(寒假总动员)2015年高二数学寒假作业 专题11 立体几何中的向量方法(学)
(寒假总动员)高二数学寒假作业 专题11 立体几何中的向量方法(背)
专题11 立体几何中的向量方法【背一背】一、空间向量与平行关系 1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个． 2．平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量． 3．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l ∥m ⇔//a b ⇔a bλ=2220)a b c ≠. (2)线面平行设直线l 的方向向量为a ＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u ＝(a2，b2，c2)，则l ∥α⇔a u ⊥⇔0a u ⋅=⇔1212120a a bb c c ＋＋＝. (3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u ＝(a1，b1，c1)，v ＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔//u v ⇔u v λ=⇔111222a b c a b c ==222(0)a b c ≠空间向量与垂直关系1．空间垂直关系的向量表示2.空间中垂直关系的证明方法空间向量与空间角 1．空间中的角,a b b a b⋅〉=⋅＝所成的角为θ，l 的方向向量，则sin θ＝,a n n a n⋅〉=⋅设二面角α—l —β的平面角为法向量为n1，n212,n n n n n ⋅〉=⋅_________解决立体几何问题时，注意求解方法既可以用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求直线和平面所成的角、二面角时，正确求出法向量的坐标是关键，下面总结两种常见的求法向量坐标的方法，希望大家掌握这个一重要技能. 方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设置可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以了. 双0速算法在实际中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0，就可以快速求得法向量，而且正确率高，在考试中作用明显，举例说明例题：已知向量,a b 是平面α内的两个不共线向量，且(1,2,0)a =，(3,0,4)b =，求平面α的一个法向量解：先找一个与(1,2,0)a =垂直的向量n，因为0n a⋅=，故可先取n的,x y坐标分别为2,1-，z的值待定，即(2,1,)n z=-，又因为0n b⋅=，即640z+=，所以32z=-，取3(2,1,)2n=--.。
(寒假总动员)2015年高二数学寒假作业专题11立体几何中的向量方法(测)(含解析)
专题 11 立体几何中的向量方法【测一测】一、选择题1．平面 α 的一个法向量为 n=(1,2,0),平面 β 的一个法向量为 m=(2,-1,0), 则平面 α和平面 β 的 地点关系是 ()(A) 平行(B) 订交但不垂直(C)垂直(D) 重合【答案】 C 【分析】试题剖析：∵ n=(1,2,0),m=(2,-1,0), ∴ m · n=2-2+0=0, 即 m ⊥ n ，∴ α ⊥ β.2. 设平面 α的法向量为 (1，2，-2)，平面 β的法向量为 (-2，-4，k) ，若 α ∥ β，则 k 等于 ( )(A)2(B)-4(C)4(D)-23．从点 A(2 ，－ 1,7)沿向量 a ＝ (8,9 ，－ 12)的方向取线段长 AB ＝34，则 B 点的坐标为 ( )A ． (－ 9，－ 7,7)B ． (18,17，－ 17)C ．(9,7，－ 7)D ． (－ 14，－ 19,31)4.如图，平面 ABCD 平面 ABEF ，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形，且AF1ADa2， G是 EF 的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（）63624 题A ．63C.3D.3B.【答案】 C【分析】试题剖析： 由已知可知图中直线AB, AF , AD两两垂直， 所以我们以此为空间的直角坐标轴成立空间直角坐标系，利用向量法求出 GB与平面AGC所成角的正弦值 .5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB , AC ，M ,N 分别是边 OA,CB 的中点，点 G 在5 题线段MN上，且使MG2GN ，用向量OA , OB , OC表示向量OG是（）OG1OA1OB1OC OG1OA1OB2OCA ．633B．633OG OA 22OG122OB OC OA OB OCC．33 D ．233【答案】 A【分析】3111OCOG OM MG OM MN OA OB试题剖析：由于4633,选 A6.已知非零向量a,b 及平面α，若向量 a 是平面α的法向量，则 a·b=0 是向量 b 所在直线平行于平面α或在平面α内的 ()(A) 充足不用要条件(B) 必需不充足条件(C) 充要条件(D) 既不充足也不用要条件7. 已知AB＝(1 ，5， -2)，BC＝ (3， 1， z)，若AB BC， BP ＝(x-1,y,-3)，且BP⊥平面ABC ，则实数 x,y,z 分别为 ()331540154040,7,4(B) 7,(C)7,-2,47,-15(A) 77,4(D)4,【答案】 B 【分析】试题剖析：∵ AB BC,∴AB BC＝ 3+5-2z=0, 即 z=4.又 BP⊥平面 ABC ，∴BP AB＝4015x-1+5y+6= 0,①，BP BC＝ 3x-3+y-3z=0, ②，由①②可得x=7,y=7 .8.