2019年浙江卷 数学真题(解析版)
2019年浙江省高考数学试卷(原卷答案解析版)
C.当 D.当
【答案】A
【解析】
【分析】
本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.
【详解】选项B：不动点满足 时，如图，若 ，
排除
如图，若 为不动点 则
选项C：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则 ，
排除
选项D：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则 ，排除.
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）对任意 均有 求 的取值范围.
注： 为自然对数的底数.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学
参考公式：
若事件 互斥，则
若事件 相互独立，则
若事件 在一次试验中发生的概率是 ,则 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率
台体的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高
（2）当 时，分三种情况，如图 与 若有三个交点，则 ，答案选D
下面证明： 时，
时 ， ，则 ，才能保证至少有两个零点，即 ，若另一零点在
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..
10.设 ，数列 中， ， ,则（ ）
【详解】方法1：由分布列得 ，则
，则当 在 内增大时， 先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
8.设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
2019年浙江省杭州市中考数学试卷(答案解析版)
2019年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算下列各式，值最小的是（）A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，3.如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB=（）A. 2B. 3C. 4D. 54.已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A. B.C. D.5.点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 标准差6.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A.B.C.D.7.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A. 必有一个内角等于B. 必有一个内角等于C. 必有一个内角等于D. 必有一个内角等于8.已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A. B.C. D.9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）A.B.C.D.10.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A. 或B. 或C. 或D. 或二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.因式分解：1-x2=______．12.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于______．13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______cm2（结果精确到个位）．14.在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cos C=______．15.某函数满足当自变量x=1时，函数值y=0，当自变量x=0时，函数值y=1，写出一个满足条件的函数表达式______．16.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.化简：--1圆圆的解答如下：--1=4x-2（x+2）-（x2-4）=-x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．18.称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为甲，乙，写出甲与乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．19.如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠B的度数．20.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．21.如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG．22.设二次函数y=（x-x1）（x-x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=时，y=-．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．23.如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC=60°，①求证：OD=OA．②当OA=1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m-n+2=0．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.2×0+1-9=-8，B．2+0×1-9=-7C．2+0-1×9=-7D．2+0+1-9=-6，故选：A．有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m=-3，n=2．故选：B．直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．3.【答案】B【解析】解：连接OA、OB、OP，∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），∴PB=PA=3，故选：B．连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB=PA=3．本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：设男生有x人，则女生（30-x）人，根据题意可得：3x+2（30-x）=72．故选：D．直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案．此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题关键．5.【答案】B【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．故选：B．利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数．6.【答案】C【解析】解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴=，∴=．故选：C．先证明△ADN∽△ABM得到=，再证明△ANE∽△AMC得到=，则=，从而可对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．7.【答案】D【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可．本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．8.【答案】A【解析】解：A、由①可知：a＞0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；B、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；C、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由①可知：a＜0，b＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选：D．根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC 的距离，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】C【解析】解：∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴△=（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△=（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N或M=N+1．故选：C．先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．11.【答案】（1-x）（1+x）【解析】解：∵1-x2=（1-x）（1+x），故答案为：（1-x）（1+x）．根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．本题考查因式分解-运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．12.【答案】【解析】解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于：．故答案为：．直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键．13.【答案】113【解析】解：这个冰淇淋外壳的侧面积=×2π×3×12=36π≈113（cm2）．故答案为113．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】或【解析】解：若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；综上所述，cosC的值为或．故答案为或．讨论：若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出BC=x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出BC=x，然后根据余弦的定义求cosC的值．本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．15.【答案】y=-x+1【解析】解：设该函数的解析式为y=kx+b，∵函数满足当自变量x=1时，函数值y=0，当自变量x=0时，函数值y=1，∴解得：，所以函数的解析式为y=-x+1，故答案为：y=-x+1．根据题意写出一个一次函数即可．本题考查了各种函数的性质，题目中x、y均可以取0，故不能是反比例函数．16.【答案】2（5+3）【解析】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴=，∴=，∴x2=4a2，∴x=2a或-2a（舍弃），∴PA′=PD′=2a，∵•a•2a=1，∴a=1，∴x=2，∴AB=CD=2，PE==2，PH==，∴AD=4+2++1=5+3，∴矩形ABCD的面积=2（5+3）．故答案为2（5+3）设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，由△A′EP∽△D′PH，推出=，推出=，可得x=2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：圆圆的解答错误，正确解法：--1=--===-．【解析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．18.【答案】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：（2）①甲=50+乙．②S甲2=S乙2．理由：∵S甲2=[（48-50）2+（52-50）2+（47-50）2+（49-50）2+（54-50）2]=6.8．S乙2=[（-2-0）2+（2-0）2+（-3-0）2+（-1-0）2+（4-0）2]=6.8，∴S甲2=S乙2．【解析】（1）利用描点法画出折线图即可．（2）利用方差公式计算即可判断．本题考查折线统计图，算术平均数，方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B；（2）根据题意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA=PB，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC=2∠B；（2）根据题意可知BA=BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．20.【答案】解：（1）∵vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v关于t的函数表达式为：v=，（0≤t≤4）．（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时将t=6代入v=得v=80；将t=代入v=得v=100．∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至11点30分时间长为小时，将t=代入v=得v=＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．【解析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题．21.【答案】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE=1-a，∵S1=S2，∴a2=1×（1-a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC=1，∴CH=0.5，∴DH=．=，∵CH=0.5，CG=，∴HG=，∴HD=HG．【解析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1=S2，即可求得线段CE的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】解：（1）当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1=0，x2=1，∴y═x（x-1）=x2-x，当x=时，y=-，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2，∴mn=[-][-]∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤-≤，0≤-≤，∴0＜mn＜．【解析】（1）将（0，0），（1，0）代入y=（x-x1）（x-x2）求出函数解析式即可求解；（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2，再表示出mn=[-][-]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0≤-≤，0≤-≤，即可求解．本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确的用x1和x2表示出来是解题的关键．23.【答案】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∴∠OBC=30°，∴OD=OB=OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=，△ABC面积的最大值=×BC×AD=×2OB sin60°×=；（2）如图2，连接OC，设：∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．【解析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，即可求解．本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD=∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．。
2019年浙江省杭州市中考数学试卷(附答案,解析)
2019年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1．（3分）（2019•杭州）计算下列各式，值最小的是()A．2019⨯+-B．2019+⨯-C．2019+-⨯D．2019++-2．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，点(,2)A m与点(3,)B n关于y轴对称，则()A．3m=，2n=B．3m=-，2n=C．2m=，3n=D．2m=-，3n=-3．（3分）（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若3PA=，则(PB= )A．2B．3C．4D．54．（3分）（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则()A．23(72)30x x+-=B．32(72)30x x+-=C．23(30)72x x+-=D．32(30)72x x+-=5．（3分）（2019•杭州）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是()A．平均数B．中位数C．方差D．标准差6．（3分）（2019•杭州）如图，在ABC∆中，点D，E分别在AB和AC上，//DE BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则()A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=7．（3分）（2019•杭州）在ABC ∆中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( ) A ．必有一个内角等于30︒ B ．必有一个内角等于45︒C ．必有一个内角等于60︒D ．必有一个内角等于90︒8．（3分）（2019•杭州）已知一次函数1y ax b =+和2()y bx a a b =+≠，函数1y 和2y 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2019•杭州）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC OB ⊥，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB a =，AD b =，BCO x ∠=，则点A 到OC 的距离等于( )A ．sin sin a x b x +B ．cos cos a x b x +C ．sin cos a x b x +D ．cos sin a x b x +10．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a b ≠，设函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有M 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，则( ) A ．1M N =-或1M N =+ B ．1M n =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分； 11．（4分）（2019•杭州）因式分解：21x -= ．12．（4分）（2019•杭州）某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n +个数据的平均数等于 ．13．（4分）（2019•杭州）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 2cm （结果精确到个位）．14．（4分）（2019•杭州）在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C = ．15．（4分）（2019•杭州）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式 ．16．（4分）（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=︒，△A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 ．三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）（2019•杭州）化简：242142x x x ---- 圆圆的解答如下：22242142(2)(4)242x x x x x x x x --=-+--=-+-- 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．18．（8分）（2019•杭州）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号 数据 1 2 3 4 5甲组 4852 47 49 54 乙组2- 23-1-4（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为2S甲，2S乙，比较2S甲与2S乙的大小，并说明理由．19．（8分）（2019•杭州）如图，在ABC∆中，AC AB BC<<．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：2APC B∠=∠．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若3AQC B∠=∠，求B∠的度数．20．（10分）（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．21．（10分）（2019•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为1S，点E在DC边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =． （1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证：HD HG =．22．（12分）（2019•杭州）设二次函数121()()(y x x x x x =--，2x 是实数）． （1）甲求得当0x =时，0y =；当1x =时，0y =；乙求得当12x =时，12y =-．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含1x ，2x 的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点(m ，n 是实数），当1201x x <<<时，求证：1016mn <<． 23．（12分）（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆O ，OD BC ⊥于点D ，连接OA ． （1）若60BAC ∠=︒， ①求证：12OD OA =．