常用的一维搜索方法

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§2
0.618法（黄金分割法）
0.618法是求单峰函数极值的一种试探法.所谓的单 峰函数是指只有一个峰值的函数,其严格定义有 定义1：设 f(x) 是定义在[a, b]上的函数，如果 1） ∃ x* ∈[a, b] 是φ在[a, b]上的最小点 ， 2） 若对任意x1 ,x2, a≤ x1 < x2 ≤b , 满足： 1º 若x2 ≤ x* ，则 f (x1) > f (x2); 2º 若x1 ≥x* ，则 f (x1) <f (x2). 则称 f(x) 为[a, b]上的单峰函数。
tg α>0 tg α<0
α α
x
f′ ( x )
α
b
f′ ( x )
α
x
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b
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* * * x 我们知道，在极小点 处，f ' ( x ) = 0，且 x < x 时， * f ( x ) 递减，即 f ' ( x ) < 0 ，而当 x > x*，函数递增，即 f '( x) > 0 。若找到一个区间[a, b], 满足性质 f ' ( a) < 0, f ' ( b) > 0 * * f ' x ( ) = 0 ，为找此 x* 则[a,b]内必有 f ( x) 的极小点 x ，且
STOP; x* =(α+b)/2
b= x2 , x2 = x1 x1 = α + （1-t）( b -α ) No
b
yes
α α= x1 , x1 = x2 x2 =α +t ( b –α)
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x1
x2 x1
12
b
α
黄金分割法（0.618 法）的优缺 优点：不要求函数可微，且每次迭代只需计算一 个函数值，计算量小，程序简单 缺点：收敛速度慢。
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§3
二分法
设 f (x)在 [a ,b]上可微，且当导数为零时是解。取 x=(a+b) / 2, 那么 f ′(x) = 0 时, x 为最小点, x= x* ; f ′(x) > 0 时, x 在上升段, x* < x，去掉[x ,b] ; f′ (x) < 0 时, x 在下降段, x* > x，去掉[a, x] . (自己画算法框图)
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k 1 2 3
xk 2 -3.5357 13.95
f′ (xk) 1.1071 -1.2952 不收敛。
1／f″( xk ) 5 13.50
§4 .2、插值法 用 f (x)在2 或3 个点的函数值或导数值，构造2 次或3次多项 式作为f (x)的近似值，以这多项式的极小点为新的迭代点。 3点2次，2点2次，4点3次，3点3次，2点3次等 以 3点2次为例： 取 x 1，x 2，x3，求出f (x1 ), f (x2 ), f (x3 )(利用“成功-失败”法)
工程优化设计中的数学方法
硕士研究生课程
理学院数学系：穆学文 Tel:88207669 E-mail:mxw1334@
第三章 常用的一维搜索方法
一元函数求极小及线性搜索均为一维搜索。常用于求： min f(x(k)+ λd(k))=φ(λ) s.t. λ∈S S 有3种情况（-∞，+∞）或（0， +∞ ）或 [a, b]。一般 地, 我们总可以考虑 x ∈ (-∞，+∞), 例 对问题 min f ( x)
α
x1
x2
b
α
x1
x2
b
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Proof. 1°反证法：设 x* ∈[a, b]为最小点， z 若x* ∈[a, x1]，由定义 知 f (x1)< f (x2 )，矛盾 （假设）； 2 °若x* ∈[x2 , b ]，由定义知 f (x1 ) > f (x2 ), 矛盾（条件）； 结论成立。 注：上述定理为缩短区间的算法提供了理论根据。
α
x1
x2
b
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x2 − α x1 − α = t= ""(2) b − α x2 − α
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整理② ：
x2 = a + t ( b -α ) x1 = a + t ( x2 -α )
−1 ± 5 结合①式：t 2 + t – 1 = 0 t= (舍去负值) 2 故 t≈0.618 注意: 上式有 t 2 = 1- t , 故有 x1 = a + (1- t )( b -α ) x2 = a + t ( b -α)
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6
