第二章 一维极小化方法-牛顿法
一维牛顿法
一维牛顿法也称为一维牛顿-拉夫逊方法，是一种迭代的优化算法，用于求解一维非线性函数的极值点。这种方法通过利用函数的二阶导数信息来逼近极值点，并在每次迭代中更新搜索方向，以快速收敛到最优解。
一维牛顿法的具体步骤如下：
初始化：选择初始点x0，并设定迭代终止条件，如迭代次数或函数值的收敛阈值。
计算一阶和二阶导数：计算函数f(x)在当前点xk处的一阶导数f'(xk)和二阶导数f''(xk)。
更新搜索方向和步长：根据二阶导数的信息，计算搜索方向dk和步长αk。
更新当前点：计算新的点xk+1 = xk + αk * dk。
判断终止条件：检查是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。
例如，对于函数f ( x ) = x 3 −2 sin ( x ) f(x) = x^3 - 2\sin(x)f(x)=x3−2sin(x)，在A AA点处对函数f ( x ) f(x)f(x)展开，得到近似的二次函数φ( x ) \varphi(x)φ(x)，φ( x ) \varphi(x)φ(x)的最小值在B BB点处取得，高斯牛顿法的下一步迭代点即为与B BB点横坐标相等的C CC点。如此，只需数次，迭代能够达到很高的精度，可见牛顿法收敛速度快。
目标函数的几种极值求解方法
目标函数极值求解的几种方法
题目：()()
2
22
1
122min -+-x x
，取初始点()()
T
x 3,11
=，分别用最速下降法，
牛顿法，共轭梯度法编程实现。
一维搜索法：
迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 出发，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。
一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。本文采用的是第一类试探法中的黄金分割法。原理书上有详细叙述，在这里介绍一下实现过程：
⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ，计算函数值
()1λf 和()1μf ，计算公式是：()1111382.0a b a -+=λ，()1111618.0a b a -+=μ。令
k=1。
⑵ 若L a b k k <-则停止计算。否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当
()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。
⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函数值
牛顿法和拟牛顿法
x k 1）
1（x 2
-
x k 1)2f(x k 1)(x k
x k 1)
hk hk 1 H k 1(x k x k 1)
Hk 11(hk 1 hk ) x k 1 x k
G k H k 1
Gk(hk 1 hk ) x k 1 x k 记yk hk 1 hk f(x k 1) f(x k） dk x k 1 x k 则有Gk 1 y k d k(称为拟牛顿方程）
x(k 1) x(k ) 2f(x(k ))1f(x(k ))
若Hesse矩阵正定，即 H (x(k )) 0，
则 H (x(k ))1 0,此时有
x(k 1) x(k ) H (x(k ))1f(x(k ))
——Newton迭代公式
比较迭代公式,x k1 x k kS k ,有
Step3: 沿 sk 进行线搜索，得最优步长 k . Step4: 令x k 1 x k ks k ,k k 1, 转Step2.
3. 收敛性定理
定理3.7 设 f x 二次连续可微，2 f x 正定． 记 xk是由阻尼牛顿法得到的迭代点列.
若水平集 L x Rn f x f x0 有界,
在确定拟牛顿方程式的Hk+1时，若矩阵Hk+1对称，则需 要待定（n+n2)/2个未知数，n个方程，所以拟牛顿方程 一般有无穷个解，故由拟牛顿方程确定的一族算法，通 常称之为拟牛顿法
牛顿法 微分方程
牛顿法微分方程
牛顿法一般是求解函数的极小值，它是通过求解一阶和二阶连续微分
方程组来求解函数的极小值的方法，并且在众多非线性最优化问题中
得到应用。
一、牛顿法求解的原理
牛顿法是一种基于梯度和海森堡矩阵来求解函数的极小值的迭代方法。它的核心思想是：在原点处对函数求导，形成一个函数曲线，然后根
据函数曲线的梯度下降到函数的极小值处。牛顿法有助于提高收敛速度，能够较快的发现最优点。
二、牛顿法在微分方程中的应用
（1）牛顿法可以用于求解微分方程，如多元求导法可以用于求解多元
微分方程，有限差分可以用来求解偏微分方程；
（2）牛顿法也可以用来求解反常微分方程，有时候只需要泰勒展开，
然后根据此将方程转化为常规微分方程；
（3）牛顿法还可以用于求解复杂的非线性微分方程，只要能够构造出
适当的函数，形成二阶导数矩阵，即可以应用。
三、牛顿法的优缺点
（1）优点
1）牛顿法可以快速收敛，只要很快就可以收敛到极小值；
2）牛顿法可以计算复杂的系统，适用性强，可以使用在一维函数上也可以用于多维函数；
3）可以求解几乎所有的非线性问题，比较灵活；
（2）缺点
1）牛顿法对函数可导性有较高要求，当函数曲线不够光滑时，会影响收敛效果；
2）由于计算二阶连续微分方程组求解时，需要较大的计算量，当数据量很大的时候就会影响收敛速度；
3）求解线性方程优于求解非线性方程，在解决复杂的非线性方程时，牛顿法的精度较低，甚至可能无法收敛到极小值。
