【百强校】2016届湖北省孝感市六校联盟高三上学期期末文科数学试卷(带解析)

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【百强校】2016届湖北省孝感市六校联盟高三上学期期末文
科数学试卷（带解析）
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：161分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1、已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A ．是偶函数
B ．是增函数
C ．是周期函数
D ．
的值域为
【答案】D 【解析】
试题分析：作出函数的图象，容易发现其不关于轴对称，所以它不是偶函数，所以A 不对；函数在
上，既有增区间也有减区间，所以在整个定义域上并不具有单调
试卷第2页，共15页
性，B 不对；显然在区间函数不具备周期性，所以C 不对；由图象可知函数的
最小值为
，向上无穷延伸，无最大值，其值域为
，故选D ．
考点：分段函数的图象与性质．
【方法点晴】本题给出了分段函数的解析式，来研究其性质，这类问题往往需要通过数形结合来解决，即作出函数图象，由图象分析其性质．函数的图象和性质实际上是相互依存的，有什么样的图象必然就有相对应的性质，而函数的性质又可以通过图象体现出来，比如本题中，函数的奇偶性体现在图象上就是对称性，周期性就是体现函数图象的“重复”特征；当然单调性和值域就更加直观了． 2、曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．120°
【答案】A 【解析】 试题分析：
所以切线在点
处切线的斜率
，设切线的倾斜角为
，则
，又
，解得
，故选A ．
考点：导数的几何意义及直线的倾斜角与斜率．
【方法点晴】研究直线的倾斜角问题首先要求出直线斜率的范围，而直线的斜率往往通过导数的几何意义来解决．本题中，给出的点恰好在曲线
上，所
以曲线
在点
在处的导数就是切线的斜率，由斜率求倾斜角的值或
范围时，应当结合
即正切函数在
上的图象来求解．
3、设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z ＝2y －3x 的最大值为（ ） A ．－3
B ．2
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】
试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图，目标函数
化为斜截式为
，所以当直线
的截距最大时，所以当直线过
点
时，
故选C ．
考点：简单的线性规划． 4、设，则以
为坐标的点落在不等式
所表示的
平面区域内 的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
试题分析：由分步乘法计数原理可知，当
时，点共有个点．不等式
等价于
所以当
时，
此时无点满
足条件，当
时，
此时
满足题意，当
时，
此时
满足题意，所以满足条件的点共有个，概率故选C ．
考点：古典概型与简单的线性规划．
5、已知等差数列{a n }，满足a 1＋a 5＝2，a 2＋a 14＝12，则此数列的前10项和S 10＝（ ） A ．7
B ．14
C ．21
D ．35
试卷第4页，共15页
【答案】 【解析】D
试题分析：设数列的首项为，公差为，由题意得，
所以，所以故选D ．
考点：等差数列的通项公式及前项和公式．
6、已知，且
，则tanφ＝（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：由三角函数的导公式知
故选D ．
考点：任意角三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式．
7、执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第项是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
试题分析：运行程序可得，
的数列的第项为故选B．
考点：程序框图中的循环结构．
8、命题“对任意，都有”的否定为（）
A．对任意，都有
B．对任意，都有
C．存在，使得
D．存在，使得
【答案】C
【解析】
试题分析：根据命题的否定的定义可知，全称命题的否定应为存在性命题，同时结论也要否定，故选C．
考点：命题的否定的定义的应用．
9、设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由纯虚数的定义可知故选D．
考点：复数的除法运算及复数的概念．
10、已知，，，若，则（）A．B．C．D．
【答案】A
试卷第6页，共15页
【解析】 试题分析：
故选A ．
考点：向量的垂直关系及坐标运算． 11、已知集合，
，若
，则实数
的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 试题分析：由数轴可知
故选D ．
考点：集合关系．
12、已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离
心率等于
，
则该双曲线的方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：抛物线的焦点坐标为，因为双曲线的焦点与抛物
线
焦点重合，所以，又双曲线的离心率
，所以双曲线方程为
，
故选D ．
考点：双曲线方程及其简单几何性质．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
13、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，其底面为边长为的正方形，一条侧棱
垂直于底面且长为，所以其体积为
考点：三视图与几何体的体积．
【方法点晴】在根据三视图求几何体的体积问题中，关键是要根据给出的三视图确定几何体的形状．本题中，由三个视图的特征（特别是俯视图为正方形）容易确定其形状为四棱锥，根据棱锥的体积公式只需要求出其底面积和高，这就要用到三视图之间的关系“主俯同长，左俯同宽，主左同高”，这里面的高就是棱锥的高，体积边迎刃而解． 14、已知x,y 的取值如下表：
从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且
，则=_________．
【答案】
试卷第8页，共15页
【解析】
试题分析：散点图经过的中心点坐标为
，代入回归直线方程
可得
考点：散点图与回归直线分析．
【易错点晴】本题考查了散点图与回归分析，这类问题解得的一半思路是先画出散点图，看变量之间是否具备线性相关关系，若具备线性相关关系，再求回归直线方程，对于回归直线应用的易错点是代入其中某一数据对，事实上，回归直
线可能不经过任何一对观测值，但一定经过中心点，所以应当把中心点的坐标代
入给出的方程，从而求得．
15、设函数，则
的值是________．
【答案】 【解析】 试题分析：
考点：对数的性质与分段函数． 16、已知等比数列前项和为
，若
,
，则
_______．
【答案】
【解析】
试题分析：由等比数列前项和的性质知
也成等比数列，所以成等比数列，故
，解得
．
考点：等比数列前项和公式．
三、解答题（题型注释）
17、已知函数．
（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线的斜率为
，求实数；
（Ⅱ）若，求的极值；
（Ⅲ）当时，在上的最小值为，求
在该区间上的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
的极大值为
，
的极小值为
；（Ⅲ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）曲线在
