高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系

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高中数学知识点精讲精析不等关系

13.1 不等关系（一）不等关系与不等式1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。

2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。

3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。

4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。

5. 若a 、b ∈R ＋，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。

（二）不等式的性质不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。

保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。

1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种：（1）当a ＞0时，得同向不等式。

（2）当a ＝0时，得等式。

（3）当a ＜0时，得异向不等式。

a b,a b,ab =><2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。

若或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。

”3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。

若，这个结论也常用。

不妨记为：“大正数除以小正数大于小正数除以大正数。

”4. 不等式性质有.不能忽略a 、b 均为正数这个条件，即由是不一定成立的。

5. 由成立。

但不一定成立。

反过来也不一定成立。

事实上。

（三）均值不等式1. 对于任意实数a ，b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。

2. 对于任意正实数a ，b，当且仅当a ＝ b 时等号成立。

3. 对于任意正实数a, b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。

4.的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE是过C 点垂直于AB 的弦。

若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋b ，⊙O 的半径，Rt △ACD∽Rt △BCD ，,。

高中数学必修五-不等关系与不等式

不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<as B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<cb，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。

探究高中数学中的不等式与不等关系

探究高中数学中的不等式与不等关系数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科，而不等式与不等关系作为数学中的一个重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。

不等式与不等关系不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。

本文将探究高中数学中的不等式与不等关系，分析其应用和意义。

一、不等式与不等关系的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表示方法，常用的不等关系有大于、小于、大于等于、小于等于等。

例如，a > b表示a大于b，a < b表示a小于b，a ≥ b表示a大于等于b，a ≤ b表示a小于等于b。

通过不等式与不等关系，我们可以比较两个数的大小关系，进而进行数值的比较和运算。

二、不等式与不等关系的性质及运算规则不等式与不等关系具有一些重要的性质和运算规则，这些性质和规则对于解决不等式问题具有重要的指导意义。

1. 不等式的传递性：如果a > b，b > c，那么可以推出a > c。

这个性质告诉我们，如果两个数之间存在大小关系，那么通过传递性可以推出更多的大小关系。

2. 不等式的加减乘除性质：对于不等式a > b，c > 0，有以下性质：- 加法性质：a + c > b + c- 减法性质：a - c > b - c- 乘法性质：a × c > b × c（当c > 0时）- 除法性质：a ÷ c > b ÷ c（当c > 0时）通过这些性质，我们可以对不等式进行加减乘除运算，从而得到新的不等式。