最优化理论方法——牛顿法
牛顿法
牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton ’s method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。牛顿法使用函数
()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
牛顿法的几何解释：
方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。如下图：
设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：
（1）最速下降法：
以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。
设函数()f x 在k x 附近连续可微，且()0k k g f x =∇≠。由泰勒展开式： ()()(
)()()T
k k k k f
x f x x x f x x x ο
=+-∇+- （*）
可知，若记为k k x x d α-=，则满足0T
k k d g
数学中的最优化方法
数学中的最优化方法
数学是一门综合性强、应用广泛的学科，其中最优化方法是数学的一个重要分支。最优化方法被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、计算机科学等等。本文将从理论和应用两个角度探讨数学中的最优化方法。
一、最优化的基本概念
最优化是在给定约束条件下，寻找使某个目标函数取得最大（或最小）值的问题。在数学中，最优化可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。
1. 无约束最优化
无约束最优化是指在没有限制条件的情况下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的问题。常见的无约束最优化方法包括一维搜索、牛顿法和梯度下降法等。
一维搜索方法主要用于寻找一元函数的极值点，通过逐步缩小搜索区间来逼近极值点。牛顿法是一种迭代方法，通过利用函数的局部线性化近似来逐步逼近极值点。梯度下降法则是利用函数的梯度信息来确定搜索方向，并根据梯度的反方向进行迭代，直至达到最优解。
2. 有约束最优化
有约束最优化是指在存在限制条件的情况下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的问题。在解决有约束最优化问题时，借助拉格朗
日乘子法可以将问题转化为无约束最优化问题，进而使用相应的无约束最优化方法求解。
二、最优化方法的应用
最优化方法在各个领域中都有广泛的应用。以下将以几个典型的应用领域为例加以说明。
1. 经济学中的最优化
在经济学中，最优化方法被广泛应用于经济决策、资源配置和生产计划等问题的求解。例如，在生产计划中，可以使用线性规划方法来优化资源分配，使得总成本最小或总利润最大。
2. 物理学中的最优化
最优化方法在物理学中也是常见的工具。例如，在力学中，可以利用最大势能原理求解运动物体的最优路径；在电磁学中，可以使用变分法来求解电磁场的最优配置；在量子力学中，可以利用变分法来求解基态能量。
牛顿法
牛顿法
牛顿法（英语：Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（英语：Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。起源：
牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿去世后的1736年公开发表）中提出。约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。
原理：二阶逼近
牛顿法对局部凸函数找到极小值，对局部凹函数找到极大值，对局部不凸不凹函数可能找到鞍点
牛顿法要求估计二阶导数。
牛顿法据称比直接计算要快了4 倍。其中的两次迭代（第二步迭代被注释掉了）就是用的牛顿法来求解方程，也就是的根。牛顿法的思想其实很简单，给定一个初始点，使用在该点处的切线来近似函数，然后寻找切线的根作为一次迭代。比如对于这个例子，令，给定初始点，在该点处的导数是，由此可以得到该处的切线为，求解得到
正是代码中的迭代。当然代码的重点其实不在这里，而在
0x5f3759df
这个奇怪的magic number，用于得到一个好的初始点。这个神奇的数字到底是谁发现的，根据wikipedia 上的说法似乎至今还没有定论。xkcd 还为此画了一条漫画，讽刺说每次我们惊奇地发现工业界里不知道哪个无名人士写出了0x5f3759df
之类的神奇数字，背后都有成千上万的其他无名人士我们无从知晓，说不定他们中的某一个人已经解决了P=NP 的问题，但是那人却还在调某个自动打蛋器的代码所以我们至今仍无知晓。:D
第二章 一维极小化方法
计算 f ( k ) 和 f ( k ) , 分两种情况： 1. 若 f (k ) f ( k ) , 则令 a k 1 k , bk 1 bk ; 2. 若 f ( k ) f ( k ) , 则令 a k 1 a k , bk 1 k . 如何确定 k 与 k？
沿着x增大方向搜索叫前进运算；若前进运算不成功，就退 回来，再沿相反方向寻找，称为后退运算，故将该求解方法 称为进退法。
进退法的计算步骤
1. 给定初始点 x ( 0 ) R, 初始步长h0 0, 令 h h0 , x(1) x( 0) ,
计算 f ( x (1) ), 并令 k 0.
