福建省厦门双十中学2020届高三数学上学期期中试题 理(扫描版)
2020届福建省厦门市双十中学高三上学期期中数学（理）试题
2020届福建省厦门市双十中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题 1．已知集合则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为,,所以故选A.【考点】本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．5 【答案】 C【解析】试题分析：由题；11abi i=-+，则(1)1(1)(1)2a i a ai bi i i --==-+-。
即；2,1a b == 所以；|||2|5a bi i -=-= 【考点】复数的运算及复数的模. 3．已知等差数列的前n 项和为，若，则等于A ．18B ．36C ．54D ．72 【答案】D【解析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由,结合等差数列的求和公式可求得. 【详解】 数列为等差数列，,由等差数列的性质得： ,又其前项和为,，故选D .【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用，属于中档题. 解答与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.4．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ） A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥ B ．存在唯一直线l ，使得l a //，且l b ⊥ C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b α D ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥ 【答案】C【解析】【详解】试题分析：过直线a 上任意一点P ，作b 的平行线c ，由,a c 相交确定一个平面α.直线l 只需垂直于平面α，就会与b 垂直，这样的直线有无数条，故A 错误.因为,a b 不一定垂直，根据平面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.所以选C. 【考点】空间点线面位置关系. 5．设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由x 的范围得到0sin 1x <＜，则由sin 1x x <能得到2sin sin 1x x x x <<，反之不成立，从而可求得结果. 【详解】 02x ＜＜π，∴ 0sin 1x <＜，故2sin sin x x x x <，若“sin 1x x <”，则“2sin 1x x ＜”， 若“2sin 1x x ＜”，则11sin ,1sin sin x x x x，此时sin 1x x <可能不成立， 例如,sin 1,sin 12x x x x π→→>，由此可知，“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x <”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,||||BC AB AC AB AC =+=-，则AM =（ ） A ．8 B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】由||||AB AC AB AC +=-可得0AB AC ⋅=，AB AC ⊥，结合2||16BC =即可得结果. 【详解】因为2||16BC =，所以||4BC =，又因为22||||||||0AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC +=-⇒+=-⇒⋅=， 所以AB AC ⊥,又因为M 是BC 的中点， 所以1||||22AM BC ==, 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a=.7︒=（）A ．1 BCD ．2【答案】C【解析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可. 【详解】原式22cos 20sin 20cos 25(cos 20sin 20)︒-︒=︒︒-︒02020cos 20sin 20-2522==cos 25cos 25cos 25︒+︒︒+︒︒=︒︒︒）（45）25=cos 25︒=︒故选C. 【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题.8．已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ） A．)+∞ B．)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞【答案】C【解析】试题分析：0,()()a b f a f b <<=，01,a b ∴<<<所以()lg ,()lgb f a a lga f b lgb ==-==，所以由()()f a f b =得lg lg a b -=，即lg lg lg()0+==a b ab ，所以1ab =，1b a =，令2()2h a a b a a=+=+，因为函数()h a 在区间(0,1)上是减函数，故()(1)3h a h >=，故选C 。
福建省厦门市双十中学高三(上)期中数学试卷含答案
轴 距离
【解答】
解：设퐴(1,0)，퐵(−1,0)，푃(푥,푦)，
8 (푥 + 3) + 푦 = 则
(푥−1)2 + 푦2 (푥 + 1)2 + 푦2
高三（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合퐴 = {푦|푦 = ln(푥−1)}，퐵 = {0,1，2，3}，则퐴 ∩ 퐵 = ( )
A. {0,1，2，3} B. {1,2，3}
C. {2,3}
D. {0,1}
2. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
1，푙1与圆
C：푥2
+
푦2
=
4
相切，푙 与
2
C
相交
于 A，B 两点，则|퐴퐵| = ( )
A. 2
B. 3
C. 2 2
D. 2 3
7. △ 퐴퐵퐶的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，푐.已知퐴 = 60°，푐 = 8， 푎 = 푏 + 2，那么 △ 퐴퐵퐶的周长等于( )
A. 12
B. 20
C. 26
D. 10 3
8. 在 △ 퐴퐵퐶中，若点 D 满足퐶퐷 = 2퐷퐵，点 M 为 AC 中点，则푀퐷 = ( )
A. 23퐴퐵−16퐴퐶
B. 13퐴퐵−16퐴퐶
C. 23퐴퐵−13퐴퐶
D. 2퐴퐵 + 1퐴퐶
3
6
9. 已知函数푓(푥) = sin휔푥(휔 > 0)，则“函数푓(푥)的图象经过点(휋4,1)”是“函数푓(푥) 的图象经过点(휋2,0)”的( )
2020-2021厦门市双十中学高中必修三数学上期中试卷(附答案)
2020-2021厦门市双十中学高中必修三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为an D ．这组新数据的标准差为a n3．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．5126．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数120,140的人数占大半．则说法正确的是（）为60；④分数在区间[)A．①②B．①③C．②③D．②④7．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，88．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.319．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是()A．336B．510C．1326D．360310．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？11．已知函数()cos3xf xπ=，根据下列框图，输出S的值为()A．670B．16702C．671D．67212．已知平面区域()2,4yx yy x⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m=+和曲线24y x=-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为()P M．若01m≤≤，则()P M的取值范围为（）A．22,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B．22,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦二、填空题13．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．14．执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出S的值为__________．15．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为________．16．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4-x 3+3x 2+7,在求x=2时对应的值时,v 3的值为___. 17．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=.(3) 若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.18．已知样本数据12345,,,,a a a a a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为__________．19．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重()kg ，得到频率分布直方图如图5所示：根据图2可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是__________． 20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：（1）画出散点图；（2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？22．某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，$$y abx =+$42.0≈27.5≈23．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，101120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+$$$中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑$，其中x ，y 为样本平均值.）25．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.26．[2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中，有这样一个执行框1()i i x f x -=，其中的函数关系式为42()1x f x x -=+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域．（1）若输入04965x =，请写出输出的所有x 的值； （2）若输出的所有i x 都相等，试求输入的初始值0x ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式．2．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．4．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．5．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->， 以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图8．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.10．A【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．【解析】14．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.15．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛:本题考查的是算法与流程图算法与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循解析：30 【解析】3i =时，0236S =+⨯=，继续， 5i =时，62516S =+⨯=，继续，7i =时，162730S =+⨯=，停止， 输出30S =．点睛:本题考查的是算法与流程图.算法与流程图的的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f (x )=2x 4-x 3+3x 2+7=(((2x -1)x +3)x )x +7， ∴v 0=2,v 1=2×2-1=3,v 2=3×2+3=9,v 3=9×2=18. 故答案为：18.17．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-Q ：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----Q ，，，又200|33k y x x x ='==-Q ，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=Q ，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..18．