三、不等式的解集与图像表示解不等式就是找到满足不等式条件的数的集合，这个集合被称为不等式的解集。

不等式的解集可以用图像表示，从而更直观地理解不等式的解集。

对于一元一次不等式，我们可以通过构建不等式的解集来表示。

例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以通过移项得到2x > 2，进而得到x > 1。

高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.：数列中不等关系问题的研究与拓展.docx

专题6.14：数列中不等关系问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为 54（2）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且 122012111a a a +++L =2，则201314a a -的最小值为___________. 27-解：111,1(1)n n n a a a a +>-=-可得111111---=+n n n a a a ，故由122012111a a a +++L =2，可化为2111120131=---a a ，则112013232a a a --=可转化为单元函数求最值问题【解】由递推关系得111111n n n a a a +-=--，累乘得1201311211a a -=--，则120131321011a a a -=>--，得1312a <<，所以()12013111111111741446322462a a a a a a a ⎡⎤--=+-=---+≥-⎢⎥--⎣⎦，当且仅当154a =时，等号成立．变式1：等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，定义123n n a a a a ∏=L ，则 123,,∏∏∏L 中最大项是_______．变式2：设首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式21222ma nS a n n≥+对任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为______15解析：a 1＝0时，不等式恒成立，当a 1≠0时，λ≤a 2n a 21＋S2n n 2a 21，将a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －1d 2代入上式，并化简得：λ≤54⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1d a 1＋652＋15∴λ≤15，∴λmax ＝15. 探究2：（1）等比数列{}n a 的公比1q >，第17项的平方等于第24项，使得不等式1212111n na a a a a a +++>+++L L 恒成立的正整数n 的取值范围是__________（2）若*n c a n n N n=+∈（），且3n a a ≥，则实数c 的取值范围是_________．变式1：设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，*13,n n n a S n N +=+∈. （1）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若*1,n n a a n N +≥∈，求a 的取值范围．变式2：已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1， ()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）．（1）若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．拓展：（2014上海卷）已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n a *+∈=N ≤≤．（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ，若1133n n n S S S +≤≤，n *∈N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000k a a a +++=L ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L 的公差．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3， 6]．（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤又+1133n n n a a a ≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，n S n =，11n S n +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤ 成立．当1q ≠时，13n n S S +≤即111311n nq q q q+--≤⋅--． ①若13q <≤，则()32n q q -≥由*,,n q q n ≥∈N 得()32q q -≥，所以12q <≤②若113q ≤<，则()32n q q -≤．由*,,n q q n ≤∈N 得()32q q -≤，所以113q ≤<综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）设数列12,,,k a a a L 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得()()1111+311,1,2,, 1.3n d nd n d n k +-≤≤+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 即()()232,1,2,, 1.212,n d n k n d ⎧-≥-⎪=-⎨+≥-⎪⎩L 当1n =时，223d -≤≤，当2,1n k =-L 时，由22,2123n n -->+-得2,21d n -≥+ 所以22.213d k -≥≥-- 所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤．所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,,k a a a L 的公差为11999-．【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、恒成立问题、分类讨论探究3：（1）等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，1133130,0,a b a b a a =>=>≠且，则2255a b a b ____；____ (大小关系)变式：已知公差不为零的正项等差数列{a n }的前n 项和为n S ，正项等比数列{b n }的前n 项的和为n T ，若15530203015205,,a b a b S S T T ==--则_____（用不等号连接）（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈总有1(01n n S qa q q =+>≠，，*m k N ∈，，)m k ≠且． ① 求数列的{}n a 通项公式n a ； ② 试比较m k S +与221()2m k S S +的大小；③当1q >时，试比较2m k S +与2211m k S S +的大小．拓展1：已知等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d >，前n 项和为n S ，设m ，n ，p ∈N *，且2m n p +=（1）求证：22n m p S S S +≥；（2）求证：2p n m S S S ≤⋅；（3）若10051S =,求证：2009112009i iS =>∑拓展2：首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,q 为非零常数,已知对任意正整数,n m ,m n m m n S S q S +=+总成立.（2）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若不等的正整数,,m k h 成等差数列，试比较m h m ha a ⋅与2kk a 的大小；（3）若不等的正整数,,m k h 成等比数列，试比较11m h m h a a ⋅与2k ka 的大小. （1）证:因为对任意正整数,n m ，m n m m n S S q S +=+总成立, 令1n m ==，得211S S qS =+,则21a qa =令1m =，得11n n S S qS +=+ (1) , 从而211n n S S qS ++=+ (2), (2)－(1)得：21n n a qa ++=,(1)n ≥综上得1n n a qa +=(1)n ≥,所以数列{}n a 是等比数列（2）正整数,,m k h 成等差数列，则2m h k +=,所以22221()22m h m h k +>+=, 则22222111mhmm mh hhk mh m hm h a a a qa q a q --+--⋅==① 当1q =时，221m h k km h ka a a a ⋅== ② 当1q >时，2222222122111()m h km h m hk kkk k km h k a a a qa q a q a +----⋅=>==③ 当01q <<时，2222222122111()mhkm h m hk kkk k km h k a a a qa q a q a +----⋅=<==（3）正整数,,m k h 成等比数列，则2m h k ⋅=,则112m h k+>=, 所以111111111121121111()()()m h m h mhm h m hm h mha a a a q a qa qq q +--+--⋅===，2221()k k k a a q q=① 当1a q =,即11a q=时，112mh k mh k a a a ⋅=22k k q a == ② 当1a q >,即11a q>时，111122211()()mh m h k mh a a a a q q q q +⋅=>2k k a =③ 当1a q <,即11a q<时，111122211()()mh m h k mh a a a a q q q q +⋅=<2k k a = 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

数列中的不等关系

数列微专题——数列中的不等关系例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式（2）设2n n n n c a λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围例2：已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若()2110n nmS S m Z +-≤∈，对任意的n N *∈恒成立，则整数m 的最小值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2例3：已知数列{}{},n n a b 满足(()12nb n a a a n N *⋅⋅⋅=∈，若{}n a 为等比数列，且1322,6a bb ==+（1）求,n n a b （2）设()11n n nc n N a b *=-∈，记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S ； ② 求正整数k ，使得对于n N *∀∈，均有k n S S ≥例4：数列{}n a 的前n 项和24n n S =，数列{}n b 满足()132,n n b b n n n N *--=≥∈（1）求数列{}n a 的通项公式（2）求证：当114b ≠时，数列{}n n b a -为等比数列（3）在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若数列{}n T 中只有3T 最小，求1b 的取值范围数列中的不等关系教师版一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。

由于n N *∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。

精品课件高中数学《不等关系》

�� +��
怎么判定“<”的关系成立？��又是怎样的数？
新知初探
一般地用不等号将两个式子连接起来所成的式子叫不等式.
种类
小于号
大于号
小于或等于号
大于或等于号于）
不等于
符号
< > ≤ ≥ ≠
实际意义
读法
小于、不足
小于
大于、高于
大于
不大于、不超过、至多小于或等于（不大于）
…… 十、旅客每人免费携带品的体积和质量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，质量不超过20千克……”
设儿童身高为ℎ(单位:m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为��(单位:cm), 请在下表空格内填上对应的数学符号(<, ≤, >, ≥)，并与同学交流.
解设人的脚尖立起提高了��
则下半身与全身的长度比由 �� 变成了 ��+��
��
��+��
(这个比值非常
接近0. 618.)
用来解释这种现象的数学关系是��. �� ≈ �� < ��+�� ≈ ��. ��.
7 790
��′��>��′��
��>��
�� < ��
例题选讲
例2《铁路旅行常识》规定 “一、随同成人旅行身高1.2~1.5米的儿童,享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时应买全价票.每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.

