黄金分割法二次插值法牛顿法matlab程序一维搜索方法比较
《机械优化设计》试卷及答案 新 全
《机械优化设计》复习题及答案一、选择题1、下面 方法需要求海赛矩阵。
A 、最速下降法B 、共轭梯度法C 、牛顿型法D 、DFP 法2、对于约束问题()()()()2212221122132min 44g 10g 30g 0f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X =为 ，()251[,]22TX =为 。
A ．内点；内点B. 外点；外点C. 内点；外点D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。
A 无约束优化问题B 只含有不等式约束的优化问题C 只含有等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1<b 1，计算出f(a 1)<f(b 1)，则缩短后的搜索区间为___________。
A [a 1，b 1]B [ b 1，b]C [a1，b]D [a，b1]5、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。
A设计变量B约束条件C目标函数D 最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽f(x k)，下列不属于H k必须满足的条件的是________。
A. H k之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数)(Xf在某点的梯度方向为函数在该点的。
A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。
A 梯度法B 牛顿法C 变尺度法D 坐标轮换法9、设)f在R上为凸函数的(X(Xf为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则)充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处。
A 正定B 半正定C 负定D 半负定10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是，。
优化设计复习题(原)
word 教育资料优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（ ） ①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点 2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ） ①凸函数 ②凹函数 3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.816 4.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1,x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（ ） ①[x 1,x 4] ②[x 2,x 3] ③[x 1,x 2] ④[x 4,x 3] 5.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ） ①n 次 ②2n 次 ③n+1次 ④2次6.下列特性中，梯度法不具有的是（ ） ①二次收剑性 ②要计算一阶偏导数 ③对初始点的要求不高 ④只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 8.对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（ ） ① Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)11/()gX u u m=∑② Ф(X,r (k))=F(X)+r(k)11/()gX u u m =∑③ Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)max[,()]01gX u u m=∑④ Ф(X,r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m=∑9.外点罚函数法的罚因子为（ ） ①递增负序列 ②递减正序列 ③递增正序列 ④递减负序列 10．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）<F （16），则缩小后的区间为（ ） ①［10,16］ ②［10,13］ ③［13,16］ ④［16，20］ 11．多元函数F （X ）在X ＊处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hesse 矩阵（ ） ①等于零 ②大于零 ③负定 ④正定 12．对于函数F （x ）=x 21+2x 22，从初始点x (0)={1,1}T 出发，沿方向s (0)={-1,-2}T进行一维搜索，最优步长因子为（ ）①10／16 ②5／9 ③9／34 ④1／213．目标函数F （x ）=x 21+x 22－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（ ） ①1 ②0.5 ③0.25 ④0.1 14. 优化设计的自由度是指( )① 设计空间的维数 ② 可选优化方法数 ③ 所提目标函数数 ④ 所提约束条件数 15. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( ) ①梯度法 ② Powell 法 ③共轭梯度法 ④变尺度法 17. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( ) ①［0,0.382］ ② ［0.382,1］ ③ ［0.618,1］④ ［0,1］18. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hesse 矩阵是( ) ① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332③ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 ④ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 19. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )①()i i 1F X g (X)mi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子② ()i i 1F X =g (X)mi λ=-∇∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子③ ()i i 1F X g (X)qi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数④()i i 1F X g (X)qi λ=-∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数20. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) ① S (k+1)= ∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数② S (k+1)=∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 ③ S (k+1)=-∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数④ S (k+1)=-∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 21. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≤0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) ① (k)1ax b r c-x+-，r (k)为递增正数序列② (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递减正数序列 ③ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递增正数序列word 教育资料④ (k)1ax b r c-x++，r (k)为递减正数序列22. f(x)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中的一点，x 4为利用二次插值法求得的近似极值点，若x 4-x 2＜0,且f(x 4)≥f(x 2)，则新的搜索区间为( )① ［x 1,x 4］ ② ［x 2,x 3］ ③ ［x 1,x 2］ ④［x 4,x 3］23. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )① 10 ② 4 ③ 2 ④ 1024.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤⎦⎥，它是（ ）矩阵 ①单位 ②正定矩 ③负定 ④不定 ⑤半正定 ⑥半负定 25.约束极值点的库恩——塔克条件为：-∇=∇=∑F X g Xii qi()()**λ1，当约束函数是g i (X)≤0和λi>0时，则q 应为（ ）①等式约束数目 ②不等式约束数目 ③起作用的等式约束数目 ④起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（ ） ①A ②B ③C ④D27.内点罚函数(X,r (k))=F(X)-r (k)101g X g X u u u m(),(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） ①r (k)趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 ②r (k)趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ③r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ④r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 29.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ）①不变的 ②任意变化的 ③逐渐变大 ④逐渐变小 30.对于目标函数F(X)受约束于g u (X) ≤0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ）①()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递增正数序列②()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递减正数序列③()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递增正数序列 ④()()(k)(k)2()1X,MF X M {min[(),0]},mk uu g x M=Φ=+∑为递减正数序列31.对于二次函数F(X)=12X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ）①零 ②无穷大 ③正值 ④负值 32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）①可行方向法 ②复合形法 ③内点罚函数法 ④外点罚函数法33．已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫⎬⎭处的梯度为（ ）①∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()000 ②∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()020 ③∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()040 ④∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()04034．