②当1OA =时，求ABC ∆面积的最大值．（2）点E 在线段OA 上，OE OD =，连接DE ，设ABC m OED ∠=∠，(ACB n OED m ∠=∠，n 是正数），若ABC ACB ∠<∠，求证：20m n -+=．2019年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1．（3分）计算下列各式，值最小的是()A．2019++-+-⨯D．2019⨯+-B．2019+⨯-C．2019【考点】1G：有理数的混合运算【分析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【解答】解：.20198A⨯+-=-，B．20197+⨯-=-+-⨯=-C．20197D．20196++-=-，故选：A．2．（3分）在平面直角坐标系中，点(,2)A m与点(3,)B n关于y轴对称，则()A．3n=D．2m=，3n=-m=-，3m=-，2m=，2n=B．3n=C．2【考点】5P：关于x轴、y轴对称的点的坐标【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：点(,2)A m与点(3,)B n关于y轴对称，∴=-，2n=．m3故选：B．3．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若3PB=)PA=，则(A．2B．3C．4D．5【考点】MC：切线的性质【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA PA⊥，然后证得Rt AOP Rt BOP∆≅∆，⊥，OB PB即可求得3==．PB PA【解答】解：连接OA 、OB 、OP ，PA ，PB 分别切圆O 于A ，B 两点，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，在Rt AOP ∆和Rt BOP ∆中， OA OBOP OP=⎧⎨=⎩， Rt AOP Rt BOP(HL)∴∆≅∆， 3PB PA ∴==，故选：B ．4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x 人，则( )A ．23(72)30x x +-=B ．32(72)30x x +-=C ．23(30)72x x +-=D ．32(30)72x x +-=【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案． 【解答】解：设男生有x 人，则女生(30)x -人，根据题意可得： 32(30)72x x +-=．故选：D ．5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是( ) A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．标准差【考点】1W ：算术平均数；4W ：中位数；7W ：方差；8W ：标准差 【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关． 故选：B ．6．（3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB 和AC 上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则( )A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=【考点】9S：相似三角形的判定与性质【分析】先证明ADN ABM∆∆∽得到DN ANBM AM=，再证明ANE AMC∆∆∽得到NE ANMC AM=，则DN NEBM MC=，从而可对各选项进行判断．【解答】解：//DN BM，ADN ABM∴∆∆∽，∴DN AN BM AM=，//NE MC，ANE AMC∴∆∆∽，∴NE AN MC AM=，∴DN NE BM MC=．故选：C．7．（3分）在ABC∆中，若一个内角等于另外两个内角的差，则()A．必有一个内角等于30︒B．必有一个内角等于45︒C．必有一个内角等于60︒D．必有一个内角等于90︒【考点】7K：三角形内角和定理【分析】根据三角形内角和定理得出180A B C∠+∠+∠=︒，把C A B∠=∠+∠代入求出C∠即可．【解答】解：180A B C∠+∠+∠=︒，C A B∠=∠+∠，2180C∴∠=︒，90C∴∠=︒，ABC∴∆是直角三角形，故选：D．8．（3分）已知一次函数1y ax b =+和2()y bx a a b =+≠，函数1y 和2y 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【考点】3F ：一次函数的图象【分析】根据直线①判断出a 、b 的符号，然后根据a 、b 的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．【解答】解：A 、由①可知：0a >，0b >．∴直线②经过一、二、三象限，故A 正确；B 、由①可知：0a <，0b >．∴直线②经过一、二、三象限，故B 错误；C 、由①可知：0a <，0b >．∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误；D 、由①可知：0a <，0b <，∴直线②经过二、三、四象限，故D 错误．故选：A ．9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC OB ⊥，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB a =，AD b =，BCO x ∠=，则点A 到OC 的距离等于( )A ．sin sin a x b x +B ．cos cos a x b x +C ．sin cos a x b x +D ．cos sin a x b x +【考点】9T ：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；LB ：矩形的性质【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A 到OC 的距离，本题得以解决．【解答】解：作AE OC ⊥于点E ，作AF OB ⊥于点F ， 四边形ABCD 是矩形， 90ABC ∴∠=︒，ABC AEC ∠=∠，BCO x ∠=， EAB x ∴∠=， FBA x ∴∠=， AB a =，AD b =，cos sin FO FB BO a x b x ∴=+=+，故选：D ．10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a b ≠，设函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有M 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，则( )A ．1M N =-或1M N =+B ．1M n =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x 轴的交点个数，若一次函数，则与x 轴只有一个交点，据此解答． 【解答】解：2()()()1y x a x b x a b x =++=+++，∴△22()4()0a b ab a b =+-=->，∴函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有2个交点，2M ∴=，函数2(1)(1)()1y ax bx abx a b x =++=+++，∴当0ab ≠时，△22()4()0a b ab a b =+-=->，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有2个交点，即2N =，此时M N =；当0ab =时，不妨令0a =，a b ≠，0b ∴≠，函数(1)(1)1y ax bx bx =++=+为一次函数，与x 轴有一个交点，即1N =，此时1M N =+； 综上可知，M N =或1M N =+． 故选：C ．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分； 11．（4分）因式分解：21x -= (1)(1)x x -+ ． 【考点】54：因式分解-运用公式法【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解． 【解答】解：21(1)(1)x x x -=-+， 故答案为：(1)(1)x x -+．12．（4分）某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n +个数据的平均数等于 mx nym n++ ． 【考点】2W ：加权平均数【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．【解答】解：某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ， 则这m n +个数据的平均数等于：mx nym n ++． 故答案为：mx nym n++． 13．（4分）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 113 2cm （结果精确到个位）． 【考点】1H ：近似数和有效数字；MP ：圆锥的计算【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积21231236113()2cm ππ=⨯⨯⨯=≈．故答案为113．14．（4分）在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C = 或 ． 【考点】1T ：锐角三角函数的定义【分析】讨论：若90B ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，利用勾股定理计算出BC =，然后根据余弦的定义求cos C 的值；若90A ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，利用勾股定理计算出BC =，然后根据余弦的定义求cos C 的值．【解答】解：若90B ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，所以22(2)3BC x x x =-=，所以33cos 22BC x C AC x ===； 若90A ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，所以22(2)5BC x x x =+=，所以225cos 55AC x C BC x===； 综上所述，cos C 的值为32或255． 故答案为32或255． 15．（4分）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式 1y x =-+ ．【考点】4G ：反比例函数的性质；6F ：正比例函数的性质；5F ：一次函数的性质；3H ：二次函数的性质【分析】根据题意写出一个一次函数即可． 【解答】解：设该函数的解析式为y kx b =+，函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =， ∴01k b b +=⎧⎨=⎩解得：11k b =-⎧⎨=⎩，所以函数的解析式为1y x =-+， 故答案为：1y x =-+．16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=︒，△A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 2(535)+ ．【考点】LB ：矩形的性质；PB ：翻折变换（折叠问题）【分析】设AB CD x ==，由翻折可知：PA AB x '==，PD CD x '==，因为△A EP '的面积为4，△D PH'的面积为1，推出4A E D H '='，设D H a '=，则4A E a '=，由△A EP '∽△D PH '，推出D H PD PA EA ''=''，推出4a xx a=，可得2x a =，再利用三角形的面积公式求出a 即可解决问题． 【解答】解：四边形ABC 是矩形， AB CD ∴=，AD BC =，设AB CD x ==，由翻折可知：PA AB x '==，PD CD x '==， △A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，4A E D H ∴'='，设D H a '=，则4A E a '=，△A EP '∽△D PH '，∴D H PD PA EA ''=''， ∴4a xx a=， 224x a ∴=，2x a ∴=或2a -（舍弃）， 2PA PD a ∴'='=，1212a a =， 1a ∴=， 2x ∴=，2AB CD ∴==，PE =PH =，415AD ∴=+=+，∴矩形ABCD 的面积2(5=+．故答案为2(5+三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）化简：242142x x x ---- 圆圆的解答如下：22242142(2)(4)242x x x x x x x x --=-+--=-+-- 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 【考点】6B ：分式的加减法【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．【解答】解：圆圆的解答错误， 正确解法：242142x x x ---- 42(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x x +-+=---+-+-+ 24244(2)(2)x x x x x ---+=-+ 22(2)(2)x x x x -=-+ 2xx =-+． 18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号 数据 1 2 3 4 5甲组 4852 47 49 54 乙组2- 23-1-4（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，写出x 甲与x 乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为2S 甲，2S 乙，比较2S 甲与2S 乙的大小，并说明理由．【考点】1W ：算术平均数；VD ：折线统计图；7W ：方差 【分析】（1）利用描点法画出折线图即可． （2）利用方差公式计算即可判断．【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：（2）①50x x =+乙甲．②22S S =乙甲．理由：(2222221[(4850)(5250)(4750)(4950)5450) 6.85S ⎤=-+-+-+-+-=⎦甲． (2222221[(20)(20)(30)(10)40) 6.85S ⎤=--+-+--+--+-=⎦乙， 22S S ∴=乙甲．19．（8分）如图，在ABC ∆中，AC AB BC <<．（1）已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连接AP ，求证：2APC B ∠=∠．（2）以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连接AQ ．若3AQC B ∠=∠，求B ∠的度数．【考点】KG ：线段垂直平分线的性质；KH ：等腰三角形的性质【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA PB=，根据等腰三角形的性质可得B BAP∠=∠，根据三角形的外角性质即可证得2APC B=∠；（2）根据题意可知BA BQ=，根据等腰三角形的性质可得BAQ BQA∠=∠，再根据三角形的内角和公式即可解答．【解答】解：（1）证明：线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，PA PB∴=，B BAP∴∠=∠，APC B BAP∠=∠+∠，2APC B∴∠=∠；（2）根据题意可知BA BQ=，BAQ BQA∴∠=∠，3AQC B∠=∠，AQC B BAQ∠=∠+∠，2BQA B∴∠=∠，180BAQ BQA B∠+∠+∠=︒，5180B∴∠=︒，36B∴∠=︒．20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．【考点】GA：反比例函数的应用【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；②8点至11点30分时间长为72小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．【解答】解：（1）480vt=，且全程速度限定为不超过120千米/小时，v ∴关于t 的函数表达式为：480v t=，(04)t ． （2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时 将6t =代入480v t =得80v =；将245t =代入480v t=得100v =． ∴小汽车行驶速度v 的范围为：80100v ．②方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下： 8点至11点30分时间长为72小时，将72t =代入480v t =得9601207v =>千米/小时，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达B 地．21．（10分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =． （1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证：HD HG =．【考点】LB ：矩形的性质；LE ：正方形的性质【分析】（1）设出正方形CEFG 的边长，然后根据12S S =，即可求得线段CE 的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD 和HG 的长，即可证明结论成立． 【解答】解：（1）设正方形CEFG 的边长为a ， 正方形ABCD 的边长为1， 1DE a ∴=-， 12S S =，21(1)a a ∴=⨯-， 解得，1512a =-（舍去），2512a =-， 即线段CE 512-； （2）证明：点H 为BC 边的中点，1BC =， 0.5CH ∴=，25052DH ∴=，0.5CH =，12CG =，HG ∴ HD HG ∴=．22．（12分）设二次函数121()()(y x x x x x =--，2x 是实数）． （1）甲求得当0x =时，0y =；当1x =时，0y =；乙求得当12x =时，12y =-．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含1x ，2x 的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点(m ，n 是实数），当1201x x <<<时，求证：1016mn <<． 【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；3H ：二次函数的性质；7H ：二次函数的最值；5H ：二次函数图象上点的坐标特征【分析】（1）将(0,0)，(1,0)代入12()()y x x x x =--求出函数解析式即可求解； （2）对称轴为122x x x +=，当122x x x +=时，212()4x x y -=-是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出12m x x =，12121n x x x x =--+，再表示出22121111[()][()]2424mn x x =--+--+，由已知1201x x <<<，可求出211110()244x --+，221110()244x --+，即可求解． 【解答】解：（1）当0x =时，0y =；当1x =时，0y =；∴二次函数经过点(0,0)，(1,0)，10x ∴=，21x =，2(1)y x x x x ∴==-=-， 当12x =时，14y =-， ∴乙说点的不对；（2）对称轴为122x x x +=， 当122x x x +=时，212()4x x y -=-是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点， 12m x x ∴=，12121n x x x x =--+，22121111[()][()]2424mn x x ∴=--+--+1201x x <<<，211110()244x ∴--+，221110()244x --+， 1016mn ∴<<． 23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆O ，OD BC ⊥于点D ，连接OA ． （1）若60BAC ∠=︒， ①求证：12OD OA =．②当1OA =时，求ABC ∆面积的最大值．（2）点E 在线段OA 上，OE OD =，连接DE ，设ABC m OED ∠=∠，(ACB n OED m ∠=∠，n 是正数），若ABC ACB ∠<∠，求证：20m n -+=．【考点】MR ：圆的综合题【分析】（1）①连接OB 、OC ，则1602BOD BOC BAC ∠==∠=︒，即可求解；②BC 长度为定值，ABC ∆面积的最大值，要求BC 边上的高最大，即可求解； （2）11801802BAC ABC ACB mx nx BOC DOC∠=︒-∠-∠=︒--=∠=∠，而1802180AOD COD AOC mx nx mx mx nx ∠=∠+∠=︒--+=︒+-，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB 、OC ，则1602BOD BOC BAC ∠==∠=︒，30OBC ∴∠=︒，1122OD OB OA ∴==；②BC 长度为定值，ABC ∴∆面积的最大值，要求BC 边上的高最大，当AD 过点O 时，AD 最大，即：32AD AO OD =+=， ABC ∆面积的最大值113332sin 602224BC AD OB =⨯⨯=⨯︒⨯=； （2）如图2，连接OC ，设：OED x ∠=，则ABC mx ∠=，ACB nx ∠=，则11801802BAC ABC ACB mx nx BOC DOC ∠=︒-∠-∠=︒--=∠=∠，22AOC ABC mx ∠=∠=，1802180AOD COD AOC mx nx mx mx nx ∴∠=∠+∠=︒--+=︒+-， OE OD =，1802AOD x ∴∠=︒-，即：1801802mx nx x ︒+-=︒-， 化简得：20m n -+=．考试小提示试卷一张一张，发的是希望；考试一场一场，考的是能力；笔尖一动一动，动的是梦想；问候一声一声，道的是真情；考试日，愿你们认真、细心做题，取得好成绩。
2019高考数学浙江卷(附参考答案和详解)
第(题图
/!答 案 1
解析如图该柱体是 一 个 五 棱 柱棱 柱 的 高 为 0底 面 可 以
看作由两个直角梯 形 组 合 而 成其 中 一 个 上 底 为 /下 底 为
0#高为 (#另 一 个 的 上 底 为 "#下 底 为
0#高 为 (!
则底面面 积 4'""+0@(+/"+0@('
2019年高考数学浙江卷
!!本试卷分选择题和非选 择 题 两 部 分满 分 !"# 分考 试 用 时 !$# 分 钟 !
参考公式
若事件 +0 互斥则 1+00'1+010!
若事件 +0 相互独立则 1+0'1+10!
若事件 + 在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 是9则- 次 独 立 重 复
其中 , 表示柱体的底面积K 表示柱体的高! 锥体的体积公式J' ! +,K
其中 , 表示锥体的底面积K 表示锥体的高!
球 的 表 面 积 公 式 ,')A$
球的体积公式J' ) +A+ 其中A 表示球的半径!