《不等关系》课件

总结
定不等（不等于）的关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于、不等于等。
应用
掌握不等关系能够帮助开发者编写更加复杂的程序，并进行更加复杂的数据分析。
重要性
理解不等关系有利于掌握程序的逻辑性，避免因数据关系而出现程序BUG。
不等关系PPT课件
了解不等关系，掌握编程中应用技巧。
什么是不等关系
定义
不等关系指两个数据之间的关系不是相等（等于）的关系，而是不等（不等于）的关系。
范例
包括大于、小于、大于等于、小于等于、不等于等。
提醒
理解不等关系有助于理解Python的复杂逻辑。
大于和小于
大于
用符号">"表示。例如：5 > 3
小于
用符号"<"表示。例如：3 < 5
应用
数轴上的点也可以用大于小于描述，如x > 3。
大于等于和小于等于
1 大于等于
2 小于等于
3 几何意义
用符号">="表示。例如： 5 >= 5
用符号"<="表示。例如： 3 <= 5
不等式可以用来描述数值的大小关系，从而表示数量关系、大小关系等几何意义。
2
循环语句
使用while和for循环，根据不等关系执行不同的次数。例如：for i in range(1,10): print(i)。
3
逻辑运算
使用逻辑运算符（and、or、not）结合不等关系，判断多个条件的复杂情况。例如：if x >= 10 and x < 20: print("x在10到20之间")。

高考数学经典常考题型第55专题数列中的不等关系

第55专题训练数列中的不等关系一、基础知识:1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关,而要求的数列中的最值项,要依靠数列的单调性,所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性:(1)函数角度:从通项公式入手,将其视为关于n 的函数,然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。

由于n N *∈ ,所以如果需要用到导数,首先要构造一个与通项公式形式相同,但定义域为()0,+∞ 的函数,得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性(2)相邻项比较:在通项公式不便于直接分析单调性时,可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性,通常的手段就是作差(与0比较,从而转化为判断符号问题)或作商(与1比较,但要求是正项数列)3、用数列的眼光去看待有特征的一列数:在解数列题目时,不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列,实质上只要是有规律的一排数,都可以视为数列,都可以运用数列的知识来进行处理。

比如:含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S 等等。

4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S ,在判断其单调性时可以考虑从解析式出发,用函数的观点解决。

也可以考虑相邻项比较。

在相邻项比较的过程中可发现:1n n n a S S -=-,所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。

进而把问题转化成为判断n a 的符号问题二、典型例题例1:已知数列{}1,1n a a =,前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= (1)求{}n a 的通项公式 (2)设2n n n n c a λ⎛⎫=-⎪⎝⎭,若数列{}n c 是单调递减数列,求实数λ的取值范围解:(1)()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=⇒=12121121411n n nn n n S S S S n n S S S S n n----++∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅- ()()()()12121326n n n n n n nS S ++++∴==⋅ 111S a == ()()216n n n nS ++∴=2n ∴≥时,()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=当1n =时,11a =符合上式()12n n n a +∴=(2)思路:由(1)可得:221nn c n λ⎛⎫=-⎪+⎝⎭,由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n c c +<对n N *∀∈均成立,所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式4221n n λ>-++,即只需max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭,构造函数或者数列求出4221n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭的最大值即可解:()2222112n nn n n n n c n n a n λλλ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭{}n c 是递减数列 n N *∴∀∈,1n n c c +<即+1222221n n n n λλ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭424222121n n n n λλλ⇒-<-⇒>-++++ ∴ 只需max4221n n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭ ① 构造函数:设()()42121f x x x x =-≥++则()()()()()()()()()222'22222222414242212121x x x fx x x x x x x +-+-=-+==++++++(()()22221x x x x -+=-++所以()f x在(单调递增,在)∞单调递减()()111,233f f == n N *∴∈时,()()()max 1123f n f f ===即max421213n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭ 13λ∴> ② 构造数列:设数列{}n t 的通项公式4221n t n n =-++ ()14242462221121n n t t n n n n n n n n-⎛⎫∴-=---=-+≥ ⎪+++++⎝⎭ ()()()()()()()()4162212421212n n n n n n nn n n n n n +-++++-==++++2n ∴>时,10n n t t --<,即1n n t t -<当2n =时,21t t =所以{}n t 的最大项为2113t t ==13λ∴>例2:已知等差数列{}n a 中,359,17a a ==,记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,若()2110n n mS S m Z +-≤∈,对任意的n N *∈恒成立,则整数m 的最小值是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路:若2110n n m S S +-≤恒成立,()21max 10n n m S S +-≤,要找n S ,则需先确定n a 的通项公式得到1na :53453a a d -==-,所以()3443n a a n d n =+-=-,发现1143n a n =-无法直接求和,21n n S S +-很难变为简单的表达式,所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列,通过相邻项比较寻找其单调性:()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---()()()2322111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=+-=+-=<++-++-,进而{}21n n S S +-单调递减,()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=,所以142810459m m ≥⇒≥,从而4m = 答案:B例3:已知数列{}{},n n a b 满足(()12nb n a a a n N *⋅⋅⋅=∈,若{}na 为等比数列,且1322,6a b b ==+(1)求,n n a b (2)设()11n n nc n N a b *=-∈,记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S② 求正整数k,使得对于n N *∀∈,均有k n S S ≥ 解:(1)3263b b b +=⇒=612312a a a a a ∴=⋅38a∴= 23142a q q a ∴==⇒=或2q =-(舍) 112n n n a a q -∴== 12122nb nn a a a +++∴=⋅⋅⋅=()()122221n n n b n b n n +∴=⇒=+(2)① ()11111112121nnn n n c a b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111111*********1nn S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++--+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111221*********nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=- ⎪++⎝⎭-② 思路:实质是求n S 取到最大值的项,考虑分析n S 的单调性,从解析式上很难通过函数的单调性判断,从而考虑相邻项比较。

