化的教学方式，比如合作学习、探究式学习、项目式学习等。

通过这些方式，可以打破传统的教学模式，激发学生的学习动力和兴趣，使得学生在课堂上能够更加主动参与和积极学习，从而提高学习效果。

高中数学教学中存在的问题及解决策略

高中数学教学中存在的问题及解决策略一个普遍存在的问题是学生对数学知识的学习缺乏兴趣。

数学所需的抽象思维和逻辑推理能力使得很多学生觉得数学很难以理解和应用。

解决这个问题的策略之一是通过引入生活中的实际问题，让学生了解数学知识的应用价值。

利用实例和案例，引导学生发现数学在经济、物理等领域的重要性。

教师还可以通过讲解一些与学生生活密切相关的数学知识，提高学生的学习兴趣。

高中数学教学中存在的另一个问题是课堂内容过于抽象，难以理解。

高中数学知识内容的抽象性使得很多学生难以理解其含义和应用。

为解决这个问题，教师可以采用一些引人入胜的案例或故事，以生动有趣的方式来讲解概念和理论。

可以结合实际问题引导学生剖析问题，培养抽象思维能力。

在教学过程中，还可以通过以偏概全的方式，将抽象的概念与日常生活中的具体事例联系起来，让学生更容易理解和应用。

另一个存在的问题是教学方法单一，缺乏灵活性。

传统的数学教学往往以教师为中心，强调知识的传授和死记硬背。

这种传统的教学方式很难激发学生的学习兴趣和主动性。

为解决这个问题，教师可以采用多种教学方法，如小组讨论、问题解决、实验探究等，培养学生的探究精神和解决问题的能力。

教师还可以根据学生的不同特点和学习风格，采用个性化教学，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

高中数学教学中存在的问题包括学生的学习兴趣不高、课堂内容过于抽象难以理解、教学方法单一缺乏灵活性以及作业负担过重和应试教育倾向。

为解决这些问题，教师可以通过引入实际问题、采用多种教学方法、减少作业量和注重培养学生的创新思维等策略来提高数学教学效果，激发学生的学习兴趣和主动性。

浅谈高中数学教学中存在的问题及解决对策

浅谈高中数学教学中存在的问题及解决对策一、问题分析1.学生对数学知识的掌握不牢固在高中阶段，学生所学的数学知识相对较多，而且都是基础知识。

很多学生在学习数学的过程中，对于基础知识的掌握不够牢固，导致后续数学学习出现困难。

这主要是由于初中数学学习的很多学生从基础内容开始就没有打好基础，导致了高中学习数学时基础薄弱的现象。

2.学生对数学知识的应用能力较弱高中数学的学习不仅仅是掌握知识点，更重要的是对数学知识的应用能力。

很多学生在学习数学时只注重知识的记忆，缺乏对数学知识的应用能力。

这导致了很多学生在高中数学学习中遇到实际问题时，无法灵活运用所学的知识，不能解决实际问题。

3.数学学习的枯燥性和缺乏趣味性数学是一门抽象的学科，很多学生在学习数学时很难体会到数学的趣味性，导致了数学学习的枯燥性。

这也是影响学生学习积极性和兴趣的一个重要因素。

二、解决对策1.加强基础知识的巩固为了解决学生在高中阶段对数学基础知识掌握不牢固的问题，教师可以在教学中针对性地加强对基础知识的讲解和训练，帮助学生夯实数学基础。

也可以通过补习班和辅导资料等方式，帮助学生有针对性地进行基础知识的巩固和突破。

3.增加数学学习的趣味性为了解决数学学习的枯燥性问题，教师可以在教学中增加数学的趣味性，例如通过趣味数学问题的讲解和解答，或者通过数学游戏和数学竞赛等方式，激发学生对数学学习的积极性和兴趣。