第)题图
"!若 ')##()##则 &'0(0)'是 &'(0)'的
Байду номын сангаас-%!#
.%!$
)!祖 是 我 国 南 北 朝 时 代 的 伟 大 科 学 家#他 提 出 的 &幂 势 既
同#则积不容异'称 为 祖 原 理#利 用 该 原 理 可 以 得 到 柱 体
2019浙江卷 数学(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =I ð（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==L 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ= 此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
小学数学2019浙江省小学五年级下学期期末测试卷1(解析版)
小学数学2019浙江省小学五年级下学期期末测试卷1答题时间:120分钟日期____________班级____________姓名____________一、判断题(每小题3分，共10题，共30分)1任何一个非0自然数的因数至少有两个．（）2因为33，36，39，63，66，69，93，156这些数都能被3整除，所以个位上是3，6，9的数一定能被3整除．（）3分数的分母越大，它的分数单位就越大．（）4所有的偶数都是合数．（）5最小的质数是1．（）6一个正方体的棱长扩大为原来的4倍，它的体积就扩大为原来的64倍．（）7710的分子乘2，分母加上10后，分数值不变．（）8假分数的分子都比分母大．（）9一个西瓜，吃掉了23，还剩43．（）10当a等于（）时，17a的积是质数．二、填空题(每小题3分，共12题，共36分)11712的分数单位是________，再加上________个这样的分数单位就得到单位“1”．12在43，54，67这三个数中，最大的数是________，最小的数是________．13把4米长的绳子平均分成5段，每段长是全长的________，每段长________米．14在27、37、41、58、61、73、83、95、这些数中，奇数有________；偶数有________；质数有________；合数有________．15()2791560()÷===________5÷．16有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少________次保证可以找出这盒饼干？17 8.04立方分米=________升=________毫升． 7.5升=________立方分米=________立方厘米．18 3个棱长是2cm 的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比3个小正方体表面积的和少________平方厘米．19 用木料做一个长5厘米，宽和高都是4厘米的长方体，至少需要________立方厘米的木料．如果要在长方体木块的表面涂一层油漆，涂油漆的面积是________平方厘米．20 一个正方体的表面积是150平方分米，它的体积是________立方分米．21 时钟从下午3时到晚上9时，时针沿顺时针方向旋转了________度．22 48的质因数是________．三、计算题(共3题，共23分)23 (3分) 直接写得数：5616-= 1214-= 710310+= 134-= 12510-= 1319-=24 (12分) 计算下面各题，能简算的要简算 45(1115310)++ 384758++66(3425)-- 4157941529+-+．25 (8分) 解方程5312x x -= 3734x += 79427x -= 51238x -=．四、解答题(共8题，共28分)26 (0分)计算如图长方体的总棱长、表面积和体积：（单位：厘米）27 (4分)李明用一根1m长的铁丝围成一个三角形，量得三角形的一边是14m，另一边是38m，第三边长是多少米？它是一个什么三角形？28 (4分)一个长方体食品盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米，如果围着它贴一圈商标纸，这圈商标纸至少有多少平方厘米？29 (4分)一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？30 (4分)小红和爸爸现在的年龄的和是34岁，3年后爸爸比小红大24岁．今年小红和爸爸和多少岁？31 (4分)学校要粉刷新教室．已知教室长8米，宽6米，高3米，扣除门窗的面积是211.4m．如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？32 (4分)光明小学六年级植树214棵，比五年级植树的3倍还多7棵，五年级植树多少棵？33 (4分)一种小汽车上的油箱，里面长5dm，宽4dm，高2dm，这个油箱可以装汽油多少升？五、选择题(每小题3分，共4题，共12分)34一个两位数个位数字既是偶数又是质数，十位数字既不是质数又不是合数，则这个两位数是（）A.32B.16C.1235一个合数的因数有（）A.无数个B.2个C.三个或三个以上36下面各数中，既是奇数又是合数的是（）A.13B.36C.1537在分数512、7125、735中，能化成有限小数的有（）个．A.1B.2C.3答案解析一、判断题(每小题3分，共10题，共30分)1【答案】⨯【解析】自然数1的因数只有1个．2【答案】⨯【解析】如13，29、46这些数，个位数是3、6、9，但它们不能被3整除；所以个位上是3，6，9的数一定能被3整除说法错误．3【答案】⨯【解析】分数的分母越大，表示把单位“1”平均分成的份数越多，每一份反而越小，所以分数单位也就越小．4【答案】⨯【解析】偶数是能被2整除的数，合数是除了1和它本身以外还有别的约数，2只有1和它本身两个约数，2是偶数但不是合数．5【答案】⨯【解析】根据质因数的意义，质数只有1和它本身两个因数，因为1的因数只有1，所以1既不是质数也不是合数．最小的质数是2．因此，最小的质数是1，此说法错误．6【答案】√【解析】因为正方体的体积是：V a a a=⨯⨯，所以当正方体的棱长扩大为原来的4倍，它的体积就扩大为原来的44464⨯⨯=倍．7【答案】√【解析】原分数分子乘2，扩大了2倍；原分数分母是10，现在分数的分母是101020+=，扩大2倍，分子分母扩大的倍数相同，分数值不变．所以710的分子乘2，分母加上10后，分数值不变说法正确．8【答案】⨯【解析】假分数的分子等于或大于分母，并不是都比分母大．9【答案】⨯【解析】21 133 -=还剩下13，不是剩下43，原题说法错误．10【答案】A【解析】要17a是一个质数只有1a=时才成立，否则17a的因数就会有17，1和a这三个数．二、填空题(每小题3分，共12题，共36分)11【答案】112；5【解析】（1）712的分数单位是112．（2）7511212-=，再加上5个这样的分数单位就得到单位“1”．12【答案】43；67【解析】41133=， 51144=， 所以11611347>>，答：在43，54，67这三个数中，最大的数是43，最小的数是67．13【答案】 15；45【解析】 每段是全长的：1155÷=，每段的长为：14455⨯=（米）．14【答案】 27、37、41、61、73、83、95；58；37、41、61、73、83；27、58、95 【解析】 在27、37、41、58、61、73、83、95、这些数中， 奇数有27、37、41、61、73、83、95； 偶数有58；质数有37、41、61、73、83； 合数有27、58、95． 15【答案】 36；45；3【解析】 3627915356045÷===÷16【答案】 3【解析】 15(5,5,5)，其中任意两组放在天平上称，可找出质量轻的一组，再把5分成(2,2,1)，然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是质量轻的，需要2次．如不平衡，可再把2分成(1,1)，再放在天平上称，可找出质量轻的，则需要3次． 所以至少3次保证可能找出这盒饼干． 答：至少3次保证可能找出这盒饼干． 17【答案】 8.04；8040；7.5；7500【解析】 （1）8.04立方分米8.04=升8040=毫升； （2）7.5升7.5=立方分米7500=立方厘米． 18【答案】 16【解析】 22416⨯⨯=（平方厘米），答：长方体的表面积比3个小正方体表面积的和少16平方厘米． 19【答案】 80；112【解析】 544⨯⨯80=（立方厘米）； 544442⨯⨯+⨯⨯112=（平方厘米）；答：至少需要80立方厘米的木料；涂油漆的面积是112平方厘米． 20【答案】 125【解析】 正方体的一个面的面积是：150625÷=（平方分米）， 因为5525⨯=，所以正方体的棱长是5分米， 所以体积是：555125⨯⨯=（立方分米）， 答：它的体积是125立方分米． 21【答案】 180【解析】 从下午3时到晚上9时，时针沿顺时针方向旋转了一个平角． 22【答案】 2，3，2，2，2【解析】 因为，4823222=⨯⨯⨯⨯， 所以，48的质因数是2、3、2、2、2．三、计算题(共3题，共23分)23【答案】 40；-2；1020；-33；-498；-6【解析】 561640-= 12142-=- 7103101020+= 13433-=- 12510498-=- 13196-=- 24【答案】 1470；143；57；108【解析】 （1）45(1115310)++451115310=++1160310=+1470= （2）384758++8558=+143= （3）66(3425)--669=-57=（4）4157941529+-+(415415)(7929)=-++0108=+108= 25【答案】 6；-3；-348；550 【解析】 （1）5312x x -= 212x =22122x ÷=÷ 6x =；（2）3734x += 37373437x +-=- 3x =-；（3）79427x -= 79427x x x -+=+ 79427x =+79427427427x -=+- 348x =-；（4）51238x -=51251238512x -+=+ 550x =．四、解答题(共8题，共28分)26【答案】 52厘米；108平方厘米；72立方厘米 【解析】 (634)4++⨯134=⨯52=（厘米）；(636434)2⨯+⨯+⨯⨯(182412)2=++⨯542=⨯108=（平方厘米）；63472⨯⨯=（立方厘米）；答：这个长方体的棱长总和是52厘米、表面积是108平方厘米、体积是72立方厘米． 27【答案】 38米；等腰三角形【解析】 1331488--=（米），因为有两条边的长度相等，所以此三角形是等腰三角形．答：第三条边长38米；按边分它是一个等腰三角形．28【答案】 384平方厘米【解析】 (1012612)2⨯+⨯⨯(12072)2=+⨯1922=⨯384=（平方厘米）；答：这圈商标纸至少有384平方厘米． 29【答案】 510平方厘米；900立方厘米【解析】 （1）2621334⨯-⨯⨯54636=-510=（平方厘米）；（2）(2632)(2132)3-⨯⨯-⨯⨯(266)(216)3=-⨯-⨯20153=⨯⨯900=（立方厘米）； 答：这个盒子用了510平方厘米铁皮；它的容积是900立方厘米． 30【答案】 5岁；29岁【解析】 (3424)2+÷582=÷29=（岁）34295-=（岁）答：今年小红5岁，爸爸29岁．31【答案】 482.4元【解析】 6863283211.4⨯+⨯⨯+⨯⨯-48364811.4=++-120.6=（平方米） 120.64482.4⨯=（元）答：粉刷这个教室需要花费482.4元． 32【答案】 69棵【解析】 设五年级植树x 棵，由题意得， 37214x +=， 3207x =， 69x =．答：五年级植树69棵． 33【答案】 40升【解析】 1升1=立方分米 54240⨯⨯=（立方分米） 40立方分米40=升答：这个油箱可以装汽油40升．五、选择题(每小题3分，共4题，共12分)34【答案】 C【解析】 十位数字既不是质数又不是合数，说明十位数字是1， 个位数字既是偶数又是质数，说明个位数字是2， 所以此数是：12．35【答案】 C【解析】 一个合数有3个或3个以上的因数．36【答案】 C【解析】 根据奇数与合数的定义，可知15不能被2整除故是奇数，而它的因数有：1、3、5、15， 四个因数，故是合数．因此，15既是奇数也是合数． 37【答案】 B【解析】 512是最简分数，分母中含有质因数2、3，所以不能化成有限小数；---- 11 ---- 7125是最简分数，分母中只有质因数5，这个分数能化成有限小数； 71355 ，15中只有质因数5，这个分数能化成有限小数．。
2019年浙江省温州中学中考自主招生数学试卷解析版
2019年浙江省温州中学自主招生数学试卷解析版
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．（5分）设，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2
【解答】解：∵x ＝，
∴2x ＝﹣3，
2x+3＝
（2x+3）2＝（）2，
4x2+12x+9＝5，
∴x2+3x＝﹣1，
∴原式＝（x2+3x）（x2+3x+2）
＝﹣1×（﹣1+2）
＝﹣1；
故选：C．
2．（5分）对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”
为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为（）
A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）
【解答】解：∵（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx）＝（u，v），
∴ux+vy＝u，uy+vx＝v，
∵对于任意实数u，v都成立，
∴x＝1，y＝0，
∴（x，y）为（1，0）．
故选：B．
3．（5分）已知A，B 是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（）
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2019年高考浙江卷数学(附参考答案和详解)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B =I ð（ ） A.{}1-B.{}0,1C.{}1,2,3-D.{}1,0,1,3-2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）B.1D.23.若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩则32z x y =+的最大值是（ ）A.1-B.1C.10D.124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：3cm ）是（ ）A.158B.162C.182D.3245.若0a >，0b >，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）的图象可能是（ ） A. B.C. D.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是01111333X a P则当a 在()0,1内增大时（ ） A.()D X 增大 B.()D X 减小C.()D X 先增大后减小D.()D X 先减小后增大8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A.βγ<，αγ<B.βα<，βγ<C.βα<，γα<D.αβ<，γβ<9.已知,a b ∈R ，函数()()32,0111,032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A.1a <-，0b < B.1a <-，0b >C.1a >-，0b <D.1a >-，0b >10.设,a b ∈R ，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n ∈N ，则（ ） A.当12b =时，1010a > B.当14b =时，1010a >C.当2b =-时，1010a >D.当4b =-时，1010a >第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分。
浙江杭州2019中考试题数学卷(解析版)
一、选择题1. =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】试题分析：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．依此即可求解考点：算术平方根2.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若21 BC AB ，则EFDE =（ ）A ．B ．C ．32 D ．1 【答案】B考点：平行线分线段成比例3.下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，可得答案．该圆柱体的主视图、俯视图均为矩形，左视图为圆，考点：简单几何体的三视图4.如图是某市2016年四月每日的最低气温（℃）的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是（）A ．14℃，14℃B ．15℃，15℃C ．14℃，15℃D ．15℃，14℃【答案】A【解析】考点：(1)、众数；(2)、条形统计图；(3)、中位数5.下列各式变形中，正确的是（ ）A ．x 2•x 3=x 6B ．=|x| C ．（x 2﹣）÷x=x ﹣1 D ．x 2﹣x+1=（x ﹣）2+41 【答案】B【解析】试题分析：直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．A 、x 2•x 3=x 5，故此选项错误；B 、=|x|，正确；C 、（x 2﹣）÷x=x ﹣，故此选项错误；D 、x 2﹣x+1=（x ﹣）2+，故此选项错误；考点：(1)、二次根式的性质与化简；(2)、同底数幂的乘法；(3)、多项式乘多项式；(4)、分式的混合运算6.已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，则可列方程为（ ）A ．518=2B ．518﹣x=2×106C ．518﹣x=2D ．518+x=2 【答案】C【解析】试题分析：设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，根据题意列出方程解答即可．设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，可得：518﹣x=2，考点：由实际问题抽象出一元一次方程7.设函数y=x k（k ≠0，x ＞0）的图象如图所示，若z=y1，则z 关于x 的函数图象可能为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】考点：反比例函数的图象8.如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（）A．DE=EB B．2DE=EB C．3DE=DO D．DE=OB【答案】D【解析】考点：圆周角定理9.已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0【答案】C【解析】试题分析：如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n﹣m）2，整理即可求解m2+m2=（n﹣m）2， 2m2=n2﹣2mn+m2， m2+2mn﹣n2=0．考点：(1)、等腰直角三角形；(2)、等腰三角形的性质10.设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【答案】C【解析】试题分析：根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．考点：(1)、因式分解的应用；(2)、整式的混合运算；(3)、二次函数的最值二、填空题（每题4分）11.tan60°= ．【答案】【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可考点：特殊角的三角函数值12.已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是 ．【答案】21 【解析】试题分析：先求出棕色所占的百分比，再根据概率公式列式计算即可得解．棕色所占的百分比为：1﹣20%﹣15%﹣30%﹣15%=1﹣80%=20%， 所以，P （绿色或棕色）=30%+20%=50%=21． 考点： (1)、概率公式；(2)、扇形统计图13.若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是 （写出一个即可）．【答案】-1【解析】试题分析：令k=﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．令k=﹣1，整式为x2﹣y2=（x+y）（x ﹣y），考点：因式分解-运用公式法14.在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．【答案】105°或45°【解析】考点：(1)、菱形的性质；(2)、等腰三角形的性质15.在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为．【答案】（﹣5，﹣3）【解析】试题分析：直接利用平行四边形的性质得出D点坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，∴D点坐标为：（5，3），∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．考点：(1)、关于原点对称的点的坐标；(2)、平行四边形的判定与性质16.已知关于x 的方程=m 的解满足（0＜n ＜3），若y ＞1，则m 的取值范围是 ． 【答案】52＜m ＜32 【解析】考点：(1)、分式方程的解；(2)、二元一次方程组的解；(3)、解一元一次不等式三、解答题17.计算6÷（﹣3121 ），方方同学的计算过程如下，原式=6÷(-21)+6÷31=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【答案】-36【解析】试题分析：根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可 试题解析：方方的计算过程不正确，正确的计算过程是：原式=6÷（﹣21+）=6÷（﹣）=6×（﹣6）=﹣36． 考点：有理数的除法18.某汽车厂去年每个季度汽车销售数量（辆）占当季汽车产量（辆）百分比的统计图如图所示．根据统计图回答下列问题：（1）若第一季度的汽车销售量为2100辆，求该季的汽车产量；（2）圆圆同学说：“因为第二，第三这两个季度汽车销售数量占当季汽车产量是从75%降到50%，所以第二季度的汽车产量一定高于第三季度的汽车产量”，你觉得圆圆说的对吗？为什么？【答案】(1)、3000辆；(2)、说法不对，理由见解析【解析】考点：折线统计图19.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、1.【解析】考点：相似三角形的判定与性质20.把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t （秒）时该足球距离地面的高度h （米）适用公式h=20t ﹣5t 2（0≤t ≤4）．（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t ；（3）若存在实数t 1，t 2（t 1≠t 2）当t=t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m （米），求m 的取值范围．【答案】(1)、15米；(2)、t=2+2或t=2-2；(3)、0≤m ＜20【解析】试题分析：(1)、将t=3代入解析式可得；(2)、根据h=10可得关于t 的一元二次方程，解方程即可；(3)、由题意可得方程20t ﹣t 2=m 的两个不相等的实数根，由根的判别式即可得m 的范围．试题解析：(1)、当t=3时，h=20t ﹣5t 2=20×3﹣5×9=15（米），∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米；(2)、∵h=10， ∴20t ﹣5t 2=10，即t 2﹣4t+2=0， 解得：t=2+2或t=2﹣2， 故经过2+2或2﹣2时，足球距离地面的高度为10米；(3)、∵m ≥0，由题意得t 1，t 2是方程20t ﹣5t 2=m 的两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac=202﹣20m ＞0， ∴m ＜20， 故m 的取值范围是0≤m ＜20．考点：(1)、一元二次方程的应用；(2)、二次函数的应用21.如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DE 上，点A ，D ，G 在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC ，CG ， AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin ∠EAC 的值．（2）求线段AH 的长．【答案】(1)、55；(2)、1056 【解析】考点：(1)、正方形的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、解直角三角形22.已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．①求证：2a+b=0；②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．【答案】(1)、a=1，b=1；(2)、①、证明过程见解析；②、当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2．【解析】试题解析：(1)、由题意得：，解得：，故a=1，b=1．(2)、①、∵y1=ax2+bx=a，∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），∵函数y2的图象经过y1的顶点，∴﹣=a（﹣）+b，即b=﹣，∵ab≠0，∴﹣b=2a，∴2a+b=0．②、∵b=﹣2a，∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．∵1＜x＜，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；当a＜0时，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．考点：二次函数综合题23.在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：①∠APB=120°；②AF+BE=AB．那么，当AM∥BN时：（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32，求AQ 的长．【答案】(1)、∠APB=90°，AF+BE=2AB；理由见解析；(2)、AQ=43﹣3或43+3【解析】(2)、如图1，过点F作FG⊥AB于G，∵AF=BE，AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF+BE=16，∴AB=AF=BE=8，∵323=8×FG，∴FG=43，在Rt△FAG中，AF=8，∴∠FAG=60°，当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，①如图2，当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，∴PB=4，PA=43，∵BQ=5，∠BPA=90°，∴PQ=3，∴AQ=43﹣3或AQ=43+3．考点：四边形综合题。