Powell 修正算法是一种（ ）①一维搜索方法②处理约束问题的优化方法③利用梯度的无约束优化方法④不利用梯度的无约束优化方法 二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分) 35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051--⎡⎣⎢⎤⎦⎥..共轭的矢量组是（ ）①s 1={0 1} ,s 2={1 0}T②s 1={-1 1}T ,s 2={1 1}T③s 1={1 0}T ,s 2={1 2}T④s 1={1 1}T ,s 2={1 2}T⑤.s 1={1 2}T ,s 2={2 1}T36. 对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有( )① Powell 法 ② 变尺度法 ③ 内点罚函数法 ④ 外点罚函数法E. 混合罚函数法37. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是( )①若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点②若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点③若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点④若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点⑤若Hesse矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述Hesse矩阵中，正定矩阵为（）①3335⎡⎣⎢⎤⎦⎥②313153337⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦③3445⎡⎣⎢⎤⎦⎥④245434542⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑤523222327⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦39.F(X)在区间［a,b］上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。
matlab编程实现二分法牛顿法黄金分割法最速下降matlab程序代码
matlab编程实现二分法牛顿法黄金分割法最速下降matlab程序代码二分法（Bisection Method）是一种寻找函数零点的数值计算方法。
该方法的基本思想是：首先确定一个区间[a, b]，使得函数在这个区间的两个端点处的函数值异号，然后将区间逐步缩小，直到找到一个区间[a', b']，使得函数在这个区间的中点处的函数值接近于零。
以下是使用MATLAB实现二分法的示例代码：```matlabfunction [x, iter] = bisection(f, a, b, tol)fa = f(a);fb = f(b);if sign(fa) == sign(fb)error('The function has the same sign at the endpoints of the interval');enditer = 0;while (b - a) / 2 > tolc=(a+b)/2;fc = f(c);if fc == 0break;endif sign(fc) == sign(fa)a=c;fa = fc;elseb=c;fb = fc;enditer = iter + 1;endx=(a+b)/2;end```牛顿法（Newton's Method）是一种用于寻找函数零点的数值计算方法。
该方法的基本思想是：通过迭代来逼近函数的零点，每次迭代通过函数的切线来确定下一个近似值，直到满足收敛条件。
以下是使用MATLAB实现牛顿法的示例代码：```matlabfunction [x, iter] = newton(f, df, x0, tol)iter = 0;while abs(f(x0)) > tolx0 = x0 - f(x0) / df(x0);iter = iter + 1;endx=x0;end```黄金分割法（Golden Section Method）是一种用于寻找函数极值点的数值计算方法。
MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告实验报告一、引言计算方法是数学的一门重要应用学科，它研究如何用计算机来解决数学问题。
其中，迭代法、牛顿法和二分法是计算方法中常用的数值计算方法。
本实验通过使用MATLAB软件，对这三种方法进行实验研究，比较它们的收敛速度、计算精度等指标，以及它们在不同类型的问题中的适用性。
二、实验方法1.迭代法迭代法是通过不断逼近解的过程来求得方程的根。
在本实验中，我们选择一个一元方程f(x)=0来测试迭代法的效果。
首先，我们对给定的初始近似解x0进行计算，得到新的近似解x1，然后再以x1为初始近似解进行计算，得到新的近似解x2，以此类推。
直到两次计算得到的近似解之间的差值小于规定的误差阈值为止。
本实验将通过对复杂方程的迭代计算来评估迭代法的性能。
2.牛顿法牛顿法通过使用函数的一阶导数来逼近方程的根。
具体而言，对于给定的初始近似解x0，通过将f(x)在x0处展开成泰勒级数，并保留其中一阶导数的项，得到一个近似线性方程。
然后，通过求解这个近似线性方程的解x1，再以x1为初始近似解进行计算，得到新的近似解x2，以此类推，直到两次计算得到的近似解之间的差值小于规定的误差阈值为止。
本实验将通过对不同类型的方程进行牛顿法的求解，评估它的性能。
3.二分法二分法是通过将给定区间不断二分并判断根是否在区间内来求方程的根。
具体而言，对于给定的初始区间[a,b]，首先计算区间[a,b]的中点c，并判断f(c)与0的大小关系。
如果f(c)大于0，说明解在区间[a,c]内，将新的区间定义为[a,c]，再进行下一轮的计算。
如果f(c)小于0，说明解在区间[c,b]内，将新的区间定义为[c,b]，再进行下一轮的计算。
直到新的区间的长度小于规定的误差阈值为止。
本实验将通过对复杂方程的二分计算来评估二分法的性能。
三、实验结果通过对一系列测试函数的计算，我们得到了迭代法、牛顿法和二分法的计算结果，并进行了比较。
《机械优化设计》试卷及答案
《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。
