福建省厦门双十中学2021届高三上学期中考试数学试题 Word版含答案

福建省厦门双十中学2021届高三上学期半期考试试卷满分150分 考试时间120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，2．已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是 A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b +>+ C ．11a b b a +>+ D ．11b a b a->- 3．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是 A ．9B ．10C ．12D ．134．已知函数()2428=--+f x ax x a 1x ，[)21x ∈+∞,，都有不等式()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是A ．(]0,2B ．[]2,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 5．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10 2 cm 2．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取π 3.14=，精确到0.1）A ．609.4gB ．447.3gC ．398.3gD ．357.3g6．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为 A ．5B ．215C ．516D ．6547．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为A ．127B ．83C ．4D ．68．已知()()sin 3cos 0x f x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把()f x 图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到()g x 的图象，若()g x 在[],a a -上单调递增，则a 的最大值为A ．12π B ．6π C ．4π D ．512π 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，90,B F ∠=∠=︒60,45,A D BC DE ∠=︒∠=︒=，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是A ．直线BC ⊥面OFMB ．AC 与面OFM 所成的角为定值 C ．设面ABF面MOF l =，则有l ∥AB D ．三棱锥F COM -体积为定值.10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)21111n n a a -=+-，则关于数列{}n a 说法正确的是A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+11．已知正数x ，y ，z 满足3212x y z ==，下列结论正确的有（ ）A ．623z y x >>B ．121x y z+=C ．(3x y z +>+D ．28xy z >12．在ABC 中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则（ ）A ．a 、b 、c 成等比数列B ．sin :sin :sin 2A BC =C ．若4a =，则ABC S =△D ．A 、B 、C 成等差数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则6a 等于 ▲ . 14．若π1sin 33α-=⎛⎫⎪⎝⎭，则πcos 23α+=⎛⎫⎪⎝⎭▲ ．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60A ∠=，BC =4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ▲ .16．若对任意正实数,x y ，不等式()()2ln ln 1xx y y x a--+≤恒成立，则实数a 的取值范围a 为 ▲ .四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在①1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++；②1n n a a +-=；③184n n a a n --=-（2n ≥）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________． （1）求n a ；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin cos sin b A B a B =+.（1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若BD =，求a c +的取值范围.19．如图,矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直,//AB CD ,90ABC ADB ︒∠=∠=,1,2CD BC ==. （1）求证://BE 平面DCF ;（2）当AE 的长为何值时,直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°? 20．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()8(60),13015480,30m m m q m m ⎧-⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且12PF F △的周长是6.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知函数1()211f x x a nx x=--+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，正数1x ，2x 满足12()()2f x f x +=，证明：122x x +≥.双十中学2021届高三上学期半期考试参考答案1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D 8．A 9．ABC 10．ABD 11．BCD 12．BC ； 13．32 14．79-15．32π 16．(]0,1； 17．（本小题满分10分） 【解析】（1）选①：由1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++可得11411++++=+n n a a n n n， 即11141+++-=+n n a a n n， 又1141+=a ，所以1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为4的等差数列， 所以14+=n a n n，所以241=-n a n ； 选②：由1n n a a +-=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=-n a n ； 选③：由184n n a a n --=-（2n ≥）可得： 当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(84)(812)123n n =-+-+++[(84)12](1)32n n -+-=+241n =-，当1n =时，13a =，符合241=-n a n ，所以当*n N ∈时，241=-n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+， 因为1042n >+，所以12n T <， 又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<．18．