高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.4正切函数的性质与图像课件新人教B版第三册
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7.3.4 正切函数的性质与图像
(教师独具内容) 课程标准：1.利用正切线研究正切型函数的性质.2.类比正、余弦函数的 五点法作图作正切函数的图像.3.利用整体代换的思想方法解决与正、余弦函 数、正切函数性质相关的问题． 教学重点：正切函数的性质与图像． 教学难点：正切函数的性质与图像.
核心概念掌握
.
(2)由 3－tanx≥0，得 tanx≤ 3，结合 y＝tanx 的图像可知在－π2，π2上，
满足 tanx≤ 3的角 x 满足－π2<x≤π3，
所以定义域为x－π2＋kπ<x≤π3＋kπ，k∈Z
.
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答案
题型三 正切函数的奇偶性问题
核心概念掌握
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[跟踪训练2] 求下列函数的定义域．
(1)y＝tanx＋π4；(2)y＝
3－tanx.
解 (1)由 x＋π4≠π2＋kπ(k∈Z)得 x≠π4＋kπ，k∈Z，所以 y＝tanx＋π4的定
义域为xx≠π4＋kπ，k∈Z
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答案
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题型一 正切函数的图像问题 例 1 作出函数 y＝tanx＋2，x∈－π2，π2的简图．
[解] 解法一：本题考查正切函数图像的作法，可以先作出函数 y＝tanx， x∈－π2，π2的图像，再将函数 y＝tanx，x∈－π2，π2的图像中所有的点向上平 移 2 个单位长度，所得图像即函数 y＝tanx＋2，x∈－π2，π2的图像，如图所 示．
所以原函数的定义域为xkπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
.
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金版点睛 解正切不等式的步骤
(1)作出正切函数 y＝tanx 在－π2，π2上的图像； (2)求出在－π2，π2内使 tanx＝a 成立的 x 的值； (3)利用图像确定不等式在－π2，π2内的解集； (4)结合函数的周期性把(3)中的解集扩展到整个定义域内．
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答案
题型二 与正切函数有关的定义域问题 例 2 求函数 y＝ tanx＋lg (1－tanx)的定义域．
[解] 函数 y＝ tanx＋lg (1－tanx)有意义，等价于
tanx≥0， 1－tanx>0，
解得 0≤tanx<1.
由正切曲线可得 kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z.
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2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．
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[跟踪训练4] 函数 y＝lg tanx 的单调递增区间是________．
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2．做一做
(1)f(x)＝tan2x＋π3的最小正周期为(
)
π
π
A.4
B.2
C．π
D．2π
(2)f(x)＝tan(x＋π)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
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(1)正切函数在定义域上不具有单调性． (2) 正 切 函 数 无 单 调 递 减 区 间 ， 有 无 数 个 单 调 递 增 区 间 ， 在 －π2，π2 ， π2，32π，…上都是增函数． (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正 切函数在－π2，π2∪π2，32π∪…上是增函数．
(3)函数 y＝tanx－π4≤x≤π4且x≠0的值域是(
)
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
(4)函数 y＝tanx－π4的单调增区间是________．
答案 (1)B (2)A (3)B (4)－π4＋kπ，34π＋kπ(k∈Z)
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答案
解析
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1．函数 y＝tanπ3－x的定义域是(
，关于原点对称，又 f(－
x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且 f(－x)≠－f(x)，
所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
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题型四 正切函数的单调性问题 例 4 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan1，tan2，tan3 的大小．
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答案
金版点睛 (1)正切曲线在 x 轴上方的部分下凸，在 x 轴下方的部分上凸，画图时， 要注意曲线的光滑性及凹凸性． (2)正切曲线是被相互平行的直线 x＝π2＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支曲 线组成的．这些平行直线也称为正切曲线的渐近线．
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答案
(2)∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0. ∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2， 且 y＝tanx 在－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan1， 即 tan2<tan3<tan1.