3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++21的梯度为 HX+B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。
8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。
10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++21的形式 。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
matlab中的迭代算法
matlab中的迭代算法迭代算法在matlab中的应用迭代算法是一种通过多次重复计算来逼近解的方法，它在matlab中得到了广泛的应用。
在本文中，我们将介绍一些常见的迭代算法，并探讨它们在matlab中的实现和应用。
1. 二分法二分法是一种简单而直观的迭代算法，它通过将问题的解空间一分为二，并根据中间点的取值来确定解所在的子空间。
在matlab中，可以使用while循环来实现二分法。
首先，需要指定解空间的上下界，然后通过计算中间点的值来判断解所在的子空间，并更新解空间的上下界。
重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代算法，它利用函数的局部线性近似来逼近方程的解。
在matlab中，可以使用while循环来实现牛顿迭代法。
首先，需要给定一个初始点，然后根据函数的一阶和二阶导数来计算下一个点的值。
重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，它通过不断更新近似解来逼近方程的解。
在matlab中，可以使用while循环和矩阵运算来实现高斯-赛德尔迭代法。
首先，需要给定一个初始解向量，然后根据方程组的系数矩阵和常数向量来计算下一个解向量的值。
重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。
4. 迭代法求特征值迭代法也可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。
在matlab中，可以使用while循环和矩阵运算来实现迭代法求特征值。
首先，需要给定一个初始特征向量，然后根据矩阵的幂来计算下一个特征向量的值。
重复这个过程，直到特征向量的变化小于某个阈值为止。
5. 迭代法求最优化问题除了求解方程和矩阵相关的问题，迭代算法还可以用于求解最优化问题。
在matlab中，可以使用while循环和梯度计算来实现迭代法求最优化问题。
首先，需要给定一个初始解向量，然后根据目标函数的梯度来计算下一个解向量的值。
重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。
matlab实验黄金分割法
matlab实验黄金分割法黄金分割法（Golden Section Method）是一种用于解决最优化问题的数值计算方法。
在数学上，最优化问题可以表述为寻找某个函数的最小值或最大值。
而黄金分割法是一种无约束优化算法，常被用于一维函数的最优化问题。
在本文中，我们将介绍黄金分割法的原理，并通过Matlab实验来演示其应用。
黄金分割法的原理基于黄金分割比，即1：0.618。
黄金分割法通过将搜索区间不断缩小，直到满足指定的精度要求，最终找到函数的极值点。
下面我们将逐步介绍黄金分割法的步骤：1. 初始化：给定初始搜索区间[a, b]，以及所需的精度要求ε。
2. 计算区间长度：计算区间长度L = b - a。
3. 计算划分点：计算第一个划分点x1 = a + 0.382L，以及第二个划分点x2 = a + 0.618L。
4. 计算函数值：计算在划分点x1和x2处的函数值f(x1)和f(x2)。
5. 更新搜索区间：比较f(x1)和f(x2)的大小关系，若f(x1) < f(x2)，则新的搜索区间为[a, x2]，否则为[x1, b]。
6. 判断收敛：如果L < ε，算法收敛，停止迭代；否则，返回步骤2。
接下来，我们将通过一个实例来演示黄金分割法在Matlab中的应用。
假设我们要优化以下函数：```matlabf(x) = x^2 + 5*sin(x)```首先，我们需要在Matlab中定义这个函数。
在命令窗口中输入以下代码：```matlabf = @(x) x^2 + 5*sin(x);```接下来，我们可以采用黄金分割法来最小化这个函数。
以下是Matlab代码的大致框架：```matlaba = 0;b = 10;epsilon = 0.001;L = b - a;x1 = a + 0.382*L;x2 = a + 0.618*L;while L >= epsilonf1 = f(x1);f2 = f(x2);if f1 < f2b = x2;elsea = x1;endL = b - a;x1 = a + 0.382*L;x2 = a + 0.618*L;end```以上代码中，我们使用了一个while循环来不断更新搜索区间和划分点，直到满足指定的精度要求。
matlab编程实现求解最优解
《现代设计方法》课程关于黄金分割法和二次插值法的Matlab语言实现在《现代设计方法》的第二章优化设计方法中有关一维搜索的最优化方法的一节里，我们学习了黄金非分割法和二次插值法。
它们都是建立在搜索区间的优先确定基础上实现的。
为了便于方便执行和比较，我将两种方法都写进了一个程序之内，以选择的方式实现执行其中一个。
下面以《现代设计方法》课后习题为例。
见课本70页，第2—7题。
原题如下：求函数f(x)=3*x^2+6*x+4的最优点，已知单谷区间为[-3,4],一维搜索精度为0.4。
1、先建立函数f(x),f(x)=3*x^2+6*x+4。