并假设
f ( x(1) ) f ( x(2) ),
f ( x(3) ) f ( x(2) ).
f ( x)
( x)
x* x (1 )
x
x ( 2)
x ( 3)
如何计算函数 ( x ) ?
设
( x ) a bx cx 2 ,
( x ) a bx cx
(1) (1) (1) 2
第二章_一维优化方法
目标函数可以通过等值线（面）在设计空间中 表示出来。
以二维为例，如图
在设计平面上的点X(1) ,X(2), X(3)存在有：
F ( X (1) ) F ( X ( 2) ) F ( X (3) ) c1
例:某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产
品每件需要用材料9kg、3个工时、4kw电， 可获利60元。生产乙种产品每件需要用材料 4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若 每天能供应材料360kg、有300个工时、能供 200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多 少件，才能够获得最大的利润。
优化思想融入其中，例如：
1、汽车行业（排气量优化问题，车型等） 2、航空航天（电子吊舱TTC环控制系统 的优化设计、卫星、安全等问题
1什么是最优化设计 是根据给定的设计要求，在现有的工程技 术条件下，应用专业理论和数学规划的理论及 方法，在计算机上进行的半自动或自动设计， 以选出在现有工程条件下的最好设计方案的一 种现代设计方法。
f x1 , x2 60 x1 120x2
3约束条件：在设计中对设计变量取值的限制 条件 （1）边界约束或区域约束 （2）性能约束 （3）显约束和隐约束 （4）约束的表达式形式：按表达式约束分为 等式和不等式约束
gu ( X ) 0 hv ( X ) 0
凸优化之无约束优化（一维搜索方法：二分法、牛顿法、割线法）
凸优化之⽆约束优化（⼀维搜索⽅法：⼆分法、⽜顿法、割线
法）
1、⼆分法（⼀阶导）
⼆分法是利⽤⽬标函数的⼀阶导数来连续压缩区间的⽅法，因此这⾥除了要求 f 在 [a0,b0] 为单峰函数外，还要去 f(x) 连续可微。
（1）确定初始区间的中点 x(0)=(a0+b0)/2 。然后计算 f(x) 在 x(0) 处的⼀阶导数 f'(x(0))，如果 f'(x(0)) >0 , 说明极⼩点位于 x(0)的左侧，也就是所，极⼩点所在的区间压缩为[a0,x(0)]；反之，如果 f'(x(0)) <0，说明极⼩点位于x(0)的右侧，极⼩点所在的区间压缩为[x(0)，b0]；如果f'(x(0)) = 0，说明就是函数 f(x) 的极⼩点。
（2）根据新的区间构造x(1)，以此来推，直到f'(x(k)) = 0，停⽌。
可见经过N步迭代之后，整个区间的总压缩⽐为（1/2）N，这⽐黄⾦分割法和斐波那契数列法的总压缩⽐要⼩。
1 #ifndef _BINARYSECTION_H_
2#define _BINARYSECTION_H_
3
4 typedef float (* PtrOneVarFunc)(float x);
5void BinarySectionMethod(float a, float b, PtrOneVarFunc fi, float epsilon);
6
7#endif
1 #include<iostream>
2 #include<cmath>
3 #include "BinarySection.h"
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法
牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’
’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。牛顿法使用函数
()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。牛顿法是求方程根的重要
方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：
方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。如下图：轴的焦点的横坐标。如下图：
设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并
