兴义市天赋中学数学必修一教案：4.9函数y=Asin(ωx φ) 的图象(2)
函数y=Asin(ωx ψ)的图像教案高一上学期数学人教版必修
“三角函数图象变换”（第二课时）教学设计教材分析：“三角函数图象变换”是普通高中课程标准实验教科书人教A 版必修4第一章第五节，其主要内容是通过图象变换，揭示参数A ωϕ、、变化时对函数图象的形状和位置的影响，并讨论函数sin()y A x ωϕ=+的图象与正弦曲线的关系.由正弦曲线变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象的思维过程并不表示实际画图方法，但充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想.三角函数中许多化简、求值以及研究函数性质的问题都涉及到sin()A x ωϕ+的形式，所以本节在三角函数这一章中承载着重要的作用.研究它的图象能使学生将已有的知识形成体系，有助于培养学生利用数形结合的思想解决问题.同时，本节课在教学中力图向学生展示观察、归纳、类比、联想等数学思想方法. 学情分析：对函数sin()y A x ωϕ=+图象的探究，涉及的参数有3个，在第一课时，学生已经完成了参数A ωϕ、、对函数图象影响的讨论，具有一定的基础，本节课主要解决将三个参数对图象的影响整合成完整解决步骤.在图象变换过程中，图象先平移后伸缩和先伸缩后平移是学生容易出错和难以理解的地方，主要是因为学生对平移变换和伸缩变换的理解不够透彻. 教学目标：知识与技能：进一步理解A ωϕ、、对函数图象变化的影响.通过探究图象变换，会用图象变换法画出函数sin()y A x ωϕ=+的简图.过程与方法：通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力. 培养学生“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想.情感态度与价值观：学会合作意识，培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观. 教学重点：掌握函数sin y x =与sin()y A x ωϕ=+图象间的关系.教学难点：由函数sin y x =到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换过程. 教学方法：讨论法、演示法、发现法. 学法：合作学习、观察归纳. 课时安排：1课时 教学条件：几何画板、PPT. 教学基本流程：复习参数A ωϕ、、对函数sin y x =的影响探讨函数sin y x =与sin()y A x ωϕ=+图象间的关系总结正弦曲线sin y x =到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换过程函数sin()y A x ωϕ=+简图的作法图象变换法 五点法1. 在课本上完成57页A 组第一题.2. 在作业本上完成课本58页第2题的（3）、（4）小题. 要求：用文字写出图象变换过程，用五点法作图.3. 思考：如何由三角函数图象写出它的函数解析式. 即：如何通过图象确定参数A ωϕ、、.板书设计：以PPT 引导，板书主要展示解决问题的过程.教学反思：本节图象较多，学生活动量大，因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具，从整体上探究参数A ϕω、、对函数sin()y A x ωϕ=+图象整体变化的影响.对于函数sin y x =的图象与函数sin()y A x ωϕ=+的图象间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别，直接会对图象平移量产生影响，这点也是学习三角函数图象变换的难点所在，设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.由于本节内容综合性强，所以本节教案设计的指导思想是:在教师的引导下，让学生积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归.在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人.新课改要求教师在新的教学理念下，要勇于，更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识.教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力.。
课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案
课题：函数y=Asin（ωx+φ）的图象教案高一数学组徐国师学习目标：①掌握φ、ω、Α的变化对函数图象的形状及位置的影响。
②进一步研究由φ变换、ω变换、Α变换构成的综合变换。
教学重、难点：重点：将考察参数φ、ω、Α对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.难点：①在观察图象变换中发现规律,并能用自己的语言来表达;②φ变换、ω变换、Α变换的不同顺序对图象的影响。
〖新知探究〗提出问题1.如何由函数Y=sinx的图像经过变换得到函数Y=Asin（ωx+φ）的图像？2.函数Y=Asin（ωx+φ）的图像与字母A 、ω、φ的关系又是怎样的？分析问题可以将上述问题分解为以下几个步骤来进行：1.函数Y=Asinx与函数Y=sinx的图像关系如何？A的意义如何？2.函数Y=sinωx与函数Y=sinx的图像关系如何？ω的意义如何？3.函数Y=sin（x±φ）与函数Y=sinx的图像关系如何？φ的意义如何？4.函数Y=Asin（ωx+φ）与函数Y=sinx的图像关系如何？解决问题1.观察函数Y=2sinx及Y=1/2sinx的图像与Y=sinx的图像在[0，2π]上的关系。
结论1 一般地，函数Y=AsinX（A>0且A≠1)的图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的。
Y=AsinX，X ∈R的值域是[-A，A]，最大值是A，最小值是-A。
2、观察函数Y=sin2X及Y=sin1/2X的图像与Y=sinX的图像在[0，2π]上的关系。