解
(1)因为该函数的定义域是xx≠π2＋kπ，k∈Z
，关于原点对称，且
f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函
数．
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(2)因为函数 f(x)的定义域是xx≠π2＋kπ，k∈Z
例 3 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝tanta2nxx－－ta1nx；
(2)f(x)＝tanx－π4＋tanx＋π4.
[解] (1)由x≠kπ＋π2，k∈Z， tanx≠1，
得 f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ且x≠π4＋kπ，k∈Z
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课后Байду номын сангаас时精练
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金版点睛 1．求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 ω>0，由于 y＝tanx 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整 体代换”的思想，令－π2＋kπ<ωx＋φ<π2＋kπ(k∈Z)，解得 x 的范围即可． (2)若 ω<0，可利用诱导公式先把 y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝Atan[－(－ωx －φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思 想，求得 x 的范围即可．
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知识点二 y＝tanxx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z的图像
y＝tanx 的函数图像称为正切曲线．
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【新知拓展】 1．类似于正、余弦函数的“五点法”作图，作正切函数图像采用的是“三 点两线法”，即由(kπ，0)，π4＋kπ，1，( －π4＋kπ，－1 )(k∈Z)这三点及 x＝π2＋ kπ(k∈Z)，x＝－π2＋kπ(k∈Z)这两条直线作出正切函数的图像． 2．正、余弦曲线在整个定义域内是连续的，而正切曲线是由被互相平行 的直线 x＝π2＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．因此，需注意以下几 点：
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答案
令12x－π4＝kπ，k∈Z，得 x＝π2＋2kπ，k∈Z， 由于 x∈[0,2π]，故当 x＝π2时，y＝0.
描点(0，－2)，(π，2)，π2，0，(2π，－2)，画虚线 x＝32π，根据正切曲
线的趋势，画出简图，如图所示.
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[跟踪训练1] 画出函数 y＝2tan12x－π4在 x∈[0,2π]上的简图．
解 令12x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，可得 x＝32π＋2kπ，k∈Z，又 x∈[0,2π]， 所以 x＝32π是该函数图像的一条渐近线方程．
当 x＝0 时，y＝2tan－π4＝－2； 当 x＝π 时，y＝2tanπ4＝2； 当 x＝2π 时，y＝2tan34π＝－2.
.
(2)值域是 □02 R .
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(3)奇偶性：正切函数是 □03 奇函数 ． (4)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 □04 π . (5)单调性：正切函数在每一个开区间 □05 －π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z) 内都是增
函数．
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金版点睛 判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对 称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看 f(－x)与 f(x)的关系．
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[跟踪训练3] 试判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|； (2)f(x)＝x2tanx－sin2x.
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【知识导学】 知识点一 y＝tanx 的性质 对于任意一个角 x，只要 x≠π2＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值 tanx
与之对应，因此 y＝tanx 是一个函数，称为正切函数．
(1)定义域是
□01 xx≠kπ＋π2，k∈Z
，
不关于原点对称，所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
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答案
(2)函数定义域为xx≠34π＋kπ且x≠π4＋kπ，k∈Z
，
关于原点对称，
又 f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4＝－tanx＋π4－tanx－π4＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在整个定义域上是增函数．( )
(2)正切函数无最大值和最小值．( )
(3)点π2，0是正切函数的一个对称中心．(
)
(4)正切函数无对称轴．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
答案 kπ，π2＋kπ(k∈Z) 解析 由 tanx>0，得 kπ<x<π2＋kπ(k∈Z)． 又∵y＝tanx 在－π2＋kπ，π2＋kπ上是增函数， ∴函数 y＝lg tanx 的单调递增区间是kπ，π2＋kπ(k∈Z)．
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解法二：(三点两线法) ①列表：
x
－π4
0
π 4
tanx －1 0 1
tanx＋2 1 2 3
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②画 x＝－π2，x＝π2两条虚线，描点． ③用光滑曲线连接，如图所示．
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[解] (1)y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4，则由－π2＋kπ<12x－π4<π2＋kπ 得 －π2＋2kπ<x<32π＋2kπ(k∈Z)．
∴函数 y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是－π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z)．
(教师独具内容) 课程标准：1.利用正切线研究正切型函数的性质.2.类比正、余弦函数的 五点法作图作正切函数的图像.3.利用整体代换的思想方法解决与正、余弦函 数、正切函数性质相关的问题． 教学重点：正切函数的性质与图像． 教学难点：正切函数的性质与图像.