2019年浙江杭州中考数学试题(解析版)
{来源}2019年德州中考数学{适用范围:3．九年级}{标题}2019年杭州市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）{题目}1.（2019年杭州）计算下列各式，值最小的是（）A．2×0+1﹣9B．2+0×1﹣9C．2+0﹣1×9D．2+0+1﹣9{答案}A{解析}本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算．计算得：2×0+1﹣9＝﹣8，2+0×1﹣9＝﹣7，2+0﹣1×9＝﹣7，2+0+1﹣9＝﹣6，比较可知-8最小，因此本题选A．{分值}3{章节:[1-1-4-1]有理数的乘法}{考点:有理数的乘法法则}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2.（2019年杭州）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3{答案}B{解析}本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的关系，A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同.∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2．因此本题选B．{分值}3{章节:[1-13-1-1]轴对称}{考点:坐标与图形的性质}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3.（2019年杭州）如图，P为⊙O外一点，P A，PB分别切⊙O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）A.2B.3C.4D.5{答案}B{解析}本题考查了切线长定理.因为P A和PB与⊙O相切，所以根据切线长定理可知P A＝PB＝3，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线长定理} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}4.（2019年杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x 人，则（ ） A ．2x +3（72﹣x ）＝30 B ．3x +2（72﹣x ）＝30 C ．2x +3（30﹣x ）＝72 D ．3x +2（30﹣x ）＝72 {答案}D{解析}本题考查了列一元一次方程解应用题，设男生x 人，则女生有(30－x )人，由题意得：3x +2（30﹣x ）＝72，因此本题选D ． {分值}3{章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程} {考点:一元一次方程的应用（工程问题）} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}5.（2019年杭州）点点同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）A .平均数B .中位数C .方差D .标准差 {答案}B{解析}本题考查了平均数、中位数、方差、标准差的概念，因为将6个数从小到大排列后，被涂的数总是排在第5或第6的位置，最中间两个数始终是36、46，故其中位数不变，始终是41，因此本题选B ． {分值}3{章节:[1-20-2-1]方差} {考点:标准差}{考点:统计量的选择} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}6.（2019年杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则（ ） A .ADAN ANAE B .BDMN MNCE C .DNNE BMMC D .DNNEMCBM{答案}C{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，∵DE ∥BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMCE N MD CBA∴DN AN BM AM ，ANNE AM MC ，∴DNNEBM MC，因此本题选C ． {分值}3{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:由平行判定相似} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}7.（2019年杭州）在△ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ） A ．必有一个内角等于30° B ．必有一个内角等于45° C ．必有一个内角等于60° D ．必有一个内角等于90° {答案}D{解析}本题考查了三角形的内角和，不妨设在△ABC 中，有∠A ＝∠C ﹣∠B ，所以∠C ＝∠A +∠B ，根据三角形内角和定理得∠A +∠B +∠C ＝180°，∴2∠C ＝180°，∴∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，因此本题选D ． {分值}3{章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {考点:三角形内角和定理} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8.（2019年杭州）已知一次函数y 1＝ax +b 和y 2＝bx +a （a ≠b ），函数y 1和y 2的图象可能是（ ）A .B .C .D . {答案}A{解析}本题考查了一次函数图象象限分布与系数的关系，从增减性以及直线与y 轴的交点位置来进行判断比较快捷，可列表分析如下：{分值}3{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:一次函数的图象} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}9.（2019年杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O 在同一平面内）.已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx{答案}D{解析}本题考查了锐角三角函数的简单实际应用，过点A作AE⊥OB于点E，在矩形ABCD中，且AB＝a，AD＝BC=b，∵∠COB＝∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠OBC=∠BCO+∠OBC＝90°,∴∠ABE＝∠BCO＝x，∴sinOBxBC=，cosBExAB=，∴sinOB b x=，cosBE a x=，所以点A到OC的距离OE=BE+OB=acosx+bsinx,因此本题选D．{分值}3{章节:[1-28-3]锐角三角函数}{考点:余弦}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}10.（2019年杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x 轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1{答案}C{解析}本题考查了二次函数、一次函数图象与x轴交点的求解，当y＝（x+a）（x+b）=0时，x=－a 或x=－b，∵a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有两个交点（－a，0）、（－b，0），∴M＝2.当ab≠0时，同法可得函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有两个交点（－1a，0）、（－1b，0），此时N=2，故M=N=2；当ab=0时，∵a≠b，∴a与b只能有一个为0，不能同时为0，此时函数为一次函数，其图象与x轴有唯一的交点（－1a，0）或（－1b，0），此时N=1，故M＝N+1．综上可知，M＝N或M＝N+1．因此本题选C．{分值}3{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{考点:抛物线与一元二次方程的关系} }{类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题型:2-填空题}二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） {题目}11.（2019年杭州）因式分解：1﹣x 2＝ ． {答案}（1﹣x ）（1+x ）{解析}本题考查了利用平方差公式进行因式分解，1﹣x 2＝12﹣x 2＝（1﹣x ）（1+x ），因此本题答案为：（1﹣x ）（1+x ）． {分值}4{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}12.（2019年杭州）某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m +n 个数据的平均数等于 ． {答案}mx nym n++{解析}本题考查了加权平均数，平均数等于总和除以个数，所以平均数mx nym n+=+，因此本题答案为：mx nym n++．{分值}4{章节:[1-20-1-1]平均数}{考点:加权平均数（频数为权重）} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}13.（2019年杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm 2（结果精确到个位）．{答案}113{解析}本题考查了圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长．设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则其侧面积3123636 3.14113.04113S rl πππ==⨯⨯==⨯=≈侧，因此本题答案为113．{分值}4{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{考点:圆锥侧面展开图}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}14.（2019年杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝．{答案{解析}本题考查了锐角的余弦值的计算，如图所示，分两种情况讨论，AC可以是直角边，也可以是斜边. ①当AC是斜边，设AB＝x，则AC＝2x，则BC，则cosBCCAC===②当AC是直角边，设AB＝x，则AC＝2x，则BCx，则cosACCBC====综上，cos C={分值}4{章节:[1-28-3]锐角三角函数}{考点:余弦}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:3-中等难度}{题目}15.（2019年杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0；当自变量x＝0时，函数值y ＝1.写出一个满足条件的函数表达式．{答案}y＝﹣x+1，或y＝x2-2x+1，或y＝-x2+1，或y＝-x3+1，y＝-x4+1，1y x=-等等（答案不限，合理即可）.{解析}本题考查了根据条件列函数关系式，由于x、y可以取0，所以三种常见函数中不能取反比例3x2x函数，只能取一次函数或二次函数.①若取一次函数，可设其解析式为设该函数的解析式为y ＝kx +b ， 由题知01k b b +=⎧⎨=⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，所以函数的解析式为y ＝﹣x +1；②若取二次函数，可设其解析式为y ＝ax 2+bx +c ，由题知01a b c c ++=⎧⎨=⎩，可得11b ac =--⎧⎨=⎩，比如取a =1，则b =-2，函数为y ＝x 2-2x +1；取a =-1，则b =0，函数为y ＝-x 2+1等等；③若取其它函数，还可以是y ＝-x 3+1，y ＝-x 4+1，1y x =-等等.因此本题答案为：y ＝﹣x +1，或y ＝x 2-2x +1，或y ＝-x 2+1，或y ＝-x 3+1，y ＝-x 4+1，1y x =-等等（答案不限，合理即可）.{分值}4{章节:[1-22-1-4]二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质} {考点:其他二次函数综合题} {类别:发现探究} {难度:3-中等难度}{题目}16.（2019年杭州）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A ′点，D 点的对称点为D ′点.若∠FPG ＝90°，△A ′EP 的面积为4，△D ′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 ．{答案}{解析}本题考查了矩形的折叠问题，涉及相似三角形的判定与性质，在矩形ABCD 中，设AB =x ，由折叠知P A ′＝AB ＝x ，PD ′＝CD ＝x ，A ′E =AE ，D ′H =DH ，∠A ′=∠A =90°，∠D ′=∠D =90°，∠A ′PF =∠B =90°，∠D ′PG =∠C =90°，∵∠FPG ＝90°，∴∠FPG+∠D ′PG =180°，∴D ′、P 、F 三点共线.∵△A ′EP 的面积为4，△D ′PH 的面积为1，∴12A ′E ·x =4，12D ′H ·x =1，∴A ′E ＝4D ′H ，设D ′H ＝a ，则A ′E ＝4a .由折叠知A 'E ∥PF ，∴∠A 'EP =∠D 'PH ，又∵∠A '=∠D '=90°，∴△A 'EP ∽△D 'PH ，∴''''A E A P D P D H =,∴4a xx a=，∴x ＝2a ，∴P A ′＝PD ′＝2a ， ∵12•a •2a ＝1，∴a ＝1（负值舍去），∴x ＝2，∴AB ＝CD ＝2，，A ′E =AE =4，D ′H =DH =1，∴=AD ＝＝∴矩形ABCD 的面积＝2×（因此本题答案为：{分值}4{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:矩形的性质} {考点:折叠问题} {类别:发现探究} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题型:4-解答题}三、解答题（本大题有7个小题，共66分） {题目}17.（2019年杭州）（本题满分6分）化简：242142x x x .圆圆的解答如下： 2224214224422x x x x x x x x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.{解析}本题考查了异分母分式的加减运算，异分母分式相加减，先通分，再加减．而圆圆的做法丢失了分母，改变了原来式子的值，所以圆圆的做法是错误的. {答案}解：圆圆的解答不正确.正确解答如下：原式242(2)4(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x +-=--+-+-+-24(24)(4)(2)(2)x x x x x -+--=+-(2)(2)(2)x x x x --=+-2xx =-+. {分值}6{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:2-简单}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义} {考点:两个分式的加减}{题目}18.（2019年杭州）（本题满分8分）称重五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数.甲组为实际称重读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）.（1）补充完整乙组数据的折线统计图；（2）①甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙，写出x 甲与x 乙之间的等量关系；②甲、乙两组数据的平均数分别为2S 甲、2S 乙，比较2S 甲与2S 乙的大小，并说明理由.{解析}本题考查了统计表、折线统计图、平均数和方差，第（1）问先描点再连线即可，画出来的图形应该与前图一致；第（2）问根据平均数的简化计算公式'x x a =+容易得到结果；第（3）问根据方差的公式计算即可. {答案}解：（1）补全折线统计图，如图所示.（2）①50x x =+甲乙. ②22S S =甲乙，理由如下：因为2222221[(2)(2)(3)(1)(4)]5S x x x x x =--+-+--+--+-乙乙乙乙乙乙 实际称重读数和记录数据统计表4-1-32-2544947524854321乙组甲组数据序号222221[(4850)(5250)(4750)(4950)(5450)]5x x x x x =--+--+--+--+--乙乙乙乙乙 222221[(48)(52)(47)(49)(54)]5x x x x x =-+-+-+-+-甲甲甲甲甲 2S =甲，所以22S S =甲乙. {分值}{章节:[1-20-2-1]方差} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:方差的性质}{题目}19.（2019年杭州）（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AC ＜AB ＜BC ．（1）已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连接AP ，求证：∠APC ＝2∠B ．（2）以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连接AQ ．若∠AQC ＝3∠B ，求∠B 的度数．（第19题（1）） （第19题（2））{解析}本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．第（1）问现根据垂直平分线条件证出P A =PB ，在利用等边对等角及三角形外角的性质可证；第（2）问根据作图得出AB =BQ ，从而得到相等的角，列方程即可求解. {答案}解：（1）证明：∵点P 在AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴∠P AB =∠B ，∵∠APC =∠P AB +∠B ，∴∠APC =2∠B ；（2）根据题意，得BQ =BA ，∠BAQ =∠BQA ，设∠B =x ，则∠AQC =∠B +∠BAQ =3x ，∴∠BAQ =∠BQA =2x ，在△ABQ 中，x +2x +2x =180°， 解得x =36°，∴∠B =36°. {分值}8{章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:等边对等角}{题目}20.（2019年杭州）（本题满分10分）方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t （单位：小时），行驶速度为v （单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时. （1）求v 关于t 的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发.①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围；②方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由.{解析}本题考查了反比例函数的实际应用问题．第（1）问根据题意直接列式即可；第（2）问第一小问利用极端值可以确定速度的范围；第二小问可以用两种方法：一是时间相同比速度，二是速度相同比时间.{答案}解： （1）根据题意，得480vt =，所以480v t=，因为4800>，所以当120v ≤时，4t ≥， 综上，v 关于t 的函数表达式为480(4)v t t=≥； （2）①根据题意，得4.86t ≤≤，当t =4.8时，v =10；当t =6时，v =8. ∴小汽车行驶速度v 的范围是80100v ≤≤； ②方方不能在11点30分前到达B 地.理由如下： 法一：若方方要在11点30分前到达B 地，则 3.5t <， 所以4801203.5v >>，所以方方不能在11点30分前到达B 地； 法二：方方按最快的速度行驶，那么v =120，当v =120时，可得t =480120=4,8+4=12,∴方方最早也要12点才能到达，不能在当天11点30分前到达B 地. {分值}10{章节:[1-26-2]实际问题与反比例函数} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}{考点:生活中的反比例函数的应用}{题目}21.（2019年杭州）（本题满分10分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为S 1，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为S 2，且S 1＝S 2．（1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证：HD ＝HG ．{解析}本题考查了在正方形条件下列一元二次方程解决问题．第（1）问设小正方形边长为未知数，根据S 1=S 2即可列方程求解；第（2）问在第一问的基础上利用勾股定理计算即可. {答案}解：（1）在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，AD =BC =CD =1，∠BCD =90°.设CE =x （0<x <1），则DE =1－x ，因为S 1=S 2，所以x 2=1－x ，解得x 1x 2，∴CEGFE H DCBA（2）因为点H 为BC 边的中点，所以CH =12，所以HD ，因为CG =CE H ，C ，G在同一直线上，所以HG =HC +CG =12，所以HD =HG .{分值}10{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}{考点:一元二次方程的应用—面积问题} {考点:正方形的性质}{题目}22.（2019年杭州）（本题满分12分）设二次函数y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x 1，x 2是实数）． （1）甲求得当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0；乙求得当x=12时，y=12-．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x 1，x 2的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n ）两点（m ，n 是实数），当0＜x 1＜x 2＜1时，求证：0＜mn ＜116． {解析}本题考查了二次函数的有关性质，重点考查了二次函数与一元二次方程的关系．第（1）问根据甲的结果求出函数解析式，再通过代入比较判断乙的结果是否正确；第（2）问注意不能再利用（1）的结论，而是要用含x 1，x 2的代数式来进行计算，算的时候抓住抛物线的轴对称性就比较方便了；第（3）问需要先用含x 1，x 2的代数式来表示出m 、n 以及mn ，然后再通过配方法变形来证出结论，难度 较大. {答案}解：（1）乙求得的结果不正确，理由如下：根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0），所以(1)y x x =-，当12x =时，1111(1)2242y =⨯-=-≠-，所以乙求得的结果不正确. （2）函数图象的对称轴为122x x x +=，当122x x x +=时，设函数有最小值M ，则212121212()224x x x x x x M x x ++-⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）因为12()()y x x x x =--， 所以12m x x =，12(1)(1)n x x =--，所以2212121122(1)(1)()()mn x x x x x x x x =--=-- 22121111[()][()]2424x x =--+⋅--+因为1201x x <<<，并结合函数(1)y x x =-的图象，所以211110()244x <--+≤，221110()244x <--+≤所以1016mn <≤，因为12x x ≠，所以1016mn <<.{分值}12{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度:5-高难度} {类别:高度原创}{考点:抛物线与一元二次方程的关系}{题目}23.（2019年杭州）（本题满分12分）如图，已知锐角三角形ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，连接OA ．（1）若∠BAC ＝60°， ①求证：OD =12OA ． ②当OA ＝1时，求△ABC 面积的最大值． （2）点E 在线段OA 上，OE ＝OD .连接DE ，设∠ABC ＝m ∠OED ，∠ACB ＝n ∠OED （m ，n 是正数），若∠ABC ＜∠ACB ，求证：m ﹣n +2＝0．{解析}本题考查了垂径定理，圆周角、圆心角、弧的关系等相关圆的知识．（1）①连接OB 、OC ，将OD 与OA 的关系探究转化为OD 与OB （或OC ）的关系来进行探究即可；②BC 长度为定值，要使△ABC 面积取得最大值，就要要求BC 边上的高最大，即可求解；（2）设∠OED ＝x ，则∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣mx ﹣nx=12∠BOC ＝∠DOC ，而∠AOD ＝∠COD +∠AOC ＝180°﹣mx ﹣nx +2mx ＝180°+mx ﹣nx ，即可求解． {答案}解：（1）①证明：如图1，连接OB ，OC ，因为OB =OC ，OD ⊥BC ， 所以∠BOD =12∠BOC =12×2∠BAC =60°，∵cos ∠BOD =OD OB =12,所以OD =12OB =12OA ；②作AF ⊥BC ，垂足为点F ，所以AF ≤AD ≤AO +OD =32，等号当点A ，O ，D 在同一直线上时取到由①知，BC =2BD ，所以△ABC 的面积113222BC AF =⋅≤=，即△ABC（2）如图2，连接OC ，设∠OED ＝x ，则∠ABC ＝mx ，∠ACB ＝nx ， 则∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣mx ﹣nx=12∠BOC ＝∠DOC ， ∵∠AOC ＝2∠ABC ＝2mx ，∴∠AOD ＝∠COD +∠AOC ＝180°﹣mx ﹣nx +2mx ＝180°+mx ﹣nx ， ∵OE ＝OD ，∴∠AOD ＝180°﹣2x ，即：180°+mx ﹣nx ＝180°﹣2x ， 化简即可得：m ﹣n +2＝0． {分值}12{章节:[1-24-1-4]圆周角} {难度:5-高难度} {类别:高度原创} {考点:垂径定理}{考点:圆心角、弧、弦的关系} {考点:圆周角定理}。