不等关系说课稿

不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。

在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。

本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。

一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。

用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。

1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。

这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。

1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。

这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。

二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。

2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。

通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。

2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。

等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。

三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。

例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。

3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。

例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。

3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。

例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。

数列中的不等关系

数列中的不等关系一．知识梳理数列和不等式是高中数学的重点内容，也是高考的两大热点。

在综合复习阶段，既要分别复习好这两部分基本知识，又要注意它们的交汇点和相互渗透。

数列与不等式的交汇点常见有下列几种情形：1．数列与比较大小。

这里需要熟练掌握数列（等差，等比）的单调性和作差（商）比较。

2．数列与解不等式。

这里需要熟练掌握等差、等比数列的公式、性质和不等式（组）的解法。

3．数列与不等式证明。

这里需要熟练掌握等差（比）数列的公式、性质、数列通项、前n 项和求法及不等式证明的常用方法。

二、训练反馈：1.已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N 都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数的取值范围是（）A (-,+∞) B (0, +∞) C (−2, +∞) D(−3, +∞)272.在数列{a n }中，若2a n =a n-1+a n+1 (n ∈N,n≥2 ),则下列各不等式中一定成立的是（）A a 2a 4≤a 32B a 2a 4<a 32C a 2a 4≥a 32D a 2a 4>a 323. 已知数列{a n }的通项公式是a n =，其中a,b 均为正常数，那么a n 与a n+1的1+n nb a 大小关系是（）12+x A a n > a n+1 B a n < a n+1 C a n = a n+1 D 与n 的取值无关4．在等差数列{a n }中，a 10<0,a 11>0,且a 11>|a 10|。

则在S n 中最大的负数为（）A s 17B s 18C s 19Ds 205．在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则x=S n 2+S 2n 2,y=S n (S 2n +S 3n )的大小关系是（）A x > yB x = yC x < yD 不确定三、典型例题：例1．已知点A n (n,a n )为函数F 1: y=上的点，点B n (n,b n )为函数F 2:y=x 上的点,12+x 其中n ∈N +，设c n = a n -b n (n ∈N),试比较c n 与c n+1的大小例2．设正项等比数列{a n }，公比q>1，且a 172=a 24（1）求a 10的值（2）求使a 1+a 2+…+a n >+ +…+成立的n 的取值范围11a 21a na 1 例3．数列{x n }由下列条件确定：x 1= a>0,x n+1=,n ∈N ⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21（1）证明：对n ≥2，总有x n ≥a （2）证明：对n ≥2，总有x n ≥x n+1数列中的不等关系巩固与练习1．已知a>0,b>0,a 、b 的等差中项是½，且,α = a+,β = b+，则α+β的最小值是a 1b1（）A 3B 4C 5D 62．已知为{a n }等差数列，{b n }为等比数列，其公比q≠1,且bi>0(i=1,2,…,n)，若a 1=b 1,a 11=b 11，则（）A a 6=b 6B a 6>b 6C a 6b 6或 a 6a k >0(k ∈N),则对任意自然数n>k,都有a n >0;②一个等比数列{a n }中,若存在a k <0,则对于任意n ∈N 都有a n <0;③一个等差数列{a n }中, 若存在a k <0,a k+1<0(k ∈N),则对于任意n ∈N 都有a n <0;④一个等比数列{a n }中,若存在自然数k,使a k •a k+1<0,则对于任意n ∈N 都有a n •a n+1<0,其中正确的命题的序号是4.已知数列{a n }的通项为a n ,前前n 项和为S n ,且a n 是S n 与2的等差中项;数列{b n }中b 1=1,,点P(b n ,b n+1)在直线x–y+2 = 0上(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n (2)设{b n }的前项和为B n ,试比较++…+与2的大小11B 21B nB 1(3)设T n =++…,若T n <c (c ∈Z),求c 的最小值11b a 22b a nnb a 5.数列{a n }是由正数组成的等比数列,S n 是它的前项和求证:<lgS n+12lg lg 2++n n S S参考答案：训练反馈：1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 典型例题：例1解：由题意得：a n = b n=1∴c n =a n -b―∵函数0，+∞）上单调减()f x =()f x =∴c n >c n+1评注：此题也可用作差、作商比较c n 与c n+1例2．解：(1) ∵a 172=a 24•a 10且a 172=a 24∴a 10=1(2) ∵等比数列{a n }的公比为q∴数列{}是公比为的等比数列n a 1q1又∵a 1+a 2+…+a n >+ +…+11a 21a na 1∴437216T =>2121111[1()](1)1(1)(1)111n n n q q q qa q a q a q -->⇒->---∴∴1211n qa -⋅>19211n qqa a -⋅>⋅ ∴1192n q n ->⇒> 例3．解：（1）证明：由x 1= a>0及x n+1=可知x n >0⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21∴x n+1=≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x a x 21nn x ax ⋅a ∴当n ≥2，x n ≥成立a （2）证明：n ≥2，x n ≥>0，x n+1=a ⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21 ∴x n+1- x n =- x n =≤0⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21x x nn a 221-⋅∴n ≥2时，x n ≥x n+1成立巩固与练习：1.C 2.B 3.①②④4.(1)a n =2n ,b n =2n-1(2)(3)2221211111111112231122(1)12nn n nB BB n+++=+++<++++⨯⨯=-<- 记1212nn na a aT b bb=+++ 则T 1=1/2, n ≥2时 ,231113212222n nn T +-=+= ∴2111111121()3222222n n n n n T T -+-=++++-⇒<∴又1,32n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭437216T => ∴ 满足条件T n <c 的最小整数c=35．分析：即证：S n •S n+2<S n+12按q=1和q ≠1分类讨论，证明。

