南理工物理光学03-02
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x y ~ ~ E x, y C E x1 , y1 exp ik x1 z y1 z dx1dy1 1 1
3
在无透镜时，观察点为P’；有透镜时，在透镜焦平面上为P
x' z1 q x f
加有透镜之后，在公式中 Z1 由 f ' 代替。夫琅和费衍射计算 公式变为：
kr q J kr q d kr q
0
xJ 0 x dx kaqJ 1 kaq
21
2 a ~ ikqr1 cos(1 ) r1dr1d1 E q， ＝C e xp 0 0
最后得到
2 J 1 kaq ~ 2 E q , a C kaq
f'
2 a ~ ikqr1 cos(1 ) r1dr1d1 E q， ＝C e xp 0 0
20
2 a ~ ikqr1 cos(1 ) r1dr1d1 E q， ＝C e xp 0 0
其中
2
0
ikqr1 cos(1 )d1 2J 0 kr1q e xp
x y11
b y1 x 1
其中
x y ＝ a, b lf lf
a
当b>>a时，矩孔变为狭缝，
此时，入射光在Y方向上的衍射效应可以忽略。
因此单缝衍射的复振幅分布为
~ ~ sin E x E0
15
2. 光强分布特点
单缝衍射因子 衍射角
sin I I0 ,
C Q
L2
qx
P
x
O
qy
P0 E
则孔径平面上光场的复振幅 分布为： 1 在矩孔以内 ~ ~ E x1, y1 E x0 , y0 t x1, y1 Atx1, y1 0 在矩孔以外 ~ x y ~ E x, y C E x1 , y1 exp ik x1 y1 dx1dy1 － f ' f'
当 x1 y1 a 当 x1 y1 a
2 2
2
2
变为极坐标
y1
1 E 0
y
ra ra
直角坐标变极坐标：
x1 r1 cos 1 y1 r1 sin 1
Q r1 1 C
q
x1
L2
q
P r P0 E
x
x r cos y r sin d dx1dy1 r1dr 1d 1
其中 a 2 是圆孔面积，设
I 0 (a 2c)2
2
2 J1 kaq I (q ) I 0 kaq 式中：q r f'
结论： P点的强度与衍射角θ有关，或与r有关，而与Ψ无关。 r相等处光强相同，所以衍射图样是圆环条纹。
22
2 2. 光强分布特点 2 J1 z 其中：z = kaq, I ( z) I0 z 2 J1 ( z ) 1, I I 0 , 在中心有极大强度点。 当z=0时，lim z 0 z
2 2
0.0022 0.047 0.0022
0.047
0.047 0.0022 0.047
衍射在 X轴呈现与 Y 轴同样 的分布。在空间的其它点上， 由两者的乘积决定。 衍射图样
0.0022
14
四、单缝衍射 1. 复振幅分布计算 已知矩孔衍射的复振幅分布：
~ ~ sin sin E x, y E0
f 2 x 2 y 2 CP r
x2 y 2 菲涅耳近似下： f 2f
结论：若孔径很靠近透镜，r 是孔径原点C处发出的子波到 P点的光程，而 kr 则是C点到P点的位相延迟。
y1 Q C H K x1 J I O z1 r y x
P
qy
qx
P0 E
5
透镜紧靠孔径，C与O重合
§13－2 典型孔径的夫琅和费衍射
一、衍射系统与透镜作用 夫琅和费衍射对z的要求 l=600nm, x12 y12
x z
2
1
y1
2
2 2 mm max
l
max
3.33m
p'
（x, y）
( x'，y' )
q
p
x
x'
f'
x' z1 q x f
Z1
1
(x1,y1) L1 S L2
7
夫琅和费衍射公式的意义（总结）
x y ~ ~ E x, y C E x1 , y1 exp ik x1 f y1 f dx1dy1
