经济应用数学2doc-经济应用数学——微积分
经济应用数学(第二版)第二册
经济应用数学（第二版）第二册经济应用数学是指运用数学理论和方法来解决经济领域中的问题。
作为与经济学密切相关的学科，经济应用数学的研究范围非常广泛，包括微积分、线性代数、概率统计、最优化和数学建模等多个领域。
本文将以经济应用数学第二册为基础，讨论其在实际经济中的应用。
首先，微积分是经济应用数学的重要组成部分。
在实际经济研究中，微积分的应用主要体现在优化和边际分析中。
例如，在生产中，企业需要通过合理安排生产过程，最大化利润或最小化成本。
这涉及到生产函数、边际产品和边际成本等概念的应用。
另外，微积分还在市场需求和供给分析中发挥着重要作用。
例如，在分析需求函数时，微积分可以通过对需求曲线的求导，获得边际收益、弹性和最优价格等关键参数，从而指导企业决策。
其次，线性代数也是经济应用数学的重要组成部分。
在现代经济学中，线性代数广泛应用于数据分析、统计方法和计算经济模型。
例如，矩阵代数可以用于分析多个变量之间的关系和行为矩阵的相乘，从而更好地理解市场模型和投资组合。
此外，在计算机科学和金融分析中，线性代数也发挥着重要作用。
例如，线性回归模型、协方差矩阵和主成分分析等都是基于线性代数的原理和方法衍生出来的。
第三，在概率统计领域中，经济应用数学的应用也是不可忽视的。
概率统计的核心方法是基于概率理论和统计学原理发展起来的。
概率统计在实际经济中的应用非常广泛，包括风险分析、市场预测和实证经济学等。
例如，在投资决策中，概率统计可以帮助投资者评估不同投资组合的风险和回报，从而优化资产配置和降低风险。
此外，在市场预测中，概率统计方法和计量经济模型也广泛应用，可以帮助分析市场趋势和预测未来的经济走势。
第四，最优化方法也是经济应用数学的重要组成部分。
最优化是寻找满足一定条件下的最佳方式的数学领域。
最优化方法在现代经济学中有着广泛的应用，尤其是在解决供应链、物流和生产线优化等问题上。
例如，在生产中，企业需要通过合理安排生产过程，最大化利润或最小化成本。
经济数学2知识点总结
经济数学2知识点总结经济数学是研究经济问题的一门交叉学科，它将数学理论和方法应用于经济学中的各种问题，如生产、消费、交换、分配等。
经济数学2是经济数学的深入学习阶段，相较于经济数学1，它更加注重数学知识的应用和理论的深入探讨。
在这篇文章中，我将对经济数学2中的一些重要知识点进行总结和分析。
1.微积分微积分是经济数学中最为基础和重要的知识之一。
它包括导数和积分两个部分。
在经济学中，微积分可以帮助我们理解和分析边际效用、边际成本等概念。
通过对函数的导数和积分运算，我们可以求解最优化问题，从而得到最大化利润、最小化成本等经济问题的解答。
在微积分中，常见的一些概念包括极值、微分方程、不定积分和定积分等。
极值是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点，它在经济学中常用于分析生产函数、效用函数等。
微分方程是用来描述经济现象中变化规律的数学工具，比如经济增长模型、资本积累模型等都可以通过微分方程进行描述。
不定积分和定积分则可以帮助我们计算函数的面积、求解曲线下的总收益等经济问题。
2.线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，它在经济数学中有着广泛的应用。
在宏观经济学中，线性代数可以帮助我们理解多变量线性回归模型、宏观经济模型等。
在微观经济学中，线性代数可以帮助我们理解边际分配、成本和收益的计算等问题。
线性代数中的一些重要概念包括向量、矩阵、行列式、特征值特征向量等。
向量是指具有大小和方向的量，在经济学中可以用来表示市场需求、供给等。
矩阵是一个矩形的数学对象，它可以用来表示多个变量之间的线性关系，比如投入产出矩阵就可以用来表示不同产业之间的投入和产出关系。
行列式可以帮助我们判断矩阵的可逆性和求解线性方程组的解。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的对角化和矩阵的性质。
3.概率论与数理统计概率论与数理统计是经济数学中另外一个重要的基础知识。
它可以用来描述和分析经济现象中的随机性和不确定性。
在经济学中，很多经济现象都是受到随机因素的影响的，比如金融市场的波动、消费者的购买行为等。
经济应用数学—微积分重点