或【解析】设样本数据的平均数为则方差：结合可得：即样本数据的平均数为2或-2则样本数据的平均数为：或故答案为或点睛：平均数与方差都是重要的数字特征是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实解析：5或3- 【解析】设样本数据的平均数为a ，则方差：()()522152215522115221522115125125512555155i i i i i i i i i i i i i s a a a aa a a a a a a a a a a a =======-=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 结合()222222123451205s a a a a a =++++-可得：2520,2a a =∴=±， 即样本数据12345,,,,a a a a a 的平均数为2或-2，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为：2215⨯+=或()2213⨯-+=-.故答案为5或3-．点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．要注意其区别与联系.19．232【解析】由图可知：段的频率为则频数为人解析：232 【解析】由图可知：64.576.5~段的频率为1(0.010.030.050.050.07)20.58-++++⨯=， 则频数为4000.58232⨯=人．20．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4【解析】由题意,()()110123 1.5,1357444x y =+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)三、解答题21．（1）见解析；（2）ˆ0.72860.8575yx =-；（3）机器的转速应控制在14.9转/秒以下 【解析】 【分析】（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求ˆ,ba 即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解. 【详解】（1）画出散点图，如图所示：（2）4421112.5,8.25,438,660,i ii i i x y x yx ======∑∑41422214438412.58.250.7286660412.ˆ54i i i i i x y xy bx x ==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑，8.250.728612.50.857ˆˆ5ay bx =-≈-⨯=-. 故回归直线方程为0.72860.8575ˆyx =-. （3）要使100.72860.857510y x ≤-≤，则，14.9019x ≤.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 【点睛】本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题. 22．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入ˆ0.65757yx =+，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据得：6117950i ii x y==∑，6219100i i x ==∑，62139158i i y ==∑，35,80x y ==∴0.05||0.997r r ==>从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，∴此求回归直线方程是有意义的．计算得：ˆˆ0.657,57ba== ∴ˆ0.65757yx =+ （2）Q 每小时加工零件的数量，即60x =将60x =代入ˆ0.65757y x =+ ˆ96.42y= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.23．(1) ˆ0.12 1.93yx =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。
福建省厦门双十中学2020届高三模拟考试数学（理）试题含答案
高三第•次模拟测试理科数学一、选择题（本小题共12小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知金集U = R,集合J = (1,2,33,5),集合B = {x|x>2),下图中阴影部分所表示的集合为（「~. ...5.函数/（.v ）=2sin.v-ln （l + x ）的部分图像大致是（）A. {0,1,2} C.{1}D.{0,l}2.复数z = i 2-—,在复平面上对应的点位于（ ）1+7A.第一象限B.第二象限 c.第三象限D.第四象限3.若sino + cosa = — , 6ZG(0,zr),则 tana =()A. VJ B. — VJ c 四D.W 334.已知命题p ：玉，使得x + -<2, X命题 q:PxeR,x 2+x + l>0,下列命题为真的是（A. pzq B.(—tp)/\g C ”（F ）d (w )H f )6. 在 AABC 中，C = 45°,则 sin 2 J + sin 2 5 - 71 s in J sin B =（ ）7. 已知5是平面内两个互相垂直的单位向量.若向量Z 满足@-】）0-；）=0,则日的最大值是（A.lB.—C.2D.a /228. 已知B, C,。
是同一球面上的四个点，其中MBC 是正角形，JD1T 面A8C, AD = 2LB = 6, 则该球的表面积为( )A. 16^-B.24)C.32立兀D.48々9. 在二项式(右 + j)的展开式中，各项系数之和为M,各项二项式系数之和为M 且M + N = 72,则展开式中常数项的值为( )A.18B.12C.9D.6】0.已知函数/(.V)=sin + cosry.r (6»0)，如果存在实数由，使得对任意的实数x,都有/(.r,)</(x)</(^+2012)^,则c 的最小值为()1 4 八 1 n A.---- B.---- C.---- D.----2012 2012 4024 402411•设4，%为椭圆的与+写=1(。
福建省厦门市双十中学高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜05．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于时取到最大值．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1≥1，即M=[1，+∞），由N中y=ln（x+1）+1，即N=（﹣∞，+∞），则M∩N=[1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】原命题和其逆否命题同真假，故只需找出命题“若¬p，则q”的逆否命题即可．【解答】解：四种命题中原命题和其逆否命题同真假，而“若￢p，则q”的逆否命题为“若￢q，则p”即￢q⇒p，p是￢q的必要条件，故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系及复合命题真假判断，难度不大．3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于||cos120°．【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2，由题意可得在上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣．故选B．【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜0【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q成立的m的范围，取交集即可．【解答】解：关于p：存在x∈R，mx2+1≤0，∴m＜0，关于q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，则△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，若p且q为真命题，则p，q均为真命题，则实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0，故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；换元法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，进而根据则=（cosα，sinα），根据正弦函数的性质，即可得到的取值范围．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可设A（1，0），B（0，1），设∠AOC=α（0≤α≤），则=（cosα，sinα）．由=（x，2y）=（cosα，sinα），则=（cosα+sinα）=sin（α+）（0≤α≤），由≤α+≤，可得sin（α+）∈[，1]，即有∈[，]．故选：B．【点评】本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出φ．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）=2sin（x+φ﹣），（0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=2sinx，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x﹣）=2sin （2x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤【考点】函数的图象．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对选项一一利用排除法分析可得答案．【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对于①，当x＞0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合题意，故排除①．对于②，当x＞0时，对应的函数是y=f（x）﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除②．对于③，当x＞0时，对应的函数是y=﹣f（x），是把（1）中图象位于y轴右侧的部分关于x轴对称得到的，显然不正确，故排除③．对于④，当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），是把（1）中图象位于y轴左侧的部分关于y轴对称得到的，满足条件．对于⑤，当x＞0时，对应的函数是y=|f（x）|﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除⑤，故选：A．【点评】本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化，考查学生读图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=xf（x），判断g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论．【解答】解：令g（x）=xf（x），则g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）∴g（x）是偶函数．g′（x）=f（x）+xf′（x）∵∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．∵＜ln2＜1＜∴g（）＜g（ln2）＜g（）∵g（x）是偶函数．∴g（﹣）=g（），g（ln）=g（ln2）∴g（﹣）＜g（ln）＜g（）故选：B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据已知中函数f（x）（x∈R）关于对称，且，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案．【解答】解：∵，∴f（x+3）===f（x），故f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，∴f（x）=﹣==f（﹣x），即f（x）是偶函数，故（2）正确；又∵f（3﹣x）=f（﹣x）=f（x），故f（x）关于对称，故（3）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，f（x）的最小正周期是3，故f（x）关于对称，故（4）正确；故正确的命题有4个，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键．11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可．【解答】解：tan（θ+）=，=，可得tanθ=﹣．sin2θ===．故答案为：；【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于7 时取到最大值．【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得a3+a8+a13=3a8=C，a4+a14=2a9=2C，∴a8=，a9=C，∴公差d=，∴a1=﹣7×=﹣，∴a n=﹣+（n﹣1）=C（2n﹣15），令a n=C（2n﹣15）≤0可得2n﹣15≥0，解得n≥∴递减的等差数列{a n}前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当n=7时，S n取最大值．故答案为：7【点评】本题考查等差数列的前n项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是b≤．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合．【分析】作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象，从而可得A=[2，4]；再化简g（x）=﹣（sinx﹣）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可．