第1讲 平面一般力系简化

平面一般力系简化的结论——
1、平面一般力系向作用平面内任一点O简化后，可得到 一个力和一个力偶。 2、这个力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用于简 化中心O点；
3、这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心O点的主矩，
大小为原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和； 4、主矢与简化中心的选择无关。但一般情况下，平面力 系的主矩与简化中心的选择有关。
MO=∑MO (Fi )=∑Fi· di
力偶矩MO称为原平面一般力系对简化中心O的主矩。
图a
图b
图c
思考：平面一般力系的主矢是否就是该力系简化后的合力？ 主矢和合力有何区别？
主矢是原力系｛F1，F2，…Fn｝中各力的矢量和。主矢是 自由矢量，只有大小、方向，而不涉及作用点，是一个自由矢 量，与简化中心无关。 合力为作用点在简化中心O的力矢量。 合力的大小、方向 与主矢一致，与原力系等效，有大小、方向、作用点，是滑移 矢量。只有求出合力，才能知道主矢的大小和方向。
把F 由原来的A点平 移到O点，可以吗？
根据加减平衡力系公理，在O点加上 一对与F 平行且等值、反向力F’和F”, 使F=F’=F”,则F 和F”构成了一个力 偶，其附加力偶矩为：M =F· d 这就相当于把力F 移到 了O点，同时增加了一 个附加力偶，其力偶矩 为：M=MO ( F )=F· d
F
合力F’ ， 作用于简化中心O；
合成
合力偶，其力偶矩MO ，作用于刚体平面。
所得平面汇交力系（F1’ , F2’ , ··· Fn’ ）可以合成为一个作用于O点的合 矢量F’： F’=∑Fi’ =∑Fi 合矢量F’称为原平面一般力系对简化中心O的主矢（如图c）。
所得的平面附加力偶系（M1 , M2 , · · · Mn）可以合成为一个的力偶,其力 偶矩MO 等于各力对简化中心O之矩的代数和：
要使MB=0，只有使F '的作用线通过A、B连线或者F ’=0 ；
∑Fx=0： 即∑Fx=F 'cosφ=0，只有当cosφ≠0时，才能肯定 F '=0。 因此必须φ≠90°，即A、B连线不能垂直于 x 轴(如右图)。
都不会变化。所以说主矢与
简化中心的选择无关。
F2
O3 F1
那么，主矩又会怎样呢？
将力系向刚体内的另一点简化
F F F 3 F3 O1 F2 O2 F1 F2 F1 F3
F F2
显然， M1=-F· d1 （顺时针） M2=-F· d2 （顺时针）
A F3
F1 F F2
M3=+F· d3 （逆时针）
O A O
F'
d
F
A O
F'
M
A
请 Shift+F5
F''
力的平移定理由此得证
力的平移定理应用 问题：力F 对齿轮和轴各有什么作用？
M
在原力F 作用下 齿轮会转 轴会弯曲
F r
O
力的平移定理应用
请 Shift+F5
F’
F
（1）为什么钉子有时会折弯？
M
锤 子 砸 偏 了
晕！
（2）乒乓球为什么会旋转？ F M F’
主矢和主矩必同时为零。所以，平面一般力系平衡的充要条件
为：力系的主矢及力系对任一点的主矩均为零，即： F =0 MO =0
根据平面任意力系的平衡条件： F 0 M O 0 F ( Fx ) ( Fy ) 0 Fx 0， Fy 0 上式可写为： Fix 0 Fiy 0 M O ( Fi ) 0
O为任 意点
图a
图b
图c
平面一般力系的简化过程
O为任 意点
F’
平面一般力系 （未知力系） {F1 , F2 , · · · Fn} 平面汇交力系 平面力偶系
向一点简化
平面汇交力系+平面力偶系 （可知力系） {F1’, F’2 , · · · F’n} + {M1 , M2 , · · · Mn}
合成
MK=MO，点K若不在主矢作用线上，则结果为MK≠MO（包括MK=0）。
3、一平面一般力系向点O简化时，主矢F'=0，主矩MO≠0。若将该力系向另 一点K简化，其主矢和主矩是： A、F'≠0，MK≠0； B、F'≠0，MK=MO； C、F'=0，MK=MO； D、F'=0，MK≠MO。