p 的单调增加函数。
l
2、常见的供给函数
Q c d p 线性供给函数：
y
（供给量 Q ）
(c 0, d 0)
0
c d
x（价格 p）
m
3、市场平衡价格
Q
需 求 量
供 给 量
0
p0
p
n
例2 设某本书的价格为18元/本时，书商可每天提供
100本，价格每增加0.1元，书商可多提供5本书， 试求供给函数。 解 设供给量为 Q ，该书售价为 p 元/本， 供给函数式
Q
得 p0
18
250
Q 1000 50 p
Q 800 50 p
200
150 100 50
0
5
10
15
20
25 p
返回
p
三、成本函数
总成本是企业生产一种产品所需费用 的总和，它通常分为固定成本 C0 和 可变成本 C1 (Q) 两部分，
总成本=固定成本+可变成本
C(Q)
C0
C1 (Q)
Q c d p
100 c d 18 由题意： 100 5 c d (18 0.1)
c 800 解出 : d 50
代入供给函数式得：Q 800 50 p
o
例3 由例1、例2求该书的市场平衡价格 p0
解
Q 1000 50 p 由 Q 800 50 p
0
x（价格 p）
i
例1 书店售书，当该书售价为18元/本时，每天销量
为100本，售价每提高0.1元，销量则减少5本，试求 需求函数。 解 设需求量为 Q ，该书售价为 p 元/本， 需求函数式
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经济应用数学——微积分 部分习题解答（参考）习题一（P37）1．设函数112)(-+=x x x f 求：f(0) ， f(-1) ， f(a1) ，f(a+1) 解：分析：即求当x 为0，-1，a1，（a+1）时的函数值。
f(0) =10102-+⋅= -1 ; f(-1) = 1)1(1)1(2--+-⨯= 21 f(a 1) = a a aa -+=+⨯121_1112 ; f(a+1) = a a a 321)1(1)1(2+=-+++⨯3.下列各组函数是否表示相同的函数？为什么？（1）y= lg 2x 与 y= 2lgx (2)y = 1 与 y = sin 2x + cos 2x(3) y= 112--x x 与 y = x+1 (4) y = -x x 与y = -x 2解：分析：相同函数的条件是D 与f 相同。
（定义域与对应规则） （1）不同， D 不同 （2）相同 定义域与对应法则相同 （3）不同， D 不同（4）不同 对应法则不同（当x= -1，对应y 不同）4．求下列函数的定义域：（1） y=x x 1+ (2) y=2112x x -+- (3) y= lg 211++-x x(4) y= lg lg(x+1) (5) y= arcsin 21-x (6) y= tan(2x+1) (2x+1≠ππk +2)解：求定义域应记住：①分母≠0 ②a a ≥0③xa log x ﹥0 ④三角函数的限制。
(1) y=xx 1+ 解D: x ≠0 [或(-),0()0,+∞⋃∞)（2）y=2112x x -+- (4)lg lg (x+1) 解:⎩⎨⎧≠≥-1012x x D:-1≤x ﹤1 解:⎪⎩⎪⎨⎧++010)1lg( x x D:(0,+∞)(3) y= lg211++-x x (5) y= arcsin 21-x 解:⎩⎨⎧>->+01102xx D:[-2,1) 解:121≤-x D:[-1,3](6) y = tan(2x+1) 解:2x+1≠ππk +2D: x ≠422-+x k π5．判断下列函数的奇偶性。
（1） f(x) = 233xx -+ (3)f(x) = lg (x+21x +解:f(-x) = 233xx +-=f(x) 解:f(-x) = lg(-x+2)(1x -+∴ f(x)是偶函数。
=lg)1()1)(1(222x x x x x x ++++++-=lg211x x ++=lg(x+12)1-+x= -lg(x+21x +) = -f(x)∴ f(x)是奇函数。
(4) f(x) =xe x - 解: f(-x)= -x e x ≠f(x) [也≠-f(x)]∴ f(x)是非奇非偶函数。
(5) f(x) = log x x-+113解:f(-x)=log xx+-113 分析：判断奇偶函数= log 3（1)11--+x x （1）f(-x)=f(x), f(x)是偶函数 = -log xx-+113 (2) f(-x)= -f(x), f(x)是奇函数= -f(x) 否则非奇非偶。