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.
(2)由 3－tanx≥0，得 tanx≤ 3，结合 y＝tanx 的图像可知在－π2，π2上，
满足 tanx≤ 3的角 x 满足－π2<x≤π3，
所以定义域为x－π2＋kπ<x≤π3＋kπ，k∈Z
.
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题型三 正切函数的奇偶性问题
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[跟踪训练2] 求下列函数的定义域．
(1)y＝tanx＋π4；(2)y＝
3－tanx.
解 (1)由 x＋π4≠π2＋kπ(k∈Z)得 x≠π4＋kπ，k∈Z，所以 y＝tanx＋π4的定
义域为xx≠π4＋kπ，k∈Z
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题型一 正切函数的图像问题 例 1 作出函数 y＝tanx＋2，x∈－π2，π2的简图．
[解] 解法一：本题考查正切函数图像的作法，可以先作出函数 y＝tanx， x∈－π2，π2的图像，再将函数 y＝tanx，x∈－π2，π2的图像中所有的点向上平 移 2 个单位长度，所得图像即函数 y＝tanx＋2，x∈－π2，π2的图像，如图所 示．
所以原函数的定义域为xkπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
.
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金版点睛 解正切不等式的步骤
(1)作出正切函数 y＝tanx 在－π2，π2上的图像； (2)求出在－π2，π2内使 tanx＝a 成立的 x 的值； (3)利用图像确定不等式在－π2，π2内的解集； (4)结合函数的周期性把(3)中的解集扩展到整个定义域内．
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题型二 与正切函数有关的定义域问题 例 2 求函数 y＝ tanx＋lg (1－tanx)的定义域．
[解] 函数 y＝ tanx＋lg (1－tanx)有意义，等价于
tanx≥0， 1－tanx>0，
解得 0≤tanx<1.
由正切曲线可得 kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z.
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2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．
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[跟踪训练4] 函数 y＝lg tanx 的单调递增区间是________．
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2．做一做
(1)f(x)＝tan2x＋π3的最小正周期为(
)
π
π
A.4
B.2
C．π
D．2π
(2)f(x)＝tan(x＋π)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
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(1)正切函数在定义域上不具有单调性． (2) 正 切 函 数 无 单 调 递 减 区 间 ， 有 无 数 个 单 调 递 增 区 间 ， 在 －π2，π2 ， π2，32π，…上都是增函数． (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正 切函数在－π2，π2∪π2，32π∪…上是增函数．
(3)函数 y＝tanx－π4≤x≤π4且x≠0的值域是(
)
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
(4)函数 y＝tanx－π4的单调增区间是________．
答案 (1)B (2)A (3)B (4)－π4＋kπ，34π＋kπ(k∈Z)
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1．函数 y＝tanπ3－x的定义域是(
，关于原点对称，又 f(－
x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且 f(－x)≠－f(x)，
所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
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题型四 正切函数的单调性问题 例 4 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan1，tan2，tan3 的大小．
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金版点睛 (1)正切曲线在 x 轴上方的部分下凸，在 x 轴下方的部分上凸，画图时， 要注意曲线的光滑性及凹凸性． (2)正切曲线是被相互平行的直线 x＝π2＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支曲 线组成的．这些平行直线也称为正切曲线的渐近线．
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(2)∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0. ∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2， 且 y＝tanx 在－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan1， 即 tan2<tan3<tan1.
