河北省衡水中学高二(上)期末数学模拟试卷(理科) (19)

河北省衡水中学高二（上）期末数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共计12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）若a+i=（b+i）（2﹣i）（其中a，b是实数，i为虚数单位），则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1 C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1 3．（5分）[文]已知直线y=x+b的横截距在[﹣2，3]范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知p：|x|＜2；q：x2﹣x﹣2＜0，则q是p的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．B．C．D．6．（5分）甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（）A．；甲比乙成绩稳定 B．；乙比甲成绩稳定C．；甲比乙成绩稳定 D．；乙比甲成绩稳定7．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型预测当x=10时，y的估计值为（）A．105.5 B．106 C．106.5 D．1078．（5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A．10 B．8 C．6 D．410．（5分）天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0﹣9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4，5表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．B．C． D．11．（5分）设点P是以F1，F2为左、右焦点的双曲线﹣=1（a ＞0，b＞0）左支上一点，且满足=0，tan∠PF 2F1=，则此双曲线的离心率为（）A． B．C．D．12．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为．14．（5分）已知下列四个命题（1）“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；（2）“正方形是菱形”的否命题；（3）“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；（4）“若m＞2，则不等式x2﹣2x+m＞0的解集为R”，其中真命题为．15．（5分）过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是．16．（5分）P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（1，0），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A之和的最小值为．三、解答题（共70分，其中第17题10分其余各题12分需要写出必要的解答和计算步骤）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍数），将C后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．18．（12分）已知命题p：函数y=（1﹣a）x是增函数，q：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．19．（12分）已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x+2过椭圆C的左焦点F1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点A（0，﹣1）的直线l与椭圆交于不同两点M、N，当△MON的面积为时，求直线l的方程．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）中，离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线和原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C，D两点，是否存在k的值，使以CD为直径的圆恰过点E？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．2017-2018学年吉林省长春市田家炳实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共计12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）若a+i=（b+i）（2﹣i）（其中a，b是实数，i为虚数单位），则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由a+i=（b+i）（2﹣i）=（2b+1）+（2﹣b）i，得，解得a=3，b=1．∴复数a+bi在复平面内所对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限．故选：A．2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1 C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C3．（5分）[文]已知直线y=x+b的横截距在[﹣2，3]范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为3﹣（﹣2）=5，∵直线在y轴上的截距b大于1，∴直线横截距小于﹣1，∴“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为﹣1﹣（﹣2）=1，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P=故选A．4．（5分）已知p：|x|＜2；q：x2﹣x﹣2＜0，则q是p的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x|＜2，得﹣2＜x＜2，由x2﹣x﹣2＜0得﹣1＜x＜2，则q是p的充分不必要条件，故选：A5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．B．C．D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=1i=2，s=不满足条件i≥5，i=3，s=不满足条件i≥5，i=4，s=不满足条件i≥5，i=5，s=满足条件i≥5，退出循环，输出s的值为：．故选：B．6．（5分）甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（）A．；甲比乙成绩稳定 B．；乙比甲成绩稳定C．；甲比乙成绩稳定 D．；乙比甲成绩稳定【解答】解：5场比赛甲的得分为16、17、28、30、34，5场比赛乙的得分为15、26、28、28、33∴=（16+17+28+30+34）=25，=（15+26+28+28+33）=26 =（81+64+9+25+81）=52，=（121+4+4+49）=35.6∴，乙比甲成绩稳定故选D．7．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型预测当x=10时，y的估计值为（）A．105.5 B．106 C．106.5 D．107【解答】解：根据表中数据，计算=×（2+4+5+6+8）=5，=×（20+40+60+70+80）=54，代入回归直线方程=10.5x+中，计算=﹣10.5=54﹣10.5×5=1.5，∴回归直线方程为=10.5x+1.5；当x=10时，y的估计值为=10.5×10+1.5=106.5．故选：C．8．（5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故选B．9．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选D．10．（5分）天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0﹣9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4，5表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．B．C． D．【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，所求概率为=，故选B．