2019年浙江温州中考数学试题(附详细解题分析)
2019年浙江省温州市中考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分卷 Ⅰ{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，合计40分．{题目}1．（2019年温州）计算：（－3）×5的结果是 A ．－15 B ．15 C ．－2 D ．2 {答案}A{解析}本题考查了根据有理数乘法法则，∵（－3）×5＝－15，因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-1-4-1]有理数的乘法} {考点:有理数的乘法法则} {考点:两个有理数相乘} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}2．（2019年温州）太阳距离银河系中心约为250 000 000 000 000 000公里，其中数据250 000 000 000 000 000用科学记数法表示为 A ．0.25×1018 B ．2.5×1017 C ．25×1016 D ．2.5×1016 {答案}B{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，：250 000 000 000 000 000＝2.5×1017，因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-1-5－2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3．（2019年温州）某露天舞台如图所示，它的俯视图．．．是C ．{答案}B{解析}的俯视图是因此本题选B ．{分值}4{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}4．（2019年温州）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为A ．16B ．13C ．12D ．23{答案}A{解析}本题考查了概率公式，由2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”中任意抽取1张，是主视方向 （第3题）“红桃”的概率为16，因此本题选A．{分值}4{章节:[1-25-2]用列举法求概率}{考点:一步事件的概率}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5．（2019年温州）对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（没任选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有A．20人B．40人C．60人D．80人{答案}D{解析}本题考查了扇形统计图，根据喜欢吃鲳鱼的人数及其百分比求得总人数，再乘以喜欢吃黄鱼的人数所占百分比即可．（40÷20％）×40％＝80，因此本题选D．{分值}4{章节:[1-10-1]统计调查}{考点:扇形统计图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}6．（2019年温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应近视眼镜的度数y（度）200300400500600镜片焦距x（米）0.50.40.250.20.1A．y＝x B．y＝100C．y＝xD．y＝400{答案}A{解析}本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，设y关于x的函数关系式是y＝kx，∵y＝400，x＝0.25，∴400＝0.25k，解得：k＝100，∴y关于x的函数关系式是y＝100x．因此本题选A．{分值}4{章节:[1-26-2]实际问题与反比例函数}{考点:生活中的反比例函数的应用}{考点:反比例函数的解析式}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}7．（2019年温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为A．32πB．2πC．3πD．6π{答案}C{解析}本题考查了弧长计算，直接利用弧长公式计算即可，该扇形的弧长＝906180π⋅⋅＝3π．因此鲳鱼20％带鱼30％黄鱼40％其它10％温州某社区居民最爱吃的 鱼类情况统计图（第5题）本题选C ． {分值}4{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:弧长的计算} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8．（2019年温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为A ．95sin αB ．95cos αC ．59sin αD ．59cos α{答案}B{解析}本题考查了轴对称图形和解直角三角形的应用，依题意BC ＝3＋0.3×2＝3.6m ，因此cos α＝12BC AB ，所以AB ＝13.62cos α⨯＝95cos α，因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形} {考点:轴对称的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}9．（2019年温州）已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是 A ．有最大值－1，有最小值－2 B ．有最大值0，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值7，有最小值－2 {答案}D{解析}本题考查了二次函数的最值，由于二次函数的解析式可化为y ＝（x －2）2-2，因此抛物线的对称轴为x ＝2，a ＝1＞0，所以x ＝2是y min ＝－2，当x ＝－1时，y max ＝1＋4＋2＝7，因此本题选D ． {分值}4{章节:[1-22-1-4]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质} {考点:二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质} {考点:二次函数的三种形式}{考点:二次函数的系数与图象的关系} {类别:易错题} {难度:2-简单}{题目}10．（2019年温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ．在边BE 上取点M 使BM ＝BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2．现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连接EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为 αBC0.3m3m （第8题）A ．22B ．23C ．24D ．26{答案}C{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形面积、三角形面积的计算等内容，依题意PH 22a b -所以S 1＝12PH HE ⋅⋅＝221()2a b a b --又S 2＝a 2-b 2，所以12S S 22a b -，当A ，L ，G 三点在一条直线上时，我们有a b b a b a b -=+-，即a ＝3b ，所以12S S ＝22(3)b b -2C ．{分值}4{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例} {考点:由平行判定相似} {考点:垂径定理} {考点:勾股定理} {考点:三角形的面积} {考点:平方差公式} {类别:数学文化} {难度:3－中等难度}卷 Ⅱ{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，合计30分．{题目}11．（2019年温州）分解因式：m 2＋4m ＋4＝ ．{答案}（m ＋2）2{解析}本题考查了用公式法分解因式，m 2＋4m ＋4＝m 2＋2×2m ＋22＝（2m ＋2）2，因此本题应填（m ＋2）2． {分值}5{章节:[1-14-3]因式分解}{考点:因式分解－完全平方式} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}12．（2019年温州）不等式组23142x x +>⎧⎪⎨-≤⎪⎩的解为 ．{答案}1＜x ≤9{解析}本题考查了一元一次不等式的解法，由x ＋2＞3得：x ＞1，由142x -≤得：x ≤9，所以不等式组23142x x +>⎧⎪⎨-≤⎪⎩的解集为：1＜x ≤9，因此本题应填1＜x ≤9．ba a aPL H DAEFBCM（第10题）{分值}5{章节:[1-9－3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}13．（2019年温州）某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示．其中成绩为“优良”（80分以上）的学生有 人．{答案}90{解析}本题考查了频数分布直方图，利用频数分布直方图可得各分数段的人数，然后把后两组的人数相加即可．因为60＋30＝90，因此本题应填90． {分值}5{章节:[1-10-2]直方图}{考点:频数（率）分布直方图} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}14．（2019年温州）如图，⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧（¼EDF）上，若∠BAC ＝66°，则∠EPF 等于 度．{答案}57{解析}本题考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆心角和圆周角的关系，连接OF ，OE （如答图），则OF ⊥AC ，OE ⊥AB ，所以∠AFO ＝∠AEO ＝90°，又∠BAC ＝66°，在四边形AFOE中，∠EOF ＝360°－90°－90°－66°＝114°，所以∠EPF ＝12∠EOF ＝57°，因此本题应填57．{分值}5{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线的性质} {考点:圆周角定理} {考点:多边形的内角和} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}15．（2019年温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长2cm ，若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为 cm ．（第13题）15103560 30OAFPED（第14题）BCOAFPED14题答图C{答案}12＋82{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以技术进行周长的计算，依题意AH 的延长线过点C ，交BO 于点M ，连接IC 交BO 于点N （如答图），则△INO ∽△MOA ，△CNM ∽△AOM ，所以ON IN AO MO =，MN CN MO AO =，即12ON ON MO =，1MN MO AO =，所以MO ＝2，MN ＝2AO，所以ON ＝（2＋2AO ），又AO ＝2ON ，所以AO ＝2（2＋2AO），解得AO ＝2＋22，所以AB ＝AE ＝22AO BO +＝2AO ＝4＋22，BE ＝2AO ＝4＋42，所以△ABE 的周长＝（4＋22）＋（4＋22）＋（4＋42）＝12＋82，因此本题应填12＋82．{分值}5{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质} {考点:分式方程的解} {类别:高度原创} {难度:3－中等难度}{题目}16．（2019年温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后的示意图如图2所示，两支脚OC ＝OD ＝10分米，展开角∠COD ＝60°，晾衣臂OA ＝OB ＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE ＝6分米，且HO ＝FO ＝4分米．当∠AOC ＝90°时，点A 离地面的距离AM 为 分米，当OB 从水平状态旋转到OB ′（在OC 的延长线上）时，点E 绕点F 随之旋转至OB ′上的点E ′处，则B ′E ′－BE 为 分米．{答案}5＋53；4{解析}本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，过O 点分别做OK ⊥AM ，ON ⊥CD （如答图），则ON ＝MKAM ＝AK ＋KM ，因为OC ＝OD ＝10分米，∠COD ＝60°，ON ⊥CD ，所以ON ＝OC ·cos30°＝53，又∠AOK ＋∠KOC ＝∠KOC ＋∠CON ＝90°。
2019年浙江省温州市中考数学试卷(后附答案)
2019年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.计算：（-3）×5的结果是（）A. B. 15 C. D. 22.太阳距离银河系中心约为250 000 000 000 000 000公里，其中数据250 000 000 000000 000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.某露天舞台如图所示，它的俯视图是（）A. B.C. D.4.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A. B. C. D.5.对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（）A. 20人B. 40人C. 60人D. 80人6.验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下y xA. B. C. D.7.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.8.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米9.已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值，有最小值B. 有最大值0，有最小值C. 有最大值7，有最小值D. 有最大值7，有最小值10.如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a-b）=a2-b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.分解因式：m2+4m+4=______．12.不等式组＞的解为______．13.某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为“优良”（80分及以上）的学生有______人．14.如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC=66°，则∠EPF等于______度．15.三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB=∠AOE=90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为______cm．16.图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时，点A离地面的距离AM为______分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'-BE为______分米．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）17.计算：（1）|-6|-+（1-）0-（-3）．（2）-．18.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．19.车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．20（）求这一天名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？20.如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG=90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP=NQ．21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．22.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE=4，CD=AB时，求⊙O的直径长．23.某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO 上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当=tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q=s，AP=t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：（-3）×5=-15；故选：A．根据正数与负数相乘的法则得（-3）×5=-15；本题考查有理数的乘法；熟练掌握正数与负数的乘法法则是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：科学记数法表示：250 000 000 000 000000=2.5×1017故选：B．利用科学记数法的表示形式进行解答即可本题主要考查科学记数法，科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式（1≤a＜10，n 为正整数．）3.【答案】B【解析】解：它的俯视图是：故选：B．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4.【答案】A【解析】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，故选：A．直接利用概率公式计算可得．本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．5.【答案】D【解析】解：鱼类总数：40÷20%=200（人），选择黄鱼的：200×40%=80（人），故选：D．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．本题考查的是扇形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．6.【答案】A【解析】解：由表格中数据可得：xy=100，故y关于x的函数表达式为：y=．故选：A．直接利用已知数据可得xy=100，进而得出答案．此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．7.【答案】C【解析】解：该扇形的弧长==3π．故选：C．根据弧长公式计算．本题考查了弧长的计算：弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．8.【答案】B【解析】解：作AD⊥BC于点D，则BD=0.3=，∵cosα=，∴sinα=，解得，AB=米，故选：B．根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】D【解析】解：∵y=x2-4x+2=（x-2）2-2，∴在-1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，有最小值-2，当x=-1时，有最大值为y=9-2=7．故选：D．把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：如图，连接ALGL，PF．由题意：S矩形AMLD =S阴=a2-b2，PH=，∵点A，L，G在同一直线上，AM∥GN，∴△AML∽△GNL，∴=，∴=，整理得a=3b，∴===，故选：C．如图，连接ALGL，PF．利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可．本题源于欧几里得《几何原本》中对（a+b）（a-b）=a2-b2的探究记载．图形简单，结合了教材中平方差证明的图形进行编制．巧妙之处在于构造的三角形一边与矩形的一边等长，解题的关键是利用相似三角形的性质求出a与b的关系，进而解决问题．11.【答案】（m+2）2【解析】解：原式=（m+2）2．故答案为：（m+2）2．直接利用完全平方公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．12.【答案】1＜x≤9【解析】解：，由①得，x＞1，由②得，x≤9，故此不等式组的解集为：1＜x≤9．故答案为：1＜x≤9．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13.【答案】90【解析】解：由直方图可得，成绩为“优良”（80分及以上）的学生有：60+30=90（人），故答案为：90．根据题意和直方图中的数据可以求得成绩为“优良”（80分及以上）的学生人数，本题得以解决．本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14.【答案】57【解析】解：连接OE，OF∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F∴OE⊥AB，OF⊥AC又∵∠BAC=66°∴∠EOF=114°∵∠EOF=2∠EPF∴∠EPF=57°故答案为：57°连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF=114°，即可求∠EPF的度数．本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．15.【答案】12+8【解析】解：如图所示，连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI=2，∵三个菱形全等，∴CO=HO，∠AOH=∠BOC，又∵∠AOB=∠AOH+∠BOH=90°，∴∠COH=∠BOC+∠BOH=90°，即△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO=∠CHO=45°=∠HOG=∠COK，∴∠CKO=90°，即CK⊥IO，设CK=OK=x，则CO=IO=x，IK=x-x，∵Rt△CIK中，（x-x）2+x2=22，解得x2=2+，=IO×CK=IC×BO，又∵S菱形BCOI∴x2=×2×BO，∴BO=2+2，∴BE=2BO=4+4，AB=AE=BO=4+2，∴△ABE的周长=4+4+2（4+2）=12+8，故答案为：12+8．