解
(1)因为该函数的定义域是xx≠π2＋kπ，k∈Z
，关于原点对称，且
f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函
数．
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(2)因为函数 f(x)的定义域是xx≠π2＋kπ，k∈Z
例 3 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝tanta2nxx－－ta1nx；
(2)f(x)＝tanx－π4＋tanx＋π4.
[解] (1)由x≠kπ＋π2，k∈Z， tanx≠1，
得 f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ且x≠π4＋kπ，k∈Z
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金版点睛 1．求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 ω>0，由于 y＝tanx 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整 体代换”的思想，令－π2＋kπ<ωx＋φ<π2＋kπ(k∈Z)，解得 x 的范围即可． (2)若 ω<0，可利用诱导公式先把 y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝Atan[－(－ωx －φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思 想，求得 x 的范围即可．
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知识点二 y＝tanxx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z的图像
y＝tanx 的函数图像称为正切曲线．
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【新知拓展】 1．类似于正、余弦函数的“五点法”作图，作正切函数图像采用的是“三 点两线法”，即由(kπ，0)，π4＋kπ，1，( －π4＋kπ，－1 )(k∈Z)这三点及 x＝π2＋ kπ(k∈Z)，x＝－π2＋kπ(k∈Z)这两条直线作出正切函数的图像． 2．正、余弦曲线在整个定义域内是连续的，而正切曲线是由被互相平行 的直线 x＝π2＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．因此，需注意以下几 点：
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令12x－π4＝kπ，k∈Z，得 x＝π2＋2kπ，k∈Z， 由于 x∈[0,2π]，故当 x＝π2时，y＝0.
描点(0，－2)，(π，2)，π2，0，(2π，－2)，画虚线 x＝32π，根据正切曲
线的趋势，画出简图，如图所示.
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[跟踪训练1] 画出函数 y＝2tan12x－π4在 x∈[0,2π]上的简图．
解 令12x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，可得 x＝32π＋2kπ，k∈Z，又 x∈[0,2π]， 所以 x＝32π是该函数图像的一条渐近线方程．
当 x＝0 时，y＝2tan－π4＝－2； 当 x＝π 时，y＝2tanπ4＝2； 当 x＝2π 时，y＝2tan34π＝－2.
.
(2)值域是 □02 R .
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(3)奇偶性：正切函数是 □03 奇函数 ． (4)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 □04 π . (5)单调性：正切函数在每一个开区间 □05 －π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z) 内都是增
函数．
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金版点睛 判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对 称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看 f(－x)与 f(x)的关系．
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[跟踪训练3] 试判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|； (2)f(x)＝x2tanx－sin2x.
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【知识导学】 知识点一 y＝tanx 的性质 对于任意一个角 x，只要 x≠π2＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值 tanx
与之对应，因此 y＝tanx 是一个函数，称为正切函数．
(1)定义域是
□01 xx≠kπ＋π2，k∈Z
，
不关于原点对称，所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
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(2)函数定义域为xx≠34π＋kπ且x≠π4＋kπ，k∈Z
，
关于原点对称，
又 f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4＝－tanx＋π4－tanx－π4＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在整个定义域上是增函数．( )
(2)正切函数无最大值和最小值．( )
(3)点π2，0是正切函数的一个对称中心．(
)
(4)正切函数无对称轴．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
答案 kπ，π2＋kπ(k∈Z) 解析 由 tanx>0，得 kπ<x<π2＋kπ(k∈Z)． 又∵y＝tanx 在－π2＋kπ，π2＋kπ上是增函数， ∴函数 y＝lg tanx 的单调递增区间是kπ，π2＋kπ(k∈Z)．
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随堂水平达标
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答案
解法二：(三点两线法) ①列表：
x
－π4
0
π 4
tanx －1 0 1
tanx＋2 1 2 3
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答案
②画 x＝－π2，x＝π2两条虚线，描点． ③用光滑曲线连接，如图所示．
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[解] (1)y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4，则由－π2＋kπ<12x－π4<π2＋kπ 得 －π2＋2kπ<x<32π＋2kπ(k∈Z)．
∴函数 y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是－π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z)．