∴ f(x)是奇函数。
（6）设f(x) =⎪⎩⎪⎨⎧-+x x x 222 1111>≤<--≤x x x求 f(0)， f(-1)， f (1) ，f(-2) ，f(2)，并作出函数图像。
解：分析：求分段函数的函数值D 先确定x 0的所属的区间从向确定其解析式尔后代之，②作图需分段作图。
0∈ -1<x ≤1 -1∈ x ≤-1 ∴ f(0) = 02 =0∴f(-1) = (-1)+2 =1 , f(1) = 12 =1∴ f(-2) = (-2)+2 =0 , f(2) = 2-2 =07．设f(x) =x x +1 xx 1)(=ϕ 求 f[)](x ϕ ,)]([x f ϕ 解：分析：视f[)](x ϕ中的)(x ϕ为中间变量代替f(x)中的变量x 而成。
f[)](x ϕ=x x x x x +=+=+1111)()(1ϕϕ; )]([x f ϕ=x x xx x f +=+=111)(110．求下列函数的反函数（3） y = 2x 3+1 (4) y = 1-lg (x+2) 解: x 3 =21-y 解: lg(x+2)=1-y x = 321-y x+2 = 10y -1 即 y = 322-x x = 10y -1-2 即 y = 10x -1-214．下列变量中哪些是无穷小，哪些是无穷大（在指定的变化过程） 分析：在指定变化过程中，变量→0是无穷小。
变量→∞ 是无穷大。
（1）x 2+2x (x →0) (2)xx 12+ (x →0) 解: 当x →0， x 2+2x →0 解: 当x →0，2x+1→1， x →0 ∴是无穷小。
∴是无穷大。
(当x →0， x 2无穷小， x 是无穷小)(3) (-1)n n 211+ (n →∞) (4) nn)1(1-+ (n →∞)解:当n →∞时(-1)1+n 是有界量 解法一：nn n nn n n n )1(lim 1lim )1(1lim -+=-+∞→∞→∞→n21是无穷小量。
=0+0 =0 ∴是无穷小。
∴是无穷小。
（5）e x1 (x →0+)解: x →0+, ∞→x1, e x 1→∞ ∴是无穷大.( x →0+)(6) e x1 (x →0-)解: x →0-, -∞→x 1, e 0111→→xx e∴是无穷小.( x →0-)(7) lg x (x →0+)解: x →0+ , lg x →∞ , ∴是无穷大.( x →0+)(8)11-x (x →1) 解: x →1 , x-1→0 , ∴∞→-11x ∴是无穷大.( x →1)(9) x xcos 1 (x →∞)解:1cos ≤x , 是有界量, x →∞时, x 1是无穷小, ∴x xcos 1→0是无穷小.( x →∞)(10) 2x (x →+∞)解: x →+∞, 2x →+∞ ∴是无穷大.( x →+∞)15.求下列极限.(1) )152(lim 22-+-→x x x 解: 连续函数)()(lim 00x f x f xx =→ ∴)152(lim 22-+-→x x x = 2×(-2)2+5×(-2)-1=-3(2) 13lim 2423++-→x x x x (12) )1113(lim31xx x ---→ 解: 分析:分子.分母极限均存在,可用法则 解:原式= )1)(1(13lim 221x x x x x x ++----→1lim 3lim 13lim243232423++-=++-→→→x x x x x x x x x = )1)(1()2)(1(lim 21x x x x x x ++-+-→ =1)3()3(3)3(242++-=0 =2112lim x x x x +++→=1(3))321(lim 0--→x x (13))2121211(lim 2n n ++++∞→ 解: )321(lim0--→x x 解:原式= 211])21(1[1lim --⨯∞→n n = 32lim 1lim 00--→→x x x = ])21(1[2lim n n -∞→=2 = 1-35)32(=-(4) 23lim 22--→x x x (14) ]21)2(1[lim 0xx x x -+→ 解 032lim22=--→x x x 解: 原式= )2(222lim 0+--→x x x x ∞=--∴→23lim 22x x x = 41)2(21lim 0-=+-→x x 分析:无穷小的倒数是无穷大.