已知直二面角α -l- β ,点 A ∈ α ,AC ⊥l,C 为垂足， B∈β ,BD ⊥ l,D 为垂足 .若 AB ＝ 2，AC ＝BD ＝ 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于 ( )236(A) 3(B)3(C)3(D)1【答案】 C【分析】2222试题剖析：∵ ABAC CD DB,AB AC CD DB∴, ∴ |CD|2=2. 在 Rt△ BDC 中，BC ＝3.∵平面 ABC ⊥平面 BCD ，过 D 作 DH ⊥BC 于 H ，则 DH ⊥平面 ABC ，DB DC＝126∴ DH 的长即为 D 到平面 ABC 的距离，∴ DH ＝BC3 3 .9.若点 A(x,5x,2 x 1) ， B(1,x 2,2x)，当AB取最小值时，x 的值等于（8819A．19B ．7C．7D．14D1P10.记动点 P 是棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1 的对角线BD1 上一点，记D1BAPC 为钝角时，则的取值范围为 ()A. (0,1)(1,1)(0,1)D. (1,3)B.3C.3）．．当二、填空题11.二面角的棱上有A,B 两点，直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB. 已知 AB ＝4， AC ＝ 6，BD ＝ 8， CD＝217，则该二面角的大小为___________.12.正四棱锥S-ABCD 直线 BC 与平面 PAC中，O 为极点在底面上的射影，所成的角等于 _______．P 为侧棱SD 的中点，且SO＝ OD，则13.已知两点A(1,2,3),( 2,1,2),P(1,1,2)点Q在直线 OP 上运动，则当QA QB获得最小值时，Q点的坐标．（448，，）【答案】333【分析】试题剖析：设Q（ x，y，z）由点 Q 在直线 OP 上可得存在实数λ使得OQ OP，则有 Q（λ，λ，2λ）QA (1,2,3 2 ),QB (2 ,1 ,2 2 ),当QA QB（ 1-λ）（ 2-λ） + （ 2-λ）（ 1-λ）+42（ 3-2λ）（ 2-2λ）=2（ 3λ 2-8λ+5）依据二次函数的性质可适当3时，获得最小值3,4 4 8 （ ，，）此时Q 333.14.在棱长为 1 的正方体中 ABCD=A1B1C1D1 ， M 、N 分别是 AC1 、A1B1 的中点．点 P 在正方体的表面上运动， 则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所组成的轨迹的周长等于 _____ ___.三、解答题15.如图，平面 ABCD ⊥平面 ADEF ，此中 ABCD 为矩形， ADEF 为梯形， AF ∥DE ，AF ⊥ FE ，AF ＝AD ＝2DE ＝2．( Ⅰ)求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小；1( Ⅱ)若二面角 A － B F － D 的平面角的余弦值为3 ，求 AB 的长．B( － 2， 0，x)，所以DF＝ (1，－3， 0)，BF＝ (2， 0，－ x)．由于 EF⊥平面 ABF ，所以平面 ABF 的法向量可取n1 ＝(0，1，0)．设n2 ＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，2x1z1 x0,23则x13y10,，所以可取n2 ＝(3，1，x)．n1 n21215215由于 co s< n1，n2>＝| n1| | n2|＝3，得 x＝5，所以AB＝5．16.如图，三棱锥P ABC中，PB平面 ABC ， PB BC CA4， BCA90 ，E为PC中点.（1）求证：BE平面PAC；（2）求二面角E AB C的正弦值 .平面 ABC 法向量为n1(0,0,1) ，设平面 ABE 法向量为n2x, y, z ，则 BA n2 0 BE n204x 4y02x2z0.令z=1,得x=-1,y=1,.即 n2(-1,1,1) ，cos n1n233 n1n2设二面角 E-AB-C 为,则3故二面角E AB C的余弦值为 3 . =。
13—立体几何中的向量方法
13—立体几何中的向量方法向量是几何学中非常重要的概念之一，它可以用来描述空间中的方向和大小。
在立体几何中，向量方法被广泛应用于解决各种问题，例如计算向量的模、方向角、点到直线的距离等等。
本文将详细介绍立体几何中的向量方法，包括向量的基本概念、加减乘除、数量积、向量积等内容。
一、向量的基本概念在立体几何中，我们通常用箭头表示一个向量，表示向量的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
两个向量相等意味着它们的大小和方向都相同。
向量的模表示向量的大小，一般用，AB，表示，表示点A到点B的距离，也表示向量的大小。
二、向量的加减乘除1.向量的加法：向量的加法按照平行四边形法则进行，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
用数学表示为A+B=C，C的起点为A的起点，终点为B的终点。
2.向量的减法：向量的减法等价于将减去的向量取反再进行加法，即A-B=A+(-B)。
其中，-B表示B的方向相反，大小相同的向量。
3. 向量的数量积：两个向量的数量积等于向量的模的乘积与两个向量之间的夹角的余弦值的乘积，即A·B=，A，B，cosθ。
其中，θ为两个向量之间的夹角。
4. 向量的向量积：两个向量的向量积等于一个新的向量，其方向垂直于原来两个向量所在的平面，大小等于两个向量的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，即A×B=，A，B，sinθn。
其中，n为右手定则确定的垂直于平面的方向。