连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI=2，根据△COH是等腰直角三角形，即可得到∠CKO=90°，即CK⊥IO，设CK=OK=x，则CO=IO=x，IK=x-x，根据勾股定理即可得出x2=2+，再根据S菱形=IO×CK=IC×BO，即可得出BO=2+2，进而得到△ABE的周长．BCOI本题主要考查了菱形的性质，解题时注意：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半．16.【答案】（5+5） 4【解析】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM=OP，∵OC=OD=10，∠COD=60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP=∠COD=30°，∴QM=OP=OC•cos30°=5（分米），∵∠AOC=∠QOP=90°，∴∠AOQ=∠COP=30°，∴AQ=OA=5（分米），∴AM=AQ+MQ=5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD=∠ODC=60°在Rt△OFK中，KO=OF•cos60°=2（分米），FK=OF•sin60°=2（分米），在Rt△PKE中，EK==2（分米）∴BE=10-2-2=（8-2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ=OF•cos60°=2（分米），FJ=2（分米），在Rt△FJE′中，E′J==2，∴B′E′=10-（2-2）=12-2，∴B′E′-BE=4．故答案为5+5，4．如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：（1）原式=6-3+1+3=7；（2）原式===．【解析】（1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.【答案】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3，∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3．【解析】（1）根据平行线的性质得到∠B=∠FCD，∠BED=∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD=CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE=CF=2，求得AB=AE+BE=1+2=3，于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．19.【答案】解：（1）=×（9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1）=13（个）；答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；（2）中位数为=12（个），众数为11个，当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性；当定额为12个时，有12人达标，6人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性；∴定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性．【解析】（1）根据加权平均数的定义求解可得；（2）根据众数和中位数的定义求解，再分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．此题考查了平均数、众数、中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．20.【答案】解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．【解析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP=NQ=5即可．本题考查作图-应用与设计，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）令y=0，则-，解得，x1=-2，x2=6，∴A（-2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，-2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6-n，m），B2（-n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B1，B2在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n=1，∴，∴m，n的值分别为，1．【解析】（1）把y=0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得y≥0时x的取值范围；（2）根据题意写出B1，B2的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n，进而求得m的值．本题主要考查了二次函数的图象与性质，求函数与坐标轴的交点坐标，由函数图象求出不等式的解集，平移的性质，难度不大，关键是正确运用函数的性质解题．22.【答案】（1）证明：连接AE，∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直径，∵AC=EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG是平行四边形；（2）解：由CD=AB，设CD=3x，AB=8x，∴CD=FG=3x，∵∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x，∵GE∥CF，∴，∵BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1，在Rt△ACF中，AF=10，AC=6，∴CF==3，即⊙O的直径长为3．【解析】（1）连接AE，由∠BAC=90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED=90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论；（2）设CD=3x，AB=8x，得到CD=FG=3x，于是得到AF=CD=3x，求得BG=8x-3x-3x=2x，求得BC=6+4=10，根据勾股定理得到AB==8=8x，求得x=1，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．23.【答案】解：（1）设成人有x人，少年y人，，解得，，答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；（2）①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100×8+5×100×0.8+（10-8）×100×0.6=1320（元），答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；②设可以安排成人a人，少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5，当10≤a≤17时，若a=10，则费用为100×10+100×b×0.8≤1200，得b≤2.5，∴b的最大值是2，此时a+b=12，费用为1160元；若a=11，则费用为100×11+100×b×0.8≤1200，得b≤，∴b的最大值是1，此时a+b=12，费用为1180元；若a≥12，100a≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；当1≤a＜10时，若a=9，则费用为100×9+100b×0.8+100×1×0.6≤1200，得b≤3，∴b的最大值是3，a+b=12，费用为1200元；若a=8，则费用为100×8+100b×0.8+100×2×0.6≤1200，得b≤3.5，∴b的最大值是3，a+b=11＜12，不合题意，舍去；同理，当a＜8时，a+b＜12，不合题意，舍去；综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．【解析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；（2）①根据题意可以求得由成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用；②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．24.【答案】解：（1）令y=0，则-x+4=0，∴x=8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC=4，OB=8，在Rt△BOC中，BC==4，又∵E为BC中点，∴OE=BC=2；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E是BC的中点∴M是OC的中点∴EM=OB=4，OE=BC=2∵∠CDN=∠NEM，∠CND=∠MNE∴△CDN∽△MEN，∴=1，∴CN=MN=1，∴EN==，∵S△ONE=EN•OF=ON•EM，∴OF==，由勾股定理得：EF===，∴tan∠EOF===，∴==，∵n=-m+4，∴m=6，n=1，∴Q2（6，1）；（3）①∵动点P、Q同时作匀速直线运动，∴s关于t成一次函数关系，设s=kt+b，∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，∴t=2时，CD=4，DQ3=2，∴s=Q3C==2，∵Q3（-4，6），Q2（6，1），∴t=4时，s==5，将或代入得，解得：，∴s=-，②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB=∠EOB=∠OBE，作QH⊥x轴于点H，则PH=BH=PB，Rt△ABQ3中，AQ3=6，AB=4+8=12，∴BQ3==6，∵BQ=6-s=6-t+=7-t，∵cos∠QBH====，∴BH=14-3t，∴PB=28-6t，∴t+28-6t=12，t=；（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ3于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，由△Q3QG∽△CBO得：Q3G：QG：Q3Q=1：2：，∵Q3Q=s=t-，∴Q3G=t-1，GQ=3t-2，∴PH=AG=AQ3-Q3G=6-（t-1）=7-t，∴QH=QG-AP=3t-2-t=2t-2，∵∠HPQ=∠CDN，∴tan∠HPQ=tan∠CDN=，∴2t-2=，t=，（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为或．【解析】（1）令y=0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，进而求出OE的长；（2）如图1，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN=MN=1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由=tan∠EOF和n=-m+4，可得结论；（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s=kt+b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t=2时，CD=4，DQ3=2，s=2，根据Q3（-4，6），Q2（6，1），可得t=4时，s=5，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式；②分三种情况：（i）当PQ∥OE时，如图2，根据cos∠QBH====，表示BH的长，根据AB=12，列方程可得t的值；（ii）当PQ∥OF时，如图3，根据tan∠HPQ=tan∠CDN=，列方程为2t-2=，可得t的值．（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．第21页，共21页。
2019浙江省温州市中考数学试题(解析版)
2019年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）计算：（﹣3）×5的结果是（）A．﹣15B．15C．﹣2D．22．（4分）太阳距离银河系中心约为250 000 000 000 000 000公里，其中数据250 000 000 000 000 000用科学记数法表示为（）A．0.25×1018B．2.5×1017C．25×1016D．2.5×10163．（4分）某露天舞台如图所示，它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．4．（4分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．（4分）对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（）A．20人B．40人C．60人D．80人6．（4分）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）近视眼镜的度数y（度）2002504005001000镜片焦距x（米）0.500.400.250.200.10A．y ＝B．y ＝C．y ＝D．y ＝7．（4分）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A ．πB．2πC．3πD．6π8．（4分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A ．米B ．米C ．米D ．米9．（4分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣210．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G 在同一直线上，则的值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：m2+4m+4＝．12．（5分）不等式组的解为．13．（5分）某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为“优良”（80分及以上）的学生有人．14．（5分）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于度．15．（5分）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为cm．16．（5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为分米．三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）计算：（1）|﹣6|﹣+（1﹣）0﹣（﹣3）．（2）﹣．18．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．19．（8分）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件的个数（个）91011121315161920工人人数（人）116422211（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？20．（8分）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD ＝AB时，求⊙O的直径长．23．（12分）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．2019年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）计算：（﹣3）×5的结果是（）A．﹣15B．15C．﹣2D．2【分析】根据正数与负数相乘的法则得（﹣3）×5＝﹣15；【解答】解：（﹣3）×5＝﹣15；故选：A．【点评】本题考查有理数的乘法；熟练掌握正数与负数的乘法法则是解题的关键．2．（4分）太阳距离银河系中心约为250 000 000 000 000 000公里，其中数据250 000 000 000 000 000用科学记数法表示为（）A．0.25×1018B．2.5×1017C．25×1016D．2.5×1016【分析】利用科学记数法的表示形式进行解答即可【解答】解：科学记数法表示：250 000 000 000 000 000＝2.5×1017故选：B．【点评】本题主要考查科学记数法，科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式（1≤a＜10，n为正整数．）3．（4分）某露天舞台如图所示，它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：它的俯视图是：故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（4分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用概率公式计算可得．【解答】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．5．（4分）对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（）A．20人B．40人C．60人D．80人【分析】扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．【解答】解：鱼类总数：40÷20%＝200（人），选择黄鱼的：200×40%＝80（人），故选：D．【点评】本题考查的是扇形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．6．（4分）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）近视眼镜的度数y（度）2002504005001000镜片焦距x（米）0.500.400.250.200.10A．y ＝B．y ＝C．y ＝D．y ＝【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，故y关于x的函数表达式为：y ＝．故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．7．（4分）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A ．πB．2πC．3πD．6π【分析】根据弧长公式计算．【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算：弧长公式：l ＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．8．（4分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A ．米B ．米C ．米D ．米【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．【解答】解：作AD⊥BC于点D，则BD ＝0.3＝，∵cosα＝，∴sinα＝，解得，AB ＝米，故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（4分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣2【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．10．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G 在同一直线上，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】如图，连接ALGL，PF．利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可．【解答】解：如图，连接ALGL，PF．由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PH ＝，∵点A，L，G在同一直线上，AM∥GN，∴△AML∽△GNL，∴＝，∴＝，整理得a＝3b，∴＝＝＝，故选：C．【点评】本题源于欧几里得《几何原本》中对（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的探究记载．图形简单，结合了教材中平方差证明的图形进行编制．巧妙之处在于构造的三角形一边与矩形的一边等长，解题的关键是利用相似三角形的性质求出a与b的关系，进而解决问题．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：m2+4m+4＝（m+2）2．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（m+2）2．故答案为：（m+2）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．12．（5分）不等式组的解为1＜x≤9．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x≤9，故此不等式组的解集为：1＜x≤9．故答案为：1＜x≤9．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．（5分）某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为“优良”（80分及以上）的学生有90人．【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得成绩为“优良”（80分及以上）的学生人数，本题得以解决．【解答】解：由直方图可得，成绩为“优良”（80分及以上）的学生有：60+30＝90（人），故答案为：90．【点评】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（5分）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于57度．【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度数．【解答】解：连接OE，OF∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F∴OE⊥AB，OF⊥AC又∵∠BAC＝66°∴∠EOF＝114°∵∠EOF＝2∠EPF∴∠EPF＝57°故答案为：57°【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．15．（5分）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE 的周长为12+8cm．【分析】连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI＝2，根据△COH是等腰直角三角形，即可得到∠CKO＝90°，即CK⊥IO ，设CK＝OK＝x，则CO＝IO＝x，IK＝x﹣x，根据勾股定理即可得出x2＝2+，再根据S菱形BCOI＝IO×CK＝IC×BO，即可得出BO＝2+2，进而得到△ABE的周长．【解答】解：如图所示，连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI＝2，∵三个菱形全等，∴CO＝HO，∠AOH＝∠BOC，又∵∠AOB＝∠AOH+∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOC+∠BOH＝90°，即△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝∠CHO＝45°＝∠HOG＝∠COK，∴∠CKO＝90°，即CK⊥IO，设CK＝OK ＝x，则CO＝IO＝x，IK ＝x﹣x，∵Rt△CIK中，（x﹣x）2+x2＝22，解得x2＝2+，又∵S菱形BCOI＝IO×CK ＝IC×BO，∴x2＝×2×BO，∴BO＝2+2，∴BE＝2BO＝4+4，AB＝AE ＝BO＝4+2，∴△ABE的周长＝4+4+2（4+2）＝12+8，故答案为：12+8．【点评】本题主要考查了菱形的性质，解题时注意：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半．16．（5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE 为4分米．【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【解答】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K ，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM ＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt △PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE ′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E ′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）计算：（1）|﹣6|﹣+（1﹣）0﹣（﹣3）．