11．（5分）设点P是以F1，F2为左、右焦点的双曲线﹣=1（a ＞0，b＞0）左支上一点，且满足=0，tan∠PF 2F1=，则此双曲线的离心率为（）A． B．C．D．【解答】解：∵=0，tan∠PF 2F1=，∴PF1⊥PF2，且|PF1|：|PF2|=2：3，∵|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF2|=6a，|PF1|=4a，在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=36a2+16a2，解得e=故选：D．12．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为﹣=1．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，则设双曲线的方程为﹣=1，（t≠0），抛物线x2=20y的焦点为（0，5），则双曲线的焦点在y轴上，且c=5，则t＞0，则有9t+16t=25，解可得t=1；则双曲线的标准方程为﹣=1；故答案为：﹣=1．14．（5分）已知下列四个命题（1）“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；（2）“正方形是菱形”的否命题；（3）“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；（4）“若m＞2，则不等式x2﹣2x+m＞0的解集为R”，其中真命题为（4）．【解答】解：“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题，可通过判断原命题的真假判断不正确；故（1）不正确，“正方形是菱形”的否命题，写出否命题进行判断知（2）不正确，“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题，写出逆命题进行判断，当c=0时，（3）不正确；“若m＞2，则不等式x2﹣2x+m＞0的解集为R”，由判断式结合一元二次方程的判别式看出函数与横轴没有交点，判断出（4）正确，故答案为：（4）15．（5分）过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是28．【解答】解：由双曲线的标准方程可得a=4，由双曲线的定义可得：AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=16，即AF2+BF2 ﹣6=16，AF2+BF2 =22．△ABF2（F2为右焦点）的周长是：（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB=22+6=28．故答案为：28．16．（5分）P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（1，0），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A之和的最小值为．【解答】解：∵抛物线方程为x2=﹣4y，∴焦点F（0，﹣1），又∵A（1，0），∴|AF|==，由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=，故答案为：．三、解答题（共70分，其中第17题10分其余各题12分需要写出必要的解答和计算步骤）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍数），将C后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为x2+y2=1，故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1，即+=1．故曲线C2的极参数方程为（θ为参数）．（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，即x+y﹣4=0，设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线的距离为d==，故当sin（θ+）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P（1，），故曲线C 2上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．18．（12分）已知命题p：函数y=（1﹣a）x是增函数，q：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：若y=（1﹣a）x是增函数，则1﹣a＞1，即a＜0，若不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，则判别式△=4a2﹣16＜0，即a2＜4，得﹣2＜a＜2，若p∧q为假，p∨q为真，则p，q为一真一假，若p真q假，则，即a≤﹣2，若p假q真，则，即0≤a＜2，综上0≤a＜2或a≤﹣219．（12分）已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．把y=2x﹣4代入抛物线C：y2=4x，得y2﹣2y﹣8=0，解得y1=﹣2，y2=4，∴A（1，﹣2），B（4，4），∴弦AB的长度|AB|==3．（2）设P（，y），点P到直线AB的距离d=，∵△ABP的面积为12，∴S△ABP===12，解得|y2﹣2y﹣8|=16，解得y=﹣4或y=6．∴P（4，﹣4）或P（9，6）．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．【解答】解（1）∵PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，∴2a=|PF1|+|PF2|=+=6，即a=3，且4c2═|PF1|2+|PF2|2=（）2+（）2=解得c2=，∴b2=9﹣=，故椭圆的方程为，（2）设A（m，n），B（x，y），圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，圆心M（﹣2，1），∵A，B关于M对称，∴，即，∵A，B都在椭圆上，∴，两式相减得，即，即直线AB的斜率k=，∴直线方程为y﹣1=（x+2），即56x﹣81y+193=0．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x+2过椭圆C的左焦点F1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点A（0，﹣1）的直线l与椭圆交于不同两点M、N，当△MON的面积为时，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵直线y=x+2过椭圆C的左焦点F1．∴F1（﹣2，0），即c=2．由离心率e=，得a=2，∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆C的标准方程为：（2）依题意知过点A（0，﹣1）的直线l的斜率一定存在，故设直线l的方程为y=kx﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2）由，得（1+2k2）x2﹣4kx﹣6=0，S△MON===解得k=±1直线l的方程为：y=±x﹣122．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）中，离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线和原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C，D两点，是否存在k的值，使以CD为直径的圆恰过点E？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线AB：=1，化为bx﹣ay﹣ab=0，∵过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线和原点的距离为．∴=，又，a2=b2+c2，联立解得a2=3，b=1，∴椭圆的方程为：=1．（2）假设存在k的值，使以CD为直径的圆恰过点E．设C（x1，y1），D（x2，y2）．联立，化为（1+3k2）x2+12kx+9=0，△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，化为k2＞1．∴x1+x2=﹣，x1x2=．y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4．=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0，∴﹣+5=0，化为，满足△＞0．∴直线CD的方程为：，化为7x﹣6y+12=0．。