三、应用实例1.计算向量的模：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其模为，A，=√((-3)^2+4^2+5^2)=√50。
2. 计算向量的方向角：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其方向角为α=arccos(-3/√50)，β=arccos(4/√50)，γ=arccos(5/√50)。
3.计算点到直线的距离：给定一点P(x,y,z)和一直线l，可以通过向量的方法计算点P到直线l的距离。
立体几何中的向量方法
13—立体几何中的向量方法基础巩固1.已知a=λ+1,0,2,b=6,2μ-1,2λ,若a∥b,则λ与μ的值可以是A2,B-,C-3,2 D2,22.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为A1,1,1 B1,1,C1,1,D1,1,23.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为A aB aC aD a4.如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则||等于5.若向量a=1,λ,2,b=2,-1,2且a与b的夹角的余弦值为,则λ=.6.已知A4,1,3,B2,3,1,C3,7,-5,点Px,-1,3在平面ABC内,则x=.空间三种角1．异面直线所成角设异面直线a,b所成的角为θ,则cos θ＝错误!, 其中a,b分别是直线a,b的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示,设l为平面α的斜线,l∩α＝A,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,φ为l与α所成的角,则sin φ＝|cos〈a,n〉|＝错误!．3．二面角1若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直的异面直线,则二面角或其补角的大小就是向量错误!与错误!的夹角,如图1．平面α与β相交于直线l,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,〈n1,n2〉＝θ,则二面角α -l -β为θ或π－θ．设二面角大小为φ,则|cos φ|＝|cos θ|＝错误!,如图23．错误!典例引领2015·全国卷Ⅰ如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC＝120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE＝2DF,AE⊥EC．1证明：平面AEC⊥平面AFC；2求直线AE与直线CF所成角的余弦值．即时应用如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA＝CB＝CD＝BD＝2,AB＝AD＝错误!．1求证：AO⊥平面BCD；2求异面直线AB与CD所成角的余弦值．错误!典例引领2016·全国丙卷如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．1证明MN∥平面PAB；2求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．即时应用2016·合肥市第二次质量检测如图,六面体ABCD-HEFG中,四边形ABCD为菱形,AE,BF,CG,DH都垂直于平面ABCD．若DA＝DH＝DB＝4,AE＝CG＝3．1求证：EG⊥DF；2求BE与平面EFGH所成角的正弦值．错误!典例引领2016·全国乙卷如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF＝2FD,∠AFD＝90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．1证明：平面ABEF⊥平面EFDC；2求二面角E-BC-A的余弦值．即时应用2017·河北省三市联考如图,三棱柱ADE-BCG中,四边形ABCD是矩形,F是EG的中点,EA⊥AB,AD＝AE＝EF＝1,平面ABGE⊥平面ABCD．1求证：AF⊥平面FBC；2求二面角B-FC-D的正弦值．13—立体几何中的向量方法基础巩固1.已知a=λ+1,0,2,b=6,2μ-1,2λ,若a∥b,则λ与μ的值可以是AA2,B-,C-3,2 D2,2解析:由题意知,解得或2.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为AA1,1,1 B1,1,C1,1,D1,1,2解析:设P0,0,z,依题意知A2,0,0,B2,2,0,则E1,1,,于是=0,0,z,=-1,1,,cos<,>===.解得z=±2,由题图知z=2,故E1,1,1.3.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为AA aB aC aD a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则Aa,0,0,C10,a,a,Na,a,.设Mx,y,z.∵点M在AC1上且=,∴x-a,y,z=-x,a-y,a-z∴x=a,y=,z=.∴M,,,∴||== a.故选A.4.如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则||等于CA6B6C12 D144解析:因为=++,所以=+++2·=36+36+36+2×36cos 60°=144.所以||=12.5.若向量a=1,λ,2,b=2,-1,2且a与b的夹角的余弦值为,则λ=.解析:由已知得==,∴8=36-λ,解得λ=-2或λ=.答案:-2或6.