例析中考中创新性问题论文

例析中考中的创新性问题
纵观近年全国各地中考数学试题，创新性问题成为一个新的亮点，这类问题立意新颖、构思精巧、形式多样，从题材的选材，文字的表达到题型的设计，都颇具特色。

它有利于提高学生的数学素养，培养学生的创新能力。

本人从近三年全国各地中考试题中选出几题予以剖析，也许还不成熟，敬请老师们批评指教。

一、阅读理解问题
阅读理解问题的特征有三种：①阅读特殊范例，推出一般结论；
②阅读解题过程，总结解题规律或方法；③阅读新知识，研究新应用。

例：（2012·淮安）阅读理解
如图①②③，△abc中，沿∠bac的平分线ab1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠b1a1c的平分线a1b2折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠bnanc的平分线anbn+1折叠，点bn与点c重合.无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠bac是△abc 的好角。

图①图②图③
小丽展示了确定∠bac是△abc的好角的两种情形。

情形一：如题28-2图，沿等腰三角形abc顶角∠bac的平分线ab1折叠，点b与点c重合；
情形二：如题28-3图，沿△abc的∠bac的平分线ab1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠b1a1c的平分线 a1b2折叠，此
时点b1与点c重合。

探究发现：
（1）△abc中，∠b=2∠c，经过两次折叠，∠bac是不是△abc 的好角？ .（填：“是”或“不是”）。

（2）小丽经过三次折叠发现了∠bac是△abc的好角，请探究∠b与∠c（不妨设∠b >∠c）之间的等量关系。

根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠bac是△abc的好角，则∠b与∠c（不妨设∠b>∠c）之问的等量关系为。

应用提升：
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，l05°，发现60°和l05°的两个角都是此三角形的好角。

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角。

【解析】①利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决；②根据第（1）问的结论继续探索；③利用“好角”的定义和三角形内角和列出方程解之。

【答案】（1）是；（2）∠b=3∠c ∠b=n∠c；（3）该三角形的另外两个角的度数分别为：4°，172°；8°，168°；16°，160°；44°，132°；88°，88°。

【点评】本题主要考查轴对称图形、等腰三角形、三角形形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握，本题是阅读理解题。

阅读理解题考查的潜在功能在于要求学生学会读书、学会理解、学
会分析、学会应用、学会总结，从而学会求知。

解答这类考题的关键在于运用分析、比较、抽象等数学手段以及归纳、演绎、类比、推理的思想方法，对阅读材料中的知识进行归纳总结，迁移应用，借鉴创新。

二、开放性问题
开放性问题的类型有四种：①以“题设条件为目的”的开放题；
②以“结论为目的”的开放题；③以“是否可能”提问形式的开放题；④以“方案设计”为背景的开放题。

例：（2012·义乌）如图，在△abc中，点d是bc的中点，作射线ad，在线段ad及其延长线上分别取点e、f，连接ce、bf。

添加一个条件，使得△bdf≌△cde，并加以证明。

你添加的条件是（不添加辅助线）。

【解析】由已知可证∠ecd﹦∠fbd，又∠edc﹦∠fdb，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是：de=df（或ce∥bf或∠ecd=∠dbf或∠dec=∠dfb等）。

【答案】（1）添加的条件是：de=df（或ce∥bf或∠ecd=∠dbf 或∠dec=∠dfb等）.（2）证明：（略）。

【点评】本题是一道三角形全等的判定的开放题。

解答这类考题的关键在于用类比、归纳总结、作图等方法和分类的思想来确定、补充、创设以“题设条件为目的”的开放题；用数形结合的思想挖掘以“结论为目的”的开放题；从假设出发解决以“是否可能”提问形式的开放题；运用综合法、分析法、综合运用各种数学思想，
解决以“方案设计”为背景的开放题。

三、探索性问题
探索性问题的类型有两种：①结论探索型问题（在给定的题设条件下，去寻求某种结论的一类问题）；②存在探索型问题（在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在）。

例：（2012·日照）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形oab 中，作内接正方形a1b1c1d1；在等腰直角三角形oa1b1中，作内接正方形a2b2c2d2；在等腰直角三角形oa2b2中，作内接正方形
a3b3c3d3；……；依次作下去，则第n个正方形anbncndn的边长是（）
a. b. c. d.
【解析】设正方形a1b1c1d1的边长为x，则ac1= c1d1= d1 b =x，故3x=1，x=；同理，正方形a2b2c2d2的边长为，……，故可猜想第n个正方形anbncndn的边长是。

【答案】b
【点评】本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可。

本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力。

解题的关键是求正方形a1b1c1d1的边长。

解结论探索型问题时，应根据条件从多角度进行分析，联想有关性质及定理，确定符合条件的结论。

解存在探索型问题时，通常先假设被探索的数学对象存在，并将其构造出来，再利用题设条件及有关性质，将其肯定或否定。

这类试题主要考查
学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。

四、分类讨论问题
分类讨论问题常见的类型有五种：①以数学概念、定义标准分类；
②以性质、公式，使用的条件为标准分类；③以字母的取值情况或范围为标准分类；④以图形的位置关系或形状分类；⑤以图形的对应关系为标准分类。

例：（2012·绥化）等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是。

【解析】题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论：①当3是底边长时，周长为5+5+3=13；②当5是底边长时，周长为3+3+5=11。

【答案】 11或13.
【点评】本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，解分类讨论问题的关键是要弄清引起分类讨论的原因，明确分类讨论的对象和标准，不同的标准分类的结果也不同；分类必须做到不遗漏，不重复。

五、跨学科问题
跨学科问题的考查是近年中考的特色之一，这类问题在考查数学知识的同时常与理、化、生、计算机乃至文、史、哲、艺术等方面联系或与现实生活中某方面的联系。

例1：（2011·台山）如果一个定值电阻r两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流i随它的两端电
压u变化的图像是（）
【解析】根据电流、电压、电阻三者关系：，其中r为定值，电流i随它的两端电压u变化是正比例函数的关系，所以它的图象为过原点的直线。

【答案】d
例2：（2011·西宁）如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第4个化合物的分子式为。

【解析】∵第4个化合物有4个c，2×5=10个h，∴第4个化合物的分子式为 c4h10。

【答案】c4h10
【点评】以上两题都是跨学科综合题，它们分别与物理知识、化学知识有关。

例1学生只要掌握电流、电压、电阻三者关系，就可选出答案；例2学生只需根据三种化合物的结构及分子式的规律，不难写出答案。

从全国各地近年中考命题来看，学科之间相互渗透是一种发展趋势，它有利与高考接轨。

六、图象与图表信息问题
图象与图表信息问题的考查已成为近年中考数学命题的一个显著特点，一些取材于社会生活中的实际问题是通过表格、图象等形式把信息提供给学生，要求学生能够运用所学知识解决实际问题。

例：（2013·泉州）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是，依次继续下去…，第2013次输出的
结果是。

【解析】首先由数值转换器，发现第2次输出的结果是6 为偶数，所以第3次输出的结果为3，第4次为8，第5次为4，第6次为2，第7次为1，…，可得出规律从第2次开始每6次一个循环，根据此规律求出第2013次输出的结果。

【答案】3，3
【点评】本题考查了代数式求值，关键是由已知找出规律，从第2次开始每6次一个循环，根据此规律求出第2013次输出的结果。

图象与图表信息问题通过表格、图象提供的信息，考查学生通过读表、读图获取信息的能力。

说明：中考中的创新性问题还有很多，如图形设计问题、实验与操作问题等，限于篇幅，不再例举。