简化结果应用举例
｛F1，F2 · · ·Fn｝
问题2：能否将平面一般力系｛F1，F2 · · ·Fn｝中各力都向刚体的某点平移？ 假如可以的话，就能够像平面汇交力系那样，对各力进行合成了。
A N B
O （简化中心）
请 Shift+F5
力的平移定理应用 二、平面一般力系的简化 （一）平面一般力系的主矢与主矩
设在刚体上作用有一平面一般力系 {F1 , F2 , · · · Fn} （如图a）。在该力 系所在的平面内任取一点O，该点称为简化中心。应用力的平移定理，将力 系中的各力都平移到O点，于是就得到一个汇交于O点的平面汇交力系 {F1’, F’2 , · · ·F’n} 和一个力偶矩分别为 {M1 , M2 , · · ·Mn} 的附加力偶系（如图b）。 将各力和各力偶矩分别合成，可得到一个力和一个力偶（如图c）。
d MO F'
4、F' ＝0， MO ＝0 表明原力系为平衡力系，则刚体在此 力系作用下处于平衡状态。
平面一般力系由O点向任意点O’简化：
｛F1，F2 · · · Fn｝简化得｛F’，MO ’ ｝ MO’=MO ± F’ · d （如图所示） 故，只要平面一般力系向某一点简化的结果为： F’＝0， MO ＝0 则，该力系向任一点的简化结果都为： F’＝0， MO ＝0
· · · · · ·
｛F1，F2 ，· · ·Fn｝
平面汇交力系和平面力偶系是平
面一般力系的特例。平面一般力系是 工程中最常见的力系。
一、力的平移定理
作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O， 但必须同时增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩 M 等于原力F
对新作用点O之矩。这就是力的平移定理。
的转向而定。
小
实
验
平面一般力系的简化结果分析：
平面一般力系向一点简化，一般可得到一个主矢F ' 和一 个主矩MO，但这不是最终简化结果，最终简化结果通常有以 下四种情况： 1、F'＝0， MO ≠0 表明原力系与一个力偶等效，原力
系简化为一个合力偶，其力偶矩为MO＝∑MO( F )，此时主矩 MO与简化中心的选择无关。 2、F'≠0， MO ＝0 表明原力系与一个主矢量F' 等效，
选择不同的简化中心，各力对A点的 力臂都不同，转向也不同，就是说 M1≠M2≠M3。 因此，在一般情况下，平面力系的
O3 F1
F F O1 O2 O3 A
F
主矩和简化中心的选择有关。 “在一般情况下……” 那么，特殊情况呢？
F
当O1、 O2、 O3 选在原合力F 的作用线上时， M1=M2=M3=0
下面我们就来证明——
有一力系作用 于刚体平面内
将各力向A点简化 并Βιβλιοθήκη Baidu出合力 F F1 F3 F2
这是求合力的方法 之一
F2
F3 C B
F3
F F2 A F1
A
A
F1
F F F 3 F3 F2 F1 F3 A F3
F F2 F1
无论将力系向刚体内的哪一 点简化，合力的大小、方向
O1 F2
O2 F1
F
第7讲
平面任意力系简化
内容回顾
1 力对点之矩
2 力偶与力偶矩
3 力偶的等效
4 平面力偶系的合成与平衡(重点、难点)
第7讲 平面任意力系简化
1 平面任意力系的简化（重点）
2平面任意力系的平衡条件（重点）
3平面平行力系的平衡方程
请 Shift+F5
有什么特点？
各力的作用线 不汇交于一点
平面一般力系——各力的作用线都在同一平面内，但既不 汇交于一点，也不平行。
在O’加上一对大小均为F’的平 衡力，但同时又得到了一对力 偶，其力偶矩为F’ · d。
合成后得：
MO’= MO ± F’ ·d
1、一平面一般力系向点O简化时，主矢F'≠0，主矩MO=0。若将该力系向另 一点K简化，其主矢和主矩是： A、可能为 F'≠0，MK≠0； B、可能为 F'=0，MK≠MO； C、可能为 F'=0，MK=MO； D、不可能为 F'≠0，MK≠MO。 答案：A 解答：平面一般力系中，主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。 就是说，改变简化中心的位置不会改变主矢，只会改变主矩。 已知主矢F'≠0，即使向点K简化，仍然F'≠0，所以B、C答案被排 除。D答案是说：不可能为F'≠0（就是说F'=0），不满足上述条件。 力系由点O向点K简化的结果有两种可能： 1）F'≠0， MK≠0；（即A答案） 2）F' ≠0， MK=0。 （点K在主矢的作用线上，且主矢作用 线通过简化中心。）