高中数学不等关系教案

高中数学不等关系教案
一、教学内容分析：
不等关系是数学中常见的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等不等关系。

本课程将介绍不等关系的定义、性质和应用，帮助学生掌握不等关系的相关知识和解题技巧。

二、教学目标：
1. 了解不等关系的定义和表示方法。

2. 掌握不等关系的性质和性质。

3. 能够灵活运用不等关系解决实际问题。

三、教学重点与难点：
重点：不等关系的定义和性质。

难点：不等关系在解决实际问题中的应用。

四、教学过程：
1. 导入：通过一个生活中的案例引导学生了解不等关系的概念，并讨论大于、小于、大于等于、小于等于等关系的表示方法。

2. 讲解：介绍不等关系的定义和性质，包括传递性、反对称性和反对称性等。

3. 练习：让学生做一些简单的不等关系的练习题，加深对不等关系的理解。

4. 拓展：引导学生探讨不等关系在不同领域的应用，如经济学、生活中的消费选择等。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调不等关系的重要性和应用价值。

五、作业布置：
1. 完成课堂练习题。

2. 思考生活中的实际问题，尝试用不等关系来解决。

六、教学反思：
在教学中应该注重引导学生理解不等关系的概念和性质，同时培养他们灵活运用不等关系解决实际问题的能力。

同时，可以通过丰富多样的教学活动，提高学生的学习兴趣和课堂参与度。

高中数学知识点精讲精析不等关系 (2)

3.1.1 不等关系1. 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。

如图，点A 表示的实数为，点B 表示的实数为，则>。

我们再看图，>表示减去所得的差是一个大于0的数即正数。

• •2. 不等关系：在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

3. 不等式：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，称为不等式。

如：1<5，，均表示不等式。

注：①不等号“＞”、“＜”或“≠”叫做严格不等号，≥或≤叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）．例如表示“或有一个成立，”因此１≥０或１≤１都是真的。

②不等关系与不等式的区别与联系：不等关系强调的是关系，可用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”、“≤”表示，前三者是严格的不等关系，后两者是非严格不等关系；而不等式则是用来表现不等关系的，可用、、、、等式子表示，前三者是严格不等式，后两者是非严格不等式。

③不等式可表示常量与常量之间的不等关系，如1<5；不等式可表示常量与变量之间的不等关系，如；不等式可表示函数与函数之间的不等关系，如； a b a b a b a b a b 012>+x )()(x g x f ≥b a ≥b a >b a =b a >b a +x )()(x g x f ≥558，故D. 也错。

例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【解析】设每本杂志价格提高元，则发行量减少万册，杂志社的销售收入为万元．根据题意，得，化简，得例3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。

2019高二数学必修五第三章知识点：不等关系及不等式语文

高二数学必修五第三章知识点：不等关系及不等式
根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式;也分一次或多次不等式。

小编准备了高二数学必修五第三章知识点，具体请看以下内容。

一、不等关系及不等式知识点总结
1.不等式的定义
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.
2.比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有
a-baa-b=0a-ba0，则有a/baa/b=1a/ba
3.不等式的性质
(1)对称性：ab
(2)传递性：ab，ba
(3)可加性：aa+cb+c，ab，ca+c
(4)可乘性：ab，cacb0，c0bd;
(5)可乘方：a0bn(nN，n
(6)可开方：a0
(nN，n2).
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注意：
一个技巧
作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方.
一种方法
待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围.
高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的高二数学必修五第三章知识点，希望大家喜欢。