结论2 一般地，函数Y=sinωX（A>0且A ≠1)图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)而得到的。
高一数学必修第一册2019(A版)_《函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换和应用》教学设计二
《函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换和应用》教学设计教学设计一、导入新课做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y 与时间x 的关系、交流电的电流y 与时间x 的关系等都是形如sin()y A x ωϕ=+的函数，这种函数我们称为正弦型函数.那么怎样画正弦型函数的图象呢？正弦型函数又有什么性质呢？这节课我们来学习相关内容.二、新知探究如何用“五点法”画出sin()y A x ωϕ=+的图象呢？ 教师提出问题，出示例题：例1 用“五点法”画出2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的简图.学生回顾相关内容，找出五点，求出x 的值.分析：先选点，再列表，最后描点画图.解：令0x π+=，π，π，3π，2π，分别求出x ，列表：描点画图如下：归纳总结：用“五点法”画出sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤：（1）列表.先由0x ωϕ+=，2π，π，32π，2π分别求出x ，再由x ωϕ+的值求出y 的值，列出下表：（2）在直角坐标系中描出各点.（3）用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象. （4）利用函数的周期性，通过左右平移得到整个图象. 三、例题讲解例2 已知函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图象如图所示，求该函数的一个解析式.教师提问：（1）要确定函数解析式，就是要确定三角函数的哪些参数？ （2）谁能说说这个图象有什么特点？周期是多少？振幅呢？又0A >，所以A =由图象知52632T πππ=-=，2T ππω∴==，2ω∴=.又15723612πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴图象上的最高点为712π⎛ ⎝， 7212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即7sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可取23πϕ=-，故函数的一个解析式为223y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.方法二（“五点”对应法）：由图象知A =又图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，根据“五点”画图法原理（以上两点可判断为“五点”画图法中的第一点与第三点），得0,35,6πωϕπωϕπ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩解得：2,2.3ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩故函数的一个解析式为223y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 方法三（图象变换法）：由图可知A ，52632T πππ=-=，2T ππω∴==，2ω∴=.∴该函数的图象可由2y x 的图象向右平移3π个单位长度得到，故所求函数的一个解析式为23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即223y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 点评：由图象求得sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的解析式一般不唯一，需要限定ϕ的取值范围，才能得到唯一的函数解析式.例3 设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中05ω<<，已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 教师提问：（1）这个函数解析式有什么特点？你能直接求出ω的值吗？ （2）如何将这个函数解析式进行化简呢？化简后能得到什么形式？ （3）()y g x =的解析式是如何得到的？分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得ω，可得函数的解析式.（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.解：（1）函数1()sin sin cos cos 6222f x x x x x xππωωωωω⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中05ω<<.已知0663f πωππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，63k ωπππ∴+=，k ∈Z ，即62k ω=-，k ∈Z ，4ω∴=，()43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将函数()43y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），可得3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.