将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1
k x +作为*
x 的新的近似值。鉴于这种几何背景，
牛顿法亦称为切线法。牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：
（1）最速下降法：
x-
d g
k k
×
G
g s
k
s
×
G
G
d 101
x x x -
（1）令k k G v I k G -
=+，其中：，其中：
0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。否则。
（2）计算_
k G 的Cholesky 分解，_
拟牛顿法
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拟牛顿法及相关讨论
星期三, 2009-06-17 00:24 —satchel1979
使用导数的最优化算法中，拟牛顿法是目前为止最为行之有效的一种算法，具有收敛速度快、算法稳定性强、编写程序容易等优点。在现今的大型计算程序中有着广泛的应用。本文试图介绍拟牛顿法的基础理论和若干进展。
牛顿法(Newton Method)
牛顿法的基本思想是在极小点附近通过对目标函数做二阶Taylor展开，进而找到的极小点的估计值[1]。一维情况下，也即令函数为
则其导数满足
因此
(1)
将作为极小点的一个进一步的估计值。重复上述过程，可以产生一系列的极小点估值集合。一定条件下，这个极小点序列收敛于的极值点。
将上述讨论扩展到维空间，类似的，对于维函数有
其中和分别是目标函数的的一阶和二阶导数，表现为维向量和矩阵，而后者又称为目标函数在处的Hesse矩阵。设可逆，则可得与方程(1)类似的迭代公式：
(2)
这就是原始牛顿法的迭代公式。
原始牛顿法虽然具有二次终止性（即用于二次凸函数时，经有限次迭代必达极小点），但是要求初始点需要尽量靠近极小点，否则有可能不收敛。因此人们又提出了阻尼牛顿法[1]。这种方法在算法形式上等同于所有流行的优化方法，即确定搜索方向，再沿此方向进行一维搜索，找出该方向上的极小点，然后在该点处重新确定搜索方向，重复上述过程，直至函数梯度小于预设判据。具体步骤列为算法1。
极大化和极小化函数的方法
极大化和极小化函数的方法
极大化和极小化函数的方法主要是指将函数最终达到极大值或极小值的计算过程。一般来说可以采用梯度下降法（gradient descent）、牛顿法（Newton's Method）、拉格朗日法（Lagrange Multipliers）、或者其他的优化方法来实现极大化
和极小化函数的目标。
梯度下降法是一种基于步长搜索的独立变量函数最小化法，它通过使用梯度指示器对对函数进行逐步迭代来搜索最小点。每一次迭代，它会考虑在梯度方向上的升降来选择下次迭代的位置，并按照梯度的大小来改变迭代的步长大小。当梯度的值接近于零时，会收敛到最优值。弊端是当函数处于非凸空间时，求解出的结果会受到起始点的影响，可能得到的答案不是最优的。
牛顿法是用于求解非线性函数极值的方法，它使用x在函数
f(x)附近的一阶导数和二阶导数来确定跳跃位置。它最大的优
点是可以在收敛速度上快于梯度下降法，并且可以从任何一点开始，例如局部极值。然而，这种方法也有一些局限性，牛顿法不适合处理多维空间，它只能处理单元素函数，并且当函数极值有许多个点时，牛顿法可能会陷入局部极小值点而不是全局极小值点。
拉格朗日法是一种在极大化和极小化函数时常见的优化方法。它结合了梯度下降法和牛顿法，可以发现函数极值的极小点。它的基本思想是，对于给定的对偶变量Λ，把原始函数改写成一个新的函数F，然后根据牛顿法或梯度下降法求解F的极值。
这种方法能够从不同的角度考虑最优化问题，避免陷入局部极小值。
另外，还有一些其他的优化方法，可以用来求解极大化和极小化函数的极值，比如：Simulated Annealing Algorithm（模拟退火算法）, Genetic Algorithm（遗传算法）, Particle Swarm Optimization（粒子群优化）等。所有这些方法都旨在找出函数最优解，不同优化算法有一定的适用范围，在不同场景下，需要选择合适的优化方法，以达到最优解。
第二章一维搜索法
第二章 一维搜索法
● 概述
● 确定初始单谷区间的进退法 ● 一维搜索法分类 ● 区间消去法 ● 函数逼近法
概述