1 x2 y2 C e xp[ ik ( f )] ilf 2f
kla kwb sin sin 2 2 Cab kla kwb 2 2 kla x kwb y a, b, 2 lf 2 lf
a 2 a 2
b 2 1 b 2
a
~ E x, y C 2a 2b exp ik lx1 wy1 dx1dy1
2 2
9
a
Leabharlann Baidu
b
~ E x, y C 2a 2b exp ik lx1 wy1 dx1dy1
2 2
a
b
C exp iklx1 dx exp ikwy1 dy1
r
10
x P(y)
q
q
x0
y 0 0.5 1
e0
O
f'
10
17
y1 x1
y
10
x P O
q
P0 E
y
0
0.5
1
a
单缝夫琅和费衍射装置
10
x 在单缝衍射实验中常常用取向与单缝平行的线光源来代替点 光源，得到的衍射图样：
18
五、圆孔衍射 1、复振幅分布计算 设圆孔半径为 a ，则孔径函数变为
1 E 0
x y ~ ~ E x, y C E x1 , y1 exp ik x1 f y1 f dx1dy1
x2 y2 exp[ik( f )] 2f C ilf
4
分析公式的意义： （1）复指数因子
x2 y 2 exp[ik ( f )] 2f
0
25
10
11
sin I y＝I 0
2
I/I0
1.0
0.8
（2）极小值的位置： 当=n, n=+1,+2,…时，即
0.6
0.4
yb lf n , y n , b sinq y nl lf b
I=0,有极小值。
0.2
0.0 -10
I/I0
1.0
2
先讨论沿y轴方向的分布。 在Y轴上， sin 0, 1 故：
sin I y＝I 0
2
0.6
2
0.8
0.4
（1）主极大值的位置： 当 =0时，I有主极大值 Imax＝I0，
0.2
0.0 -10
-2-5 -
当z 0，J1 ( z) 0时，I＝0， 出现暗环位置。
出现次级极大的位置是：
d J1 z J 2 z 0 dz z z
1.0
0.8
0.6
由二阶贝赛尔函数的零点决定。 结论：相邻暗环间隔不等，次极 大光强比中央极大小得多。
O
圆孔夫琅和费衍射装置
19
代入夫琅和费衍射公式
E x, y C
x y ~ E x1 , y1 e xp ik x1 f y1 f dx1dy1
得到极坐标夫琅和费衍射公式：
2 a r ~ E r, C exp ik r1 cos 1 cos r1 sin 1 sin r1dr 1d 1 0 0 f' r 设 =q 得到：
(x,y) P
f
夫琅和费衍射装置
透镜的作用：无穷远处的衍射图样成像在焦平面上。
2
二、夫琅和费衍射公式的意义 加有透镜之后，夫琅和费衍射公式会发生变化
k ~ ~ E x, y C E x1 , y1 exp i xx1 yy1 dx1dy1 z1 其中 1 x2 y2 C e xp[ ik ( z1 )] ilz1 2 z1 可以写成
-2-5 -
0
25
10
主极大值的边缘位置和宽度：
Y 2
lf
b
y0
lf
b
衍射扩展与矩孔的宽度成 反比，与光波波长成正比
12
（3）次极大值的位置：
对于其它的极大值点，有
d sin 0，即 tg d
2
1.0
位相差:
x y k k x1 f y1 f
孔径上其它点发出的子波与C 点发出的子波到达P点的相位差 夫琅和费衍射公式又可以写为：
E x, y C E x1 , y1 exp ik lx1 wy1 dx1dy1
衍射图样
2
kla a sin q 2 l
2e0
16
因为q较小，sinq=x/f’ q, 中央极大条纹的角半径半宽度： x0 l q0 ' a f 主极大值的边缘位置和宽度： x0 lf X 2e 2 lf 0 a a 暗条纹的间隔
P(y1)
e e0 l f a