再将得到的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()4312y g x x x πππ⎛⎫⎛⎫==-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，5,1266x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,1122x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()g x ⎡∈⎢⎣，即()g x 的取值范围为⎡⎢⎣. 点评：本题主要考查三角恒等变换，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦型函数的定义域和值城.例4 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图所示，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m ，转盘直径为110 m ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动5 min 后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度H 呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.解：如图所示，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系.（1）设0t = min 时，游客甲位于点(0,55)P -，以OP 为终边的角为2π-；根据摩天轮转一周大约需要30 min ，可知座舱转动的角速度约为15πrad/min ，由题意可得55sin 65152H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，030t .（2）当5t =时，55sin 56537.5152H ππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭.所以，游客甲在开始转动5 min 后距离地面的高度约为37.5m.（3）如图所示，甲、乙两人的位置分别用点A ，B 表示，则24824AOB ππ∠==，经过t min 后甲距离地面的高度为155sin 65152H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，点B 相对于点A 始终落后24πrad ，此时乙距离地面的高度为21355sin 651524H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.则甲、乙距离地面的高度差121355sin sin 1521524h H H t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1355sin sin 1522415t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=⋅，可得 110sinsin 481548h t πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，030t . 当15482t πππ-=或32π⎛⎫⎪⎝⎭，即7.8t ≈（或22.8）时，h 的最大值为110sin 7.248π≈. 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m. 练习：教材第241页习题5.6第6题. 四、课堂小结教师引导学生反思学习过程，概括本节所学内容. 学生思考、讨论，并阐述思想方法. 教师作适当点评、补充. 五、布置作业1.教材第241页习题5.6第4，5题.2.选做题：教材第241页习题5.6第7题.例3 设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中05ω<<，已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围例4 练习四、课堂小结 五、布置作业教学研讨1.“图象变换法”和“五点法”是画函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种基本方法，用“图象变换法”画图比较精确，但是不易操作，最好能借助计算机；而用“五点法”画图易于操作，但是画的图不够精确，适合画简图.2.数形结合是本节最重要的数学思想方法，另外化归思想、整体思想本节内容也有涉及，应引导学生认真体会和总结.3.对余弦型函数、正切型函数教材中没有涉及，教师应引导学生用类比的方法去探究.。
函数y=Asin(ωxφ)的图象与性质教案-高一数学湘教版(2019)必修第一册
5.4 函数()y Asin x ωϕ=+的图像与性质考纲要求：结合具体实例，了解sin()y A x ωϕ=+的实际意义；能借助图象理解参数ω，ϕ，A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.学生已经学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，会使用“五点法”作出含有sin x 、cos x 、tan x 的简单函数图象，这些知识为本节课的学习奠定了基础.通过本节课的学习，学生将经历“观察—猜想—验证”这一探究数学问题的一般性过程，领会由简单到复杂、由特殊到一般的数学思想方法 学习目标：1．结合实例了解()y Asin x ωϕ=+的实际意义，并借助计算机或相应的数学软件（几何画板），观察参数A,,ϕω对函数图象影响；2.会用“五点法”作出函数sin()y A x ωϕ=+的图象，掌握由sin y x =的图象得到sin()y A x ωϕ=+的图象的方法学习重点：借助图象理解参数ω，A 的意义，了解ω，A 的变化对函数图象的影响.学习难点：通过图象变换由y sin x =的图象可得到()y Asin x ωϕ=+的图象。
核心素养：直观想象，数学抽象，逻辑推理，数学建模教学过程一、情境引入观察交流电电流—时间图象。