f
f
0
x*
t
0
x*
t
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定理1：设 f：R→R 在[a, b ]上是单峰函数， a≤ x1 < x2 ≤b 。那么 1°若 f (x1)≥ f (x2)，则 x* ∈[x1 , b] ,如左下图 2°若 f (x1)< f (x2) ，则 x* ∈[a, x2 ], 如右下图
h=− , 4
缺点：效率低。优点：可以求搜索区间 注意：初始步长不能选得太小
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例1：设给定初始点为 a 及初始步长为 h, 求搜索区间[c, d] 1) 前进运算 首先计算 f (a), f (a+h), 如果 f (a)> f (a+h), 则步长加倍, 计 算f (a+3h). 若 f (a+h)<= f (a+3h), 则c=a, d=a+3h; 否则将步 长再加倍，并重复上面运算. 2) 后退运算 如果 f (a)< f (a+h), 则将步长缩为原来的1/4并改变符号，即 将步长改为-h/4, 如果 f (a)< f (a-h/4),则c=a-h /4,d=a+h; 否则 将步长加倍，并继续后退。 注意: 1. h 选择要适当.(太大含多个单峰区间,太小迭代次多)； 2. f (x)单调时无结果, (加迭代次数限制)； 3. 可与中点法结合寻找单调区间(思考)。
精确一维搜索方法 “成功—失败”法 0.618法（黄金分割法） 二分法 牛顿法（Newton）和插值法 非精确搜索算法
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§1
“成功—失败” 法
以下方法称为“成功—失败”法（进退法）： 步骤1：选取初始点 x∈R , 初始步长 h > 0 及精度ε> 0， ϕ11 = f ( x). 步骤2：计算 ϕ22 = f ( x + h). 步骤3：若 ϕ 22 < ϕ11, 搜索成功, 转步骤4；否则，搜索失败， 转步骤5。 步骤4：令 x:= x + h, ϕ11 := ϕ 22, h := 2h 步骤5：判断 h ≤ ε ? 若 h ≤ ε , 停止迭代， x** = x ；否则令 h 转步骤 2。 h=− ,
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设二次插值多项式：a x2 +b x +c= g(x) a x12 +bx1 +c= g (x1 ) a x22 +bx2 +c= g (x2 ) ax32 +bx3 + c= g (x3 ) 解得: a , b
( x1 − x2 ) g ( x3 ) + ( x2 − x3 ) g ( x1 ) + ( x3 − x1 ) g ( x2 ) a=− ( x1 − x2 )( x2 − x3 )( x3 − x1 )
用 [ a, x0 ] 作新的区间[a,b]，继续这个过程，逐步将区间 [a,b]缩小，当区间[a,b]的长度充分小时，或者当 f ' ( x0 ) 充分小时，即可将[a,b]的中点取做极小点的近似点，这 时有估计： a+b b−a * < x − 2 2
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a+b 取 x0 = ，若 f ' ( x0 ) > 0 则在 2
（算法框图见下页）
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黄金分割法（0.618 法）（算ห้องสมุดไป่ตู้）
初始[a, b], ε>0
t = ( 5 − 1) / 2
x1 = α + （1- t）(b -α ) x2
=α +t (b -α )
b -α < ε ?
yes
α
x1 x2 x2
b
No
f（ x1 ）-f（ x2 ）>0?
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Newton法算法框
初始 x1 ,ε1, ε2 >0 k=1
︱ f '(xk ) ︱<ε1?
y
停；解 xk
N
停，失败
N
f ″(xk ) >0? k=k+1
Y
xk +1= xk - f′ (xk ) ／ f″(xk )
Y
| xk +1 - xk |< ε2
N
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通过上述定理，选二点 x1 < x2 , 比较 f (x1 ) 与 f (x2 ) ,可去掉 [a , x1 ] 或者[x2 , b]. 考虑条件： 1°对称： x1 – a = b- x2 ……① （使“坏”的情况去掉，区间长度不小于“好”的情况） 2°保持缩减比 t =(保留的区间长度／原区间长度) 不变。 （使每次保留下来的节点， x1或 x2 ，在下一次的比较中成 为一个相应比例位置的节点 ）。 推导缩减比 t : 如图设第一次保留[a, x2 ] (去掉[x2 , b]), 那么第 二次保留的长度为[α, x1 ], 则