0.8
可用作图求解。 （4）暗条纹的间隔 lf e b 结论 相邻两个零强度点之间的 距离与矩孔的宽度成反比，与 光波波长成正比
0.6
0.4
0.2
0.0 -10
2 e e
-5
0
5
2
10
Y=2e
13
（5）沿X轴与 Y 轴有同样的分布：
sin sin I I0
x y （2）复指数因子 exp ik x1 y1 f f
两个近似：
1. 透镜紧靠孔径，C与O重合 2. P靠近P0，傍轴近似
CI的方向余弦与OP的方向余弦相同为： q (l , w)
x y l sin q x , w sin q y f f
令：
~ 和E0 abC
所以，观察屏上光场的复 振幅分布为：
~ ~ sin sin E x, y E0
10
2、强度分布特点
~ ~ sin sin I E E I0
2
2 2 , I E Cab 0 0
1
J 0 kr 1q 是零阶贝赛尔函数
a kqa ~ E q， r1 2J 0 kr1q dr1 2 kr1q J 0 kr1q d kr1q 0 0
kq 2
其中应用了递推公式： 即有：
a 1 0 1
xJ xdx tJ x
t 0 0 1 kqa 1 0
C点到P点的位相延迟
孔径上其它点发出的子 波与C 点发出的子波的 到达P点的的位相差。
积分中是孔径上各点发出的子波在方向余弦l 和w代表的方向上的相干叠加。叠加结果取 决于各点发出的子波与中心点发出子波的位 相差。由于透镜的作用， l和w代表的方向上 的子波聚焦在透镜焦面上的P点
8
y1
y x1
三、矩孔夫琅和费衍射 1、复振幅分布计算 设矩形孔的长和宽分别为 a 和 b，用单位振幅平面波照射， b
y1 Q C x1 J I r y P x
H
K
O z1
qy
qx
P0 E
6
二维衍射角
y1
y x1
x y exp ik x1 f y1 f
光程差：
Q C H K
J
I O z1 r
P
x
qy
qx
P0 E
x y CH CIP QJP CQ q lx1 wy1 ' x1 ' y1 f f
3
在无透镜时，观察点为P’；有透镜时，在透镜焦平面上为P
x' z1 q x f
加有透镜之后，在公式中 Z1 由 f ' 代替。夫琅和费衍射计算 公式变为：
kr q J kr q d kr q
0
xJ 0 x dx kaqJ 1 kaq
21
2 a ~ ikqr1 cos(1 ) r1dr1d1 E q， ＝C e xp 0 0
最后得到
2 J 1 kaq ~ 2 E q , a C kaq
f'
2 a ~ ikqr1 cos(1 ) r1dr1d1 E q， ＝C e xp 0 0
20
2 a ~ ikqr1 cos(1 ) r1dr1d1 E q， ＝C e xp 0 0
其中
2
0
ikqr1 cos(1 )d1 2J 0 kr1q e xp
x y11
b y1 x 1
其中
x y ＝ a, b lf lf
a
当b>>a时，矩孔变为狭缝，
此时，入射光在Y方向上的衍射效应可以忽略。
因此单缝衍射的复振幅分布为
~ ~ sin E x E0
15
2. 光强分布特点
单缝衍射因子 衍射角
sin I I0 ,
C Q
L2
qx
P
x
O
qy
P0 E
则孔径平面上光场的复振幅 分布为： 1 在矩孔以内 ~ ~ E x1, y1 E x0 , y0 t x1, y1 Atx1, y1 0 在矩孔以外 ~ x y ~ E x, y C E x1 , y1 exp ik x1 y1 dx1dy1 － f ' f'
当 x1 y1 a 当 x1 y1 a
2 2
2
2
变为极坐标
y1
1 E 0
y
ra ra
直角坐标变极坐标：
x1 r1 cos 1 y1 r1 sin 1
Q r1 1 C
q
x1
L2
q
P r P0 E
x