问题1：这个图象与y sin x =的图象有不同之处呢？你认为造成不同的原因是什么？学生：正弦函数y sin x =的图像经过坐标原点，图像关于原点对称是奇函数，最大值、最小值分别为1和-1，这个函数不具备这些性质，但图形的形状和正弦曲线很相似教师：我们将这种函数看作()y Asin x ωϕ=+，这也是这结合我们要研究的函数设计意图：创设问题情景，建立函数y sin x =的图象与函数()y Asin x ωϕ=+的图象的联系。
让学生认识知识来源于实际生活，又用知识解决生活问题，培养学生对该节书的学习兴趣。
二、新课学习正弦函数是描述周期性变化的最简单、最基本、非常重要的周期的函数。
高中数学教案：函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.3.3 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象（第1课时）1.教学目标：（1）知识与技能：理解参数A、ω、φ对函数图象的影响，能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象；（2）过程与方法：观察函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，研究参数A、ω、φ对函数图象的影响，认识函数y＝sin x与y＝A sin(ωx＋φ)的联系，体验合情推理与逻辑推理的研究过程；（3）情感态度与价值观：渗透数形结合的思想，学习将复杂问题分解研究的策略，激发学生分析问题、解决问题的热情.2.教学重点、难点：（1）重点：由正弦曲线如何通过平移、伸缩变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象；（2）难点：函数y＝A sin(ωx＋φ)图象与y＝sin x图象的关系.3.教学方法与教学手段：教师教法：启发式引导、开放式探究、互动式讨论、反馈式评价；学生学法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结；教学手段：借助数字化教学设备及几何画板等相关数学软件，结合信息技术与高中数学整合的教学理念，运用教学课件与多媒体开展教学.4.教学过程根据本节的教学目标与重难点分析，本节课主要以问题串的形式引领学生的思考，由特殊到一般，从旧知到新知，层层深入，通过类比归纳、合作探究、自主探究、交流讨论等方式组织教学活动.（1）问题引入在物理和工程技术的许多实际问题中，经常会遇到形如y＝A sin(ωx＋φ)（其中A、ω、φ都是常数，且A>0,ω>0）的函数.那么问题1：函数y＝A sin(ωx＋φ)( A>0,ω>0)的最小正周期是多少？（2）复习回顾问题2：回忆必修1函数的学习，我们可以用什么方法研究函数y＝A sin(ωx＋φ)的性质？追问1：怎样作图？追问2：函数解析式中有参数A 、ω、φ，怎么解决？追问3：对A 、ω、φ的不同取值，你能分别作出它们的图象吗？问题3：除了描点法作图，还接触过什么方法能帮助我们得到函数图象？（3）类比归纳问题4：回忆必修1的学习，函数22x y +=的图象可以由2x y =的图象经过怎样的变换得到？在学生回答的基础上，指出图象变换是一种作图方法.图象变换：已知一个函数的图象，通过某种或多种连续方式变换，得到另一个与之相关的函数的图象，这样的作图方法叫做图象变换.追问1：类比以上指数函数图象的平移，从sin y x =的图象，可以左右平移得到哪些函数的图象？对取定的某个ϕ，给出sin y x =图象到sin()y x ϕ=+图象的平移方法.追问2：函数的图象可以看成点的集合，平移前后图象上对应点的坐标有什么关系？ 追问3：ϕ换成其他值呢？比如1、2…，任意正数、负数？在集体分析的基础上，概括得出结论一：一般地，函数sin()y x ϕ=+的图象可以看做是将函数sin y x =的图象上所有的点向左(当0>ϕ时)或向右（当0<ϕ时）平移ϕ个单位长度而得到的.问题5：参数A ω、 分别对函数的图象有何影响？能借助研究函数图象平移的方法来进行研究吗？问题6：（1）函数sin y A x =与sin y x =的图象之间有什么关系？sin y x =的图象 s i n y A x =的图象在集体分析的基础上，概括得出结论二：一般地，函数sin (01)y A x A A =>≠且的图象，可以看做是将函数sin y x =的图象上所有的点的纵坐标变为原来的A 倍（横坐标不变）而得到的.问题6：（2）函数sin (01)y x ωωω=>≠且与sin y x =的图象之间有什么关系？sin y x =的图象 s i n y x ω=的图象学生自主活动，同桌讨论，汇报研究过程与研究结果，围绕对应点的坐标关系展开讨论，并概括出结论三：一般地，函数sin (01)y x ωωω=>≠且的图象，可以看做是将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的. （4）练习反馈：①为了得到函数sin()4y x π=+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有点 .答案：向左平移4π个单位长度②把函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标变为原来的23倍（横坐标不变），可以得到函数 的图象.答案：2sin 3y x =③为了得到函数s i n 7y x =的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有点 .答案：的横坐标变为原来的17倍（纵坐标不变）（5）思考探究：①把函数sin()4y x π=+的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象.答案：sin(2)4y x π=+ 追问：函数sin(2)4y x π=+的图象可以由函数sin 2y x =的图象经过平移变换得到么？完成下面的填空.②把函数s i n 2y x =的图象上所有点 ，可以得到函数sin(2)4y x π=+的图象.答案：向左平移8π个单位长度对两种可能出现的答案进行辨析，探讨得出正确结果，并进一步概括，得出结论四：一般地，函数sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕ>≠)的图象，可以看做是将函数y ＝sin ωx 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右（当φ<0时）平移ϕω个单位长度而得到的.