求一元函数()F x 的极小点和极小值问题就是一维最优化问题。求解一维优化问题的方法称为一维优化方法，又称一维搜索法。一维搜索法是优化问题中最简单、最基本方法。因为它不仅可以解决单变量目标函数的最优化问题，而且在求多变量目标函数的最优值时，大多数方法都要反复多次地进行一维搜索，用到一维优化法。 一般多维优化计算的迭代的基本格式：从一个已知点()
k x 出发（()
k x
由上次迭代获得，
开始时就是起始点(0)
x
），沿某一优化方法所规定的是目标函数值下降的搜索方向()
k S
，选
择一个步长因子α，求得下一个新迭代点(1)
k x +，(1)
()()k k k x
x S α+=+并且满足
1()()k k F x F x +≤，即新点必须能够使目标函数值有所下降，这个新点就是下一次迭代的出
发点，如此重复，直到求出目标函数的最优解为止。理想步长k
α可以通过
()()()()k k F F x S αα=+的极小点获得min ()F α，使得目标函数达到最小()()min ()k k F x S α+，这种在第k 次迭代中求理想步长k α的过程，就是一维搜索过程。
大致分为两个步骤：
1. 确定初始搜索区域[a,b]，该区域应该包括一维函数极小点在内的单谷区域；
2. 在单谷区域[a,b]上寻找极小点。
寻找极小点k
α可以采用解析解和数值解等方法。
确定初始单谷区间的进退法
单谷区域的定义：
设函数()F x 在区域12[,]x x 内有定义，且
优化设计2——一维优化及牛顿法
x1 a 0.382(b a)
x2 a 0.618(b a)
1 l
a
2015-4-29
x1
x2
b
9
两个原则：
等比收缩原则：即区间每一次的缩短率λ 不变；
对称取点原则：即所插入两点在区间中位置对称。
2015-4-29
10
3.3.2 黄金分割法
0.618法算法步骤为：
(1)
(2) (3) (4) (5)
确定f(x)的初始搜索区间[a,b]及终止限ε。
计算x2=a+0.618(b-a), f2=f(x2); 计算x1=a+0.382(b-a), f1=f(x1); 若|x2-x1|<ε，则输出x*=(x2+x1)/2，停机；否则，转(5); 若f1≤f2; ，则置b=x2，x2=x1 ， f2=f1,然后转（3）；否则置 a=x1，x1=x2 ， f1=f2 , ，然后计算x2=a+0.618(b-a), f2=f(x2)， 转（4）。
f ( x)
x
2015-4-29
a a x1
x2 bb
8
3.3.2 黄金分割法
黄金分割法：
黄金分割：将一线段分成两段，使得整段长度 l 与较长 段 l 的比值等于较长段 l 与较短段 1 l 的比值
(1 )l l l l
牛顿法
切线法在计算 x时k只1 用到前一步的值 ，而xk弦截法 （5.2），在求 xk 时1 要用到前面两步的结果 xk ,，xk因1
此使用这种方法必须先给出两个开始值 x1, x. 0
例10 用弦截法解方程
表7 8 计算结果
f (x) xex 1 0.
k
xk
解 设取 x0 0.5作, x为1 0.6
k
例8 求 1. 15
解 取初值 x，0 对10 C 1按15（4.5）式迭代3次 便得到精度为 10的6 结果 （见表7-6).
由于公式（4.5）对任意 初值 x0 均0收敛，并且收 敛的速度很快，因此可取确定 的初值如 x0 编1成通用程序.
表7 6 计算结果
k
xk
0
10
1
10.750000
xk xk 1
Pk , Pk 1
22
程是
y
f (xk )
f
( xk ) xk
f xk 1
xk 1
(x
xk
).
表7-5
因之，按（5.2)式求得的 xk 实1 际上是弦线 Pk与Pk 轴 1 x 交点的横坐标. 这种算法因此而称为弦截法.
23
弦截法与切线法（牛顿法）都是线性化方法，但两者 有本质的区别.
0
0.5
开始值，用弦截法求得的结果见表7-8，
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∴ 当Gk > 0 时， k 是下降方向。 d 是下降方向。
如果对 Newton 法稍作修正： 法稍作修正： x
k +1
= x + tk d
k
k
令
∇Q(x) = gk +Gk(x − x ) = 0
k
正定， 若 Hesse 矩阵 G k 正定，即 G k > 0，
− 则 G k 1 > 0，此时有
− x k +1 = x k − G k 1 g k
这就是 Newton 迭代公式 。
比较迭代公式
− d k = −G k 1 g k ,
x k +1 = x k + t k d k , 有
xT I x
法为变尺度算法。 称 Newton 法为变尺度算法。
3.