已知A4,1,3,B2,3,1,C3,7,-5,点Px,-1,3在平面ABC内,则x=.解析:根据共面向量定理设=λ+μ,即x-4,-2,0=λ-2,2,-2+μ-1,6,-8,由此得解得λ=-4,μ=1,所以x=4+8-1=11.答案:111．异面直线所成角设异面直线a,b所成的角为θ,则cos θ＝错误!, 其中a,b分别是直线a,b的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示,设l为平面α的斜线,l∩α＝A,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,φ为l与α所成的角,则sin φ＝|cos〈a,n〉|＝错误!．3．二面角1若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直的异面直线,则二面角或其补角的大小就是向量错误!与错误!的夹角,如图1．平面α与β相交于直线l,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,〈n1,n2〉＝θ,则二面角α -l -β为θ或π－θ．设二面角大小为φ,则|cos φ|＝|cos θ|＝错误!,如图23．错误!典例引领2015·全国卷Ⅰ如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC＝120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE＝2DF,AE⊥EC．1证明：平面AEC⊥平面AFC；2求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解：1证明：连接BD,设BD∩AC于点G,连接EG,FG,EF．在菱形ABCD中,不妨设GB＝1．由∠ABC＝120°,可得AG＝GC＝错误!．由BE⊥平面ABCD,AB＝BC,可知AE＝EC．又AE⊥EC,所以EG＝错误!,且EG⊥AC．在Rt△EBG中,可得BE＝错误!,故DF＝错误!．在Rt△FDG中,可得FG＝错误!．在直角梯形BDFE中,由BD＝2,BE＝错误!,DF＝错误!,可得EF＝错误!．从而EG2＋FG2＝EF2,所以EG⊥FG．又AC∩FG＝G,所以EG⊥平面AFC．因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC．2以G为坐标原点,分别以错误!,错误!的方向为x轴,y轴正方向,|错误!|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz．由1可得A0,－错误!,0,E1,0, 错误!,F错误!,C0, 错误!,0,所以错误!＝1,错误!,错误!,错误!＝错误!．故cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝－错误!．所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为错误!．由题悟法用向量法求异面直线所成角的一般步骤1选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；2确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；3利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；4两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．即时应用如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA＝CB＝CD＝BD＝2,AB＝AD＝错误!．1求证：AO⊥平面BCD；2求异面直线AB与CD所成角的余弦值．解：1证明：连接OC,由CA＝CB＝CD＝BD＝2,AB＝AD＝错误!,O是BD的中点,知CO＝错误!,AO＝1,AO⊥BD．在△AOC中,AC2＝AO2＋OC2,则AO⊥OC．又BD∩OC＝O,因此AO⊥平面BCD．2如图建立空间直角坐标系O-xyz,则A0,0,1,B1,0,0,C0,错误!,0,D－1,0,0,错误!＝1,0,－1,错误!＝－1,－错误!,0,∴|cos〈错误!,错误!〉|＝错误!＝错误!．即异面直线AB与CD所成角的余弦值为错误!．错误!典例引领2016·全国丙卷如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．1证明MN∥平面PAB；2求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．解：1证明：由已知得AM＝错误!AD＝2．取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN＝错误!BC＝2．又AD∥BC,故TN綊AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT．因为MN⊄平面PAB,AT⊂平面PAB,所以MN∥平面PAB．2取BC的中点E,连接AE．由AB＝AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE＝错误!＝错误!＝错误!．以A为坐标原点,错误!的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．由题意知P0,0,4,M0,2,0,C错误!,2,0,N错误!,错误!＝0,2,－4,错误!＝错误!,错误!＝错误!．设n＝x,y,z为平面PMN的法向量,则错误!即错误!可取n＝0,2,1．于是|cos〈n,错误!〉|＝错误!＝错误!．所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为错误!．