（本小题满分12分） 【解析】（1）在ABC 中， 由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，因为2sin 3cos sin b A a B a B =+， 所以sin cos()6b A a B π=-， 所以sin cos()6a B a B π=-，即sin cos()6B Bπ，即31sin cos sin 2B B B ，可得tan 3B =， 又因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）如图，延长BD 到E ，满足DE BD =，连接AE CE ，，则ABCE 为平行四边形，且223,,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====， 在BAE △中，由余弦定理得2222(23)2cos 3a c ac π=+-，即2212a c ac ++=，可得2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-， 由基本不等式得：22()12()2a c ac a c +=+-≤， 即23()124a c +≤，即2()16a c +≤，可得4a c +≤（当且仅当2a c ==取等号号） 又由AE AB BE +>，即23a c +> 故a c +的取值范围是(23,4]. 19．（本小题满分12分）【解析】(1)(法一)如图,以D 为原点,AD 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,DF 所在直线为z 建系.设AE h =,由1CD =,2BC =,90ADB ︒∠=,依据三角形相似可得5AB =,故由勾股定理可知25AD =.在CBD 中,可得5BD =所以各点坐标为(0,0,0),(25,0,0),5,0),,5,0,),(0,0,)55D A B C E h F h ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (25,5,)BE h =,设面CDF 的法向量为(,,)n x y z =,所以0550x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 化简得20y xz =⎧⎨=⎩,令1x =得(5,25,0)n =，得0BE n ⋅=,故BE n ⊥. 又BE 不在面CDF 上,所以//BE 面CDF .(法二)因为矩形HDEF ,故//AE DE .又//AB CD ,且ABAE A =,CD DF D ⋂=,AB ､AE 在面ABE 上,CD ､DF 在面CDF 上,故面//ABE 面CDF .又BE 在面ABE 上，且BE 不在面CDF 上,故//BE 面CDF . (2)(25,0,0),,(25,5,)55DA BC BE h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 设面BCE 法向量为(,,)n x y z =,所以0552550x y x hz ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,化简得255x y y z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令y h =,得(2,,55)n h h =-. 由题得2|||45|2cos45||||255125DA n n DA h ︒⋅-===⋅+. 故513h =因为h 为正,所以515AD h ==.20．（本小题满分12分） 【解析】（1）由总成本21()150600p x x x =++,可得每台机器人的平均成本21150()1150600112600x x p x y x x x x ++===++≥=, 当且仅当1150600x x=,即300x =时,等号成立, ∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,当130m ≤≤时,300台机器人的日平均分拣量为()2160601609600m m m m -=-+,∴当30m =时,日平均分拣量有最大值144000； 当30m >时,日平均分拣量为480300144000⨯=, ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件． 若传统人工分拣144000件,则需要人数为1440001201200=（人）．∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=．21．（本小题满分12分）【解析】（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，所以226a c +=，又因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12c e a ==，所以2a c =，联立解得2a =，1c =，所以b ==所求椭圆方程为22143x y +=.（2）若存在满足条件的点(),0Q t .当直线l 的斜率k 存在时，设()1y k x =-，联立22143x y +=，消y 得()22223484120kxk x k +-+-=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+x ， ∵()()()()()()122112121211QM QNk x x t k x x t y y k k x t x t x t x t --+--+=+=---- ()()()()222212122222121222818242212343441283434k t k t kx x k t x x kt k k k k k x x t x x tt t k k+--+-+++++==⋅--++-+++ ()()()()()()222222222282481234644128344134k k t t k k t k k k t t k t k t --+++-=⋅=--++-+-，∴要使对任意实数k ，QM QN k k +为定值，则只有4t =，此时，0QM QN k k +=. 当直线l 与x 轴垂直时，若4t =，也有0QM QN k k +=.故在x 轴上存在点()4,0Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0. 22．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，函数1()211f x x a nx x=--+的定义域为(0,)+∞， 可得2222121()1a x ax f x x x x-+'=-+=， 令()221h x x ax =-+，则()()244411a a a ∆=-=-+.①当11a -≤≤时，0∆≤，可得()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立， 则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.②当1a <-或1a >时，>0∆，令()0f x '=，得1x a =2x a = （i ）当1a <-时，120x x <<，所以()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立.则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. （ⅱ）当1a >时，120x x <<.若1(0,)x x ∈，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 若12(,)x x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 若2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当1a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时，在(0,a -和()a +∞，上()f x 单调递增；在(a a ()f x 单调递减.（2）当1a =时，函数1()2ln 1f x x x x=--+， 由（1）可知()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又易知()11f =，且12()()2f x f x +=，不妨设1201x x <≤≤， 要证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证21()2()f x f x ≥-，即证11()2()2f x f x -≥-， 即证11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈，所以11()22ln(2)2ln 2g x x x x x=------，(]0,1x ∈， 则32322222221214(331)4(1)()2(2)(2)(2)x x x x g x x x x x x x x x --+---'=--+==----， 当(0,1]x ∈时，()0g x '≥，所以函()g x 数在区间（0，1]上单调递增， 则()()10g x g ≤=，所以11())220(f x f x -+-≤得证，从而122x x +≥.。