x r cos y r sin d dx1dy1 r1dr 1d 1
其中 a 2 是圆孔面积，设
I 0 (a 2c)2
2
2 J1 kaq I (q ) I 0 kaq 式中：q r f'
结论： P点的强度与衍射角θ有关，或与r有关，而与Ψ无关。 r相等处光强相同，所以衍射图样是圆环条纹。
22
2 2. 光强分布特点 2 J1 z 其中：z = kaq, I ( z) I0 z 2 J1 ( z ) 1, I I 0 , 在中心有极大强度点。 当z=0时，lim z 0 z
2 2
0.0022 0.047 0.0022
0.047
0.047 0.0022 0.047
衍射在 X轴呈现与 Y 轴同样 的分布。在空间的其它点上， 由两者的乘积决定。 衍射图样
0.0022
14
四、单缝衍射 1. 复振幅分布计算 已知矩孔衍射的复振幅分布：
~ ~ sin sin E x, y E0
f 2 x 2 y 2 CP r
x2 y 2 菲涅耳近似下： f 2f
结论：若孔径很靠近透镜，r 是孔径原点C处发出的子波到 P点的光程，而 kr 则是C点到P点的位相延迟。
y1 Q C H K x1 J I O z1 r y x
P
qy
qx
P0 E
5
透镜紧靠孔径，C与O重合
§13－2 典型孔径的夫琅和费衍射
一、衍射系统与透镜作用 夫琅和费衍射对z的要求 l=600nm, x12 y12
x z
2
1
y1
2
2 2 mm max
l
max
3.33m
p'
（x, y）
( x'，y' )
q
p
x
x'
f'
x' z1 q x f
Z1
1
(x1,y1) L1 S L2
7
夫琅和费衍射公式的意义（总结）
x y ~ ~ E x, y C E x1 , y1 exp ik x1 f y1 f dx1dy1
1 x2 y2 C e xp[ ik ( f )] ilf 2f
kla kwb sin sin 2 2 Cab kla kwb 2 2 kla x kwb y a, b, 2 lf 2 lf
a 2 a 2
b 2 1 b 2
a
~ E x, y C 2a 2b exp ik lx1 wy1 dx1dy1
2 2
9
a
Leabharlann Baidu
b
~ E x, y C 2a 2b exp ik lx1 wy1 dx1dy1
2 2
a
b
C exp iklx1 dx exp ikwy1 dy1
r
10
x P(y)
q
q
x0
y 0 0.5 1
e0
O
f'
10
17
y1 x1
y
10
x P O
q
P0 E
y
0
0.5
1
a
单缝夫琅和费衍射装置
10
x 在单缝衍射实验中常常用取向与单缝平行的线光源来代替点 光源，得到的衍射图样：
18
五、圆孔衍射 1、复振幅分布计算 设圆孔半径为 a ，则孔径函数变为
1 E 0
x y ~ ~ E x, y C E x1 , y1 exp ik x1 f y1 f dx1dy1
x2 y2 exp[ik( f )] 2f C ilf
4
分析公式的意义： （1）复指数因子
x2 y 2 exp[ik ( f )] 2f
0
25
10
11
sin I y＝I 0
2
I/I0
1.0
0.8
（2）极小值的位置： 当=n, n=+1,+2,…时，即
0.6
0.4
yb lf n , y n , b sinq y nl lf b
I=0,有极小值。
0.2
0.0 -10
I/I0
1.0
2
先讨论沿y轴方向的分布。 在Y轴上， sin 0, 1 故：
sin I y＝I 0
2
0.6
2
0.8
0.4
（1）主极大值的位置： 当 =0时，I有主极大值 Imax＝I0，
0.2
0.0 -10
-2-5 -
当z 0，J1 ( z) 0时，I＝0， 出现暗环位置。
出现次级极大的位置是：
d J1 z J 2 z 0 dz z z