答案：C
为什么不选D？ 解答：平面一般力系被简化为一力偶，此时主矩与简化中心所取位置
无关。主矢总是零（ 即F’=0 ），而力偶可以放在平面内任意一点，即
力偶对于平面内任一点的力偶矩都相同（即MK=MO ）。
三、平面一般力系的平衡条件
当主矢和主矩都等于零时，则说明这一任意力系是平衡力 系；反之，若平面一般力系是平衡力系，则它向任意点简化的
力的平移定理的性质： 问题1：为什么平面一般力系的主矢与简化中心的选择无 关，而主矩与简化中心的选择有关？ ������ 答：这就要看，把作用在刚体上某点的力F 平行移到
其它点，所得的力和附加力偶是否相同？
当力F 平移时，
①力的大小、方向都不改变； ②一般情况下，附加力偶的力偶矩的大小、正负都要随 新指定点的位置的不同而不同。
力的平移定理应用 （3）攻丝时为什么要用两只手？ F
平衡力系
M
M F
力的平移定理应用 （4）攻丝时用一只手行吗？ F M
力不平衡
在F 作用下 丝锥会断
力的平移定理应用
问题1：图中的平面一般力系对刚体的作用效果是怎样的？
刚体平衡吗？ ——不知道！ 平面一般力系可以直接合成吗？ 平面一般力系不是汇交力系，不可以直接合成！
力的平移定理的性质： 问题2：如刚体上某点B处作用一力和一力偶，是否可利用 “力的平移定理”还原一个等效的力？
������
答：力的平移定理是可逆的。
根据力向一点平移的逆过程，总可以将同平面内的一个力F' 和力偶
矩为 MO 的力偶还原为一个力F ，此力F 与原力F' 大小相等、方向相同、
作用线间的距离为d= MO / F' ，至于F 在F' 的哪一侧，则视F' 的方向和MO
简化结果应用举例
2、一平面一般力系向点O简化时，主矢F'≠0，主矩MO≠0。若将该力系向另 一点K简化，其主矢和主矩是： A、可能为 F'=0，MK≠0；
简化结果应用举例
B、可能为 F'≠0，MK=0；
C、不可能为 F'≠0，MK≠MO； D、可能为 F'≠0，MK≠MO。 答案：B、D 解答：要看点K是否在主矢作用线上。点K若在主矢作用线上，则结果为
即F'为原力系的合力，其作用线通过简化中心。
3、F' ≠0， MO ≠0
当平面一般力系的主矢及对简化中心的主矩都不
等于零时，根据力的平移定理的逆过程，可以将F' 和MO合成为一个合力。 将作用线通过O点的力F'及矩为MO的力偶合成为一个作用线通过A点的一个 力，此力即为原力系的合力。如图所示，且有 F = F' =ΣFi 合力的大小、方向与原力系的主矢相同，合力F 是在主矢F'的哪一侧，则要 根据主矩的正负号来确定 。合力F'的作用线到简化中心O的距离为：
∑Fix=0 ∑MA(F i)=0 ∑MB (Fi)=0 （注意：A、B两点的连线不能与 x 轴垂直）
思考： 应用二矩式平衡方程时，为何A、B连线不能垂直于 x 轴 由∑MA(F ')=0，∑MB(F ')=0可知，力F '的作用线同时通过A、B两点，所以该 力系不可能被简化为一个力偶，只能简化为过A、B两点连线的合力或者处于平衡 状态。 （注：当方程组中为∑Fy=0时， A、B连线不能垂直于 y 轴） 细说—— 若力系向A点简化，假设合力F ’的作用线不通过A、B连线（如左图）： ∑MA(F’)=0？？：当F '对A点取矩时， MA≡0， ∑MA(F ')=0 成立； ∑MB(F’)=0？？：当F '对B点取矩时， MB＝F '· d ≠ 0， ∑MB(F ')=0不成立。
2 2
上式就是平面一般力系的平衡方程。它表明，平面一般力 系平衡时，力系中各力在任选的直角坐标系的两个坐标轴上投 影的代数和分别为零，各力对任意点之矩也为零。该式最多可 解出三个未知量。此外，还有二矩式和三矩式平衡方程。
平衡方程式的其他形式： ① 二力矩式的平衡方程 二力矩式的平衡方程是由一个投影方程和两个力矩方程所 组成，可写为：