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高考数学复习课件：不等关系2

判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是:
作差
变形
判断
结论
因式分解、配方、通分等手段
例题：比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a m)a
作差
ab ma ab bm (a m)a
变形
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
定符号确定大小
∴bm b 0∴bm b
am a
am a
不等式的证明（作差法）
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
因此x2－x>x－2. 作差,与零比较大小.
回顾反思
(1)解决实际问题的常规步骤
实际问题
抽象、概括刻画
数学问题
(2)本堂课建立的模型主要是
不等关系
不等式的证明方法（作
差法）
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？
• ⑵截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3 倍；
⑶截得两种钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：
500x 600 y ≤ 4000
3x ≥ y
x
≥
0
y ≥ 0

高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系

第55炼数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。

由于n N *∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。

比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S 等等。

4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。

也可以考虑相邻项比较。

在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。

进而把问题转化成为判断n a 的符号问题二、典型例题例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式（2）设2nn n n c a λ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围解：（1）()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=⇒=12121121411n n n n n n S S S S n n S S S S n n ----++∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅- ()()()()12121326n n n n n n nS S ++++∴==⋅ 111S a == ()()216n n n nS ++∴=2n ∴≥时，()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=当1n =时，11a =符合上式()12n n n a +∴=（2）思路：由（1）可得：221nn c n λ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，由已知{}n c 为单调递减数列可得1n nc c +<对n N *∀∈均成立，所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式4221n n λ>-++，即只需max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭，构造函数或者数列求出4221n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭的最大值即可解：()2222112n nn n n n n c n n a n λλλ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ {}n c 是递减数列 n N *∴∀∈，1n n c c +<即+1222221n n n n λλ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭424222121n n n n λλλ⇒-<-⇒>-++++ ∴ 只需max4221n n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭① 构造函数：设()()42121f x x x x =-≥++则()()()()()()()()()222'22222222414242212121x x x fx x x x x x x +-+-=-+==++++++=所以()f x在(单调递增，在)∞单调递减()()111,233f f == n N *∴∈时，()()()max 1123f n f f ===即max421213n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭ 13λ∴> ② 构造数列：设数列{}n t 的通项公式4221n t n n =-++ ()14242462221121n n t t n n n n n n n n-⎛⎫∴-=---=-+≥ ⎪+++++⎝⎭ ()()()()()()()()4162212421212n n n n n n nn n n n n n +-++++-==++++2n ∴>时，10n n t t --<，即1n n t t -<当2n =时，21t t = 所以{}n t 的最大项为2113t t ==13λ∴>例2：已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若()2110n n mS S m Z +-≤∈，对任意的n N *∈恒成立，则整数m 的最小值是（） A. 5 B. 4C. 3D. 2思路：若2110n n m S S +-≤恒成立，()21max 10n n mS S +-≤，要找n S ，则需先确定n a 的通项公式得到1n a ：53453a a d -==-，所以()3443n a a n d n =+-=-，发现1143n a n =-无法直接求和，21n n S S +-很难变为简单的表达式，所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---()()()2322111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=+-=+-=<++-++-，进而{}21n n S S +-单调递减，()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=，所以142810459m m ≥⇒≥，从而4m = 答案：B例3：已知数列{}{},n n a b满足()12nb n a a a n N *⋅⋅⋅=∈ ，若{}na 为等比数列，且1322,6a b b ==+（1）求,n n a b （2）设()11n n nc n N a b *=-∈，记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S② 求正整数k ，使得对于n N *∀∈，均有k n S S ≥ 解：（1）3263b b b +=⇒=612312a a a a a ∴=⋅38a∴= 23142a q q a ∴==⇒=或2q =-（舍） 112n n n a a q -∴==12122nb n n a a a +++∴=⋅⋅⋅=()()122221n n n b n b n n +∴=⇒=+（2）① ()11111112121nnn n n c a b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111111112222231nn S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++--+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111221*********nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=- ⎪++⎝⎭- ② 思路：实质是求n S 取到最大值的项，考虑分析n S 的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。

人教版高三数学必修5不等关系与不等式知识点.doc

人教版高三数学必修5不等关系与不等式知识点高三数学学习对大家来说很重要，想要取得好成绩必须要掌握好课本上的知识点，为了帮助大家掌握高三数学知识点，下面为大家带来人教版高三数学必修5不等关系与不等式知识点，希望对大家掌握数学知识有所帮助。

一、实数大小顺序与运算性质之间的关系a-b0,ab;a-b=0,a=b;a-b0利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过一次性不等关系的运算求解范围。

二、使用不等式性质时应注意的问题在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如同向不等式才可相加，同向且两边同正的不等式才可相乘;可乘性中c的符号等也需要注意。

作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法.要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用。

判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质。

特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题。

三、比较大小的常用方法1、作差法：一般步骤是：①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2、作商法：一般步骤是：①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.3、特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断.注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论.为大家带来了人教版高三数学必修5不等关系与不等式知识点，希望大家能够熟记这些数学知识点，更多的高三数学知识点请查阅。