【解答】解：作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象如下，，∵f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]，∴2≤a≤4，故A=[2，4]；g（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+1+，∵≤≤1，∴g（a）=1+，∵A=[2，4]，∴g min（a）=1+=，∵g（a）≥b对任意实数a∈A恒成立，∴b≤，故答案为：b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为 6 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】由题意得f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=﹣x4﹣x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a•（﹣4）+b]=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=6．故答案为：6．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣1对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）先求出圆的直角坐标方程和直线l：，由此能求出直线l和圆C交点的极坐标．（2）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，先求出直线直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆的直角坐标方程是x2+y2=16，…．（1分），∵直线l的参数方程为（t为参数），∴当a=0时，直线l：，…（2分）代入x2+y2=16得x=±2，P，Q…．（3分）则直线l和圆C交点的极坐标分别是，…．（5分）（2）由于P、Q间的劣弧长是，则圆心角，…．（6分）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，…．（7分），，直线直角坐标方程是：或，…．（8分）直线l的极坐标方程：或…．（10分）即或（写成或给满分）【点评】本题考查直线和圆交点的极坐标及直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】（1）由绝对值的含义，将|2x﹣1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到m2+m+2≤，解不等式可得m的范围；（2）运用两边夹法则，可得++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开后运用基本不等式，即可得证．【解答】解：（1）|2x﹣1|+|x+2|=，当x≤﹣2时，﹣1﹣3x递减，取值范围是[5，+∞）；当﹣2＜x≤时，3﹣x的范围是[，5）；当x＞时，3x+1的范围是（，+∞）．从而|2x﹣1|+|x+2|≥，解不等式m2+m+2≤，得m∈[﹣1，]．（2）证明：由（1）知（|2x﹣1|+|x+2|）≥1，则++≤1，又1≤++，则++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．因此a+2b+3c≥9．【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：，c n=（n∈N+），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：2a n=a n+1﹣a n﹣2n，化为：，∵c n=（n∈N+），∴，∴{c n}是等比数列，公比为，首项为．∴c n+1=，∴c n=﹣1，∴=﹣1，可得a n=3n﹣2n．（2）b n=n（a n+2n）=n•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+2×32+3×23+…+n•3n，∴3T n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2T n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=，∴T n=．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；配方法；换元法；平面向量及应用．【分析】（1）利用B1，P，B2三点共线， =+，可求得+=1；再结合⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，可得||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，于是可求得||的最小值及取得最小值时λ、μ的值，从而可用，表示；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），于是利用||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，再令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ（0＜r≤2）可得•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5，利用辅助角公式及配方法即可求得•∈[﹣，2﹣1]．【解答】解：（1）∵B1，P，B2三点共线， =+，∴+=1．又⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，∴||2=||2+||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，当时，||min=，此时， =+；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ，0＜r≤2．=（λ﹣3，μ），=（λ，μ﹣4），•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5=r2﹣rsin（θ+φ）﹣5，其中tanφ=．又r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≤r2+r﹣5≤2﹣1，r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≥r2﹣r﹣5=（r﹣）2﹣≥﹣，∴•∈[﹣，2﹣1]．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）①由题知M（5，80）代入y=，则a=400，进而求出y=，得出坐标N（100，4），利用导数求出斜率，得出直线的方程，进而求出与坐标轴的交点A（0，），B（2t，0），利用勾股定理可得（t∈[5，100]）；②运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为，得出山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400．【解答】解：（1）①由题意M（5，80）代入y=，则a=400，∴y=，N（100，4），∴定义域为[5，100]．∴P（t，），∵，则公路l的方程：，令x=0，可得y=；令y=0，可得x=2t．∴（t∈[5，100]）；②A（0，），B（2t，0），=，当且仅当t=20∈[5，100]时等号成立，所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为dx=400lnx|=400（ln100﹣ln5）=400ln20，山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，L与y，x轴交点分别是A（0，40），B（40，0），公路与L1、L2围成的面积是800，所以绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400（平方公里）．答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是400ln20﹣400平方公里．【点评】本题考查了利用导数求直线方程和积分的应用，考查运算求解能力，难点是对题意的理解．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求出f（x）的导数，设g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，讨论m的范围，结合单调性，即可得到m的范围；（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）m=2时，f（x）=e2x﹣2x2，f′（x）=2e2x﹣4x；∴f′（0）=2，又f（0）=1；则切线L1方程为：y=2x+1；（2）f′（x）=me mx﹣2mx，设g（x）=f′（x），g′（x）=m2e mx﹣2m=m（me mx﹣2），令g′（x）=0，由m＞0，；①当m≥2时，因为x≥0，则e mx≥1，所以me mx﹣2≥m﹣2≥0，g'（x）≥0，∴f′（x）在[0，+∞）单调递增；∴f′（x）≥f′（0）=m＞0；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；所以当m≥2时满足条件；②当时，1≥，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以=；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；∴当时满足条件；③当时，，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递增，f′（x）=0在（0，x0）至多只有一个零点x1；又因为=，f′（0）=1＞0，所以f′（x）=0在（0，x0）有且只有一个零点x1；则当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）单调递增，在（x1，x0）单调递减，所以存在x使得f（x）＜f（0）=1，不满足条件．终上所述：当时，f（x）≥1对一切x≥0的实数恒成立．（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），则，当i=1时，，当i=2时，，当i=3时，，…，当i=n时，，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题和不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和裂项相消求和及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。
2020-2021学年福建省厦门市双十中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x −3=0}，B ={x|ax −1=0}，若B ⊆A ，则实数a 的值构成的集合是( )A. {−1,0，13}B. {−1,0}C. {−1,13}D. {13,0}2. 已知a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )A. a +1b >b +1aB. a +1a >b +1bC. b a >b+1a+1D. b −1b >a −1a3. “跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是( )A. 9B. 10C. 12D. 134. 已知函数f(x)=√ax 2−4x −2a +8对任意两个不相等的实数x 1，x 2∈[1,+∞)，都有不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则a 的取值范围是( )A. [2,4]B. [2,+∞)C. (0,2]D. [4,+∞)5. 3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(即“积层造型法”).过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用(比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等).已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10√2cm ，母线与底面所成角的正切值为√2.打印所用原料密度为1g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(取π≈3.14，精确到0.1)( )A. 609.4gB. 447.3gC. 398.3gD. 357.3g6. 已知正项等比数列{a n }中a 9=9a 7，若存在两项a m 、a n ，使a m a n =27a 12，则1m +16n的最小值为( )A. 5B. 215C. 516D. 6547. 设O 为△ABC 所在平面内一点，满足2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为( )A. 6B. 83C. 127D. 48. 已知函数f(x)=sinωx −√3cosωx(ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把f(x)图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移π3个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数g(x)的图象，若g(x)在[−a,a]上单调递增，则a 的最大值为( )A. π12B. π6C. π4D. 5π12二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B =∠F =90°，∠A =60°，∠D =45°，BC =DE ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F −CAB ，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是( )A. 直线BC ⊥平面OFMB. AC 与平面OFM 所成的角为定值C. 设平面ABF ∩平面MOF =l ，则有l//ABD. 三棱锥F −COM 体积为定值10. 