思考：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( A >0,ω>0)的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？由正弦曲线经过一系列的图象变换，就可以得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( A >0,ω>0)的图象，在今后的学习中，可以借助图象研究函数的性质，解决实际问题.（6）课堂小结①函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( A >0,ω>0),它的图象可以由y ＝sin x 的图象变换得到；②类比、归纳的科研方法，由特殊到一般的研究过程，复杂问题分解处理的策略，数形结合的数学思想.（7）课后作业①基础题：课本第39页练习第2、3题②思考题：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)（其中A 、ω、φ都是常数），当常数A <0或者ω<0时，它的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？5.教学设计说明学生已经学习了正弦函数、余弦函数、正切函数，并且在学习函数的周期性一节时，已经得出函数y＝A sin(ωx＋φ)的最小正周期公式，所以，本节课从学生的最近发展区出发，给出函数解析式，以问题串的方式引入课题.本节课教学重点为函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，以图识性，图象是研究函数性质的重要工具，该图象可以由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到.用图象变换的方法得到新函数的图象是描点法作图的一种补充，因此，本节课设计了图象变换作图方法的引入：“取定A、ω、φ的值，发现描点法作图的劣势，并提出图象变换的方法作图”，提高学生对图象变换法作图的认识和学习兴趣.用图象变换的方法作图需要两个基本条件：已知一个函数的图象，明确要作的图象与已知图象之间的关系（实质上是对应点之间的关系）.在研究y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x、y＝sinωx三个函数的图象与y＝sin x的图象关系时，分别采用了类比归纳、师生合作探究、学生自主探究三种不同方式，借助几何画板观察图象，围绕对应点坐标之间的关系组织教学活动，从特殊点到一般点，从具体函数到一般函数的顺序发现图象之间的关系，给出变换法则.函数图象上的点是以自变量为横坐标，以该自变量对应的函数值为纵坐标的，即点的纵坐标为横坐标的函数值，这是联系函数解析式与图象的重要桥梁.函数解析式的变化与函数图象的变换紧密关联，由于函数解析式比较抽象，函数图象虽直观但“难入微”，为此本节课的设计紧紧围绕对应点坐标间的关系，研究解析式变化后函数图象如何变换，图象变换后对应的解析式如何变化，在三种基本变换的基础上继续钻研，最终得到正弦曲线到函数y＝A sin(ωx＋φ)( A>0,ω>0)的图象变换流程.整个教学过程重视思想方法的运用，有类比、归纳的科研方法，由特殊到一般的研究过程，复杂问题分解处理的策略，数形结合的数学思想等，注重学生参与研究的积极性，提高学生主动发展的品质，增强科学研究的精神.。
高中数学新人教版A版精品教案《函数y=Asin（ωx+φ）的图象》
函数=ASinωφ的图象（教学设计）湖南省道县第一中学唐义志教材分析本节课主要内容是会用五点法来画函数＝Ainω＋φ的图象，主要是运用图像研究函数＝Ainω＋φ的平移伸缩规律，同时能理解数形结合的数学思想方法，具有一定的审美意识。
函数＝Ainω＋φ的图象内容共分2课时，本节课是第一课时，第二课时重点为变换周期后图像的平移，五点法作图分析图像的变换。
课标分析课标分析本节课是高中数学必修4第一章“三角函数”节的内容在本章“三角函数的图像和性质”的内容中,教材通过正余弦曲线的形状特点的研究得到了正余弦函数的性质,进一步得出函数=Ainωφ的图像,由此揭示这类函数的图像和正弦函数曲线的关系以及A、ω、φ的物理意义,使学生根据周期函数和最小正周期的意义,以及图像变化过程,进一步了解正余弦函数的性质,从而向学生揭示得到函数=Ain ωφ的图像的一种思维过程,即由正弦曲线变换得到这一思维过程并不表示实际画图方法,但充分体现了由简单到复杂,特殊到一般的化归数学思想,所以本节是三角函数一章中的重要内容三角函数中许多化简、求值题以及研究函数性质的问题都涉及到Ain ωφ的形式,研究它的图像能使学生将已有的知识形成体系,有助于学生利用数形结合的思想解决问题学情分析教学对象为湖南省道县第一中学第三层次班级的学生,有一定的基础，但是、整体水平较差，引导方向应为主动参与和创造,如此可以更好地提升学习能力和学习数学的兴趣，让学生参与进来，变被动为主动。
课堂上我班有65人，分成10个小组，其中1、3、5、7、9为一个大组，2、4、6、8、10为一个大组；把每一次作图探究分成两个学习任务，要求课堂上相邻组讨论分析，明确思路的构建，总结问题方法。
从每个大组中各抽取一名学生的作图情况进行展示，上台展示时师生一起观察，及时发现问题，适当补充。
然后由学生进行合作探究和归纳总结。
1教学目标知识与技能（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式＝Ainω＋φ，掌握A、φ、ω＋φ的涵义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数＝in进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数＝Ainω＋φ的图像；过程与方法通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数＝Ainω＋φ的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2课时)
3
5 3
2
x
-2
y=sin2x y=sin(2x+ ) 3
-3