函数文件保存为：lee.m源代码为：function y=lee(x)y=3*x^2+6*x+4;2、程序主代码如下，该函数文件保存为：ll.mclear;a=input('请输入初始点');b=input('请输入初始步长');Y1=lee(a);Y2=lee(a+b);if Y1>Y2 %Y1>Y2的情况k=2; Y3=lee(a+2*b);while Y2>=Y3 %直到满足“大，小，大”为止k=k+1;Y3=lee(a+k*b);endA=a+b;B=a+k*b;elseif Y1<Y2 %Y1<Y2的情况k=1;Y3=lee(a-k*b);while Y1>=Y3 %直到满足“大，小，大”为止k=k+1;Y3=lee(a-k*b);endA=a-k*b;B=a;elseA=a;B=a+b; %Y1=Y2的情况enddisp(['初始搜索区间为',num2str([A,B])])%输出符合的区间xuanze=input('二次插值法输入0，黄金分割法输入1');%选择搜索方式T=input('选定一维搜索精度');if xuanze==1while B-A>T %一维搜索法使精度符合要求C=A+0.382*(B-A);D=A+0.618*(B-A); %黄金分割法选点if lee(C)>=lee(D); %缩小区间A=C;elseB=D;endendelsewhile B-A>T %二次插值法是精度符合要求C=(A+B)/2;W=[1,A,A^2;1,B,B^2;1,C,C^2];w=[lee(A);lee(B);lee(C)];x=W\w; %求线性方程组解，求拟合曲线xx=perms(x)';for n=1:(factorial(3)); %使解得值与a0,a1,a2一一对应t=1+(n-1)*3;a0=xx(t);a1=xx(t+1);a2=xx(t+2);if a0+a1*A+a2*A^2~=lee(A)||a0+a1*B+a2*B^2~=lee(B)...||a0+a1*C+a2*C^2~=lee(C);continueendbreakendxp=-a1/(2*a2); %拟合直线的最低点if lee(C)>=lee(xp); %缩小区间if C>=xp; %xp与C大小不定，导致缩小方式不同B=C;elseA=C;endelseif C>=xp;A=xp;elseB=xp;endendendendX=(A+B)/2;Y=lee(X);disp(['极小值点为',num2str(X),'极值为',num2str(Y)]);%输出结果3、由于我编的程序，其搜索区间是自定的。
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newton_2.m
clear; clc; x0=input('x0='); EPSI=input('EPSI='); tic X=newton_1(x0,EPSI); t=toc fprintf('牛顿法所得极小值点为%f\n',X); fprintf('牛顿法所得极小值为%f\n',f(X));
左边的区间距离 0.0153
黄金分割法所得最小极值点为：-1.001326 黄金分割法所得最小极值为：-0.999998 迭代次数为：11.000000
t=
0.0630
（3）牛顿法
求解 y=n*n+2*n 的最小值。 程序： newton_1.m
function y = newton_1(x0,EPSI) x(1)=x0; b=1; i=1; while (abs(b)>EPSI) i=i+1; x(i)=x(i-1)-df(x(i-1))/df2(x(i-1)); b=x(i)-x(i-1); fprintf('所得的极小值点为：%f\n',x(i)); end y=x(i); fprintf('总共迭代%f 次\n',i-1);
左边的区间距离 0.0402
黄金分割法所得最小极值点为：-0.993642 黄金分割法所得最小极值为：-0.999960 迭代次数为：9.000000 右边的区间距离 0.0249
左边的区间距离 0.0249
黄金分割法所得最小极值点为：-1.013756 黄金分割法所得最小极值为：-0.999811 迭代次数为：10.000000 右边的区间距离 0.0154
end fprintf('右边的区间距离'); disp(b-x2); fprintf('左边的区间距离'); disp(x1-a); i=i+1;
X=0.5*(b+a); min=X*X+2*X; fprintf('黄金分割法所得最小极值点为：%f\n',X); fprintf('黄金分割法所得最小极值为：%f\n',min); fprintf('迭代次数为：%f\n',i); end t=toc
把得到的最后的 作为 的近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二 次插值法。
为便于计算，可将式(7)改写为
式中：
（8）
（9）
（10）
（2）应用 四、例题应用 （1）黄金分割法 求解 y=n*n+2*n 的最小值。 程序： huangjinfenggefa.m clear clc
a=-3;b=5;lamda=0.618;epsilon=0.05;i=0; x1=b-lamda*(b-a);
一维搜索方法应用比较
一、黄金分割法
（1）黄金分割法的起源
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎， 他们称之为"金法"，17 世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝 贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说 的比例方法。
其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古 代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而 经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格 的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取 0.618 ，就 像圆周率在应用时取 3.14 一样。
由于公元前 6 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的 作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分 割。
迭代次数为：2.000000 右边的区间距离 0.7214
左边的区间距离 0.7212
黄金分割法所得最小极值点为：-0.888304 黄金分割法所得最小极值为：-0.987524 迭代次数为：3.000000 右边的区间距离 0.4459
左边的区间距离 0.4459
黄金分割法所得最小极值点为：-1.249028 黄金分割法所得最小极值为：-0.937985 迭代次数为：4.000000 右边的区间距离 0.2755
