广东省附城中学2013届高三数学(理)一轮复习

广东省附城中学2013届高三数学（理）一轮复习

第一节 角的概念的推广与弧度制

A 组

1．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π

3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．

解析：由于点P 从(－1,0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，如图，因此Q 点的坐标为(cos 2π

3

，

sin 2π3)，即Q (－12，32)．答案：(－12，32

) 2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．

①tan α2 ②sin α2 ③cos α

2

④cos2α

解析：α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tan α

2

<0恒成立，应填①，其余三个符号可正

可负．答案：①

3．若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角． 答案：三

4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |

tan x

的值域为________．

解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3； 当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1；

当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，y ＝－1.答案：{－1,3}

5．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝3

4

，则a 的值为________．

解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝3

4

，易得tan α＝

3或33，则a ＝－43或－43 3.答案：－43或－43

3

6．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝2

4

y ，求cos α，tan α的值．

解：因为sin α＝24y ＝y (－3)2＋y 2

，所以y 2

＝5，

当y ＝5时，cos α＝－

6

4，tan α＝－153； 当y ＝－5时，cos α＝－6

4，tan α＝

153

. B 组

1．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．

解析：当a >0时，点P (a ，a )在第一象限，sin α＝2

2；

当a <0时，点P (a ，－a )在第二象限，sin α＝22.答案：2

2

2．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．

解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧

2R ＋α·R ＝612

R 2·α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或4 3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．

解析：S ＝12|α|r 2＝12×23π×100＝1003π(cm 2)．答案：100

3

π cm 2

4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ

3

角的终边相同的角的集合为

__________．答案：{56°，176°，296°} 5．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第________象限．

解析：当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．

答案：一或三

6．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．

解析：∵x ＝－6a ，y ＝－8a ，∴r ＝(－6a )2＋(－8a )2＝10|a |，

∴sin α－cos α＝y r －x r ＝－8a ＋6a 10|a |＝－a 5|a |＝±15.答案：±1

5

7．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y

x

的值为________．

解析：y

x

＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 3

8．已知点P (sin 3π4，cos 3π

4

)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．

解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos

3π4sin 3π4

＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：7π

4

9．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝2

5

，且cos α<0，则k 的值为

________．

解析：设α终边上任一点P (x ，y )，且|OP |≠0，∴y ＝kx ， ∴r ＝x 2＋(kx )2＝1＋k 2|x |.又sin α>0，cos α<0.∴x <0，y >0，

∴r ＝－1＋k 2x ，且k <0.∴sin α＝y r ＝kx －1＋k 2x ＝－k 1＋k 2

，又sin α＝2

5.

∴－k 1＋k 2

＝2

5，∴k ＝－2.答案：－2

10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．

解：设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝10

3

π(cm)，

S 弓＝S 扇－S △＝12·103π·10－12·102sin60°＝50(π3－3

2

)(cm 2)．

11．扇形AOB 的周长为8 cm.

(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，

(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧

2r ＋l ＝8，12

lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧

r ＝1

l ＝6，

∴α＝l r ＝23或α＝l

r

＝6.

(2)∵2r ＋l ＝2r ＋αr ＝8，∴r ＝82＋α

.∴S 扇＝12αr 2＝12α·64(2＋α)2＝32

α＋4α

＋4

≤4， 当且仅当α＝4α，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r ＝8

2＋2

＝2 (cm)，

∴|AB |＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．

12．(1)角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求2sin α＋cos α的值；

(2)已知角β的终边在直线y ＝3x 上，用三角函数定义求sin β的值． 解：(1)根据题意，有x ＝4t ，y ＝－3t ，所以r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，

①当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝－65＋45＝－2

5.

②当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t

＝－4

5，

所以2sin α＋cos α＝65－45＝2

5

.

(2)设P (a ，3a )(a ≠0)是角β终边y ＝3x 上一点，若a ＜0，则β是第三象限角，r ＝－2a ，此时sin β