附加某些条件使得： 如何对 H k 附加某些条件使得： （1）迭代公式具有下降性 质 （2） H k 的计算量要小 （3）收敛速度要快
↔
↔
Hk > 0
源自文库
H k +1 = H k + ∆H k ( ∆H k = H k +1 − H k )
g k ≈ g k +1 + G k +1 ( x k − x k +1 )
−1 G k +1 ( g k +1 − g k ) = x k +1 − x k ,
这样我们想到
记 y k = g k + 1 − g k , s k = x k + 1 − x k , 则有
4、拟 Newton 算法
( 变尺度法 )的一般步骤； 的一般步骤；
− H k ≈ Gk1
↔
− 如何保证 H k > 0和 H k ≈ G k 1 ?
如何确定 ∆ H k ？
拟 Newton 条件
− 拟 Newton 条件 ↔ H k ≈ G k 1
分析： − 需满足的条件， G 分析： k 1 需满足的条件，并利用 此条件确定 H k 。
记 g ( x ) = ∇ f ( x ), g k = ∇ f ( x k ) G k = ∇ f 2 ( x k ), 则因为
k
迭代公式： 先考虑 Newton 迭代公式： x = x − G ∇f ( x )
迭代公式中， 在 Newton 迭代公式中，如果我们 用
− 则有： 正定矩阵 H k 替代 G k 1，则有：
x k +1 = x k − H k ∇ f ( x k )
2.
考虑更一般的形式： 考虑更一般的形式： x k +1 = x k − t k H k ∇ f ( x k )
step4. 若 || ∇f ( x
k +1
) ||< ε , 停止， = x 停止， x
*
k +1
;
令 否则， k := k + 1 , 转step 4 。
4. 算法特点
收敛速度快，为二阶收敛。 初始点要选在初始点附近。
5. 存在缺点及修正
(1) f ( x k +1 ) < f ( x k ) ?
而
t k = 1。
3. 算法步骤
step 1. 给定初始点 x 0，精度 ε > 0 , k := 0
step2. 计算g k = ∇f ( x k )和G k = ∇ 2 f ( x k )
− 可逆时， 当 G k 可逆时， x k + 1 = x k − G k 1 g k 。
step3. 由方程组∇Q( x ) = g k + G k ( x − x k ) = 0 解出x k +1
f ( x ) ≈ f ( x k +1 ) + ∇f ( x k +1 )T ( x − x k +1 )
1 + ( x − x k +1 )T ∇ 2 f ( x K +1 )( x − x k +1 ) 2
g ( x ) ≈ g ( x k + 1 ) + ∇ 2 f ( x k + 1 )( x − x k + 1 )
（2） 初始点的选取困难，甚至无法实施。 ） 初始点的选取困难，甚至无法实施。
(3)
−1 G k 的存在性和计算量问题
。
问题一： 问题一： 如何使得 f ( x k + 1 ) < f ( x k ) ?
法中， 在 Newton 法中，有
− x k +1 = x k − G k 1 g k = x k + d k
x k +1 = x k − t k H k ∇f ( x k ) H k ≡ I时 ⇒ 梯度法 最速下降方向 d k = −∇ f ( x k ) , 度量为 x =
− H k = G k 1时 ⇒ Newton 法 − 最速下降方向 d k = − G k 1∇ f ( x k ), 度量为 x = − xT Gk 1 x
t k : f ( x k + t k d k ) = min f ( x k + t d k )
则有： 则有： f ( x k + 1 ) < f ( x k ) 。
问题二： 如何克服缺点（ 问题二： 如何克服缺点（ 2）和（ 3） ?
二、拟 Newton 算法
1.
k +1 k −1 k
( 变尺度法 )
一、Newton 法
1. 问题
min f ( x )
x∈R n ∈ n
f ( x )是R 上二次连续可微函数 即f ( x ) ∈ C ( R )
2 n
2. 算法思想
x → x →L→ x → x
0 1 k k +1
→L
为了由 x 产生x
k
k +1
，用二次函数 Q( x )近似f ( x )。
f ( x) ≈ Q( x) = f ( xk ) + ∇f ( xk )T ( x − xk ) + 1 k T 2 k k + ( x − x ) ∇ f ( x )(x − x ) 2 1 k T k k T k = f ( x ) + gk ⋅ ( x − x ) + ( x − x ) Gk ( x − x ) 2 其中 g k = ∇f ( x k )T , G k = ∇ 2 f ( x k )。
Step 1 . 给定初始点 x 0 ,正定矩阵 H 0 , 精度 ε > 0， k := 0
step 3. 令 x k + 1 = x k + t k d k , 其中 t k : f ( x k + t k d k ) = min f ( x k + t d k )。