也可以结合学生的实际需求和兴趣，设计个性化的数学学习方案，让学生在学习中感受到数学的魅力。

4.鼓励学生进行合作学习合作学习是指学生之间相互合作进行学习活动的过程，通过合作学习，学生可以相互讨论、共同探讨问题，从而更好地理解和掌握数学知识。

教师可以在课堂教学中引导学生进行小组讨论和合作解题，提高学生学习的积极性和主动性，培养学生的团队合作精神和交流能力。

5.加强学习动机的激励学生的学习动机是影响学习效果的关键因素之一，教师可以通过奖励制度和激励机制激发学生学习的兴趣和动力。

高中数学课堂教学存在的主要问题与应对措施

高中数学课堂教学存在的主要问题与应对措施高中数学课堂教学中存在的主要问题包括：学生学习兴趣不高、基础薄弱、能力差异大、教学内容难度大、缺乏互动参与等。

学生学习兴趣不高是一个普遍存在的问题。

由于高中数学内容较为抽象、理论较多，很多学生难以将其与实际生活联系起来，并产生学习动力。

针对这个问题，教师可以通过举一些有趣的例子或者实际应用来说明数学的用途和意义，引发学生的兴趣。

基础薄弱是导致学生数学学习困难的重要原因之一。

高中数学内容往往是在初中数学基础上的延伸与拓展，如果学生初中数学基础不扎实，很难跟上课堂教学进度。

对于这个问题，教师应该在开学初对学生的初中数学基础进行诊断，有针对性地补充巩固学生的基础知识，并定期进行回顾，及时解决学生的困惑。

高中学生的数学能力差异往往非常大。

有些学生数学天赋较高，能够轻松应对难题，而有些学生对于数学学习感到困难。

为了解决这个问题，教师可以采取多层次的教学策略，根据学生的不同能力水平，分组进行教学，对于本能力较高的学生可以加大难度，对于能力较差的学生可以提供更多的辅导和指导，确保每个学生都能得到有效的教学。

高中数学教学中容易出现的另一个问题是教学内容难度大。

高中数学内容通常较为深入、抽象，给学生带来了较大的挑战。

教师应该充分了解学生的学习情况和能力水平，合理安排教学内容的难度。

可以适当减少一些难度较大的题目，增加一些能够注重实际应用的例题，通过具体实例来帮助学生理解和掌握抽象概念，提高学生对数学的兴趣和理解。

数学课堂教学缺乏互动参与也是一个普遍存在的问题。

许多传统的数学教学方法注重教师的讲解，学生则只是被动地接受知识。

为了提高学生的主动参与度，教师可以采用一些互动教学的方法，如小组合作学习、讨论和研究性学习等。

通过学生之间的互动和合作，能够提高学生的学习积极性和兴趣，激发他们的学习动力。

为了提高高中数学课堂教学的效果，教师可以通过增加学生学习兴趣、补全基础知识、针对不同能力开展教学、降低难度、增强互动等措施来解决问题。

高中数学教学存在的问题

高中数学教学存在的问题一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对当前高中数学教学存在的问题进行深入探讨，分析问题产生的根源，并提出相应的解决策略。

教学内容主要包括：高中数学课程体系的特点与要求，高中数学教学中常见的困难与误区，以及如何通过教学策略的调整，提高教学效果，激发学生的学习兴趣和积极性。

2、教学对象本教学设计的对象为高中数学教师和高中学生。

对于数学教师，帮助他们认识到当前教学中存在的问题，提升教学水平，改进教学方法；对于学生，使他们能够更好地理解数学知识，提高解决问题的能力，培养良好的数学素养。

同时，本教学设计还旨在为教育管理者、教研员等提供参考，以便他们从宏观层面指导高中数学教学工作的改进。

二、教学目标1、知识与技能（1）帮助教师和学生掌握高中数学课程的核心知识与概念，如函数、几何、代数、概率等，确保学生能够熟练运用这些知识解决实际问题。

（2）提高教师和学生的数学解题技能，包括分析问题的能力、逻辑推理能力、运算能力以及空间想象能力。

（3）培养教师和学生的数学思维，使其能够运用数学思想方法，如归纳法、类比法、演绎法等，发现数学规律，形成自己的知识体系。

2、过程与方法（1）教师方面：通过培训和学习，使教师掌握多样化的教学方法，如探究式教学、情境教学、分组合作学习等，提高教学效果。

（2）学生方面：引导学生运用自主学习、合作学习和探究学习等方法，培养独立思考和解决问题的能力。

（3）教学过程中，注重师生互动、生生互动，形成良好的学习氛围，使学生在交流与合作中提高数学素养。

3、情感，态度与价值观（1）情感方面：培养学生对数学学科的兴趣和热情，使其在学习过程中感受到数学的魅力，激发内在的学习动力。

（2）态度方面：帮助学生树立正确的数学学习态度，敢于面对困难和挑战，养成勤奋、严谨、求实的学风。

（3）价值观方面：通过数学教学，引导学生认识到数学在科学技术、社会发展和人类进步中的重要作用，培养他们的社会责任感和使命感。

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