由题悟法向量法求线面角的2大途径1分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角或其补角．2通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角．即时应用2016·合肥市第二次质量检测如图,六面体ABCD-HEFG中,四边形ABCD为菱形,AE,BF,CG,DH都垂直于平面ABCD．若DA＝DH＝DB＝4,AE＝CG＝3．1求证：EG⊥DF；2求BE与平面EFGH所成角的正弦值．解：1证明：连接AC,由AE綊CG可知四边形AEGC为平行四边形,所以EG∥AC,而AC⊥BD,AC⊥BF,所以EG⊥BD,EG⊥BF,因为BD∩BF＝B,所以EG⊥平面BDHF,又DF⊂平面BDHF,所以EG⊥DF．2设AC∩BD＝O,EG∩HF＝P,由已知可得,平面ADHE∥平面BCGF,所以EH∥FG,同理可得：EF∥HG,所以四边形EFGH为平行四边形,所以P为EG的中点,O为AC的中点,所以OP綊AE,从而OP⊥平面ABCD,又OA⊥OB,所以OA,OB,OP两两垂直,由平面几何知识,得BF＝2．分别以错误!,错误!,错误!的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,则B0,2,0,E2错误!,0,3,F0,2,2,P0,0,3,所以错误!＝2错误!,－2,3,错误!＝2错误!,0,0,错误!＝0,2,－1．设平面EFGH的法向量为n＝x,y,z,由错误!可得错误!令y＝1,则z＝2．所以n＝0,1,2．设BE与平面EFGH所成角为θ,则sin θ＝错误!＝错误!．所以BE与平面EFGH所成角的正弦值为错误!．错误!典例引领2016·全国乙卷如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF＝2FD,∠AFD＝90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．1证明：平面ABEF⊥平面EFDC；2求二面角E-BC-A的余弦值．解：1证明：由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC．又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC．2过D作DG⊥EF,垂足为G．由1知DG⊥平面ABEF．以G为坐标原点,错误!的方向为x轴正方向,|错误!|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz．由1知∠DFE为二面角D -AF-E的平面角,故∠DFE＝60°,则DF＝2,DG＝错误!,可得A1,4,0,B－3,4,0,E－3,0,0,D0,0,错误!．由已知得AB∥EF,所以AB∥平面EFDC．又平面ABCD∩平面EFDC＝CD,故AB∥CD,CD∥EF．由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF＝60°．从而可得C－2,0,错误!．所以错误!＝1,0,错误!,错误!＝0,4,0,错误!＝－3,－4,错误!,错误!＝－4,0,0．设n＝x,y,z是平面BCE的法向量,则错误!即错误!所以可取n＝3,0,－错误!．设m是平面ABCD的法向量,则错误!同理可取m＝0,错误!,4．则cos 〈n,m〉＝错误!＝－错误!．由图知,二面角E-BC-A为钝角,故二面角E-BC-A的余弦值为－错误!．由题悟法利用法向量求二面角时的2个注意点1对于某些平面的法向量要注意题中隐含条件,不用单独求．2注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可结合图形进行,以防结论失误．即时应用2017·河北省三市联考如图,三棱柱ADE-BCG中,四边形ABCD是矩形,F是EG的中点,EA⊥AB,AD＝AE＝EF＝1,平面ABGE⊥平面ABCD．1求证：AF⊥平面FBC；2求二面角B-FC-D的正弦值．解：1证明：∵四边形ABCD是矩形,∴BC⊥AB,又平面ABGE⊥平面ABCD,∴BC⊥平面ABGE,∵AF⊂平面ABGE,∴BC⊥AF．在△AFB中,AF＝BF＝错误!,AB＝2,∴AF2＋BF2＝AB2,即AF⊥BF,又BF∩BC＝B,∴AF⊥平面FBC．2分别以AD,AB,AE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A0,0,0,D1,0,0,C1,2,0,E0,0,1,B0,2,0,F0,1,1,∴错误!＝－1,0,1,错误!＝0,2,0,设n1＝x,y,z为平面CDEF的法向量,则错误!即错误!令x＝1,得z＝1,即n1＝1,0,1,取n2＝错误!＝0,1,1为平面BCF的一个法向量,∴cos〈n1,n2〉＝错误!＝错误!,∴二面角B-FC-D的正弦值为错误!．。
高二数学寒假作业(人教A版必修五)立体几何中的向量方法word版含答案
高二数学寒假作业（人教A 版必修五）立体几何中的向量方法1．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2解析：∵α∥β，∴两平面法向量平行，∴－21＝－42＝k －2，∴k ＝4. 答案：C2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相关B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内解析：∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．答案：D3．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P(2，3，3)B ．P(－2，0，1)C ．P(－4，4，0)D ．P(3，－3，4)4．