已知数列{a n }满足：a 1=3，当n ≥2时，a n =(√a n−1+1+1)2−1，则关于数列{a n }说法正确的是( )A. a 2=8B. 数列{a n }为递增数列C. 数列{a n }为周期数列D. a n =n 2+2n11. 已知正数x ，y ，z 满足3x =2y =12z ，下列结论正确的有( )A. 6z>2y>3xB. 1x +2y=1zC. x+y>(3+2√2)zD. xy>8z212.在△ABC中，已知bcosC+ccosB=2b，且1tanA +1tanB=1sinC，则()A. a、b、c成等比数列B. sin A：sin B：sinC=2：1：√2C. 若a=4，则S△ABC=√7D. A、B、C成等差数列三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n=2a n−1，则a6等于．14.若sin(π3−α)=13，则cos(π3+2α)=．15.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，BC=2√3，PA=4，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为．16.若对任意正实数x，y，不等式(2x−y)⋅(lny−lnx+1)≤xa恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①n(a n+1+1)=(n+1)(a n+4n+1)；②a n+1−a n=2(√a n+1+1+√a n+1)；③a n−a n−1=8n−4(n≥2)三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知数列{a n}中，a1=3，_____．(1)求a n；(2)若数列{1a n }的前n项和为T n，证明：13 ≤ T n<12．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bsinA=√3acosB+asinB．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设点D是AC的中点，若BD=√3，求a+c的取值范围．19.如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB//CD，∠ABC=∠ADB=90°，CD=1，BC=2．(1)求证：BE//平面DCF；(2)当AE的长为何值时，直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．20.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)=1600x2+x+150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),1≤m≤30480,m>30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C上一点，且△PF1F2的周长是6．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过椭圆C的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=x−2alnx−1x+1，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=1时，正数x1，x2满足f(x1)+f(x2)=2，证明：x1+x2≥2．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用集合的子集关系确定参数问题，注意集合B为空集时也满足条件，属于基础题．先化简集合A，利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．【解答】解：∵A={x|x2−2x−3=0}={−1,3}，若B⊆A，当a=0时，此时B=⌀，满足条件B⊆A；当a≠0时，则B={x|ax−1=0}={1a}，要使B⊆A，则1a =−1或1a=3，解得a=−1或a=13．综上a=0或a=−1或a=13．故选：A．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．由a>b>0，可得．利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a>b>0，∴1b >1a．∴a+1b >b+1a．故选：A．【解析】 【分析】首先将所给的问题转化为数列求和的问题，然后结合数列的求和公式得到关于n 的不等式，求不等式确定n 的值即可求得剩余铅笔的根数．本题主要考查等差数列的求和公式，数列模型及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 【解答】解：设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于n +1， 于是：n(n+1)2≤100，且 100−n(n+1)2<n +1， 解得n =13，剩余的根数为100−13×142=9．故选：A ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质．由题意利用复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质，可得{a >02a ≤1a −4−2a +8≥0，由此求得a 的范围． 【解答】解：∵函数f(x)=√ax 2−4x −2a +8对任意两个不相等的实数x 1，x 2∈[1,+∞)， 都有不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，∴当x ≥1时，f(x)为增函数，∴{a >02a ≤1a −4−2a +8≥0，得2≤a ≤4， 故选：A ．【解析】【分析】作出几何体的截面图，由已知求得圆锥的高，再由三角形相似对应边成比例求出正方体的棱长，运用圆锥与正方体的体积公式求解．本题考查空间多面体与旋转体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．【解答】解：如图，是几何体的轴截面，∵圆锥底面直径为10√2cm，∴半径为5√2cm，∵母线与底面所成角的正切值为√2，∴圆锥的高为10cm，设正方体的棱长为a，则√2 2 a5√2=10−a10，解得a=5．∴该模型的体积V=13π×(5√2)2×10−53=500π3−125(cm3).∴制作该模型所需原料的质量约为(500π3−125)×1=500π3−125≈398.3(g)．故选：C．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，还考查了利用乘1法在基本不等式的应用条件配凑中的应用，属于中档试题．由已知结合等比数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正项等比数列{a n}中a9=9a7，所以q2=a9a7=9，即q=3，若存在两项a m、a n，使a m a n=27a12，则a12⋅3n+m−2=27a12，则1m +16n=15(m+nm+16(m+n)n)=15(17+n m+16m n)≥15(17+8)=5，当且仅当nm =16m n且n +m =5即m =1，n =4时取等号，故选：A ．7.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算问题，也考查了向量的线性表示与运算问题，是中档题．延长OB 至B 1，使OB 1=7OB ；延长OC 至C 1，使OC 1=3OC ；延长OA 至A 1，使OA 1=2OA ； 可得O 是△A 1B 1C 1的重心，利用三角形重心的性质，即可得到结论． 【解答】解：由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，延长OB 至B 1，使OB 1=7OB ；延长OC 至C 1，使OC 1=3OC ；延长OA 至A 1，使OA 1=2OA ； 可得OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以点O 是△A 1B 1C 1的重心， 所以S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1=k ， 如图所示又S △OBCS △OB1C 1=OB⋅OCOB1⋅OC 1=121，S △OABS△OA 1B 1=OA⋅OBOA1⋅OB 1=114，S △OAC S △OA 1C 1=OA⋅OC OA 1⋅OC 1=16，所以S △OBC =121k ，S △OAB =114k ，S △OAC =16k ，所以△ABC的面积与△BOC的面积的比值为2 7 k 121k=6．故选：A．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得g(x)的增区间，从而求得a 的最大值．【解答】解：∵函数f(x)=sinωx−√3cosωx=2sin(ωx−π3)(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离为12⋅2πω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(x−π3).把f(x)图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，可得y=2sin(2x−π3)的图象，再沿x轴向左平移π3个单位长度，可得y=2sin(2x+π3)的图象．然后纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)=4sin(2x+π3)的图象．令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，求得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，故函数g(x)的增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．若g(x)在[−a,a]上单调递增，则故[−a,a]⊆[−5π12,π12]，故a的最大值为π12，故选：A．9.【答案】ABC由三角形的中位线定理和线面垂直的判定定理可判断A；由线面角的定义可判断B；过F在平面OMF内作直线l//OM，可判断C；由三棱锥的体积可判断D．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查运算能力和推理能力，属于中档题．【解答】解：由OM为△ABC的中位线可得OM//AB，则BC⊥OM，BC⊥OF，且OM∩OF=O，可得BC⊥平面OFM，故A正确；由BC⊥平面OFM，可得AC与平面OFM所成角为∠CMO，而∠CMO=∠CAB=60°，故B正确；可过F在平面OMF内作直线l//OM，而OM//AB，所以l//AB，l为平面OMF和平面ABF的交线，故C正确；在三棱锥F−COM中，CO⊥平面OMF，由于CO为定值，△OMF的面积不为定值，所以三棱锥F−COM体积不为定值，故D错误．故选：ABC．10.【答案】ABD【解析】【分析】利用递推关系式推出√a n+1=√a n−1+1+1，说明数列{√a n+1}是首项为√a1+1= 2，公差为1的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误；本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．【解答】解：a n=(√a n−1+1+1)2−1得a n+1=(√a n−1+1+1)2，∴√a n+1=√a n−1+1+1，即数列{√a n+1}是首项为√a1+1=2，公差为1的等差数列，∴√a n+1=2+(n−1)×1=n+1，∴a n=n2+2n．a2=4+4=8，由二次函数性质可得a n=n2+2n为递增数列;所以ABD正确．故选：ABD．11.【答案】BCD本题考查基本不等式，指对互化，考查学生对对数运算的掌握，属于拔高题．A.由3x=2y=12z取对数得xln3=yln2=zln12，然后找到x、y、z的关系，计算3x 与2y、3x与6z的比值即可；B.根据xln3=yln2=zln12表示出ln2、ln3、ln12，再根据这三者的等量关系，列出等式化简；C.根据1z =2y+1x，使用基本不等式即可证明；D.由xln3=yln2=zln12得xz =ln12ln3,yz=ln12ln2，将二者相乘后利用基本不等式证明即可．【解答】解：A.由3x=2y=12z取对数得xln3=yln2=zln12，设xln3=yln2=zln12=k(k>0)，则ln3=kx,ln2=ky,ln12=kz，∴3x2y =3ln22ln3=ln8ln9<1，即3x<2y，3x 6z =x2z=ln122ln3=ln12ln9>1，即3x>6z，∴6z<3x<2y，故A错误；B.∵ln12=ln3+ln4=ln3+2ln2，∴kz =2ky+kx，即1z=2y+1x，故B正确；C.由基本不等式可知(1x +2y)(x+y)=3+yx+2xy≥3+2√2，当且仅当y=√2x时等号成立，根据3x=2y可知y≠√2x，所以等号取不到，∴x+yz>3+2√2，即x+y>(3+2√2)z，故C正确；D.由xln3=yln2=zln12可知xz =ln12ln3,yz=ln121n2，∴xyz2=ln12×ln12ln3×ln2=(ln3+2ln2)2ln3×ln2>4×ln3×2ln2ln3×ln2=8，即xy>8z2，12.【答案】BC【解析】【分析】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到a=2b，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得ab=c2，可求a=√2c，进而逐项分析各个选项即可得解．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin(B+C)=2sinB，∵sin(B+C)=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，又∵1tanA +1tanB=1sinC，即cosAsinA +cosBsinB=sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=sin(A+B)sinAsinB =sinCsinAsinB=1sinC，∴sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得ab=c2，∴a=√2c，∴a：b：c=a：12a：√2=2：1：√2，故A错误，由正弦定理可得sin A：sin B：sinC=2：1：√2，故B正确；若a=4，可得b=2，c=2√2，可得cosC=16+4−82×4×2=34，可得sinC=√74，可得S△ABC=12×4×2×√74=√7，故C正确；若A、B、C成等差数列，且A+B+C=π，2B=A+C，可得B=π3，由于cosB=a2+c2−b22ac =a2+a22−a242ac=5√28≠12，故D错误．