1.0
0.8
0.6
由二阶贝赛尔函数的零点决定。 结论：相邻暗环间隔不等，次极 大光强比中央极大小得多。
O
圆孔夫琅和费衍射装置
19
代入夫琅和费衍射公式
E x, y C
x y ~ E x1 , y1 e xp ik x1 f y1 f dx1dy1
得到极坐标夫琅和费衍射公式：
2 a r ~ E r, C exp ik r1 cos 1 cos r1 sin 1 sin r1dr 1d 1 0 0 f' r 设 =q 得到：
(x,y) P
f
夫琅和费衍射装置
透镜的作用：无穷远处的衍射图样成像在焦平面上。
2
二、夫琅和费衍射公式的意义 加有透镜之后，夫琅和费衍射公式会发生变化
k ~ ~ E x, y C E x1 , y1 exp i xx1 yy1 dx1dy1 z1 其中 1 x2 y2 C e xp[ ik ( z1 )] ilz1 2 z1 可以写成
-2-5 -
0
25
10
主极大值的边缘位置和宽度：
Y 2
lf
b
y0
lf
b
衍射扩展与矩孔的宽度成 反比，与光波波长成正比
12
（3）次极大值的位置：
对于其它的极大值点，有
d sin 0，即 tg d
2
1.0
位相差:
x y k k x1 f y1 f
孔径上其它点发出的子波与C 点发出的子波到达P点的相位差 夫琅和费衍射公式又可以写为：
E x, y C E x1 , y1 exp ik lx1 wy1 dx1dy1
衍射图样
2
kla a sin q 2 l
2e0
16
因为q较小，sinq=x/f’ q, 中央极大条纹的角半径半宽度： x0 l q0 ' a f 主极大值的边缘位置和宽度： x0 lf X 2e 2 lf 0 a a 暗条纹的间隔
P(y1)
e e0 l f a
0.8
可用作图求解。 （4）暗条纹的间隔 lf e b 结论 相邻两个零强度点之间的 距离与矩孔的宽度成反比，与 光波波长成正比
0.6
0.4
0.2
0.0 -10
2 e e
-5
0
5
2
10
Y=2e
13
（5）沿X轴与 Y 轴有同样的分布：
sin sin I I0
x y （2）复指数因子 exp ik x1 y1 f f
两个近似：
1. 透镜紧靠孔径，C与O重合 2. P靠近P0，傍轴近似
CI的方向余弦与OP的方向余弦相同为： q (l , w)
x y l sin q x , w sin q y f f
令：
~ 和E0 abC
所以，观察屏上光场的复 振幅分布为：
~ ~ sin sin E x, y E0
10
2、强度分布特点
~ ~ sin sin I E E I0
2
2 2 , I E Cab 0 0
1
J 0 kr 1q 是零阶贝赛尔函数
a kqa ~ E q， r1 2J 0 kr1q dr1 2 kr1q J 0 kr1q d kr1q 0 0
kq 2
其中应用了递推公式： 即有：
a 1 0 1
xJ xdx tJ x
t 0 0 1 kqa 1 0
C点到P点的位相延迟
孔径上其它点发出的子 波与C 点发出的子波的 到达P点的的位相差。
积分中是孔径上各点发出的子波在方向余弦l 和w代表的方向上的相干叠加。叠加结果取 决于各点发出的子波与中心点发出子波的位 相差。由于透镜的作用， l和w代表的方向上 的子波聚焦在透镜焦面上的P点
8
y1
y x1
三、矩孔夫琅和费衍射 1、复振幅分布计算 设矩形孔的长和宽分别为 a 和 b，用单位振幅平面波照射， b
y1 Q C x1 J I r y P x
H
K
O z1
qy
qx
P0 E
6
二维衍射角
y1
y x1
x y exp ik x1 f y1 f
光程差：
Q C H K
J
I O z1 r
P
x
qy
qx
P0 E
x y CH CIP QJP CQ q lx1 wy1 ' x1 ' y1 f f