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为B C 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对解析：以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，3)，C(0，2，0)，A(22，0，0)， M(2，2，0)．∴PM →＝(2，2，0)－(0，1，3)＝(2，1，－3)，AM →＝(2，2，0)－(22，0，0)＝(－2，2，0)，∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM.答案：C5．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥面DCC 1D 1，A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确．答案：C6．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010 D.35解析：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D 1(0，0，2)．所以BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)．所以cos 〈BE →，CD 1→〉＝BE →·CD 1→|BE →|·|CD 1→|＝32×5＝31010. 答案：C7．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216 a B.66a C.156 a D.153a 解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A(a ，0，0)，C 1(0，a ，a)，N(a ，a ，a 2)．设M(x ，y ，z)，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， (x －a ，y ，z)＝12(－x ，a －y ，a －z) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3. 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216 a. 答案：A8．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22解析：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E(1，0，12)，D(0，1，0)，答案：B9．已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图所示：S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC A 1B 1C 1＝S △ABC ·OP ＝334·OP ＝94，∴OP ＝ 3. 又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3， 又0<∠OAP<π2，∴∠OAP ＝π3. 答案：B10．在四面体P-ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为( )A.63B.33aC.a 3D.6a 解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P xyz ，则P(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，C(0，0，a)．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．∵PA ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又△ABC 为等边三角形，∴H 为△ABC 的重心，则H ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a 3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＝33a. ∴点P 到平面ABC 的距离为33a. 答案：B11．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________． 解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设n ＝(x ，y ，z)为平面A 1BC 1的法向量．则n·A 1B →＝0，n·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，－x ＋2y ＝0，令z ＝2，则y ＝1，x ＝2， 于是n ＝(2，1，2)，D 1C 1→＝(0，2，0)设所求线面角为α，则sin α＝|cos 〈n ，D 1C 1→〉|＝13. 答案：1312．如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．解析：以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12， ∴EF 和BC 1所成的角为60°.答案：60°13．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO.建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B(0，－12，0)， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则BA →·n ＝0，且BD →·n ＝0，∴y 02＋32z 0＝0且32x 0＋y 02＝0， 解之得y 0－3z 0，且y 0＝－3x 0，取x 0＝1，得平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，由于OA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量． ∴cos 〈n ，OA →〉＝55，∴sin 〈n ，OA →〉＝255. 答案：25514．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________．15．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．解析：以C 1为坐标原点建立如图所示的坐标系．∵A 1M ＝AN ＝2a 3，则M(a ，2a 3，a 3)，N(2a 3，2a 3，a)， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，23a . 又C 1(0，0，0)，D 1(0，a ，0)，∴C 1D 1→＝(0，a ，0)，∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→.又C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C.答案：MN ∥平面BB 1C 1C16．如图，四棱锥P ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．(1)∵PB →＝(2，0，－2)，EH →＝(1，0，－1)，∴PB →＝2EH →，∴PB ∥EH.∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH.(2)PD →＝(0，2，－2)，AH →＝(1，0，0)，AF →＝(0，1，1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又∵AF∩AH＝A ，∴PD ⊥平面AHF.17．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D.证明：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1＝2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A 1(0，0，1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1，1，1)．∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)，BB 1→＝(－1，0，1)，∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·B 1B →＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD∩BB 1＝B ，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D.18．如图，在直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．(1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所成直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t ，0，0)，B 1(t ，0，3)，C(t ，1，0)，C 1(t ，1，3)，D(0，3，0)，D 1(0，3，3)．从而B 1D →＝(－t ，3，－3)，AC →＝(t ，1，0)，BD →＝(－t ，3，0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1，0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0， ∴AC →⊥B 1D →，则AC ⊥B 1D.。
高二数学精华学案：立体几何的向量方法
3。
2立体几何中的向量方法（1）-----直线的方向向量与平面的法向量制作人:梁丛辉 审核人：皇甫真一，学习目标①理解平面法向量的定义，会求平面的法向量.②会根据向量判断线线，线面，面面间的位置关系。
二，重难点重点：平面法向量的求法.难点：向量法判断平行或垂直关系.三,基础知识1、点的位置向量：2、直线的方向向量：3、平面的法向量：问题1：如何求平面向量的法向量？根据例题总结一下如何求平面向量的法向量？4、法向量的运用设直线m l ,的方向向量分别为,a b ,平面βα,的法向量分别为,u v ，则线线平行 l ∥m ⇔a ∥b⇔ ； 线面平行 l ∥α⇔a u ⊥⇔ ； 面面平行 α∥β⇔u ∥v ⇔ ；注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内,面(2,2,1),(4,5,3),AB AC ABC ==例：已知求平面的单位法向量。