高中数学不等关系

不等关系教学目标（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．教学重点，难点(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．教学过程一．问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？(3)下表给出了三种食物X,Y,Z的维生素含量及成本：某人欲将这三种食物混合成100kg 的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B ，设X ,Y 这两种食物各取x kg ，y kg ，那么x ,y 应满足怎样的关系？2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？二．学生活动在问题(1)中,设x 人(20x <)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x ⨯≤．在问题(2)中,设每本杂志价格提高x 元,则发行量减少50.50.22x x ⨯=万册,杂志社的销售收入为5(2)(10)2x x +-万元．根据题意，得5(2)(10)22.42x x +->，化简，得2510 4.80x x -+<．在问题(3)中,因为食物X ,Y 分别为x kg ，y kg ，故食物Z 为(10)x y --kg ，则有300500300(100)35000,700100300(100)40000,x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩ 即25,250.y x y ≥⎧⎨-≥⎩上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系. 三．建构数学1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．2．比较两实数大小的方法——作差比较法：比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．四．数学运用1．例题：例1．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩ 说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．解：,x y 满足的条件为638471000x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩．例3．比较大小：（1）(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-；（2）a m b m ++与a b（其中0b a >>，0m >）．分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．解：（1）)4)(2()5)(3(-+--+a a a a 22(215)(28)70a a a a =-----=-< ∴(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-．（2）()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m a b m b+>+．说明：不等式a m a b m b+>+（0b a >>，0m >）在生活中可以找到原型：b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若再添加m 克糖（0m >），则糖水便甜了．例4．已知2,x >比较311x x +与266x +的大小．解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+-2(3)(32)(3)x x x x =-+-+- =(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1）当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +；（2）当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；（3）当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．2．练习：（1）比较2)6()7)(5(+++x x x 与的大小；（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与的大小．五．回顾小结：1．通过具体情景，建立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比较法．六．课外作业：课本第68页练习第1，2，3题（“不求解”改为“并求解”）．补充：1．比较222a b c ++与ab bc ca ++的大小；2．已知0,0,a b >>且a b ≠，比较22a b b a +与a b +的大小．。

《不等关系》课件

《不等关系》课件xx年xx月xx日CATALOGUE目录•不等关系概述•不等式的求解•不等式的应用•不等式的证明与推导•不等式与不等关系的关系与区别•不等式与不等关系的学习方法与建议01不等关系概述不等式的定义不等式是表示两个量之间大小关系的数学符号表达式，一般形式为`x > a`或`x < a`，其中x表示未知数，a表示已知数。

不等号的含义不等号的意义是表示两个数之间的大小关系，包括大于、小于、等于三种关系。

不等式的读法读作“大于（小于）号”，如“x > a”读作“x大于a”。

不等式的定义1 2 3不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变。

不等式的性质1不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的性质2不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

不等式的性质30102一元不等式只含有一个未知数的不等式，如`x > a`或`x < a`。

二元不等式含有两个未知数的不等式，如`x + y > c`或`x + y < c`。

高次不等式未知数的最高次数超过三次的不等式，如`ax^3 +bx^2 + cx + d > 0`或`ax^3 + bx^2 + cx + d <0`。

线性不等式未知数的最高次数为一次的不等式，如`x + y > c`或`x + y < c`。

绝对值不等式含有绝对值符号的不等式，如`|x| > a`或`|x| < a`。

03040502不等式的求解总结词理解、掌握、熟练详细描述线性不等式是数学中常见的一类不等式，其形式为ax+by≥c，其中a、b、c是常数，x、y是变量知识点不等式的性质、线性不等式的解法、解集的表示方法例题给定一个线性不等式3x+2y≥12，求解x、y的取值范围。

01020304理解、掌握、熟练总结词二次不等式是指形如ax^2+bx+c≥0的不等式，其中a、b、c是常数，x是变量。

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由于n N *∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。

比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。

4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。

也可以考虑相邻项比较。

在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。

进而把问题转化成为判断n a 的符号问题二、典型例题例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式（2）设2nn n n c a λ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围解：（1）()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=⇒=12121121411n n n n n n S S S S n n S S S S n n ----++∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-L L ()()()()12121326n n n n n n nS S ++++∴==⋅ 111S a ==Q ()()216n n n nS ++∴=2n ∴≥时，()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=当1n =时，11a =符合上式()12n n n a +∴=（2）思路：由（1）可得：221nn c n λ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n c c +<对n N *∀∈均成立，所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式4221n n λ>-++，即只需max 4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭，构造函数或者数列求出4221n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭的最大值即可解：()2222112n nn n n n n c n n a n λλλ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭{}n c Q 是递减数列 n N *∴∀∈，1n n c c +<即+1222221n n n n λλ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭424222121n n n n λλλ⇒-<-⇒>-++++ ∴ 只需max4221n n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭ ① 构造函数：设()()42121f x x x x =-≥++则()()()()()()()()()222'22222222414242212121x x x fx x x x x x x +-+-=-+==++++++(()()22221x x x x -+=-++所以()f x在(单调递增，在)∞单调递减()()111,233f f == n N *∴∈时，()()()max 1123f n f f ===即max421213n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭ 13λ∴> ② 构造数列：设数列{}n t 的通项公式4221n t n n =-++ ()14242462221121n n t t n n n n n n n n-⎛⎫∴-=---=-+≥ ⎪+++++⎝⎭ ()()()()()()()()4162212421212n n n n n n nn n n n n n +-++++-==++++2n ∴>时，10n n t t --<，即1n n t t -<当2n =时，21t t = 所以{}n t 的最大项为2113t t ==13λ∴>例2：已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若()2110n n mS S m Z +-≤∈，对任意的n N *∈恒成立，则整数m 的最小值是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路：若2110n n m S S +-≤恒成立，()21max 10n n m S S +-≤，要找n S ，则需先确定n a 的通项公式得到1n a ：53453a a d -==-，所以()3443n a a n d n =+-=-，发现1143n a n =-无法直接求和，21n n S S +-很难变为简单的表达式，所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---()()()2322111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=+-=+-=<++-++-，进而{}21n n S S +-单调递减，()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=，所以142810459m m ≥⇒≥，从而4m = 答案：B例3：已知数列{}{},n n a b满足()12nb n a a a n N *⋅⋅⋅=∈L ，若{}na 为等比数列，且1322,6a b b ==+（1）求,n n a b （2）设()11n n nc n N a b *=-∈，记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S② 求正整数k ，使得对于n N *∀∈，均有k n S S ≥解：（1）3263b b b +=⇒=612312a a a a a ∴=⋅38a∴= 23142a q q a ∴==⇒=或2q =-（舍） 112n n n a a q -∴==12122nb n n a a a +++∴=⋅⋅⋅=L L()()122221n n n b n b n n +∴=⇒=+（2）① ()11111112121nnn n n c a b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111111112222231nn S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++--+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L111221*********nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=- ⎪++⎝⎭- ② 思路：实质是求n S 取到最大值的项，考虑分析n S 的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。