故选：BC．13.【答案】32【解析】【分析】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．根据数列通项公式和前n项和之间的关系求出通项，即可求得结论．【解答】解：因为S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n−1，①∴a1=1，故S n−1=2a n−1−1，②①−②得：a n=2a n−2a n−1⇒a n=2a n−1(n≥2)，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a6=1×25=32．故答案为：32．14.【答案】−79【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用诱导公式可求cos(π6+α)的值，进而利用二倍角的余弦公式即可计算得解．【解答】解：∵sin(π3−α)=13，∴cos(π6+α)=13，∴cos(π3+2α)=cos[2(π6+α)]=2cos2(π6+α)−1=2×19−1=−79．故答案为：−79．15.【答案】32π【解析】【分析】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．直接利用正弦定理和球的表面积公式的应用求出结果．【解答】解：根据题意：设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，BC=2√3，PA=4，所以利用正弦定理2r=BCsin∠BAC=2√3√32=4，如图，设O为外接球的球心，E为△ABC的外接圆的圆心，则AE=r=2，OE=12PA=2，所以三棱锥的外接球的半径为R=√22+22=2√2，则S=4⋅π⋅(2√2)2=32π，故答案为：32π．16.【答案】(0,1]【解析】【分析】由题意可得(2−yx )⋅(ln yx+1)≤1a，可设t=yx(t>0)，可得f(t)=(2−t)(lnt+1)，求得导数和单调性，极值、最值，可得a的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和换元法、构造函数法，以及导数的运用：求单调性和极值、最值，考查运算能力和推理能力，属于拔高题．【解答】解：不等式(2x−y)⋅(lny−lnx+1)≤xa对x、y>0恒成立，可得(2−yx )⋅(ln yx+1)≤1a，可设t=yx(t>0)，可得f(t)=(2−t)(lnt+1)，f′(t)=−(lnt+1)+2−tt =−lnt+2t−2，由y=−lnt和y=2t−2在t>0时单调递减，可得f′(t)在t>0时单调递减，则f′(1)=0，当t>1时，f′(t)<f′(1)=0，f(t)递减；0<t<1时，f′(t)>f′(1)=0，f(t)递增，可得f(t)在t=1处取得极大值，且为最大值f(1)=1，则1≤1a ，即a−1a≤0，解得0<a≤1，故答案为：(0,1]．17.【答案】解：选①．(1)由n(a n+1+1)=(n+1)(a n+4n+1)，得a n+1+1n+1=a n+4n+1n，即a n+1+1n+1−a n+1n=4，又a1=3，a1+11=4，所以{a n+1n}是首项为4，公差为4的等差数列，所以a n+1n=4n，所以a n=4n2−1．(2)证明：由(1)，得1a n =12(12n−1−12n+1)，所以T n=12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=12−14n+2．因为14n+2>0，所以T n<12，又因为T n=12−14n+2随着n的增大而增大，所以T n≥T1=13．综上13≤T n<12．若选②．(1)由a n+1−a n=2(√a n+1+1+√a n+1)，得n+1n√a+1+√a+1=2，即√a n+1+1−√a n+1=2，又√a1+1=2，所以{√a n+1}是首项为2，公差为2的等差数列，所以√a n+1=2n，所以a n=4n2−1．(2)证明：由(1)，得1a n =12(12n−1−12n+1)，所以T n=12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=12−14n+2．因为14n+2>0，所以T n<12，又因为T n=12−14n+2随着n的增大而增大，所以T n≥T1=13．综上13≤T n<12．若选③．(1)由a n−a n−1=8n−4(n≥2)可得：当n≥2时，a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=(8n−4)+(8n−12)+⋯+12+3=[(8n−4)+12](n−1)2+3=4n2−1．当n=1时，a1=3，符合，所以当n∈N∗时，a n=4n2−1．(2)证明：由(1)，得1a n =12(12n−1−12n+1)，所以T n=12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=12−14n+2．因为14n+2>0，所以T n<12，又因为T n=12−14n+2随着n的增大而增大，所以T n≥T1=13．综上13≤T n<12．【解析】本题主要考查等差数列和等比数列的概念、通项公式，数列求和，属于中档题．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学运算等，体现基础性，综合性．(1)选①.推出{a n+1n}是首项为4，公差为4的等差数列，然后求解通项公式．若选②.推出{√a n+1}是首项为2，公差为2的等差数列，然后求解通项公式．若选③.由a n−a n−1=8n−4(n≥2)，利用累加法，求解通项公式．(2)由(1)，得1a n =12(12n−1−12n+1)，利用裂项消项法，求解数列的和，通过T n=12−14n+2随着n的增大而增大，T n≥T1=13，证明即可．18.【答案】解：(I)在△ABC中，因为2bsinA=√3acosB+asinB，由正弦定理可得：2sinBsinA=√3sinAcosB+sinAsinB，由于sinA>0，可得：2sinB=√3cosB+sinB，可得sinB=√3cosB，可得：tanB=√3，又因为B∈(0,π)，所以B=π3．(II)如图，延长BD到E，满足DE=BD，连接AE，CE，则四边形ABCE为平行四边形，且BE=2√3,∠BAE=2π3,AB=c,AE=BC=a，在△BAE中，由余弦定理得(2√3)2=a2+c2−2accos2π3，即a2+c2+ac=12，可得(a+c)2−ac=12，即ac=(a+c)2−12，由基本不等式得：ac=(a+c)2−12≤(a+c2)2，即34(a+c)2≤12，即(a+c)2≤16，可得a+c≤4，(当且仅当a=c=2取等号)，又由AE+AB>BE，即a+c>2√3，故a+c的取值范围是(2√3,4]．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(I)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanB =√3，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值．(II)延长BD 到E ，满足DE =BD ，连接AE ，CE ，在△BAE 中，由余弦定理，基本不等式可得a +c ≤4，又由AE +AB >BE ，即a +c >2√3，即可得解a +c 的取值范围．19.【答案】解：(1)由已知可得，同理可得AB//平面DCF ，又AE ∩AB =A ，AB ，AE ⊂平面ABE ， ∴面ABE//面DCF ，∵BE ⊂面ABE ，∴BE//平面DCF ；(2)因为平面ADFE ⊥平面ABCD ，平面ADFE ∩平面ABCD =AD ，FD ⊥AD ，FD ⊂平面ADFE ，所以FD ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ， 所以FD ⊥BD ，故DF ，DA ，DB 两两垂直．如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系， ∵AB//CD ，∠ABC =∠ADB =90°， 则△ADB∽△BCD ，⇒AD BC=DB CD∵CD =1，BC =2，BD =√5， ∴AD =2√5，AB =5．设DF =AE =m ，则D(0,0，0)，A(2√5,0，0)，B(0,√5,0)，√5√50)，E(2√5,0，m)．DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√5,0,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√5√50)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√5,−√5,m) 设面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， {n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√5−√5=0n⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√5x −√5y +mz =0，取n ⃗ =(2,−1,−5√5m)，∵直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°． ∴|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√22，⇒m =5√153． ∴AE 的长为5√153时，直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°．【解析】本题考查了空间线面平行，线面角，属于中档题．(1)由已知可得面ABE//面DCF ，由面面平行的性质可得BE//平面DCF ； (2)以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．20.【答案】解：(1)由总成本p(x)=1600x 2+x +150，可得每台机器人的平均成本y =p(x)x =1600x 2+x +150x=1600x +150x +1≥2√1600x ⋅150x+1=2，当且仅当1600x =150x，即x =300时，等号成立，∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台； (2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60−m)=−160m 2+9600m ， ∴当m =30时，日平均分拣量有最大值144000； 当m >30时，日平均分拣量为480×300=144000， ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件． 若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200=120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120−30=90(人)．【解析】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式与二次函数求最值，正确理解题意是关键，是中档题．(1)每台机器人的平均成本y =p(x)x ，整理后利用基本不等式求最值；(2)分类求出引进机器人后日平均分拣量的最大值，得到对应的m 值，再求出利用传统人工分拣所需人数，作差得答案．21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)，由椭圆的定义可知△PF 1F 2的周长为2a +2c ，即2a +2c =6．又e =c a =12，解得a =2，c =1，故b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(2)假设在x 轴上存在点Q(t,0)满足条件，当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =k(x −1)，联立{y =k(x −1)3x 2+4y 2=12， 可得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2．直线QM 与直线QN 的斜率的和为k QM +k QN =y 1x 1−t +y 2x 2−t =k(x 1−1)(x 2−t)+k(x 2−1)(x 1−t)(x 1−t)(x 2−t) =2kx 1x 2−k(1+t)(x 1+x 2)+2kt x 1x 2−t(x 1+x 2)+t 2 =6k(t−4)x 1x 2−t(x 1+x 2)+t 2，要使直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值，只有t =4，此时直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0．当直线l 的斜率不存在时，t =4，必有直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0．综上，在x轴上存在点Q(4,0)满足条件．【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是拔高题．(1)根据C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且△PF1F2的周长是6，列出方程，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．(2)假设存在满足条件的点Q(t,0)，然后分为斜率存在和不存在两种情况进行讨论即可．22.