（2）﹣．【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝6﹣3+1+3＝7；（2）原式＝＝＝．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．19．（8分）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件的个数（个）91011121315161920工人人数（人）116422211（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？【分析】（1）根据加权平均数的定义求解可得；（2）根据众数和中位数的定义求解，再分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．【解答】解：（1）＝×（9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1）＝13（个）；答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；（2）中位数为＝12（个），众数为11个，当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性；当定额为12个时，有12人达标，6人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性；∴定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性．【点评】此题考查了平均数、众数、中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．20．（8分）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP＝NQ＝5即可．【解答】解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．【分析】（1）把y＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得y≥0时x的取值范围；（2）根据题意写出B1，B2的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n，进而求得m的值．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6﹣n，m），B2（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B1，B2在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n 的值分别为，1．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求函数与坐标轴的交点坐标，由函数图象求出不等式的解集，平移的性质，难度不大，关键是正确运用函数的性质解题．22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD ＝AB时，求⊙O的直径长．【分析】（1）连接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论；（2）设CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，于是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，求得BC＝6+4＝10，根据勾股定理得到AB ＝＝8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG是平行四边形；（2）解：由CD ＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，∵GE∥CF，∴，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6+4＝10，∴AB ＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF中，AF＝10，AC＝6，∴CF ＝＝3，即⊙O的直径长为3．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．23．（12分）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；（2）①根据题意可以求得由成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用；②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题．【解答】解：（1）设成人有x人，少年y人，，解得，，答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；（2）①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100×8+5×100×0.8+（10﹣8）×100×0.6＝1320（元），答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；②设可以安排成人a人，少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5，当10≤a≤17时，若a＝10，则费用为100×10+100×b×0.8≤1200，得b≤2.5，∴b的最大值是2，此时a+b＝12，费用为1160元；若a＝11，则费用为100×11+100×b×0.8≤1200，得b ≤，∴b的最大值是1，此时a+b＝12，费用为1180元；若a≥12，100a≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；当1≤a＜10时，若a＝9，则费用为100×9+100b×0.8+100×1×0.6≤1200，得b≤3，∴b的最大值是3，a+b＝12，费用为1200元；若a＝8，则费用为100×8+100b×0.8+100×2×0.6≤1200，得b≤3.5，∴b的最大值是3，a+b＝11＜12，不合题意，舍去；同理，当a＜8时，a+b＜12，不合题意，舍去；综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长；（2）如图1，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF 的长，由＝tan∠EOF和n ＝﹣m+4，可得结论；（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t ＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝2，根据Q3（﹣4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝5，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式；②分三种情况：（i）当PQ∥OE时，如图2，根据cos∠QBH ＝＝＝＝，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；（ii）当PQ∥OF时，如图3，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN ＝，列方程为2t﹣2＝，可得t的值．（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x+4＝0，∴x＝8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△BOC中，BC ＝＝4；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E是BC的中点∴M是OC的中点∴EM ＝OB＝4，OE ＝BC＝2∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE∴△CDN∽△MEN，∴＝1，∴CN＝MN＝1，∴EN ＝＝，∵S△ONE ＝EN•OF ＝ON•EM，∴OF ＝＝，由勾股定理得：EF ＝＝＝，∴tan∠EOF ＝＝＝，∴＝＝，∵n ＝﹣m+4，∴m＝6，n＝1，∴Q2（6，1）；（3）①∵动点P、Q同时作匀速直线运动，∴s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，∴t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，∴s＝Q3C ＝＝2，∵Q3（﹣4，6），Q2（6，1），∴t＝4时，s ＝＝5，将或代入得，解得：，∴s ＝﹣，②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB＝∠EOB＝∠OBE，作QH⊥x轴于点H，则PH＝BH ＝PB，Rt△ABQ3中，AQ3＝6，AB＝4+8＝12，∴BQ3＝＝6，∵BQ＝6﹣s＝6﹣t +＝7﹣t，∵cos∠QBH ＝＝＝＝，∴BH＝14﹣3t，∴PB＝28﹣6t，∴t+28﹣6t＝12，t ＝；（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ3于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，由△Q3QG∽△CBO得：Q3G：QG：Q3Q＝1：2：，∵Q3Q＝s ＝t ﹣，∴Q3G ＝t﹣1，GQ＝3t﹣2，∴PH＝AG＝AQ3﹣Q3G＝6﹣（t﹣1）＝7﹣t，∴QH＝QG﹣AP＝3t﹣2﹣t＝2t﹣2，∵∠HPQ＝∠CDN，∴tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，∴2t﹣2＝，t＝，（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为或．【点评】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．。
2019年浙江温州中考数学试题(解析版)
{来源}2019年浙江温州中考数学试卷{适用范围:3．九年级}{标题}2019年浙江省温州市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分卷Ⅰ{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，合计40分．{题目}1．（2019年温州）计算：（－3）×5的结果是A．－15 B．15 C．－2 D．2{答案}A{解析}本题考查了根据有理数乘法法则，∵（－3）×5＝－15，因此本题选A．{分值}4{章节:[1-1-4-1]有理数的乘法}{考点:有理数的乘法法则}{考点:两个有理数相乘}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年温州）太阳距离银河系中心约为250 000 000 000 000 000公里，其中数据250 000 000 000 000 000用科学记数法表示为A．0.25×1018B．2.5×1017C．25×1016D．2.5×1016{答案}B{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，：250 000 000 000 000 000＝2.5×1017，因此本题选B．{分值}4{章节:[1-1-5－2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年温州）某露天舞台如图所示，它的俯视图．．．是C．{答案}B{解析}因此本题选B．{分值}4{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单组合体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年温州）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（第3题）A ．16B ．13C ．12D ．23{答案}A{解析}本题考查了概率公式，由2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16，因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:一步事件的概率} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}5．（2019年温州）对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（没任选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有 A ．20人 B ．40人 C ．60人 D ．80人{答案}D{解析}本题考查了扇形统计图，根据喜欢吃鲳鱼的人数及其百分比求得总人数，再乘以喜欢吃黄鱼的人数所占百分比即可．（40÷20％）×40％＝80，因此本题选D ． {分值}4{章节:[1-10-1]统计调查} {考点:扇形统计图} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}6．（2019年温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应A ．y ＝xB ．y ＝100C ．y ＝xD ．y ＝400{答案}A{解析}本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据表格数据可得近视眼镜的度数y 与镜片的焦距x 成反比例，设y 关于x 的函数关系式是y ＝k x ，∵y ＝400，x ＝0.25，∴400＝0.25k ，解得：k ＝100，∴y 关于x 的函数关系式是y ＝100x．因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-26-2]实际问题与反比例函数} {考点:生活中的反比例函数的应用} {考点:反比例函数的解析式} {类别:易错题}温州某社区居民最爱吃的 鱼类情况统计图（第5题）{难度:2-简单}{题目}7．（2019年温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为A ．32πB ．2πC ．3πD ．6π{答案}C{解析}本题考查了弧长计算，直接利用弧长公式计算即可，该扇形的弧长＝906180π⋅⋅＝3π．因此本题选C ． {分值}4{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:弧长的计算} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8．（2019年温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为A ．95sin αB ．95cos αC ．59sin αD ．59cos α{答案}B{解析}本题考查了轴对称图形和解直角三角形的应用，依题意BC ＝3＋0.3×2＝3.6m ，因此cos α＝12BC AB ，所以AB ＝13.62cos α⨯＝95cos α，因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形} {考点:轴对称的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}9．（2019年温州）已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是 A ．有最大值－1，有最小值－2 B ．有最大值0，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值7，有最小值－2 {答案}D{解析}本题考查了二次函数的最值，由于二次函数的解析式可化为y ＝（x －2）2-2，因此抛物线的对称轴为x ＝2，a ＝1＞0，所以x ＝2是y min ＝－2，当x ＝－1时，y max ＝1＋4＋2＝7，因此本题选D ． {分值}4{章节:[1-22-1-4]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质} {考点:二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质} {考点:二次函数的三种形式}{考点:二次函数的系数与图象的关系}（第8题）{类别:易错题} {难度:2-简单}{题目}10．（2019年温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ．在边BE 上取点M 使BM ＝BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2．现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连接EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为A．2B．3C．4D．6{答案}C{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形面积、三角形面积的计算等内容，依题意PH所以S 1＝12PH HE ⋅⋅＝1(2a b -又S 2＝a 2-b 2，所以12S S，当A ，L ，G 三点在一条直线上时，我们有a b b a b a b -=+-，即a ＝3b ，所以12S SC ． {分值}4{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例} {考点:由平行判定相似} {考点:垂径定理} {考点:勾股定理} {考点:三角形的面积} {考点:平方差公式} {类别:数学文化} {难度:3－中等难度}卷 Ⅱ{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，合计30分．{题目}11．（2019年温州）分解因式：m 2＋4m ＋4＝ ．{答案}（m ＋2）2{解析}本题考查了用公式法分解因式，m 2＋4m ＋4＝m 2＋2×2m ＋22＝（2m ＋2）2，因此本题应填（m ＋2）2． {分值}5{章节:[1-14-3]因式分解}{考点:因式分解－完全平方式} {类别:常考题}DAGN（第10题）{难度:1-最简单}{题目}12．（2019年温州）不等式组23142x x +>⎧⎪⎨-≤⎪⎩的解为 ．{答案}1＜x ≤9{解析}本题考查了一元一次不等式的解法，由x ＋2＞3得：x ＞1，由142x -≤得：x ≤9，所以不等式组23142x x +>⎧⎪⎨-≤⎪⎩的解集为：1＜x ≤9，因此本题应填1＜x ≤9．{分值}5{章节:[1-9－3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}13．（2019年温州）某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示．其中成绩为“优良”（80分以上）的学生有 人．{答案}90{解析}本题考查了频数分布直方图，利用频数分布直方图可得各分数段的人数，然后把后两组的人数相加即可．因为60＋30＝90，因此本题应填90． {分值}5{章节:[1-10-2]直方图}{考点:频数（率）分布直方图} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}14．（2019年温州）如图，⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧（EDF ）上，若∠BAC ＝66°，则∠EPF 等于 度．{答案}57{解析}本题考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆心角和圆周角的关系，连接OF ，OE （如（第13题）15103560 30A（第14题）BA14题答图答图），则OF ⊥AC ，OE ⊥AB ，所以∠AFO ＝∠AEO ＝90°，又∠BAC ＝66°，在四边形AFOE 中，∠EOF ＝360°－90°－90°－66°＝114°，所以∠EPF ＝12∠EOF ＝57°，因此本题应填57． {分值}5{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线的性质} {考点:圆周角定理} {考点:多边形的内角和} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}15．（2019年温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长2cm ，若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为 cm ．{答案}12＋{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以技术进行周长的计算，依题意AH 的延长线过点C ，交BO 于点M ，连接IC 交BO 于点N （如答图），则△INO ∽△MOA ，△CNM ∽△AOM ，所以ON IN AO MO =，MN CN MO AO =，即12ON ON MO =，1MN MO AO =，所以MO ＝2，MN ＝2AO ，所以ON ＝（2＋2AO ），又AO ＝2ON ，所以AO ＝2（2＋2AO），解得AO ＝2＋，所以AB ＝AE＝4＋BE ＝2AO ＝4＋ABE 的周长＝（4＋4＋）＋（4＋12＋12＋． {分值}5{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质} {考点:分式方程的解} {类别:高度原创} {难度:3－中等难度}{题目}16．（2019年温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后的示意图如图2所示，两支脚OC ＝OD ＝10分米，展开角∠COD ＝60°，晾衣臂OA ＝OB ＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE ＝6分米，且HO ＝FO ＝4分米．当∠AOC ＝90°时，点A 离地面的距离AM 为 分米，当OB 从水平状态旋转到OB ′（在OC 的延长线上）时，点E 绕点F 随之旋转至OB ′上的点E ′处，则B ′E ′－BE 为 分米．B（第15题）B15题答图{答案}5＋；4{解析}本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，过O 点分别做OK ⊥AM ，ON ⊥CD （如答图），则ON ＝MKAM ＝AK ＋KM ，因为OC ＝OD ＝10分米，∠COD ＝60°，ON ⊥CD ，所以ON ＝OC ·cos30°＝AOK ＋∠KOC ＝∠KOC ＋∠CON ＝90°。
2019年浙江省高考数学试卷及解析
2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3} 2．（4分）渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A ．B．1C ．D．23．（4分）若实数x，y 满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（）A．﹣1B．1C．10D．124．（4分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）1A．158B．162C．182D．3245．（4分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）在同一直角坐标系中，函数y ＝，y＝1og a（x +）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A ．B ．2C ．D ．7．（4分）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大8．（4分）设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P ﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β9．（4分）设a，b∈R，函数f（x ）＝若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0B．a＜﹣1，b＞0C．a＞﹣1，b＜0D．a＞﹣1，b＞010．（4分）设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n2+b，n∈N*，则（）A．当b ＝时，a10＞10B．当b ＝时，a10＞103C．当b＝﹣2时，a10＞10D．当b＝﹣4时，a10＞10二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
专题09 立体几何与空间向量-高考数学复习必备之2015-2019年浙江省高考试题分项解析(解析版)