处的导数就是切线的斜率，解方程即可求得实
数的值；（Ⅱ）把
代入解析式并求导，通过判断导函数的符号，得到其单调性，
找出极值点，即可求得其极值；（Ⅲ）先讨论函数的单调性，通过最小值求出的值，找到最大值点，即可求得最大值． 试题解析：（Ⅰ）因为，
曲线在点
处的切线的斜率，
依题意：
．
所以，
的极大值为，
的极小值为．
（Ⅲ）令
，得，
在上单调递减，在
上单调递增， 当时，有，所以
在
上的最大值为，，
所以在上的最小值为，解得：
．
故
在
上的最大值为
． -------------------12分
考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与极值、最值等．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，充分体现了导数的工具作用．函数在某点的切线斜率，实际上考查导数的几何意义，过函数图象上某点的切线斜率就是在该点出的导数，研究函数的极值和最值，一定要先研究函数的单调
试卷第10页，共15页
性，可以通过列表或解不等式，判断出导函数在各个区间上的符号，即得其单调性，含参数时，往往要通过讨论来解决，注意把握好讨论的标准． 18、已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为
和
，且|
|=2，点（1，）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若A B 的面积为，求以
为圆心且与直线相 切圆的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题意可得，再结合即可求得；
（Ⅱ）联立方程组消元，得到两个交点坐标的关系求出弦长，得到三角形
面积与参数的方程，即可求得其斜率． 试题解析：（Ⅰ）因为|
|=2，所以
．
又点（1，）在该椭圆上，所以
．
所以
．
所以椭圆C 的方程为
（Ⅱ）①当直线⊥x 轴时，可得A （-1，-），B （-1，），A B 的面积为3，
不符合题意．
②当直线与x 轴不垂直时，设直线的方程为y=k （x+1）．代入椭圆方程得：
，
显然
＞0成立，设A
，B
，则
，，可得|AB|=
又圆的半径r=
，∴A B 的面积=|AB| r==
，
化简得：17+
-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为
考点：椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系问题．
【方法点晴】求椭圆的方程通常用待定系数法，先判断焦点的位置，设出方程，列待定系数的方程组，通过解方程组即可求得方程，这类问题属于容易题；在直线与椭圆的位置关系问题中，三角形的面积是常见题型，应结合图形选择合适的边作底，利用弦长公式和韦达定理求出弦长，点到直线的距离公式求出高，表示出面积，构造参数的方程或函数来求解，解答过程应当注意运算的准确性，保证有效答题．
19、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．
求证：（1）平面PA ∥平面BDE ； （2）平面PAC ⊥平面BDE ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）要证明
平面，可在平面内找
的平行线，已知
为
的中点，连接交于
，则
为
的中点，所以，得证；（2）
由已知容易证明
平面
，根据面面垂直的判断定理得证．
试题解析：（1）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，
∴OE ∥AP ，又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ．∴PA ∥平面BDE ． （2）∵PO ⊥底面ABCD ，PO ⊥BD ，
试卷第12页，共15页
又∵AC ⊥BD ，且AC∩PO=O
∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE 考点：空间中直线与平面的平行与垂直关系． 20、某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次
生活习惯是否符合低碳
观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各
年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；
（Ⅱ）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活
动，其中选取人
作为领队，求选取的名领队中恰有1人年龄在
岁的概率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中矩形的面积表示改组的频率，求出频率，除以组距得到矩形的高，画出频率分布直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，即可求出的值
的值；（Ⅱ）根据分层抽样的规则求出两部分的人数，列
举出所有试验包含的基本事件，找出满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，即可求得结果．
试题解析：（Ⅰ）第二组的频率为
，所以高
为．频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为，所以． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为
，所以
．
第四组的频率为，所以第四组的人数为
，
所以．
（Ⅱ）因为
岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为所以采用分层抽样法抽取6人，
岁中有4人，岁中有2人
设
岁中的4人为、、、
，岁中的2人为
、，则选取2人作
为领队的有
、、、、
、
、
、
、
、
、、、、、，共15种；其中恰有1人年龄在岁的
有
、
、
、
、
、
、
、
，共8
种．
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为．
考点：频率分布直方图和古典概型中的概率问题． 21、在等差数列｛}中，已知，
．
（Ⅰ）求数列｛}的通项
；
（Ⅱ）求数列｛}的前9项和； （Ⅲ）若
，求数列
的前项和
．
试卷第14页，共15页
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据已知条件列出首项和公差的方程组，解方程组得到
和，由等差数列的通项公式即可求解；（Ⅱ）在（Ⅰ）解决的前提下，把、
及
代
入等差数列前项和公式可得
；（Ⅲ）把（Ⅰ）结论代入
化简可发现
为等比数列，利用等比数列的前项和公式可得的表达式．
试题解析：（Ⅰ）因为
，
，设公差为d
得，
解得，
所以． （Ⅱ）． （Ⅲ）由（Ⅰ） 所以
是首项
，公比的等比数列，
所以．
考点：等差数列的通项公式及等差、等比数列的前项和公式．
22、在锐角中，三内角，，的对边分别为，若
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求
的值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由于
，所以
，利用余弦定理表示出
解方
程即可解得边
的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，结合三角形内角和定理可
得
与
的关系．
试题解析：（Ⅰ）在锐角
中，由余弦定理得：
，
解得：
． （Ⅱ）
．
考点：三角函数的诱导公式及利用余弦定理解三角形．。