面平行包括面面重合设直线m l ,的方向向量分别为,a b ，平面βα,的法向量分别为,u v ，则 线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b⇔ ； 线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔ ； 面面垂直 α⊥β⇔u ⊥v ⇔二,课堂检测1, 设,a b 分别是直线12,l l 的方向向量,根据下列条件判断1l 与2l 的位置关系:①()2,3,1a =-(6,9,3)b =-- ②(5,0,2),(0,4,0)a b ==③(2,1,4)a =-(6,3,3)b =2,设,u v 分别是平面βα,的法向量，根据下列条件判断α与β的位置关系：①(1,1,2)u =-1(3,2,)2v =- ②(0,3,0),(0,5,0)u v ==- ③(2,3,4),(4,2,1)u v =-=-3，设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α与l 的位置关系：① (2,2,1),(3,4,2)u a =-=- ②(0,2,3),(0,8,12)u a =-=-③(4,1,5),(2,1,0)u a ==-4，已知平面α经过三点A(1，2，3）、B(2，0,-1) 、C（3,—2,0）,试求平面α的一个法向量。
立体几何中的向量方法
例2 (2)设u‚v 分别是平面 ‚ 的法向量,根据下列条件
判断 与 的位置关系:
①
u
(1,
1,
2), v
(3,
2,
1 )
2
② u (0, 3,0),v (0, 5,0)
③ u (2, 3, 4), v (4, 2,1)
分析:平面法向量与两平面位置关系,
∥ u∥v; ⊥ u⊥v
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
例2 (1)设a‚b 分别是直线 l1 ‚l2的方向向量,根据下列
l
m
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量m是平面的法向量，向量 n 是与平面
平行或在平面内，则有
nm 0
A
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共 Nhomakorabea的向量的坐标a (a1, b1, c1), b (a2 , b2 , c2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的
高二数学立体几何中的向量方法
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
l 给定一点A和一个向量 n ,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 与平面平行或在平面内，则有
n
A
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
D M
y
B
x
C
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0.
所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所以 DB1 平面 ACD , 从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的
由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解：设平面的法向量为n （x，y，z）， 不惟一的，为方便起 见，取z=1较合理。 则n AB ， n AC 其实平面的法向量不 是惟一的。 （x，y，z） (2, 2,1) 0，
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专题十一 立体集合中的向量方法
学一学------基础知识结论 空间向量与垂直关系
面垂直c 2)线线垂直
向量与平面的法向
空间向量与空间角 异面直线 ,a b b a b
⋅〉=
⋅＝
所成的角为θ，l 的方向向量，则sin θ＝
,a n n a n
⋅〉=
⋅
设二面角α—l —β的平面角为为n1，n212,n n n n n ⋅〉=
⋅
_________
[0，π]
1．利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角范围是
(0,]
2π
，构造两条直线的方向向量,a b ，先求,a b 夹角的余弦值cos ,a b 〈〉，设异面直线所成的角为θ，则有cos cos ,a b θ=〈〉．
例1．如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ， D 是PB 上一点，
且CD ⊥平面PAB ．
（1）求证：AB ⊥平面P CB ；
（2）求异面直线AP 与BC 所成角的大小；
2．直线和平面所成的角
直线和平面所成的角的范围是[0,]2π
，构造直线的方向向量a ，和计算平面的法向量b ，
再计算,a b 夹角的余弦值cos ,a b 〈〉，设直线和平面所成的角为θ，则sin cos ,a b θ=〈〉
．
例2. 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，1AB =，1AA ，D 为1AA 的
中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A .
（1）证明：
1BC AB ⊥；
（2）若OC OA =，求直线1C D 与平面ABC 所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析；（2
）
3．二面角求法
二面角的平面角的范围是[0,]
π
，先求两个半平面的法向量
,a b，再计算法向量的夹角
cos,a b
〈〉，设二面角的大小为θ，则cos cos,a b
θ=±〈〉，然后再观察二面角是锐二面角还是钝二面角决定符号.
例3. 如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且
1
3
AD DB
=
，点C
为圆O
上一点，且
BC=．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．
⊥；
（1）求证：PA CD
--的余弦值．（2）求二面角C PB A
--的余弦值为
∴二面角C PB A
．。