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−2ax +1x2=x2−2ax+1x2，令ℎ(x)=x2−2ax+1，△=4a2−4=4(a−1)(a+1)，①当−1≤a≤1时，△≤0，f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，②当a>1或a<−1时，△>0，令f′(x)=0可得x1=a−√a2−1，x2=a+√a2−1，(i)当a<−1时，x1<x2<0，f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，(ii)当a>1时，0<x1<x2，若x∈(0,x1)，x∈(x2,+∞)，f′(x)>0，函数单调递增，x∈(x1,x2)时，f′(x)<0，函数单调递减，综上，a≤1时，f(x)在(0,+∞)单调递增，当a>1时，函数f(x)在(0,a−√a2−1)，(a+√a2−1,+∞)上单调递增，在(a−√a2−1,a+√a2−1)上单调递减；(2)当a=1时，由(1)知f(x)=x−2lnx−1x+1在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=1，且f(x1)+f(x2)=2，不妨取x1∈(0,1]，要证x1+x2≥2，只要证x2≥2−x1，只要证f(x2)≥f(2−x1)，即证2−f(x1)≥f(2−x1)，即f(x1)+f(2−x1)−2≤0，令g(x)=f(2−x)+f(x)−2=2−2ln(2−x)−12−x −2lnx−1x，x∈(0,1]，则g′(x)=22−x −1(2−x)2−2x+1x2=−4(x−1)3x2(2−x)2，当x∈(0,1]时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，则g(x)≤g(1)=0，所以f(x1)+f(2−x1)−2≤0，从而x1+x2≥2．【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及证明不等式，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于较难题．(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系及二次函数的性质进行求解即可；+1在(0,+∞)上单调递增，结合f(1)=1，(2)当a=1时，由(1)知f(x)=x−2lnx−1x且f(x1)+f(x2)=2可知，要证x1+x2≥2，只要证x2≥2−x1，只要证f(x2)≥f(2−x1)，即证2−f(x1)≥f(2−x1)，即f(x1)+f(2−x1)−2≤0，然后构造函数g(x)=f(2−x)+f(x)−2，x∈(0,1]，结合导数与单调性关系可证．。
福建省厦门双十中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题及答案
厦门双十中学2022-2023学年（上）期中考试高 三 数 学 试 题注意事项：1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2+x ＝0}，则下列关于集合A ，B 关系的韦恩图正确的是A ．B ．C ．D ．2．已知复数z =√3+i，则z 的共轭复数z =A ．−1−√3i4B ．−1−√3i2C ．−1+√3i4D ．−1+√3i23．已知a ，b ∈R ，ab ≠0，则使1a ＜1b 成立的一个充分不必要条件是 A ．a ＞b B ．a ＜b ＜0 C ．ab （a ﹣b ）＞0 D ．a ＞b ＞04．将y ＝sin （3x −3π4）图像上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到y ＝g （x ）的图像，再将y ＝g （x ）图像向左平移3π4，得到y ＝φ（x ）的图像，则y ＝φ（x ）的解析式为 A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin9xD ．y ＝sin （9x −3π2）5．在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=m AC →+12AB →， 若|AC →|＝2，|AB →|＝3，则|AP →|的值为 A ．√13B ．√132C ．√133D ．√1346．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cos α＝5，则sin2α＝ A ．−49B ．−4√59C ．−4√527D ．√527．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =---⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A ．3.048分钟B ．4.048分钟C ．5.048分钟D ．6.048分钟8．设a ＝0.01e 0.01，b =199，c ＝﹣ln 0.99，则 A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知sinα−cosα=15，且α为锐角，则下列选项中正确的是 A ．sinαcosα=1225B ．sinα+cosα=75C ．α∈(0，π4)D ．tanα=4310．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，|PM |＝|MF 1|，下列判断正确的是 A ．∠PF 2F 1=π3B ．|MF 2|=12|PF 1|C ．E 的离心率等于√2D ．E 的渐近线方程为y ＝±√2x11．已知f （x ）＝sin x +x （x ∈[﹣1，1]），且实数a ，b 满足f （a ）+f （b ﹣1）＝0成立，则以下正确的是A ．ab 的最大值为14 B ．ab 的最小值为﹣2 C ．1a +4b 的最小值为9D ．b ﹣a 的最大值为312．如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面ADD 1A 1上的一个动点（含边界），P 是棱CC 1的中点，则下列结论正确的是 A ．当M 为AD 中点时，三棱锥M ﹣BDP 的体积为124 B ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为√132C ．若保持PM =√2，则点M 在侧面内运动路径的长度为π3D ．若M 在平面ADD 1A 1内运动，且∠MD 1B ＝∠B 1D 1B ，点M 的轨迹为抛物线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →，b →满足a →=（3，4），a →•b →=6，|a →−b →|=7，则|b →|=_______． 14．若函数f(x)=x 2ln(√x 2+a −x)为奇函数，则a ＝_______．15．写出与圆x 2+y 2＝1和圆（x ﹣4）2+（y +3）2＝16都相切的一条切线方程_______．16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，△ABE 是等边三角形，AD ⊥AH ，AD ＝1，AB ＝2．则平面展开图中sin ∠GCF ＝_______，四棱锥P ﹣ABCD 的外接球半径为_______． （第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（10分）正项等差数列{a n }，满足a 1=4，且a 2，a 4+2，2a 7−8成等比数列，{a n }的前n 项和为S n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =12+S n，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．（12分）如图，在△ABC 中，AB ＝2，3a cos B ﹣b cos C ＝c cos B ，点D 在线段BC 上． （1）若∠ADC =3π4，求AD 的长；（2）若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为43√2，求sin∠BADsin∠CAD 的值．19．（12分）某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间t （0≤t ≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如表：（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卡中）．观察散点图，从①y ＝A sin （ωt +φ），②y ＝A cos （ωt +φ）+b ，③y ＝﹣A sin ωt +b （A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式（必要时可以化简）；（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练才能确保集训队员的安全？20．（12分）如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1，底面ABC 是边长为2的正三角形，A 1A =A 1B ， 平面ABC ⊥平面AA 1C 1C . (1)证明：A 1C ⊥平面ABC ；(2)若BC 与平面AA 1B 所成角的正弦值为√217，求平面AA 1B 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为(3,0)，且经过点(2√2,1)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两点，垂直于AB 的直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点P. 当点P 位于第一象限，且△PAB 被x 轴分割为面积比为3：2的两部分时，求直线AB 的方程．22．（12分）已知函数f(x)=a+lnx x(a ∈R).(1)当函数f(x)与函数g(x)=lnx 图像的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的值； (2)证明：当a ∈(0,12)时，函数ℎ(x)=f(x)−ax 有两个零点x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2<1a ．厦门双十中学2022-2023学年（上）期中考试高三数学试题参考答案及评分标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．A 【第8题解答】令函数y ＝xe x，t =x1−x，u ＝﹣ln （1﹣x ），x ∈（0，√2−1）． 显y ＞0，t ＞0，则lny ﹣lnt ＝lnx +x ﹣[lnx ﹣ln （1﹣x ）]＝x +ln （1﹣x ）． 令f （x ）＝x +ln （1﹣x ），x ∈（0，√2−1）．求导f ′（x ）＝1+1x−1=xx−1＜0，f （x ）在x ∈（0，√2−1）上单调递减． ∀x ∈（0，√2−1）f （x ）＜f （0）＝0，即lny ＜lnt ⇔y ＜t ． 因此当x ∈（0，√2−1）时，xe x＜x1−x． 取x ＝0.01，则有a ＝0.01e0.01＜0.011−0.01=199=b ．令g （x ）＝y ﹣u ＝xe x+ln （1﹣x ），x ∈（0，√2−1）．g ′（x ）＝（x +1）e x+1x−1=(x 2−1)e x +1x−1．令h （x ）＝（x 2﹣1）e x+1，x ∈（0，√2−1）．h ′（x ）＝（x 2+2x ﹣1）e x＜0，h （x ）在x ∈（0，√2−1）．上单调递减．∀x ∈（0，√2−1），h （x ）＜h （0）＝0，有g ′（x ）＞0． g （x ）在x ∈（0，√2−1）上单调递增．∀x ∈（0，√2−1），g （x ）＞g （0）＝0，因此当x ∈（0，√2−1）时，xe x＞﹣ln （1﹣x ）．x ＝0.01，则有a ＝0.01e 0.01＞﹣ln （1﹣0.01）＝﹣ln 099＝c ．所以c ＜a ＜b ． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABD 10．BD 11．ABD 12．ABC【第12题解答】选项A ：当M 为AD 中点时，V M−BDP =V P−BDM =13S △BDM ⋅|PC|=13×12×12×1×12=124，判断正确； 选项B ：将平面ABCD 与平面BB 1C 1C 展开在同一平面，连接AP ，则AP =√AD 2+PD 2=√12+(32)2=√132，又将平面ABCD 与平面DD 1C 1C 展开在同一平面，连接AP ， 则AP =√AB 2+PB 2=√12+(32)2=√132，综上，沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为√132．判断正确； 选项C ：取DD 1中点E ，连接PE ，ME ，PM ，则PE ⊥平面AA 1D 1D ，PE ⊥ME ，则ME =√PM 2−PE 2=√(√2)2−12=1， 则点M 在侧面AA 1D 1D 内运动轨迹为以E 为圆心半径为1的劣弧， 分别交AD 、A 1D 1于M 2，M 1，则∠M 1ED 1=∠M 2ED =π3，则∠M 1EM 2=π3，劣弧M 1M 2̂的长为π3×1=π3．判断正确； 选项D ：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x ，y 、z 轴建立空间直角坐标系如图： 则B （1，1，0），B1（1，1，1），D （0，0，0），D 1（0，0，1）， 设M （m ，0，n ），m ，n ∈[0，1]，则D 1B →=(1，1，−1)，D 1M →=(m ，0，n −1)，D 1B 1→=(1，1，0)， cos ∠MD 1B =D 1B →⋅D 1M→|D 1B →|⋅|D 1M →→|=m−n+1√3⋅√m +(n−1)2，cos ∠B 1D 1B =D 1B →⋅D 1B 1→|D 1B →|⋅|D 1B 1→|=√3⋅√2=√63， 又∠MD 1B ＝∠B 1D 1B ∈[0，π）， 则cos ∠MD 1B ＝cos ∠B 1D 1B ，即√3⋅√m 2+(n−1)2=√63， 整理得m 2+n 2+2mn ﹣2m ﹣2n +1＝0即m +n ﹣1＝0，m +n ﹣1＝0，m ，n ∈[0，1]表示线段，则点M 的轨迹不为抛物线．判断错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6 14．1 15．y ＝1（填4x ﹣3y ﹣5＝0；24x +7y +25＝0都正确）． 16．35，√576． 