（1）横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
1 2
倍
y=Sin2x的图象
（2）向左平移 6
y=Sin(2x+ ) 的图象 3 y=3Sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
函数 y A sin(x ) 中 A称为振幅
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都是常数）. 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6
4
2
o
-2
-4 -6
2
4
6
8
x
o
-2
-4 -6
0.01
0.02
1 令X x , 则x 3( X ). 3 6 6
y
(1)列表 :
X x y
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
2
2
5
0
2
0
2
0
-2
O
2
2
(2)描点 :
7 2
5
13 2
x
7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,2), ( ,0) 2 2 2 (3)连线 :
1 f T
2 T 称为周期 | |
称为频率
x 称为相位
函数y=Asin(ωx φ)的图像(第二课时)课件-2022-2023学年高一上学期数学必修第一册
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y Asin(x )图像与性质的应用
4.对称性：利用函数y=sinx的对称中心为（k，0）， k Z，函数y=sinx的对称轴为x= k(k Z)，
2 （1）令x =k，k Z，解得x的解为函数
y A sin(x )对称中心的横坐标； （2）令x = k（k Z）解得x的解为函数
y
1 2
sin
x
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍
y 1 sin 1 x 22
1 y 1 sin x 2
2
3
4
O
x
y 1 sin 1 x
1
y sin x
22
法二：
图象上各点横坐标
y sin x 伸长为原来的2倍
y sin 1 x 图象上各点纵坐标 2 缩短为原来的一半
y 1 sin 1 x 22
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y A sin(x )图像与性质的应用
2.周期：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻
两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与 对称轴之间的距离是 1 个周期．
4 3.奇偶性：若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
（1）当=k（k Z)时， 函数y A sin(x )= A sin x为奇函数；
A 如图所示，则( )
A.y＝2sin 2x－π6
B.y＝2sin 2x－π3
x＋π C.y＝2sin 6
x＋π D.y＝2sin 3
以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
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兴义市天赋中学数学必修一教案： 4.9函数y=Asin(ωx+φ) 的图象（2）教学目的：1理解相位变换中的有关概念； 2会用相位变换画出函数的图象；3会用“五点法”画出y ＝sin(x ＋ϕ)的简图教学重点：会用相位变换画函数图象； 教学难点：理解并利用相位变换画图象 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．振幅变换:y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A ．若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折A 称为振幅2．周期变换:函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期我们随着学习三角函数的深入，还会遇到形如y ＝sin(x ＋ϕ)的三角函数，这种函数的图象又该如何得到呢?今天，我们一起来探讨一下 二、讲解新课：例 画出函数y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R y ＝sin(x －4π)，x ∈R的简图解：列表(1)函数y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动3π个单位长度而得到(2)函数y ＝sin(x －4π)，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动4π个单位长度而得到 一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)y ＝sin(x ＋ϕ)与y ＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换三、课堂练习：1(1)y ＝sin(x ＋4π)是由y ＝sin x 向左平移4π个单位得到的 (2)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin x 向右平移4π个单位得到的 (3)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin(x ＋4π)向右平移2π个单位得到的 2若将某函数的图象向右平移2π以后所得到的图象的函数式是y ＝sin(x ＋4π)，则原来的函数表达式为( )A ＝sin(x ＋43π) B y ＝sin(x ＋2π) C y ＝sin(x －4π) D y ＝sin(x ＋4π)－4π 答案：A3把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A 