对于一个函数 f(x),它的泰勒级数展开式是这样的 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12f′′(x0)(x−x0)2+...+1n!fn(x0)(x−x0)n 当使用牛顿法来求 一个方程解的时候，它使用泰勒级数前两项来代替这个函数，即用ϕ(x)代替 f(x), 其中:
ϕ(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0) 令ϕ(x)=0，则 x=x0−f(x0)f′(x0)。 所以，牛顿法的迭代公式是 xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
（3）
解式(3)即求得插值函数的极小点
（4）
式(4)中要确定的系数 可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去 而得:
（5）
（6） 将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点 的计算公式：
（7）
把 取作区间
内的另一个计算点，比较 与 两点函数值的大
小，在保持 两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索 区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，
（1）起源 牛顿法最初由艾萨克·牛顿于 1736 年在 Method of Fluxions 中公开提出。而
事实上方法此时已经由 Joseph Raphson 于 1690 年在 Analysis Aequationum 中提 出，与牛顿法相关的章节《流数法》在更早的 1671 年已经完成了。 （2）原理及应用
牛顿法求解 n 的平方根求解 n 的平方根，其实是求方程 x2−n=0 的解利用上 面的公式可以得到：xi+1=xi−x2i−n2xi=(xi+nxi)/2 编程的时候核心的代码是：x = (x + n/x)/2 三、二次插值法
二次插值法亦是用于一元函数 在确定的初始区间内搜索极小点的一种 方法。它属于曲线拟合方法的范畴。
f1=x1*x1+2*x1; x2=a+lamda*(b-a); f2=x2*x2+2*x2; tic while b-a>=epsilon
if f1>=f2 a=x1;x1=x2;f1=f2; x2=a+lamda*(b-a); f2=x2*x2+2*x2;
else b=x2;x2=x1; f2=f1; x1=b-lamda*(b-a); f1=x1*x1+2*x1;
t=
0.0283
因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采 用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某 些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央， 而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最 好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会 看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一 种 0.618 法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西 方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广 泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。我国数学家华罗庚曾致 力于推广优选法中的"0.618 法"，把黄金分割应用于生活实际及科学应用中。
运行结果：
右边的区间距离 1.8880
左边的区间距离 1.8886
黄金分割法所得最小极值点为：-0.528000 黄金分割法所得最小极值为：-0.777216 迭代次数为：1.000000 右边的区间距离 1.1674
左边的区间距离 1.1674
黄金分割法所得最小极值点为：-1.472000 黄金分割法所得最小极值为：-0.777216
（1）基本原理
在求解一元函数 的极小点时，常常利用一个低次插值多项式 来逼 近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)， 并以此作为目标函数 的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的 精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式 为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次 插值法。这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。
公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建 立起比例理论。
公元前 300 年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成 果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣 比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
左边的区间距离 0.2754
黄金分割法所得最小极值点为：-1.026101 黄金分割法ห้องสมุดไป่ตู้得最小极值为：-0.999319 迭代次数为：5.000000 右边的区间距离 0.1704
左边的区间距离 0.1704
黄金分割法所得最小极值点为：-0.888420 黄金分割法所得最小极值为：-0.987550 迭代次数为：6.000000 右边的区间距离 0.1052
df.m function y = f(n) y=n*n+2*n; end
df2.m
function y = df(n) y=2*n+2; end
f.m function y = df2(n) y=2; end
运行结果： x0=1 EPSI=0.05 所得的极小值点为：-1.000000 所得的极小值点为：-1.000000 总共迭代 2.000000 次