高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系

第55炼 数列中的不等关系

一、基础知识：

1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点

2、如何判断数列的单调性：

（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N *

∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *

∈得到数列的单调性

（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）

3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的

{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识

来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。

4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题

例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2n

n n n c a λ⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()113

30n n n n S n nS n S S n

+++-+=⇒

=

12121121411

n n n n n n S S S S n n S S S S n n ----++∴

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-L L ()()()()12121326

n n n n n n n

S S ++++∴

==

⋅ 111S a ==Q ()()216

n n n n

S ++∴=

2n ∴≥时，()()

()()

()1121116

6

2

n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=

-

=

当1n =时，11a =符合上式

()12

n n n a +∴=

（2）思路：由（1）可得：221n

n c n λ⎛⎫

=-

⎪+⎝⎭

，由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n c c +<对

n N *∀∈均成立，所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式42

21

n n λ>

-

++，即只需max 4221n n λ⎛⎫>-

⎪++⎝⎭，构造函数或者数列求出4221n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭

的最大值即可 解：()2222112n n

n n n n n c n n a n λλλ⎛⎫

⎪⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪

⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪

⎝⎭

{}n c Q 是递减数列 n N *∴∀∈，1n n c c +<

即+1

222

221n n n n λλ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

424222121

n n n n λλλ⇒

-<-⇒>-++++ ∴ 只需max

4

221n n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭ ① 构造函数：设()()42

121

f x x x x =

-≥++

则()()

()

()()

()()

()()

22

2

'

2

2

22

22

22414

2

42212121x x x f

x x x x x x x +-+-=-

+

=

=

++++++

(

()()

22

221x x x x -+=-

++

所以()f x

在(

单调递增，在

)

∞单调递减

()()111,233f f == n N *∴∈时，()()()max 1123

f n f f ===

即max

421213n n ⎛⎫-=

⎪++⎝⎭ 13λ∴> ② 构造数列：设数列{}n t 的通项公式42

21

n t n n =

-

++ ()1424

2462221121n n t t n n n n n n n n

-⎛⎫∴-=

---=-+≥ ⎪+++++⎝⎭ ()()()()

()()

()()

4162212421212n n n n n n n

n n n n n n +-++++-=

=

++++

2n ∴>时，10n n t t --<，即1n n t t -<

当2n =时，21t t = 所以{}n t 的最大项为2113

t t ==

13

λ∴>

例2：已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列1n a ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和为n S ，若()2110

n n m

S S m Z +-≤

∈，对任意的n N *∈恒成立，则整数m 的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路：若2110n n m S S +-≤恒成立，()21max 10

n n m S S +-≤，要找n S ，则需先确定n a 的通项公式得到

1n a ：53

453

a a d -==-，所以()3443n a a n d n =+-=-，发现1143n a n =

-无法直接求和，21n n S S +-很难变为简单的表达式，所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---