(11)503020)15()13()12(lim ++⋅-∞→n n n n解:分析:分子、分母同除以n 50503020)15()13()12(lim++⋅-∞→n n n n =503020532⋅16.设函数f(x)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++xx x 212321100>≤<≤x x x )(lim )(10x f x f x x ∞→→X →的极限并求时及讨论当解：本题的解法可参照书中P13 例3 （1）当x →0 1)1(lim )(lim 200=+=++→→x x f x x2)23(lim )(lim 00=+=--→→x x f x x左极限≠右极限 ∴f(x)极限不存在. (当x →0)(2) 当x →1 22lim )(lim 11==++→→xx f x x2)1(lim )(lim 211=+=--→→x x f x x左极限＝右极限＝f(1)=2 ∴ 当x →1时f(x)的极限为2(3) 当x →∞ 02lim )(lim ==∞→∞→xx f x x18.(1)xxx x 3sin sin tan lim-→ 解法1: 原式= x x x x x 30sin sin cos sin lim -→ 解法2: 原式= xxx xx 30sin sin cos sin lim -→= xx x 20sin 1cos 1lim -→ = x x x x cos sin cos 1lim 20-→= )cos 1(cos cos 1lim 20x x x x --→ = xx xx cos sin 2sin 211lim 220+-→ = )cos 1(cos 1lim 0x x x +→ = xxx x x cos 2cos 2sin 42sin 2lim2220→ = 21 = xx x cos 2cos 21lim 20→= 21解法3: “用洛必达” (3) xx xx x sin sin lim+-→ 原式= x x x x x cos sin 3cos cos 1lim 220-→ 解: 原式= xx x x x sin 1sin 1lim 0+-→ = xx x x 3230cos 1sin 3cos 1lim ⋅-→ = 1111+- = xx x x x cos sin 6)sin (cos 3lim 20--→ = 0 = 2cos limxx → = 21（2）xxx 2sin 5sin lim→ 解法1: 原式= 2522sin 55sin lim 0⋅→x x x xx 解法2:可用等价无穷小解之= 2522sin lim 55sin lim0205⋅→→x x xx x x 原式= x x x 25lim 0→ = 25 = 25(4) x x x 2arctan 3lim→ (5) n n n 21sin 2lim ∞→ 解:2323lim 0=→x x x 解: 原式= nn n 2121sinlim ∞→ (当x →0 arctanx ～x) = 12121sin lim 021=→nnn(6) xxx x sin tan lim-→ 解: 原式= x xx x x x sin lim tan lim 00→→- = 1lim 0-→xxx = 1-1 = 019.求下列极限(1) x x x 3)21(lim +∞→ (2) 12)11(lim +∞→-xx x解: 原式 = 62])21[(lim x x x+∞→ 解: 原式 = )11(])11[(lim 21x x x x -⋅-+--∞→ = e 6= e21211--=⋅e(3) x x x 2)33(lim -∞→ (4) xx x sec 2)cos 21(lim +→π 解: 原式= 323])31[(lim --∞→-x x x 解: 原式= 2cos 212])cos 21[(lim x x x +→π = 32-e = 2e(5) 2)11(lim +∞→+-x x x x 解: 原式 = )121(])121[(lim 221+-⋅+--+-∞→x x x x= 221--=⋅e e20.求下列函数的间断点并指出其类型。