对于n S 而言，{}n S 的增减受n c 符号的影响，所以将问题转化为判断n c 的符号。

()1121nn c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭可估计出当n 取得值较大时，n c 会由正项变为负项。

所以只要寻找到正负的分界点即可解：()()()111112112nn nn n c n n n n +⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭当4n ≤时，可验证()1102nn n +-≥，从而可得0n c ≥ 设()112n n n n d +=-，则()()()()()11112112222n n n n n n n n n n n d d +++++++--=-=- 当5n ≥时，{}1n n n d d d +<⇒递减5556102n d d ⋅∴≤=-< 5n ∴≥时，0n c < ()4max n S S ∴= 4k ∴=时，均有4n S S ≥例4：已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()()12211n n nS n S n n +-+=+，数列{}n b 满足：2120n n n b b b ++-+=，35b =，其前9项和为63 （1）求,n n a b （2）令n nn n nb ac a b =+，记{}n c 的前n 项和为n T ，对n N *∀∈，均有[]2,n T n a b -∈，求b a -的最小值解：（1）()()111221112n n n n S S nS n S n n n n ++-+=+⇒-=+ n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为公差是12的等差数列()1111122n S S n n n +∴=+-= ()12n n n S +∴=2n ∴≥时，()()11122n n n n n n na S S n -+-=-=-=11a =Q 符合上式 n a n ∴=2121202n n n n n n b b b b b b ++++-+=⇒+= {}n b ∴为等差数列设{}n b 前n 项和为n P 95963P b ∴== 57b ∴= 35b =Q53153b b d -∴==- 2n b n ∴=+（2）思路：依题意可得：2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪++⎝⎭，可求出1123212n T n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭，从而1123212n T n n n ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，若b a -最小，则,a b 应最接近2n T n -的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求113212n n ⎛⎫-+⎪++⎝⎭的范围，可分析其单调性。

()113212f n n n ⎛⎫=-+⎪++⎝⎭单调递增。

所以最小值为()413f =，而当n →+∞时，()3f n →，所以()f n 无限接近3，故2n T n -的取值范围为4,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭中的离散点，从而求出b a -的最小值解：222211122222n n n n c n n n n n n ++-⎛⎫=+=++=+- ⎪+++⎝⎭111112213242n T n n n ⎛⎫∴=+-+-++- ⎪+⎝⎭L1111122123221212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1123212n T n n n ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭Q设()113212f n n n ⎛⎫=-+⎪++⎝⎭，可知()f n 递增 ()()413f n f ∴≥=，当n →∞时，()3f n →()f n ∴4,33⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]4,3,3a b ⎡⎫∴⊆⎪⎢⎣⎭若b a -最小，则4,33a b == ()min 53b a ∴-= 例5（2014，黄州区校级模拟）数列{}n a 的前n 项和24n n S =，数列{}n b 满足()132,n n b b n n n N *--=≥∈（1）求数列{}n a 的通项公式（2）求证：当114b ≠时，数列{}n n b a -为等比数列（3）在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若数列{}n T 中只有3T 最小，求1b 的取值范围解：（1）()()()22111212444n n n n n a S S n n --=-=-=-≥1114a S ==符合上式 ()1214n a n ∴=- （2）()1214n n n b a b n -=-- 考虑()()1111332123044n n n n b b n b n b n --⎡⎤⎡⎤-=⇔-----=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即()()1130n n n n b a b a -----= ()1113n n n n b a b a --∴-=- ∴ 数列{}n n b a -为等比数列（3）思路：由（2）可求得{}n b 通项公式()1111121434n n b b n -⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，但不知其单调性，但可以先考虑必要条件以缩小1b 的取值范围。

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