第九章 立体几何与空间向量一、选择题1.（2019年浙江卷）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C.,βαγα<<D.,αβγβ<<【答案】B 【解析】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin α=⇒α=β=γ=B. 2.（2019年浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2646336162 22++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.3.（2018年浙江卷）已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.4.（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C 【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.5.（2018年浙江卷）已知直线，和平面，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D ．6.（2017年浙江卷）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<，所以选B ．7.（2017年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：）是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，∴=,故选A.8.（2016年浙江文）已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l.若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则 A ．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【答案】C 【解析】 由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥.故选C.9.（2016年浙江理）已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则 A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C 【解析】 由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．10.（2015年浙江文）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支 【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.11.（2015年浙江文）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则【答案】A【解析】由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，可得12.（2015年浙江文）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．8 3cmB ．12 3cm C ．323 3cm D ．4033cm 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.故选C. 13.（2015年浙江理）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是四棱柱与同底的四棱锥的组合体,所以其体积为,故应选C.14.（2015年浙江理）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤ 【答案】B. 【解析】设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ，过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=， 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==， 显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，在A NP '∆中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α''+-'=∠='⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+--=⨯222222222222cos 2cos 1cos cos 2sin 2sin sin sin sin t t A DB θθθθθθθθ+--'==+=∠+， ∵210sin θ>，22cos 0sin θθ≥，∴cos cos A DB α'≥∠（当2πθ=时取等号）， ∵α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，∴A DB α'≤∠，故选B.二、填空题15.（2016年浙江文）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.【答案】80，40【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，22262244242280S =⨯+⨯+⨯⨯-⨯=表，3244240V =+⨯⨯=．16.（2016年浙江文）如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，，∠ADC=90°.沿直线AC 将ACD 翻折成ACD'，直线AC 与BD' 所成角的余弦的最大值是______.【解析】如图，连接BD′，设直线AC 与'BD 所成的角为θ．O 是AC 的中点.由已知得AC =，以OB 为x 轴， OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B ⎫⎪⎪⎝⎭， 0,C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.作DH AC ⊥于H ，连接D′H翻折过程中， 'D H 始终与AC 垂直， 则2CD CH CA ===则OH = DH ==因此'cos ,sin 636D αα⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（设∠DHD′=α），则'BD αα⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，与CA 平行的单位向量为()0,1,0n =，所以cos cos ',BD n θ= ''BD n BD n⋅=＝，所以cos 1α=-时， cos θ取得最大值，为6．17.（2016年浙江理）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 ，32 【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4,2,2，所以体积为32(224)32cm ⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠的部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222⨯⨯⨯+244)2(22)72⨯⨯-⨯=2cm .18.（2016年浙江理）如图，在ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】【解析】中，因为，所以.由余弦定理可得，所以.设，则，.在中，由余弦定理可得.故.在中，，.由余弦定理可得，所以.由此可得，将ABD沿BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面PBD⊥平面BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.过作直线的垂线，垂足为.设，则，即，解得.而的面积.当平面PBD⊥平面BDC时：四面体的体积.观察上式，易得，当且仅当，即时取等号，同时我们可以发现当时，取得最小值，故当时，四面体的体积最大，为19.（2015年浙江理）如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．【答案】78【解析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ， PC ，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.三、解答题20.（2019年浙江卷）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35. 【解析】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则sin 0sin 2B A ，≠∴= 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =，由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ，结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则AE EC ==11AA CA ==3BC AB ==，据此可得：()()()130,,,0,0,3,2A B A C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =可得点1B的坐标为132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF的方向向量为：34EF ⎛⎫=⎪⎝⎭ 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，则：()()133,,,330222233,,,02222m A B x y z x y z m BC x y z x y ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()1,3,1m =，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭此时4cos ,5EF mEF m EF m ⋅===⨯，设直线EF与平面1A BC所成角为θ，则43 sin cos,,cos55EF mθθ===.21.（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA 1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.学科.网由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.由（Ⅰ）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.22.（2017年浙江卷）如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.（I）证明：CE∥平面PAB；（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【答案】（I）见解析；（II）.8【解析】（Ⅰ）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ．因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以//EF AD 且12EF AD =， 又因为//BC AD ， 12BC AD =，所以//EF BC 且EF BC =， 即四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，因此//CE 平面PAB ．（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连接PN 交EF 于点Q ，连接MQ ．因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点，在平行四边形BCEF 中，MQ//CE ．由△PAD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面PBN ，由BC //AD 得BC ⊥平面PBN ，那么平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连接MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，得CE ，在△PBN 中，由PN =BN =1，PB QH =14，在Rt△MQH 中，QH=14，MQ ，所以sin∠QMH =8，所以直线CE 与平面PBC 23.（2016年浙江文）如图，在三棱台ABC –DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC ，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）7. 【解析】（Ⅰ）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示.因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以 AC ⊥平面BCK ，因此， BF AC ⊥.又因为//EF BC ， 1BE EF FC ===， 2BC =，所以 BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥所以BF ⊥平面ACFD .（Ⅱ）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角.在Rt BFD 中， 32BF DF ==，得cos 7BDF ∠=.所以，直线BD 与平面ACFD 所成的角的余弦值为7.24.（2016年浙江理）如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠︒,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求二面角B －AD －F 的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 4．【解析】（Ⅰ）延长AD ， BE ， CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥． 又因为//EF BC ， 1BE EF FC ===， 2BC =，所以BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则F C B ⊥K ．所以F B ⊥平面ACFD ．（Ⅱ）方法一：过点F 作FQ AK ⊥于Q ，连结BQ ．因为F B ⊥平面ACK ，所以BF AK ⊥，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ AK ⊥．所以BQF ∠是二面角B AD F --的平面角．在Rt ACK 中， 3AC =， 2CK =，得FQ =在Rt BQF 中， 13FQ = BF =cos 4BQF ∠=．所以二面角B AD F -- 方法二：如图，延长AD ， BE ， CF 相交于一点K ，则BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，则KO BC ⊥，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以， KO ⊥平面ABC ．以点O 为原点，分别以射线OB ， OK 的方向为x ， z 的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．由题意得()1,0,0B ， ()1,0,0C -，(K ， ()1,3,0A --，12E ⎛ ⎝⎭，1F(,0,22-． 因此， ()0,3,0AC =，(AK =， ()2,3,0AB =． 设平面ACK 的法向量为，平面ABK 的法向量为． 由0{ 0AC m AK m ⋅=⋅=，得111130{ 30y x y =++=，取)1m =-； 由0{ 0AB n AK n ⋅=⋅=，得22222230{ 30x y x y +=++=，取． 于是，cos ,m n m n m n ⋅〈〉==⋅． 所以，二面角B AD F --25.（2015年浙江文）如图，在三棱锥中，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为的中点.（1）证明：； （2）求直线和平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）设为中点，由题意得平面，所以. 因为，所以.所以平面.由，分别为的中点，得且，从而且， 所以是平行四边形，所以. 因为平面，所以平面.（2）作，垂足为，连结. 因为平面，所以. 因为，所以平面. 所以平面. 所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得. 所以 26.（2015年浙江理）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）18-. 【解析】（1）设E 为BC 的中点，由题意得1A E ⊥平面ABC ，∴1A E AE ⊥，∵AB AC =， ∴AE BC ⊥，故AE ⊥平面1A BC ，由D ，E 分别11B C ，BC 的中点，得1//DE B B 且 1DE B B =，从而1//DE A A ，∴四边形1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ，又∵AE ⊥ 平面11A BC ，∴1A D ⊥平面11A BC ；（2）作1A F BD ⊥，且1A F BD F =，连结1B F ，由AE EB ==1190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==，由11A D B D =， 11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆，由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1A D =14A B =，190DA B ∠=，得BD = 1143A FB F ==，由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-.。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题卷浙江卷(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学 试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
（共10题；共40分） 1.已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则 ∁U A ∩B =（ ）A. {-1}B. {0，1}C. {-1，2，3}D. {-1，0，1，3} 2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ） A. √22B. 1C. √2D. 2 3.若实数x ，y 满足约束条件 {x −3y +4≥03x −y −4≤0x +y ≥0，则z=3x+2y 的最大值是（ ） A. -1 B. 1 C. 10 D. 124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。
若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 325.若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数y= 1a ，y=log a(x+ 12），（a>0且a≠1）的图像可能是（）A. B.C. D.7.设0＜a＜1随机变量X的分布列是则当a在（0，1）内增大时（）A. D（X）增大B. D（X）减小C. D（X）先增大后减小D. D（X）先减小后增大8.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。
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2019年浙江卷数学真题（解析版）一、选择题：每小题4分，共40分.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则B A C U =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3- 【答案】A 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A.2B. 1C. 2D. 2【答案】C【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b ，则222c a b =+=，双曲线的离心率2ce a==.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12 【答案】C【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ）A. ()D X 增大B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大 【答案】D【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A.,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C. ,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cos sin,sin,sin6633α=⇒α=β=γ=，故选B.9.已知,a b R∈，函数32,0()11(1),032x xf xx a x ax x<⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b=--恰有三个零点，则（）A. 1,0a b<-< B. 1,0a b<-> C. 1,0a b>-> D. 1,0a b>-<【答案】D【详解】原题可转化为()y f x=与y ax b=+，有三个交点.当BC APλ=时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x'=-++=--，且(0)0,(0)f f a='=，则（1）当1a≤-时，如图()y f x=与y ax b=+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A，B（2）当1a>-时，分三种情况，如图()y f x=与y ax b=+若有三个交点，则0b<，答案选D下面证明：1a>-时，BC APλ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b=--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a'=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F>F a，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a>>-+，若另一零点在0<10.设,a b R∈，数列{}n a中，21,n n na a a a b+==+，b N*∈ ,则（）A. 当101,102b a=> B. 当101,104b a=>C. 当102,10b a=-> D. 当104,10b a=->【答案】A【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a为不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为1712x=±，令1712a=，则171102na=±<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11zi=+（i为虚数单位），则||z=________.2【详解】12|||1|22zi===+.12.已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230x y-+=与圆相切于点(2,1)A--，则m=_____，r=______.【答案】(1). 2m=-(2). 5r=【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||415r AC ==+=.13.在二项式9(2)x +的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______. 【答案】 (1). 162 (2). 5【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+== 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项 14.ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1).122 (2). 72【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=, 22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=15.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 15【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y += 可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==.16.已知a R∈，函数3()f x ax x=-，若存在t R∈，使得2|(2)()|3f t f t+-≤，则实数a的最大值是____.【答案】max43a=【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t+-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t=++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am≥-≤，由折线函数，如图只需113a-≤，即43a≤，即a的最大值是4317.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。