4π B 向左平移4π C 向右平移12π D 向左平移12π分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x 的系数相同解：∵y ＝cos(3x ＋4π)＝sin(4π－3x )＝sin ［－3(x －12π)］∴由y ＝sin ［－3(x -12π)］向左平移12π才能得到y ＝sin(－3x )的图象答案：D4将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )A ＝sin(2x ＋3π) B y ＝sin(2x －3π) C y ＝sin(2x ＋32π) D y ＝sin(2x －32π)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法解：y ＝f (x )可由y ＝sin x ，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y ＝sin2(x ＋3π)，即f (x )＝sin(2x ＋32π)答案：C5若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，则a ＝–1 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性解：∵x 1＝0，x 2＝－4π是定义域中关于x ＝－8π对称的两点 ∴f (0)＝f (－4π) 即0＋a ＝sin(－2π)＋a cos(－2π) ∴a ＝－16若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k πx －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )A B 4 C 3或4 D 2或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k解：∵T ＝3)3(,1263122=-++=+a a k k ππ又因每一周期内出现45值时有2次，出现4次取2个周期，出现45值8次应有4个周期 ∴有4T ≥3且2T ≤3即得43≤T ≤23，∴43≤126+k ≤23解得23≤k ≤27，∵k ∈Ｎ，∴k ＝2或3答案：D四、小结 通过本节学习要理解并掌握相位变换画图象 五、课后作业：1已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内，当x ＝12π时，取得最大值2，当x ＝127π时取得最小值－2，那么( ))62sin(2D. )62sin(2.C )32sin(2B. )3sin(21A.ππππ+=+=+=+=x y x y x y x y2如图，已知函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象(的部分)，则函数的表达式为( )A ＝2sin （61110π+x ）B y ＝2sin （61110π-x ）C y ＝2sin （2x ＋6π） D ＝2sin （2x －6π)3函数y ＝2sin （321π+x ）在一个周期内的三个“零点”横坐标是( )35,32,3D. 623,611,6C.310,34,32B. 311,35,3A.ππππππππππππ----4函数y ＝｜sin （ωx －2）｜（ω＞0）的周期为2，则ω＝5若函数y ＝a sin x ＋b （a ＜0)的最小值为－21，最大值为23，则a 、b 的值分别为________ 6函数y ＝3sin （2x ＋φ）(0＜φ＜π)为偶函数，则φ＝参考答案：1B 2C 3B 42π 5－1 －21 6 2π六、板书设计（略）七、课后记： 附：巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析，介绍四种方法如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式 错解：由图知：A ＝5由23252πππ=-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝32∴y ＝5sin(32x ＋ϕ)将(π，0)代入该式得：5sin(32π＋ϕ)＝0由sin(32π＋ϕ)＝0，得32π＋ϕ＝k πϕ＝k π－32π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝－32π或ϕ＝3π∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(32x ＋3π)分析：由题意可知，点(4π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －32π)中，令x ＝4π，则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －32π)不合题意那么，问题出在哪里呢?我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴32π＋ϕ∈［2π＋2k π，32π＋2k π］(k ∈Z ) 由sin(32π＋ϕ)＝0得32π＋ϕ＝2k π＋π∴ϕ＝2k π＋3π(k ∈Z ) ∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝3π正解二：(最值点法) 将最高点坐标(4π，5)代入y ＝5sin(32x ＋ϕ)得5sin(6π＋ϕ)＝5∴6π＋ϕ＝2k π＋2π ∴ϕ＝2k π＋3π (k ∈Z )取ϕ＝3π正解三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx +ϕ=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角ϕ由图象求得x 0=-2x ,∴ϕ=-ωx 0=-32 (-2π3正解四：(平移法) 由图象知，将y =5sin(32x )的图象沿x 轴向左平移2π个单位，就得到本题图象，故所求函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(32x ＋3π)。