【第16题解答】因为在四棱锥P ﹣ABCD 的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，△ABE 是等边三角形，AD ⊥AH ，AD ＝1，AB ＝2， 所以sin ∠BCF =sin ∠DCG =√5， 所以sin ∠GCF =sin(2π−∠BCF −∠DCG −π2)=sin(2π−2∠DCG −π2)=−cos2∠DCG=2sin 2∠DCG −1=2×45−1=35，如图，连接AC ，BD 交于点M ， 设四棱锥P ﹣ABCD 的外接球球心为O ，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥AP ，AD ⊥AB ，AP ∩AB ＝A ， 所以AD ⊥平面ABP ， 因为AD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面ABP ， 取AB 的中点H ，连接PH ，因为△P AB 为等边三角形，所以PH ⊥AB ， 因为平面ABCD ∩平面ABP ＝AB ，PH ⊂平面 ABP ， 所以PH ⊥平面ABCD ，设△ABP 的外接圆圆心为N ，连接OM ，ON ， 则OM ⊥平面ABCD ，ON ⊥平面ABP ， 则OM ∥PH ，可证得ON ∥MN ， 所以四边形OMHN 是矩形，连接OD ， 由于△P AB 为等边三角形，所以NH =13PH =13×√32×2=√33，所以OM =√33， 设四棱锥P ﹣ABCD 的外接球半径为R ， 则R 2=OM 2+DM 2=13+54=1912， 解得R =√576， 故答案为：35，√576． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：(1)设数列{a n }的公差为d(d >0)，则由已知得a 2(2a 7−8)=(a 4+2)2， ················································································ 1分 即有(a 1+d)(2a 1+12d −8)=(a 1+3d +2)2，化简得，d 2+4d −12=0，解得d =2或d =−6 ································································· 3分 等差数列{a n }为正项等差数列，故d =−6(舍)，所以a n =a 1+(n −1)d =2n +2．··················································································· 5分 (2)因为S n =n(a 1+a n )2=n(2n+6)2=n 2+3n ， ········································································ 7分所以b n =1S n +2=1n 2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2． ······························································ 8分所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =12−13+13−14+...+1n +1−1n +2=12−1n+2=n2n+4． ········································································································ 10分18．（12分）解：（1）∵3a cos B ﹣b cos C ＝c cos B ，∴3sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ，3sin A cos B ＝sin （B +C ）， ·················································· 1分 ∵B +C ＝π﹣A ， ∴3sin A cos B ＝sin A ， ∵A ∈（0，π），∴sin A ＞0，cosB =13． ································································································· 2分 ∵B ∈（0，π），∴sinB =2√23． ··········································································································· 3分 ∵∠ADC =3π4， ∴∠ADB =π4，在△ABD 中，由正弦定理得，ADsinB=AB sin∠ADB，······························································· 4分∴2√23=√22， ············································································································· 5分∴AD =83． ················································································································· 6分 （2）设DC ＝a ，则BD ＝2a ， ∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为43√2，∴S △ABC =3S △ACD =4√2，····························································································· 7分 ∴4√2=12×2×3a ×2√23， ∴a ＝2． ···················································································································· 8分 ∴AC =√4+36−2×2×6×13=4√2， ·········································································· 9分 由正弦定理可得4sin∠BAD=2sin∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ， ···························································································· 10分∴2sin∠CAD=4√2sin∠ADC，∴sin ∠CAD =√24sin∠ADC ， ························································································· 11分 ∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ， ∴sin∠BAD sin∠CAD=4√2． ··································································································· 12分19．（12分）解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：·············································· 1分依题意，选②y ＝A cos （ωt +ϕ）+b 作为函数模型， ∴A =2.4−0.62=0.9，b =2.4+0.62=1.5， ········································································· 3分 ∵T =2πω=12∴ω=π6， ······························································································· 4分 ∴y =0.9cos(π6t +φ)+1.5又∵函数y ＝0.9cos （π6t +φ）+1.5的图象过点（3，2.4），∴2.4＝0.9×cos （π6×3+φ）+1.5， ················································································ 5分∴cos （π2+φ）＝1，∴sin φ＝﹣1，又∵﹣π＜φ＜0，∴φ=−π2， ························································································· 6分 ∴y =0.9cos(π6t −π2)+1.5=0.9sin(π6t)+1.5 ··································································· 7分 （2）由（1）知：y =0.9sin(π6t)+1.5令y ≥1.05，即0.9sin(π6t)+1.5≥1.05，∴sin(π6t)≥−12 ········································· 9分 ∴2kπ−π6≤π6t ≤2kπ+7π6(k ∈Z)， ············································································· 10分 ∴12k ﹣1≤t ≤12k +7，又∵5≤t ≤18，∵5≤t ≤7或11≤t ≤18， ·················································································· 11分 答：这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． ······························································································································· 12分20．（12分）(1)证明：如图，取AB 的中点O ，AC 的中点H ，连接OC ，OA 1，BH ， ∵A 1A =A 1B ，AC =BC ，O 是AB 的中点，所以OA 1⊥AB ，OC ⊥AB ， 又OA 1∩OC =O ，OA 1，OC ⊂平面A 1OC ，所以AB ⊥平面A 1OC ，A 1C ⊂平面A 1OC ，A 1C ⊥AB ； ··························································· 2分 AB =BC ，H 是AC 的中点，所以BH ⊥AC ，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ， BH ⊂平面ABC ，所以BH ⊥平面AA 1C 1C ，又A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，所以BH ⊥A 1C ， ·········································································································· 4分 又BH ∩AB =B ，BH ，AB ⊂平面ABC ，所以A 1C ⊥平面ABC ； ··································································································· 5分 (2)以O 为坐标原点，建系如图所示，设A 1C =a ， ······························································· 6分 则A (−1,0,0)，B (1,0,0)，C(0,√3,0)，A 1(0,√3,a)，BC →=(−1,√3,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AA 1→=(1,√3,a)， ···························································· 7分 设平面AA 1B 的法向量为m⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， {m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{x 1+√3y 1+az 1=02x 1=0，所以可取m ⃗⃗⃗ =(0,a,−√3)， ········································ 8分 设BC 与平面AA 1B 所成的角为θ， 则sin θ=|cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗,m ⃗⃗⃗ >|=√3a||2×√a 2+3|=√217，解得a =2， ················································· 9分 从而m ⃗⃗⃗ =(0,2,−√3)，BB 1→=AA 1→=(1,√3,2)， 设平面BB 1C 1C 的法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， {n ⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{x 2+√3y 2+2z 2=0−x 2+√3y 2=0,所以可取n ⃗ =(√3,1,−√3)， ·························································································· 10分 设平面AA 1B 与平面BB 1C 1C 夹角为φ， 所以cos φ=|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=√7×√7=57，所以平面AA 1B 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值为57． ······························································· 12分 21．（12分）解：(1)因为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为(3,0)，且经过点(2√2,1)，所以{a 2+b 2=9,8a 2−1b 2=1,解得{a 2=6,b 2=3． 故双曲线C 的标准方程为x 26−y 23=1． ············································································· 4分。
福建省2020年高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷(新版)
福建省2020年高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·蚌埠月考) 已知i为虚数单位，复数z满足，则（）A .B . 1C .D . 52. （2分）若集合则中元素个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个3. （2分）已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（）A . （3，5）B . （3，+∞）C . （2，+∞）D . （2，4]4. （2分）(2020·梅河口模拟) 在区间上随机取一个数x，则的值介于0到之间的概率为B .C .D .5. （2分） (2016高一下·成都期中) 已知向量，，则函数是（）A . 周期为π的偶函数B . 周期为π的奇函数C . 周期为的偶函数D . 周期为的奇函数6. （2分）(2019·鞍山模拟) 下列命题是假命题的是（）A . 某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本，则一般职员应抽出18人B . 用独立性检验（2×2列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大C . 已知向量，，则是的必要条件D . 若，则点的轨迹为抛物线7. （2分）(2020·济宁模拟) 在的展开式中，常数项为（）A .B .D .8. （2分） (2016高一下·太康开学考) 若框图所给的程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A . k＜7B . k＜8C . k＜9D . k＜109. （2分）设等差数列的公差不等于0，且其前n项和为。
福建省厦门双十中学2020届高三数学上学期开学考试试题理(含解析)
福建省厦门双十中学2020届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}|21xA x =<，{|B x y ==，则A B =I （ ）A. [)2,0-B. []2,0-C. ()0,∞+D.[)2,-+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出集合A 、B ，再取交集即可。
【详解】解：{}{}()|21|0,0xA x x x =<=<=-∞，{[)|2,B x y ===-+∞∴[)2,0A B =-I . 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题。
2.已知i 为虚数单位，a R ∈，若复数(1)i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =( ) A. 12i -+ B. 12i -- C. 2i - D. 23i -+【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，据此可知12i z =-+或2i z =-，结合共轭复数的特征确定z 的值即可.【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，所以12i z =-+或2i z =-， 因为z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以12i z =-+． 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数的定义，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()guǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为()A.19533分 B.110522分 C.211513分 D.512506分【答案】B 【解析】【分析】首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出1190d12=-,进而求出立春”时日影长度为1 10522.【详解】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．135012d160∴+=，解得1190d12=-，∴“立春”时日影长度为：11901 135031052(122⎛⎫+-⨯=⎪⎝⎭分)．故选B ．【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解．4.已知角a 的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos a aa a-=+（ ）A. 3B.13C. 13-D. -3【答案】D 【解析】 【分析】终边经过点()2,1P -即可知道tan a ，将sin cos sin cos a aa a-+分子分母同除cos a ,再代入即可。
福建省厦门双十中学届高三上学期期中考试 数学(理)试题(缺答案).pdf
教学目标 通过本课学习，使学生了解和掌握以下基础知识：改革开放后邓小平提出的“四项基本原则”；十二大上邓小平提出建设有中国特色的社会主义；十三大上邓小平提出党在社会主义初级阶段的基本路线；邓小平视察南方的重要讲话；邓小平理论的形成；十四大邓小平理论指导地位的确立；十五大邓小平理论确立为党的指导思想。
通过对“改革开放的总设计师邓小平”介绍，使学生认识邓小平解决了建设有中国特色的社会主义等一系列基本问题，成为中国改革开放和现代化建设的总设计师，激发学生对总设计师的敬爱之情；通过“邓小平理论指导地位的确立” 的学习，使学生认识邓小平理论是马克思主义在中国的新发展，逐步确立为祖国的改革开放和现代化建设事业做贡献的人生理想。
重点和难点 本课重点“改革开放的总设计师邓小平”。
本课难点是理论性强，学生不易理解，特别是难于理解为什么说邓小平理论是马克思主义在中国的新发展。
为什么说邓小平是中国改革开放和现代化建设的总设计师？ 十一届三中全会前，邓小平提出要实行；实行改革开放后，邓小平提出现代化建设必须坚持；十二大上邓小平提出；十三大上邓小平；十三大根据他的设想，做出了的战略部署。
总之，在中国改革开放和现代化建设中，邓小平解决了什么是社会主义，怎样建设社会主义等一系列基本问题，为中国改革开放和现代化建设指明了前进的方向和道路，因此说他是我国实行改革开放和现代化建设的总设计师。
邓小平1992年，邓小平南巡讲话 ①内容——特区姓“社”不姓“资”。
要抓住机遇，发展自己，关键是发展经济。
发展才是硬道理。
②影响——。
邓小平理论指导地位的确立：①1992年，中共十四大确立邓小平理论。
并形成了以为核心的第三代领导集体。
②1997年，中共十五大把邓小平理论确立为。
【达标练习】 一、轻松入门 1、提出党在社会主义初级阶段的基本路线的会议是 A.中共八大 B.第一届全国人民代表大会 C.中共十一届三中全会 D.中共十三大 2、下列哪一项不是社会主义初级阶段基本路线的内容 A.以经济建设为中心 B.坚持改革开放 C.坚持四项基本原则 D.分三步走的战略部署 3、搞好改革开放的根本保证是A.坚持四项基本原则B.始终以经济建设为中心C.坚持实事求是D.安定团结的政治局面 4、明确提出“建设有中国特色的社会主义”的大会是A.党的十二大B.党的十三大C.党的十四大D.党的十五大 5、党的十五大召开于A.1982年B.1987年C.1992年D.1997年 6、1992年召开党的 大，形成了以 为核心的第三代领导集体。
福建省厦门市双十中学2020届高三数学理科上学期半期考试卷 人教版
福建省厦门市双十中学2020届高三数学理科上学期半期考试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1．设U 为全集，非空集合A ，B 满中 ，则下列集合中为空集的是 （ ）A ．B AB ．BC A UC ．B A C UD ．B C A C U U 2．设a > b > 0，则下列不等式成立的是（ ）A ．1|| a bB ．b a 22C ．0lg ba D ．10 ab 3．下列判断正确的是（ ）A ．11012x x x 或B ．命题：“a ，b 都是偶数，则a + b 是偶数”的逆否命题是“若a + b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”C ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D ．已知a ，b ，c 是实数，关于x 的不等式02 c bx ax 的解集是空集，必有a >0且△≤04．圆y c y x y x 与02422轴交于A 、B 两点，圆必为P ，若∠APB = 120°，则实数c 等于（ ）A ．1B ．－11C ．9D ．115．已知122)(x a x f 是定义在R 上的奇函数，则)53(1 f 的值是（ ） A ．2 B ．53 C ．21 D ．356．已知直线方程分别为l 1：0 b ay x ，l 2：0 d cy x ，它们在直角坐标系中的位置如图，则（ ）A ．c a d b ,0,0B ．c a d b ,0,0C ．c a d b ,0,0D ．c a d b ,0,07．方程R x a x x 在0sin 2sin 2上有解，则a 的取值范围是 （ ）A ． ,1B ．),1(C ．]3,1[D ． 3,18．已知函数]4,3[)0(sin 2)(在区间x f 上的最小值是－2，则 的最小值等于 （ ）A ．32 B ．23 C ．2D ．39．设平面向量.0,,321321 a a a a a a 的和如果同量||2||,,,321i i a b b b b 满足，则i a 顺时针旋转30°后与i b 同向，其中i = 1，2，3，则（ ）A ．321 b b bB ．0321 b b bC ．321 b b bD ．0321 b b b10．下列各图是正方体或正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 （ ） 11．已知P 是椭圆192522 yx 上的点，Q 、R 分别是圆41)4(22 y x 和圆41)4(22 y x 上的点，则||||PR PQ 的最小值是 （ ）A ．89B ．85C ．10D ．912．已知函数 )0()1()0(12)(x x f x x f x ，则方程x x f )(的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：（每小题4分，共16分）13．已知正数x ，y 满足135 yx ，则xy 的最小值是 .14．数列{a n }满足a 1=1，且),(*N n m mn a a a n m n m ，则a n = .15．已知直线l ⊥平面 ，直线 平面 m ，有下面四个命题：① ∥m l ；②l ∥m ；③l ∥m ；④ m l ∥ 其中正确命题的序号是 . 16．设24,cos sin )(21x x x x x f 若，则)()(21x f x f 与的大小关系是 .三、解答题17．（本题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知：2,32,2tan tan 1c a bcB A ， （1）求C 的大小； （2）求△ABC 的面积S .18．（本题12分）在平面直角坐标上，设不等式组)3(0x n y y x 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为).(*N n a n（1）求}{,,321n a a a a 及的通项公式a n ； （2）求)111(lim 13221n n n a a a a a a19．（本题12分）如图，在长方体．．．ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB = AA 1 = a ，a BC 2，M 是AD 的中点.（1）求证：AD ∥平面A 1BC ；（2）求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； （3）求点A 到平面A 1MC 的距离.20．（本题12分）某市2020年共有1万辆燃油型公交车。
厦门双十中学2020届高三上学期开学考数学理科试卷附答案解析
（Ⅰ）求证：直线 ER 与 GR 的交点 P 总在椭圆 ： x2 y2 1上； 3
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（Ⅱ）若
M
、
N
为曲线
上两点，且直线 GM
与直线 GN
的斜率之积为
2 3
，求证：直线
MN
过定
点.
22.己知函数 f x ln 1 ex x .
（Ⅰ）判断 f x 零点的个数，并证明结论； （Ⅱ）已知 ABC 的三个顶点 A 、 B 、 C 都在函数 y f x 的图象上.且横坐标依次成等差数列，
厦门双十中学 2020 届高三上学期开学考
数学理科试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 A x | 2x 1 ， B x | y x 2 ，则 A B （ ）
A. 2, 0
B. 2,0
C. 0,
（）
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A. 1
B. 5
C. 6
D. 7
12.已知函数 f x a ex （ a R 且 x 0 ），若存在实数 p ，q（ p q ），使得 f x 0 的解集
x
恰好为 p, q ，则 a 的取值范围是（ ）
A.
0,
1 e
2
0
， c
a
b
，
故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦函数单调性判断大小，属于基础题。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}满足 a1＝1，an－an－1＋2anan－1＝0(n∈N*，n>1)．